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[奥] 维特根斯坦 著，韩林合 译

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• 数学
• 基础
• 研究
• 高等数学
• 数学分析
• 拓扑学
• 代数学
• 数论
• 实分析
• 复分析
• 抽象代数

出版社： 商务印书馆

ISBN：9787100094764

版次：1

商品编码：11284855

品牌：商务印书馆（The Commercial Press）

包装：平装

开本：32开

出版时间：2013-07-01

用纸：胶版纸

页数：368

正文语种：中文

内容简介

　　《数学基础研究》是后期维特根斯坦有关数学哲学的研究结晶。其主要内容是根据其后期新的哲学理解对当时流行的数学基础研究中的形式主义思潮、逻辑主义思潮、直觉主义思潮进行分析和批评。本书译者是北京大学哲学系教授、著名的维特根斯坦专家韩林合先生。《数学基础研究》是译者参考维特根斯坦的手稿，重新编辑而成，并以译者的多年的研究为基础做出大量的注释。

内页插图

目录

第一部分
第二部分
第三部分

《几何的诗篇：从欧几里得到非欧几何的探索》 这是一部关于几何学思想史与发展脉络的深度剖析，旨在带领读者穿越时空，亲历人类对空间、形状和结构的理解从直观走向抽象，再到超越直观的壮丽旅程。本书并非一本枯燥的定理证明集，而是一次充满发现的智力探险，着重于概念的演进、思想的碰撞以及那些引领几何学变革的伟大头脑。 第一章：度量与和谐——古希腊几何的辉煌 本书开篇，我们将回到数学的摇篮——古希腊。在这里，几何学不仅仅是关于测量和计算的工具，更是体现宇宙秩序和完美和谐的语言。我们将深入探讨欧几里得《几何原本》的伟大成就，分析其公理化体系如何为西方数学奠定了严谨的基石。这不仅仅是关于定理的记忆，更是理解一种推理模式的形成：从基本假设出发，通过逻辑的链条，推导出无穷的真理。我们会仔细审视“点”、“线”、“面”等基本概念的定义，以及“平行公理”这一看似简单却蕴含了深远影响的公设。书中将穿插介绍毕达哥拉斯学派对数与形的神秘联系的探索，阿基米德在几何学上的杰出贡献，以及它们如何为理解自然世界提供了强大的数学框架。我们将探寻古希腊人如何通过几何图形来理解宇宙的结构，例如原子论者关于最小不可分割的点的思考，以及如何通过“穷竭法”来计算复杂图形的面积和体积，展现出他们非凡的几何直觉和严谨的逻辑。 第二章：从平面到立体——文艺复兴与解析几何的曙光 时间步入文艺复兴时期，欧洲的学术思想开始复苏，几何学的研究也随之进入新的阶段。本章将聚焦于笛卡尔和费马等先驱者如何将代数的力量注入几何的殿堂，催生了革命性的解析几何。我们将详细阐述“坐标系”这一划时代的工具，它如何将抽象的几何图形转化为代数方程，从而使得研究几何对象的性质变得更加便捷和普适。本书将通过具体的例子，如直线方程、圆的方程，来展示代数与几何如何巧妙地融合，揭示其强大的统一性。我们将分析这种新方法的出现如何打破了传统几何的局限，使得研究高维空间和复杂曲线成为可能。同时，我们也会回顾这一时期其他重要的几何学发展，例如透视法的兴起如何影响了艺术家对空间的描绘，以及对多面体和凸体的早期研究。我们将探讨解析几何的出现如何改变了科学研究的面貌，为物理学、天文学等领域的发展提供了不可或缺的数学语言。 第三章：超越直观的界限——非欧几何的诞生与哲学冲击 本书最激动人心的篇章之一，将带领读者进入非欧几何的奇妙世界。这里，我们将质疑并最终超越欧几里得平行公理的绝对权威。本章将详细介绍巴拉伊、罗巴切夫斯基和黎曼等数学家如何在十九世纪独立地发展出与欧氏几何截然不同的几何体系。我们将深入解析“双曲几何”和“椭圆几何”的核心思想，理解在这些新的几何框架下，平行线的行为是如何发生的根本性改变。本书将通过生动的图示和形象的比喻，来帮助读者理解这些反直观但却逻辑自洽的几何空间。我们将探讨非欧几何的诞生对哲学、物理学产生的深远影响，特别是爱因斯坦的广义相对论如何巧妙地运用黎曼几何来描述引力场，揭示了我们对宇宙本质的理解发生了颠覆性的变革。我们将反思，为什么一个我们习以为常的公理，一旦被动摇，就会打开一个全新的数学宇宙。 第四章：空间的无限延伸——拓扑学与微分几何的现代视角 随着对空间理解的不断深入，几何学的疆域进一步拓展。本章将介绍现代几何学两大重要分支：拓扑学和微分几何。我们将首先聚焦于拓扑学，它关注的是图形在连续变形（如拉伸、压缩，但不撕裂或粘合）下的不变性质。我们将通过著名的“柯尼斯堡七桥问题”和“莫比乌斯带”等经典例子，来揭示拓扑学研究的独特性质——“形变”的魔力。本书将阐释拓扑学如何帮助我们理解连续性、连通性等更本质的空间结构，其在各个科学领域，从理论物理到计算机科学，都有着广泛的应用。接着，我们将转向微分几何，它利用微积分的强大工具来研究光滑曲面和曲线的局部性质。我们将探讨曲率、测地线等概念，理解如何通过微分的方法来精确地描述和分析复杂形状的几何特性。本书将展示微分几何如何成为研究流形、纤维丛等高级数学对象的基础，并为现代物理学的许多前沿领域（如弦理论）提供了数学语言。 第五章：几何学的语言——抽象代数与几何的交融 几何学与代数之间的联系是其发展过程中一条重要的主线。本书的这一章将深入探讨抽象代数在现代几何学中的应用。我们将介绍群论、环论、域论等概念，并展示它们如何被用来理解几何对象的对称性、变换群以及代数簇等。本书将通过例如射影几何中关于不变式的研究，或者代数几何中对多项式方程所定义的几何对象（簇）的研究，来展现抽象代数如何为几何学提供了强大的工具和全新的视角。我们将看到，如何将几何问题转化为代数问题，或者反之，如何利用代数的结构来理解几何的性质。这一章旨在揭示，现代数学的强大之处在于不同分支之间的相互渗透和融合，而几何学正是这种融合的受益者和推动者。 第六章：视觉与直觉的边界——几何学在科学与艺术中的回响 几何学的影响远不止于数学本身。本章将探讨几何学的思想如何渗透到科学的各个领域，以及在艺术创作中扮演的角色。我们将回顾物理学中，从牛顿力学中的时空几何，到爱因斯坦的相对论，再到量子场论中的微分几何和李群的应用，几何学始终是描述自然规律的不可或缺的语言。本书还将探讨，几何学的原理如何影响建筑设计、城市规划，以及计算机图形学的发展。在艺术领域，我们将看到从古埃及的金字塔，到文艺复兴时期的透视绘画，再到现代抽象艺术，几何的秩序、比例和空间感如何成为艺术家们灵感的源泉。本书将通过具体的案例，展示几何学如何塑造了我们对世界的感知，并激发我们的想象力。 结论：未完待续的探索 在本书的结尾，我们将总结几何学发展的历史脉络，并展望其未来的发展方向。几何学并非一个已经完成的学科，而是充满活力的、不断演进的领域。从高维空间的探索，到量子几何的研究，再到几何学在人工智能、数据科学等新兴领域的应用，都预示着几何学将继续在人类的知识体系中扮演至关重要的角色。本书旨在激发读者对几何学的兴趣，培养其严谨的数学思维，并理解几何学作为一种思考和理解世界的方式，其永恒的魅力与价值。 这部作品，力求以清晰的逻辑、丰富的史实、生动的语言，为广大读者呈现一部关于几何学思想的波澜壮阔的史诗。它将引导您去思考，去发现，去感受，那隐藏在数字与图形背后的，关于空间、结构与和谐的深刻奥秘。

