随机偏微分方程有限元方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

杨小远，张英晗，李晓翠 著

图书标签:

• 随机偏微分方程
• 有限元方法
• 数值分析
• 概率数值方法
• 偏微分方程
• 数值模拟
• 科学计算
• 数学模型
• 数值解
• 随机分析

出版社： 电子工业出版社

ISBN：9787121260087

版次：1

商品编码：11706338

包装：平装

开本：16开

出版时间：2015-05-01

用纸：胶版纸

页数：264

正文语种：中文

内容简介

本书系统介绍了随机抛物型、双曲型和椭圆型方程的有限元分析方法，全书共6 章。第1 章是预备知识，包括Banach 空间和Hilbert 空间中的几类有界线性算子、Sobolev 空间基本理论、算子半群、有限元方法的基础理论，以及穷维随机积分的基本概念和性质；第2 章介绍随机抛物型方程的有限元分析方法，其中包括确定性抛物方程有限元方法理论分析、自伴算和非自伴算子随机抛物方程的有限元分析方法；第3 章对经典的随机Navier-Stokes 方程进行有限元分析和后验误差估计，重点介绍了后验误差估计方法；第4 章以分别带有Q-Wiener 过程噪声项和带有Brownian 片噪声项的两类随机弹性方程为例，介绍双曲型随机偏微分方程的有限元理论分析方法；第5 章以随机Poisson 方程和随机Stokes 方程为例，介绍椭圆型随机偏微分方程的有限元理论分析方法；第6 章介绍随机积分微分方程有限元理论分析方法。

作者简介

杨小远，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授，《IEEE Transactions on Signal Processing》《Information Sciences》、《IEEE Transactions on Image Processing》、《International Journal of Computer Mathematics》、《IET Signal Processing》、《IET Control Theory ＆ Applications》审稿人。

