歐氏幾何對偶原理研究 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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陳傳麟 著

圖書標籤:

• 歐氏幾何
• 對偶原理
• 射影幾何
• 幾何學
• 數學
• 定理
• 證明
• 研究
• 數學史
• 基礎研究

齣版社： 上海交通大學齣版社

ISBN：9787313070302

版次：1

商品編碼：10501280

包裝：精裝

開本：16開

齣版時間：2011-01-01

用紙：膠版紙

頁數：311

字數：351000

內容簡介

《歐氏幾何對偶原理研究》內容有一是構建及論證歐氏幾何對偶原理的存在（包括三維幾何）；二是該原理的應用。《歐氏幾何對偶原理研究》指齣橢圓、雙麯綫、拋物綫經“對偶”都可以當做“圓”；反之，圓經“對偶”都可以當做“橢圓”，或“雙麯綫”，或“拋物綫”，《歐氏幾何對偶原理研究》還指齣存在“自對偶”的圖形和“互對偶”的圖形，等等。歐氏幾何對偶原理的建立，使歐氏幾何這棵參天古樹綻開瞭一片新葩。
《歐氏幾何對偶原理研究》可作為大專院校數學係師生和中學數學教師的參考用書。

目錄

緒論
第1章 紅幾何
1.1 歐氏幾何
1.2 歐氏幾何的研究對象
1.3 “相交”和“平行”
1.4 “紅點”和“紅綫”
1.5 “紅綫段”
1.6 “紅角”
1.7 “紅標準點”
1.8 兩個紅角的相等
1.9 兩條紅綫段的相等
1.1O 紅幾何的邏輯基礎
1.11 抽象的觀點和集閤的觀點
1.12 紅點、紅綫的坐標
1.13 紅點、紅綫間的三種關係：“屬於”、“介於”、“閤於”
1.14 “紅變換”
第2章 藍幾何
2.1 “藍幾何?
2.2 藍幾何中的“平行”
2.3 “藍綫段”
2.4 “藍角”
……
第3章 黃幾何
第4章 自對偶
第5章 互對偶
第6章 歐氏幾何對偶原理的應用
人名中英文對照
參考文獻
後記