评分☆☆☆☆☆

从技术层面上讲，这本书在符号运用和定义规范性上做到了极致的严谨。我是一名有一定背景的读者，在阅读过程中，几乎找不到任何可以指摘的逻辑跳跃点或模糊不清的表述。作者对细节的把控到了吹毛求疵的地步，这对于追求绝对精确性的读者来说，无疑是一种福音。更难得的是，这种极致的严谨并没有让阅读体验变得晦涩难懂。相反，正是这种无懈可击的结构，反而提供了最大的安全感，让读者敢于在复杂推导中放手一搏，因为你知道，作者已经为你铺好了每一块垫脚石。尤其是关于某种高级抽象代数结构的处理，其清晰度和完备性，是我在其他任何著作中都未曾见过的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容组织结构堪称一绝，完全颠覆了我过去对这类专业书籍的刻板印象。它并非按照传统的章节顺序线性推进，而是采用了一种螺旋上升的叙事方式。初级概念的引入非常巧妙，往往以一个看似不相关的实际问题为引子，然后层层深入，最终导向核心的数学原理。这种“润物细无声”的教学法，极大地减轻了初学者的挫败感。我特别欣赏作者在处理不同数学分支交叉点时的处理手法，那种游刃有余的过渡，显示出作者深厚的跨学科功底。在某些需要大量图形辅助理解的部分，作者巧妙地运用了文字描述的张力来弥补视觉上的不足，这在纯文字载体中是极其难能可贵的成就。读完后，我感觉我的知识网络被极大地拓宽和加固了，不再是孤立的知识点，而是一个相互支撑的有机整体。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁有力，深邃的蓝色背景仿佛将人带入一个充满未知与奥秘的数学宇宙。初翻阅时，我立刻被其中严谨的逻辑和清晰的论证所吸引。作者似乎有一种魔力，能将那些看似高不可攀的抽象概念，用一种近乎诗意的语言娓娓道来。那些复杂的定理和公式不再是冰冷的符号堆砌，而更像是精心编织的数学风景画。尤其是在探讨集合论的某些基础性问题时，作者的阐述角度非常独特，既保留了学术的深度，又极大地降低了读者的理解门槛。我感觉自己仿佛跟着一位经验丰富的向导，在数学的大厦中攀登，每一步都踏实而充满发现的喜悦。这种行文风格，让原本可能枯燥的理论学习过程，变成了一场智力上的探险。它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的启迪，让人开始用一种全新的视角去审视日常的逻辑结构。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的最大冲击，在于它对“数学本质”的探讨，远超出了纯粹的技术层面。它像是一面镜子，照出了现代数学构建过程中的一些基本假设和潜在的哲学困境。作者并非只是罗列定理，而是深入挖掘了这些概念是如何在人类认知的发展过程中被“发明”或“发现”的。阅读过程中，我多次停下来，反思我们习以为常的数学公理体系背后的合理性与局限性。这种宏大叙事和微观论证的完美结合，使得这本书不仅仅是一本工具书，更像是一部关于人类理性探索历程的史诗。它激发了我对数学作为一种语言、一种世界观的更深层次的敬畏与理解，让人感觉自己的思维维度被拓宽了一个全新的层次。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常个人化，带有一种老派学者的沉稳与犀利，读起来让人感到一种强烈的信赖感。作者似乎总是在与读者进行一场心照不宣的对话，时不时穿插一些充满洞见的脚注或旁白，这些“题外话”往往比正文本身更引人深思。在某些需要进行哲学思辨的段落，作者毫不避讳地表达了自己的立场，这种鲜明的观点使得阅读体验充满了张力，让人忍不住要停下来，反复咀嚼其背后的深意。与那些追求绝对客观、面面俱到的教科书不同，这本书展现出一种主动引导读者思考“为什么是这样”而非仅仅“是什么”的治学态度。这种带着温度的表达，让我在面对那些尖锐的逻辑悖论时，不再感到孤军奋战，而是有了一个可靠的伙伴并肩作战。

