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编辑推荐

《高等数学(下册)》是作者多年教学经验的总结, 可作为非数学专业学生高等数学的教材, 也可作为相关人员的参考书.

内容简介

《高等数学(下册)》分上、下两册, 上册内容包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、空间解析几何、多元函数微分法及其应用. 下册内容包括不定积分、定积分、定积分的应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、微分方程初步. 《高等数学(下册)》每节都配有习题,每章配有总习题和历年考研题. 《高等数学(下册)》配套的辅助教材有《高等数学典型问题与应用案例剖析(上、下册)》.

目录

前言
第六章 不定积分 1
第一节 不定积分的概念与性质 1
一、原函数与不定积分的概念 1
二、不定积分的性质与基本积分表 4
三、直接积分法 5
习题 6-1 7
第二节 换元积分法 8
一、第一类换元法 8
二、第二类换元法 15
习题 6-2 20
第三节 分部积分法 21
习题 6-3 26
第四节 有理函数的积分 27
习题 6-4 31
第五节 可化为有理函数的积分举例 32
一、三角函数有理式的积分举例 32
二、简单无理式的积分举例 33
习题 6-5 35
总习题六 35
历年考研题六 36
第七章 定积分 37
第一节 定积分的概念与性质 37
一、引出定积分概念的典型问题 37
二、定积分定义 39
三、定积分的近似计算 42
四、定积分的性质 44
习题 7-1 46
第二节 微积分基本公式 48
一、变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系 48
二、积分上限函数及其导数 49
三、牛顿-莱布尼茨公式 52
习题 7-2 54
第三节 定积分的换元法和分部积分法 55
一、定积分的换元法 55
二、定积分的分部积分法 61
习题 7-3 64
第四节 反常积分 64
一、无穷区间上的反常积分 65
二、无界函数的反常积分 67
三、反常积分的审敛法 70
习题 7-4 72
总习题七 72
历年考研题七 74
第八章 定积分的应用 77
第一节 元素法 77
第二节 定积分在几何上的应用 78
一、平面图形的面积 78
二、两种特殊立体的体积 83
三、平面曲线的弧长 87
习题 8-2 90
第三节 定积分在物理学上的应用 91
一、变力做功问题 91
二、水压力 93
三、引力 93
习题 8-3 95
总习题八 95
历年考研题八 96
第九章 重积分 98
第一节 二重积分的概念与性质 98
一、二重积分的概念 98
二、二重积分的性质 102
习题 9-1 104
第二节 二重积分的计算 105
一、利用直角坐标系计算二重积分 105
二、利用极坐标计算二重积分 110
三、二重积分的换元法 114
习题 9-2 117
第三节 三重积分 120
一、三重积分的概念 120
二、三重积分的计算 121
习题 9-3 128
第四节 重积分的应用 130
一、曲面的面积 130
二、质心 134
三、转动惯量 136
四、引力 138
习题 9-4 139
总习题九 140
历年考研题九 143
第十章 曲线积分与曲面积分 146
第一节 对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分 146
一、对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分的概念与性质 146
二、对弧长的曲线积分的计算方法 148
三、对面积的曲面积分的计算方法 150
习题 10-1 153
第二节 对坐标的曲线积分 154
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 154
二、对坐标的曲线积分的计算方法 158
三、两类曲线积分之间的联系 162
习题 10-2 163
第三节 对坐标的曲面积分 164
一、预备知识 164
二、引例流向曲面一侧的流量 165
三、对坐标的曲面积分的概念及性质 167
四、对坐标的曲面积分的计算方法 169
五、两类曲面积分之间的联系 172
习题 10-3 174
第四节 多元函数积分间联系的三大公式 175
一、格林公式及其应用 175
二、高斯公式 184
三、斯托克斯公式 187
习题 10-4 189
第五节 场论初步 192
一、场的概念 192
二、向量场的散度与旋度 193
习题 10-5 196
总习题十 197
历年考研题十 199
第十一章 无穷级数 202
第一节 常数项级数的概念和性质 202
一、常数项级数的概念 202
二、级数的基本性质 205
三、级数收敛的必要条件 207
习题 11-1 208
第二节 正项级数的审敛法 208
一、正项级数概念和基本审敛法则 209
二、比较审敛法 209
三、比值审敛法 212
四、根值审敛法 214
习题 11-2 214
第三节 一般项级数的审敛法 215
一、交错级数审敛法 215
二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 217
三、绝对收敛级数的性质 218
习题 11-3 219
第四节 幂级数 219
一、函数项级数的概念 219
二、幂级数及其收敛性 220
三、幂级数的运算 224
四、幂级数的性质 225
习题 11-4 226
第五节 函数的幂级数展开 227
一、泰勒 (Taylor) 级数 227
二、函数的幂级数展开式 229
习题 11-5 234
第六节 傅里叶级数 235
一、三角级数和三角函数系 235
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数 236
三、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 241
四、正弦级数和余弦级数 243
习题 11-6 245
总习题十一 246
历年考研题十一 247
第十二章 微分方程初步 251
第一节 微分方程及其相关概念 251
习题 12-1 255
第二节 可分离变量方程 256
习题 12-2 258
第三节 齐次方程 258
一、齐次方程 258
二、可化为齐次的方程 260
习题 12-3 263
第四节 一阶线性微分方程 264
一、线性方程 264
二、伯努利方程 266
习题 12-4 269
第五节 全微分方程 270
习题 12-5 274
第六节 可降阶的高阶微分方程 274
一、y(n) = f(x) 型的微分方程 275
二、y00 = f(x; y0) 型的微分方程 275
三、y00 = f(y; y0) 型的微分方程 277
习题 12-6 279
第七节 线性微分方程解的结构 280
一、二阶齐次线性微分方程解的结构 280
二、二阶非齐次线性微分方程解的结构 281
三、二阶非齐次线性微分方程通解的求法 282
习题 12-7 284
第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 285
习题 12-8 291
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 292
习题 12-9 298
第十节 欧拉方程 299
习题 12-10 301
总习题十二 301
历年考研题十二 302
部分习题答案与提示 304