前言/序言

歐氏幾何對偶原理研究：空間結構的內在對稱性探析 導言：重塑我們對幾何空間的認知框架 幾何學，作為人類理解和描繪物質世界形態與結構的基礎學科，經曆瞭數韆年的演進。從古希臘歐幾裏得對平麵和立體結構的嚴謹公理化描述，到十九世紀非歐幾何的興起，我們對空間本體的理解從未停止深化。然而，在看似堅不可摧的歐氏幾何體係中，隱藏著一種深刻且優雅的內在聯係——對偶性（Duality）。 本書旨在提供一個全麵、深入且具有前瞻性的視角，對歐氏幾何體係中對偶原理的起源、形式化錶達、拓撲蘊含及其在現代數學分支中的應用進行係統性的梳理與剖析。我們不滿足於將對偶性視為一種偶然齣現的、孤立的數學現象，而是將其提升至一種核心的哲學與結構洞察的高度，探究它如何揭示歐氏空間中點與綫、麵與體之間相互依存的辯證關係。 第一部分：對偶性的哲學基石與曆史溯源 對偶性的概念並非憑空産生，它根植於人類對結構對稱性和完備性的不懈追求。本部分將首先追溯對偶思想在早期數學萌芽中的體現，並將其與古希臘的比例和諧觀念進行對比。 1.1 射影幾何的誕生與對偶概念的明確化 對偶原理的真正成熟，標誌著幾何學從純粹的度量轉嚮瞭對“關係”和“連通性”的關注。我們將詳細考察笛卡爾坐標係齣現之前，特彆是十八世紀以來，以龐斯萊（Poncelet）和波利尼（Bolyai）為代錶的數學傢如何係統地構建射影幾何。射影幾何的齣現，使得對偶性從一種經驗觀察轉變為一套嚴謹的代數規則：如果一個定理是通過交換“點”與“綫”（以及更高維度的元素）的操作後仍保持真確，則稱之為對偶定理。我們將通過具體的平麵幾何例子，如關於點的集閤（麯綫）與關於綫的集閤（包絡）的對偶關係，展示這種原理的威力。 1.2 歐氏幾何中的“隱性”對偶 雖然對偶性在射影幾何中錶現得最為鮮明，但其影子早已存在於歐氏幾何的基石之中。本章將探討如何從歐氏幾何的公理體係齣發，識彆齣那些看似獨立的概念，實則遵循著潛在的對偶結構。這包括對垂綫、平行性以及距離概念的重新審視，並論證歐氏幾何作為射影幾何的一個特例，其內部結構的對稱性如何被度量概念所“隱藏”或“約束”。 第二部分：對偶原理的數學形式化錶達 要深入理解對偶性，必須建立其精確的數學語言。本部分將聚焦於如何將對偶性從概念層麵提升到嚴格的代數和拓撲框架內。 2.1 射影空間與對偶子空間 本書將詳細介紹射影空間 $mathbb{P}^n$ 的定義，並利用齊次坐標係（Homogeneous Coordinates）來係統地錶示點與超平麵。我們將引入對偶射影空間 $mathbb{P}^{n}$ 的概念，並清晰地論證 $mathbb{P}^n$ 與 $mathbb{P}^{n}$ 之間的結構同構性。核心在於展示如何通過一個非奇異二次型（或更一般的對偶張量）將一個點集映射到其極綫集，反之亦然。 2.2 對偶性的代數實現：張量與二次型 在更高維度的歐氏空間中，對偶性往往錶現為張量運算。我們將探討正交群 $O(n)$ 對歐氏空間的作用，並分析在這一群作用下，哪些幾何對象保持不變，哪些對象之間存在對偶關係。具體而言，本章將深入分析二次型在定義點集（如球、橢圓）及其極（Polar）幾何結構中的關鍵作用，並將其與平麵幾何中的對偶概念聯係起來。我們將展示如何使用矩陣的伴隨矩陣或逆矩陣來顯式地構造對偶變換。 2.3 拓撲視角下的對偶性：歐氏空間與球麵幾何 將歐氏空間中的概念提升到拓撲層麵，可以更清晰地看到對偶性的本質。本部分將分析如何通過球極投影（Stereographic Projection）將歐氏平麵 $mathbb{R}^2$ 上的直綫與圓，映射到三維球麵 $mathbb{S}^2$ 上的“大圓”或“小圓”。在這個映射下，點與綫的對偶關係轉化為球麵上的點與平麵（或小圓）之間的關係，這為理解歐氏空間中的對偶性提供瞭直觀的幾何模型。 第三部分：對偶原理在經典幾何學中的應用與延伸 對偶性並非一個抽象的理論構造，它在解決具體的幾何問題時展現齣驚人的效率和洞察力。 3.1 構造性幾何中的應用：圓錐麯綫的對偶描述 我們將詳細分析對偶性在圓錐麯綫理論中的應用。一個圓錐麯綫可以被定義為點的軌跡（如橢圓的定義），也可以被定義為綫的包絡（如一係列相切直綫的邊界）。我們將證明，關於點的定義所得到的全部性質，都可以在不改變證明結構的前提下，通過交換“點”與“切綫”得到關於綫的對應性質。這包括對焦點、準綫以及極點-極綫對的對偶處理。 3.2 歐氏幾何的局部對偶：多麵體與施萊格爾圖 對於三維歐氏空間，對偶性體現在多麵體的結構上。我們將探討柏拉圖多麵體（正多麵體）的對偶關係，如立方體與八麵體的對偶。更進一步，我們將研究施萊格爾圖（Schlegel Diagrams）如何將多麵體及其對偶關係，清晰地投影到二維平麵上，從而利用平麵幾何的對偶原理來推導三維凸體的性質。 3.3 對偶性與歐氏變換群 本章將探討對偶性在歐氏運動群（剛體變換）下的不變性。我們將分析哪些幾何構造在鏇轉和平移下保持對偶關係，以及對偶性如何幫助我們理解歐氏空間中固定點定理（如鏇轉軸的存在性）的幾何意義。 結語：對偶性作為數學統一性的橋梁 對偶原理超越瞭具體的幾何形式，它揭示瞭數學結構中普遍存在的對稱與互補規律。通過對歐氏幾何對偶性的深入研究，我們不僅鞏固瞭對經典幾何的理解，更獲得瞭洞察代數幾何、微分幾何乃至拓撲學中更復雜對偶結構的鑰匙。本書旨在激發讀者從對偶性的角度重新審視數學中的每一個概念，認識到結構之美往往蘊含在看似對立的元素之間的精妙平衡之中。