评分☆☆☆☆☆

是多少呢?按原先的代数规则,应该是把两次的命中率相加,结果是(2/3)+(3/4)=17/12。这个结果是荒

评分☆☆☆☆☆

记载在方文中的目测比例是：“前厅门扉和贴墙柱子的间距是门扉的二分之一，而柱宽又是门扉的四分之一，其几何形的严格实际上呈现着数的精确。前厅有柱和壁柱，壁柱正好是柱的二分之一厚度。柱和天顶接触处有收敛的设计，用以减轻柱子在视觉上的重量。”

评分☆☆☆☆☆

理解本身是一种状态，它是正确使用的源泉。（书中提到，写10进制数字写到多少证明掌握了10进制？）

评分☆☆☆☆☆

1948年退休后仍保留教授的荣誉称号，并与完成《政治学说史》第三版的修订工作后不久去世。由其后继者托马斯.兰顿.索尔森（Thomas Landon Thorson）完成该书的第四版。

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对于他来说，苦难虽然刺痛难耐至于精神崩溃，却远远敌不过在追求自我的过程中，内心翻涌起的激情和喜悦。他选择了对于自己来说最重要的东西，并单纯做自己认为对的事情，度过一生。

评分☆☆☆☆☆

维也纳，世称“多瑙河女神”，曾经的奥匈帝国与当今奥地利共和国的首都，19世纪末人口排名第四的国际名城，驰誉世界的“音乐之都”（无数顶级音乐大师生活创作长眠于此——如海顿、莫扎特、贝多芬、舒伯特、勃拉姆斯、维瓦尔第、约翰•施特劳斯父子、布鲁克纳、马勒、格鲁克、勋伯格等）：维也纳金色大厅新年音乐会，维也纳国家歌剧院名动天下，路人皆知；一般人不大了解的则有哲学的维也纳学派、经济学的奥地利学派、文学的青年维也纳以及涵盖绘画、设计、建筑、装饰等领域的维也纳分离派……因而这座城市还有着“文化之都”、“建筑之都”的名头。

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“若非需要电梯以外的上楼方式——楼梯，整个住宅差不多是彻底的横平竖直……当窗和门共用之时，我们看到的全部是等距等比例的分割……包括地面的材质和呈现着同样严格的几何学对称关系：拼贴地面的水泥板缝照准的是与门窗中心对称的中线。”

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但是，这只是给出一种因果联系；只说明了我们现在怎么会按照这个路标来走；而没有说明“按照路标走”到底是怎么回事。相反，我已经进一步表明，只有存在着一种对路标的固定使用、存在着一种习惯时，一个人才可能按照路标走。

评分☆☆☆☆☆

在维特根斯坦看来,数学不是对柏拉图的理念世界的描述,而是对人类生活所需要的规则的约定。所以数学不是一种自然科学,也不为自然科学提供基础,它是由历史上各种各样的数学方法构成的,“数学是证明技术的五颜六色的混合。它的多种多样的应用和重要性即以此为基础”(p·123)。其“意义在于使用”,“本质在语法中道出自身”。这样的概括不符合人们对数学的一贯理解,似乎是把一个异常复杂的事情说得过于简单了。哥德尔的工作表明,一个数学的或推演的表达系统,只要丰富到了“初等数论”(即自然数系统)的程