目录

第 1 章 基础知识 ???????????????? 1
1．1 Banach空间和Hilbert空间上的有界线性算子 ? ? 1
1．1．1 度量空间 ????????????????? 1
1．1．2 线性算子与线性泛函 ?? ? 4
1．1．3 核算子与Hilbert-Schmit算子 ?? ????? 7
1．2 Sobolev空间 ???????????????? 10
1．2．1 广义导数与Sobolev空间 ?????????? 11
1．2．2 Sobolev空间嵌入定理 ??????????? 14
1．2．3 迹定理 ????????????????? 15
1．2．4 Sobolev空间中的等价模定理 ???? ??? 17
1．2．5 Sobolev空间中的内插理论 ???????? 18
1．2．6 Gronwall引理 ?????????????? 19
1．3 算子半群 ???????????????? 21
1．3．1 抽象函数 ??????????????? 21
1．3．2 算子半群基本概念 ???????????? 25
1．3．3 C0半群 ????????????????? 26
1．3．4 解析半群与算子的分数次幂 ???????? 31
1．3．5 半群的扰动和逼近 ??????????? 33
1．4 有限元方法基本理论 ?????? ???? 35
1．4．1 变分原理 ???????????????? 35
1．4．2 有限元离散与插值误差估计 ????????? 39
1．4．3 发展方程的有限元方法 ??????????? 45
1．5 随机积分 ?????????? ?????? 46
1．5．1 概率空间 ???????? ?????? 46
1．5．2 随机变量与Bochner积分 ?????????? 48
1．5．3 条件期望与独立性 ???????????? 52
1．5．4 Gaussian测度 ?????????????? 53
1．5．5 随机过程与鞅 ???????? ????? 54
1．5．6 关于＆#119876;-Wiener过程的随机积分 ??????? 57
第 2 章 随机抛物方程有限元方法 ????????? 63
2．1 抛物方程有限元方法理论分析 ???????? 63
2．1．1 空间半离散格式的误差估计 ???????? 63
2．1．2 全离散格式的有限元误差估计 ??????? 69
2．2 自伴算子随机抛物方程有限元方法 ?????? 72
2．2．1 空间半离散格式的误差估计 ???????? 72
2．2．2 全离散格式的有限元误差估计 ??????? 76
2．3 非自伴算子随机抛物方程有限元方法 ????? 83
2．3．1 空间半离散格式的误差估计 ???????? 83
2．3．2 全离散格式的有限元误差估计 ??????? 93
2．4 研究进展评述 ????????????????99
第 3 章 随机Navier-Stokes方程的有限元分析与后验误差估计 ???? 103
3．1 方程的理论分析 ???????????? ???????? 103
3．2 有限元误差估计 ?????????????????????? 105
3．2．1 时间半离散格式的误差估计 ???????????????? 105
3．2．2 全离散格式的有限元误差估计 ??????????????? 118
3．3 后验误差估计 ??????????????????????? 124
3．3．1 加权Clement-type插值算子 ???????????????? 124
3．3．2 空间半离散格式的后验误差估计 ?????????????? 127
3．3．3 全离散格式的后验误差估计 ???????????????? 135
3．4 研究进展评述 ??????????????????????? 141
第 4 章 随机弹性方程有限元方法 ???????????????? 143
4．1 弹性方程有限元方法理论分析 ???????????????? 143
4．1．1 弹性方程解的定性分析 ?????????????????? 143
4．1．2 基于C1元的弹性方程半离散有限元方法 ???? ?? 146
4．1．3 基于C1元的弹性方程全离散有限元方法 ??????? 148
4．1．4 基于C0元的弹性方程半离散有限元方法 ??????? 151
4．1．5 基于C0元的弹性方程全离散有限元方法 ??????? 154
4．2 带有＆#119876;-Wiener过程噪声项的随机弹性方程有限元方法 ??157
4．2．1 随机弹性方程解的性质 ?????????????? 157
4．2．2 基于C1元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计 ? 159
4．2．3 基于C1元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计 ? 162
4．2．4 基于C0元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计 165
4．2．5 基于C0元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计 ? 166
4．2．6 随机弹性方程有限元方法的弱误差估计 ???????? 168
4．3 带有Brownian片噪声项的随机波动方程和随机弹性方程有限元方法 173
4．3．1 两类随机双曲方程的统一表示形式 ?????????????173
4．3．2 方程的正则化 ??????????????????? ? 175
4．3．3 正则化方程误差估计 ?????????????????? 176
4．3．4 随机指数积分法 ???????????????????? 180
4．3．5 全离散有限元逼近 ???????????? 183
4．4 研究进展评述 ??????????????? 192
第 5 章 随机椭圆型方程有限元方法 ?????? 195
5．1 椭圆方程的Green函数 ?????????? 195
5．2 随机椭圆方程有限元方法 ???????? 198
5．2．1 方程的正则化 ??????????? 199
5．2．2 有限元误差估计 ?????????? 204
5．3 随机Stokes方程非协调有限元方法 ???? 206
5．3．1 随机Stokes方程Green函数的性质 ??? 206
5．3．2 白噪声的正则化 ??????????? 210
5．3．3 非协调有限元逼近 ?????????? 213
5．4 研究进展评述 ????????????? 218
第 6 章 随机积分微分方程有限元方法 ???? 221
6．1 随机积分微分方程的理论分析 ?????? 221
6．1．1 问题的陈述 ????????????? 221
6．1．2 积分微分方程的预解系 ???????? 223
6．1．3 随机积分微分方程温和解的存在性和唯一性 ????? 227
6．2 空间半离散格式的误差估计 ????????????? 230
6．3 全离散格式的有限元误差估计 ???????????? 235
6．4 研究进展评述 ??????????????????? 242
参考文献 ??????????????????????? 243