評分☆☆☆☆☆

這本《歐氏幾何對偶原理研究》的封麵設計和排版風格，首先給我的感覺就是相當的嚴謹和學術化。那種帶著一絲古典氣息的字體選擇，搭配著冷靜的藍灰色調，讓人一眼就能察覺到這並非一本輕鬆的讀物。我翻開目錄，看到裏麵涉及的章節標題，比如“射影變換下的對偶性保持”、“歐氏空間中點與綫的對偶關係探討”等等，立刻意識到這可能是一本深入剖析幾何學基礎理論的專著。我本身對數學，尤其是經典幾何學抱有濃厚的興趣，總覺得歐氏幾何的每一個看似基礎的公理背後，都隱藏著更深層的邏輯結構。這本書的結構安排顯然是循序漸進的，從基礎概念的梳理到復雜定理的推導，這種紮實的學術路徑，對於想要係統性學習對偶原理的讀者來說，無疑是極大的福音。我期待它能清晰地闡明，在歐氏幾何的框架下，點與綫、麵與體之間的那種優雅的、近乎鏡像的對應關係是如何建立並發揮作用的。從裝幀的質感來看，齣版社顯然是下瞭功夫的，這錶明瞭他們對這部作品學術價值的認可，也讓人對內文的專業性和準確性充滿瞭信心。

評分☆☆☆☆☆

從書名中“研究”二字的分量來看，我預期這本書的內容深度絕非科普層麵，而是直指該領域的前沿或核心難題。我希望作者不僅僅是復述已有的經典結論，更能展示齣對於這些結論的重新審視和深入挖掘。例如，在歐氏空間中，對偶原理的有效性和限製性在哪裏？是否存在某些歐氏結構下的特定情形，使得對偶操作變得異常復雜甚至失效？如果作者能展示齣他們獨特的思考路徑，比如通過引入某些特定的坐標係或特定的變換群來簡化或揭示對偶關係的本質，那這本書的價值就會大大提升。我更期待看到對“歐氏性”的堅持——即對偶原理的構建過程，必須嚴格限定在歐氏幾何的公理係統之內，並探討這種限製帶來的數學美感或局限性。這本書理應是一次對經典理論的緻敬與再創造，而非簡單的知識搬運工。

評分☆☆☆☆☆

作為一名業餘愛好者，我對純粹的理論推導有時會感到吃力，所以我更看重作者的敘述口吻和對例子的選取。如果這本書能用一種既不失嚴謹性，又能讓初學者感到親近的方式來闡述對偶原理，那它無疑是成功的。我希望看到的，是那種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的閱讀體驗。比如，當介紹完一個核心對偶定理後，能否立刻跟上一個簡潔明瞭的、用歐氏幾何中的基本圖形（如三角形、圓錐麯綫等）來驗證的例子？這樣的設計能極大地增強讀者的理解和記憶。我尤其關注作者是否會涉及到一些關於“不變性”的討論，因為對偶性的核心就在於某種變換下，結構保持不變的優雅。如果能用通俗的語言解釋為何這種“不變”對於幾何問題的解決如此重要，那就太棒瞭。畢竟，理論的價值最終要體現在其應用和解釋力上。

評分☆☆☆☆☆

老實說，我拿到這本書的時候，首先關注的是它是否能提供一些新的視角來解讀我們從小就接觸的幾何概念。畢竟，對偶原理在許多人眼中，可能隻是一個晦澀的數學術語。我特彆留意瞭作者在引言中是如何界定“歐氏幾何”的邊界，以及他們打算如何在這種相對固定的、以距離和角度為核心的體係內，構建齣“對偶”這一靈活的結構。我希望能看到具體的幾何構造圖示和嚴格的代數證明，而非僅僅是概念的羅列。如果這本書能有效地將抽象的對偶思想，具體化到笛卡爾坐標係下的某個方程轉換上，那將是極大的成功。我設想，它或許會探討在保持歐氏度量不變的前提下，如何通過某種變換機製，使得原本的“點”在對偶後的世界裏，自然而然地扮演“綫”的角色。這種跨越維度的思維轉換，正是幾何學魅力所在，希望這本書能將這種魅力展現得淋灕盡緻，而不是將其淹沒在冗長的符號推導中。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和紙張質量給我的第一印象是：這是一本可以放在書架上、經得起時間考驗的學術參考書。紙張的厚度和印刷的清晰度都屬於上乘，這對於需要反復查閱和做筆記的讀者來說至關重要。我注意到書的側邊似乎有較寬的留白，這通常意味著作者或編輯鼓勵讀者在書頁邊緣進行批注和思考延伸。我個人推測，在內容上，作者很可能花費瞭大量篇幅來區分歐氏對偶與其他幾何體係（比如射影幾何或微分幾何）中對偶概念的異同。這種細緻的界定，對於避免概念混淆至關重要。如果書中能提供一個清晰的對比錶格，說明在不同幾何框架下，對偶映射的具體形式有何不同，那對我的學習將有莫大的幫助。總而言之，從物理形態上判斷，這是一本為深度閱讀和長期研究而準備的工具書。

評分☆☆☆☆☆

幫同事的孩子買的，很多網站都沒有這本書。

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不錯哦，沒有推薦錯！

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