精彩书摘

第六章 不定积分
第六、七、八章的内容统称为一元函数的积分学.积分学与微分学密切联系，共同组成了分析学的基本内容.积分学的产生与发展源于一些实际问题的解决，如两千多年前的希腊数学家阿基米德(Archimedes)用穷竭法计算出了抛物线弓形的面积，我国南北朝时期的祖冲之和他的儿子祖也曾推导出某些图形的面积和体积，这些都是用无限小过程处理特殊形状的面积的例子.虽然求积问题自古以来就被直观地、经验地理解着，并且得到了正确的计算结果，但这只是个别问题的解决，始终缺乏一般的计算方法，与一门系统学科的形成还相距甚远.
直到十七世纪，由于天文、航海以及生产技术的发展，大量的问题亟待解决，这些问题大致归为以下四类:第一类是已知距离求速度与加速度以及已知加速度，求速度与距离;第二类是求曲线的切线;第三类是求函数的最大、最小值;第四类是求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积以及两个物体之间的引力.虽然在一些数学家的努力下，有关微分学问题解决得比较圆满，积分学中的某些问题也得到了一些好的结果，但是当时所使用的方法要么不具有普遍性，要么有的方法本身虽然孕育着有普遍性的含义，但却没有人能充分理解微分与积分这两类问题之间的相互关系的重要意义，因而都没有创立微积分.最终，牛顿和莱布尼茨在总结前的方法的基础上，都各自独立地看到了积分问题是微分的逆问题，并建立起成熟的具有普遍意义的方法.由于牛顿和莱布尼茨各自研究的角度不同，牛顿是利用导数与反导数，即不定积分来解决微积分问题，而莱布尼茨则强调微分及微分的和"，因而就形成了不定积分与定积分.
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
在一元函数微分学中，我们研究了已知函数f(x)，如何求出它的导数f0(x)的问题.在实际问题中，经常会遇到已知函数F(x)的导数f(x)，反过来需求函数F(x)的情况，如已知直线运动的速度函数v(t)，求路程函数s(t)，这个问题可归结为微分的逆运算，即不定积分的问题.下面引入原函数的概念.
定义1设函数定义在区间I上，如果存在函数F(x)，对任一x2I，都有
F0(x)=f(x);即dF(x)=f(x)dx;￠2￠第六章不定积分
那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数.
关于原函数的存在性问题，这里先给出一个结论.
原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x2I，都有F0(x)=f(x).
即连续函数一定有原函数.
例如，当x2(.1;+1)时，因为(x2)0=2x，所以x2是2x在(.1;+1)上的一个原函数.
需注意的是，在区间不连续的函数也可能有原函数.
例如，函数
在区间的一个原函数，而f(x)在x=0处间断.
但是，若函数在区间上有第一类间断点，则函数在该区间上一定没有原函数.
例如，设函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，且x=x0是f(x)的第一类间
断点，则因F(x)在x=x0处连续、可导，且
所以，无论f(x0+0);f(x0.0)是否相等，都不能等于f(x0)，这与F0(x)=f(x)在区间上成立矛盾.
根据定义不难获知:
(1)原函数概念首先与考察的区间有关，即同一个函数在不同区间上的原函数不一定相同.
例如，设f(x)=jxj，则在(0+1)内，f(x)的一个原函数为
(2)一个函数的原函数若存在，则它的原函数肯定不是唯一的.
事实上，若f(x)有原函数F(x)，则对任意常数C，F(x)+C也是f(x)的一个原函数.
因此，若找到f(x)的一个原函数F(x)，按F(x)+C的方法可写出它的无限多个原函数，将其组合到一起便构成f(x)的一个原函数族，那么此函数族是否包含了f(x)的所有原函数呢？为说明该问题，我们考察f(x)的任意两个原函数之间的差别.
若F(x)与G(x)同为f(x)的原函数，则
F0(x)=f(x);G0(x)=f(x);
因而有
故有
即G(x)=F(x)+C.
上面的讨论说明:f(x)的任意两个原函数之间仅差一个常数；函数族实际上是由f(x)的全体原函数构成的.
定义2函数f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分，记为Zf(x)dx，其中记号Z称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.
因此，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，且用F(x)+C(C是任意常数)来表示函数族fF(x)+CjC2Rg，则F(x)+C就是f(x)的不定积分，即
不定积分的几何意义:函数f(x)的任意一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线，而函数f(x)的不定积分F(x)+C的图形称为f(x)的积分曲线族.积分曲线族中的任意一条曲线都可以由曲线y=F(x)沿y轴平移得到，因此，积分曲线族中的所有曲线在横坐标相同的点处具有平行的切线(图6-1).
例1求解由于
是x3的一个原函数，因此
例3设曲线通过点(1;2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.
二、不定积分的性质与基本积分表
性质1设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
性质1对于有限个函数都是成立的.
性质2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
既然积分运算是微分运算的逆运算，那么很自然地可以从导数公式得到相应的积分公式.下面把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常称为积分表.在不定积分计算中，因为积分结果是被积函数的原函数，所以只要对积分结果求导，看它的导数是否等于被积函数，就能判断积分的求解正确与否.
三、直接积分法
所谓直接积分法就是在函数基本运算下先将不定积分的被积函数用已知不定积分表达式的函数表示出来，而后利用不定积分的性质和已知积分表达式的函数的

前言/序言

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