前言/序言

《数值线性代数导论：从理论到实践》 本书旨在为读者提供一个全面且深入的数值线性代数框架，重点关注现代计算科学与工程领域中线性方程组求解、特征值计算以及矩阵分解等核心问题的数值方法。全书结构严谨，内容覆盖从基础的矩阵理论回顾到前沿的迭代求解技术，力求在理论深度与工程应用之间找到最佳平衡。 第一部分：基础回顾与浮点数算术 本部分首先对线性代数的经典理论进行必要的复习，特别是针对数值计算至关重要的矩阵性质（如范数、条件数、正定性等）。随后，我们将深入探讨计算机浮点数算术的内在机制及其对数值精度的影响。讨论将涵盖舍入误差的来源、稳定性的概念，并引入对误差分析至关重要的方法论。读者将了解到，一个算法的“好坏”不仅取决于其渐近复杂度，更取决于其在有限精度环境下的可靠性。我们将详细分析病态问题（ill-posed problems）的本质，并展示如何利用条件数来量化问题的敏感性。 第二部分：直接法：矩阵分解与高精度求解 直接法是求解中小型稠密线性系统的基石。本章首先系统地介绍高斯消元法及其稳定性问题。我们将深入探讨如何通过引入主元选择（Partial Pivoting, Full Pivoting）来增强算法的数值稳定性，并精确推导LU分解的步骤和计算复杂度。 接着，本书将拓展到更具实用性的矩阵分解技术： 1. Cholesky分解： 专门针对对称正定矩阵，提供了一种高效且稳定的求解途径。我们将分析其在优化问题中的应用潜力。 2. QR分解： 不仅是求解超定系统（最小二乘问题）的关键工具，也是计算特征值的基础。本书将对比Gram-Schmidt过程的原始形式与Householder反射、Givens旋转等正交化方法在数值稳定性上的显著差异。 3. 奇异值分解（SVD）： 这一分解被誉为矩阵分析的“瑞士军刀”。我们将详细阐述SVD的几何意义、计算方法（如Lanczos或Golub-Reinsch算法的原理概述）及其在秩近似、数据压缩和伪逆计算中的核心作用。 第三部分：迭代法：处理大规模稀疏系统 对于现代科学计算中常见的具有巨大尺度和稀疏结构的线性系统，直接法因其$O(n^2)$或$O(n^3)$的存储和计算成本而变得不切实际。本部分专注于高效的迭代求解器。 我们将首先介绍两类重要的迭代方法： 1. 经典迭代法： 详细分析雅可比（Jacobi）法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）法的收敛条件和速率，并引入松弛因子（SOR/SSOR）以加速收敛。 2. Krylov子空间方法： 这是求解大规模稀疏线性系统的主流方法。我们将从Krylov子空间$mathcal{K}_m(A, b)$的构建出发，系统地推导和分析： Conjugate Gradient (CG) 法： 针对对称正定系统，阐述其最优子空间迭代的性质和极快的收敛速度。 非对称系统求解器： 深入探讨GMRES（Generalized Minimal Residual）法及其截断的挑战，以及双共轭梯度法（BiCG）和其变体（如BiCGSTAB）的原理与应用。 第四部分：预处理技术：加速迭代收敛 预处理器是有效迭代求解器的“灵魂”。本章将专题讨论如何通过变换矩阵 $M^{-1} A x = M^{-1} b$ 来改善条件数，从而显著加快Krylov子空间方法的收敛速度。我们将分类介绍常见的预处理技术： 1. 代数预处理： 包括基于矩阵分解的近似（如ILU, ICC(0)分解）以及多层次交错子空间方法。 2. 基于代数重建的预处理技术： 如代数多重网格（AMG）方法的构建思想，它通过自适应地构建粗糙化策略来捕捉矩阵的物理结构信息。 第五部分：特征值问题的数值计算 特征值和特征向量的计算是许多物理和工程问题（如模态分析、稳定性分析）的核心。本部分侧重于寻找矩阵的最大或最小特征值，以及求解全特征值问题的方法。 1. 迭代法： 详细介绍幂法（Power Iteration）及其局限性，以及瑞利商迭代（Rayleigh Quotient Iteration）的二次收敛性。 2. 子空间迭代与Lanczos方法： 特别是Lanczos算法，作为在稀疏对称矩阵上实现高效特征值估计的强大工具，其算法流程和三对角化过程将被详尽解析。 3. QR算法： 作为求解稠密矩阵特征值的标准方法，我们将分析其如何通过QR分解的迭代过程，最终将矩阵约化为Hessenberg或Schur形式，从而实现特征值的精确计算。 附录：软件实现与并行化 附录将提供关于主流数值计算库（如LAPACK, ScaLAPACK, PETSc）的基本使用指南，并简要介绍如何在现代多核CPU和GPU架构上实现这些算法的并行化策略，探讨数据划分和通信开销对实际性能的影响。 本书面向对象为数学、物理、计算机科学、航空航天、土木工程等领域的研究生、高年级本科生以及需要深入理解计算方法的工程师和科研人员。通过对理论的透彻理解和对算例的严格分析，读者将能够独立设计、实现并优化针对特定问题的数值线性代数算法。

评分☆☆☆☆☆

这本书为我打开了一扇通往随机偏微分方程世界的大门，而且是以一种极其令人兴奋的方式。作者对有限元方法的基本原理进行了简洁而深入的介绍，为初学者建立了一个坚实的基础。我非常欣赏他对每一步推导的细致讲解，没有跳跃式的逻辑，也没有晦涩难懂的术语。当引入随机性时，作者并没有让我们感到不知所措，而是循序渐进地介绍了各种随机过程的性质及其在偏微分方程中的表现形式。我特别喜欢他关于“卡尔曼滤波”在有限元框架下的应用的探讨，这让我看到了融合不同领域技术解决复杂问题的可能性。书中对“蒙特卡洛方法”与有限元结合的详细阐述，也为我提供了一种全新的思路来处理非解析解的随机问题。作者的语言风格非常平易近人，即使是一些比较抽象的概念，也能被他解释得生动有趣。我曾经在其他书中感到困惑的地方，在这本书中得到了清晰的解答。这本书的练习题设计也非常巧妙，既能巩固所学知识，又能激发我的思考。总而言之，这是一本能够真正帮助读者掌握随机偏微分方程有限元方法的优秀教材。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在该领域摸爬滚打多年的研究者，我必须说，这本书在处理随机性方面提供了一种令人耳目一新的视角。作者并没有将随机性作为一个附加项来简单处理，而是将其深度融入到有限元框架的构建之中。我尤其欣赏他对随机过程的建模和离散化方法的创新性阐述，这让我能够以更系统、更全面地理解随机偏微分方程的本质。书中对于随机函数的处理、随机项的采样以及数值积分的讨论，都非常到位，而且提供了实用的技术指导。我曾经在处理一些非线性随机方程时感到力不从心，但这本书提供的某些方法，比如多重尺度分解，让我看到了解决问题的希望。作者在书中对不同数值模拟策略的权衡，比如计算成本与精度之间的关系，也为我提供了宝贵的决策依据。他对算法的伪代码描述清晰明了，能够帮助我快速地理解和实现。书中的案例研究也非常有启发性，特别是那些涉及不确定性量化和风险评估的应用，让我看到了这项技术在工程和金融领域的巨大潜力。这本书让我对随机偏微分方程的理解提升到了一个新的高度，也为我未来的研究方向提供了新的思路。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来了全新的视角，它不仅仅是一本教科书，更像是一次深刻的学术探索之旅。作者以一种非常接地气的方式，将抽象的数学概念与实际的物理现象巧妙地结合起来。我尤其欣赏书中对理论推导的细致梳理，每一个步骤都清晰可见，逻辑链条严丝合缝，这对于我这样希望深入理解数学原理的读者来说，无疑是极大的帮助。书中举例的丰富性也让人印象深刻，从经典的物理问题到前沿的科学挑战，都得到了生动的展现。这些例子不仅帮助我巩固了理论知识，更激发了我将所学应用于实际问题的兴趣。作者对于不同数值方法的比较和分析也做得十分到位，他没有简单地列举公式，而是深入剖析了每种方法的优缺点、适用范围以及在不同场景下的表现。这种深入的分析让我能够根据具体问题选择最合适的数值方法，而不是盲目套用。阅读这本书的过程，我感觉自己仿佛置身于一个充满智慧的殿堂，与作者一起探寻随机偏微分方程的奥秘。书中的图表和插图设计也颇具匠心，它们有效地辅助了我的理解，让复杂的概念变得更加直观易懂。总而言之，这是一本能够深刻影响读者思维方式的书籍，它不仅仅传授知识，更培养解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本《随机偏微分方程有限元方法》简直是我在学术道路上遇到的瑰宝！它以一种前所未有的深度，将我从理论的迷雾中解救出来。作者对有限元方法的讲解，不是那种枯燥乏味的公式堆砌，而是充满了洞察力。他能够从最基本的离散化思想出发，一步步引领读者走向复杂的理论体系，每一个概念的引入都显得那么自然而然。我特别喜欢他对于误差分析部分的阐述，那种严谨的逻辑和清晰的思路，让我对有限元方法的精度和稳定性有了更深刻的认识。书中的算法描述也非常详尽，几乎可以让我直接转化为代码去实现，这对于我这种动手能力强的读者来说，无疑是巨大的福音。而且，作者在讲解过程中，并没有回避那些可能存在的难点，反而通过精妙的比喻和类比，将它们化繁为简，让我能够轻松跨越理解的障碍。我曾经在其他教材中遇到的很多困惑，在这本书里都得到了圆满的解答。作者的语言风格也十分吸引人，既有学术的严谨，又不失灵动的趣味，让我在阅读过程中始终保持着高度的专注和兴趣。这本书让我真正体会到了数学的魅力，也让我对随机偏微分方程的研究充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的独到之处在于它将理论与实践完美地结合。作者在讲解有限元方法求解随机偏微分方程时，不仅仅停留在理论推导，而是通过大量精心设计的算例，展示了如何在实际问题中应用这些方法。我特别喜欢书中关于网格自适应和不确定性传播的章节，这些内容对于理解数值方法的鲁棒性和可靠性至关重要。作者并没有像某些教材那样，将这些内容一笔带过，而是深入分析了其背后的机理，并给出了具体的实现技巧。我印象最深刻的是书中对于“高斯过程”与有限元结合的处理，这种方法在处理某些非线性问题时表现出了惊人的优势。作者对不同求解器的性能比较也十分客观，让我能够根据自己的计算资源和精度要求做出明智的选择。书中的附录包含了大量的参考资料，这对于希望进一步深入研究的读者来说，是一笔宝贵的财富。我曾经在寻找特定数值算法的实现细节时遇到困难，但在这本书中，我找到了我所需的大部分信息。这本书让我感觉自己不再是孤军奋战，而是拥有了一位经验丰富的向导，带领我穿越随机偏微分方程的复杂世界。

评分☆☆☆☆☆

好好学习，天天向上

评分☆☆☆☆☆

不错

评分☆☆☆☆☆

偏微分方程的非标准混合有限元方法........

评分☆☆☆☆☆

理论比较多，数值没有。不知道为什么

评分☆☆☆☆☆

偏微分方程的非标准混合有限元方法........

评分☆☆☆☆☆

偏微分方程的非标准混合有限元方法........

评分☆☆☆☆☆

不孬

评分☆☆☆☆☆

理论比较多，数值没有。不知道为什么

评分☆☆☆☆☆

不错的一本书