自適應Fourier變換：一個貫穿復幾何，調和分析及信號分析的數學方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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錢濤 編

圖書標籤:

• 自適應傅裏葉變換
• 傅裏葉分析
• 復幾何
• 調和分析
• 信號處理
• 數學方法
• 數值分析
• 時頻分析
• 小波變換
• 濾波器設計

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030463876

版次：1

商品編碼：11853103

包裝：精裝

叢書名： 信息與計算科學叢書

開本：16開

齣版時間：2015-11-01

用紙：膠版紙

頁數：268

正文語種：中文

內容簡介

　　錢濤主編的《自適應Fourier變換——一個貫穿復幾何調和分析及信號分析的數學方法》闡述自適應Fourier分解（AdaptiveFourierDecomposition，AFD）及單分量函數論的數學理論及應用。
　　按照理論發展的順序，第3章單分量函數論應該在第2章AFD理論之先的，後者作為單分量函數分解的特殊情況盡管如此，我們選擇優先講述AFD的理論。
　　第3章基於單復變量幾何分析全通濾波器，建立瞭單分量函數的理論。第4章講述單分量函數論對數字信號處理的奠基}生的應用，其中包括由AFD引齣的Dirac型時間—頻率分布的理論，以及對經典Heisenberg型測不準原理的改進。在第5章中，應用調和分析及單復變量分析方法，我們發展瞭前移及後移不變子空間的理論，並將該研究用於頻帶保持、相位重構以及Bedrosian方程式的解。AFD與單分量函數的思想貫穿一維單復變結構下的兩個典型流型，即圓與直綫（第2章）；高維兩種復結構（Clifford代數及多復變量）之下的Euclid空間、實球殼以及多環麵（第6及第7章）。2-環麵上的數學理論可直接用於圖像處理。AFD在一維及高維空間以及它們的典型流形上的實現開拓瞭有關場閤的有理函數逼近理論。單分量函數的理論止步於一維情況。然而在高維空間中存在有標量值相位導數的概念（第4章），後者在高維空間的信號分析理論，特彆是在高維空間超強測不準原理的建立上起到關鍵的作用。AFD是應單分量函數分解穩定性要求的産物，其與貪婪算法的原則不約而同AFD不同於現存的任何一種貪婪算法。在第8章中我們證明，引入完備化字典的概念，正交貪婪算法可以被優化為預正交貪婪算法，後者在經典場閤即化為AFD。預正交貪婪算法的諸多優越性揭開瞭貪婪算法研究的新篇章。
　　本書是為數學研究人員和工程技術人員兩者而寫的。如果偏重於應用，讀者可以跳過某些數學證明，例如第1章的Plemelj定理的證明，而求直接理解及接受方法本身。

目錄

《信息與計算科學叢書》序
前言
各章關係圖
第1章預備知識：函數的Hardy空間分解及有理正交係統
1.1單位圓上的Hardy空間分解
1.2實數軸上的Hardy空間分解
1.3有理正交係統
1.3.1單位圓周內的有理正交係
1.3.2上半復平麵的有理正交係
第2章自適應Fourier分解
2.1單位圓上的自適應Fourier分解
2.1.1Hardy空間函數的AFD（coreAFD）
2.1.2藉助於AFD逼近實值函數及其Hilbert變換
2.2自適應Fourier分解的逼近階
2.3解繞AFD
2.3.1Hardy空間函數的Nevanlinna分解
2.3.2解繞AFD
2.3.3n階最佳有理逼近
2.3.4Blaschke形式及最佳n—Blaschke逼近的存在性
2.3.5最佳n—Blaschke逼近與最佳n階有理逼近
2.3.6最佳Blaschke逼近問題的循環AFD解
2.4實數軸上的AFD及其變種
2.5Fourier在平均意義下是最佳的
第3章單分量函數的理論
3.1問題的提齣
3.2單分量函數
3.3物理可實現信號的單分量函數錶示
3.4內函數與外函數
3.5單分量函數的刻畫：Bedrosian及非：Bedrosian型
3.5.1Bedrosian型單分量函數
3.5.2非Bedrosian型（星形及邊界星形函數型）單分量函數
第4章單分量函數理論在數字信號處理中的應用
4.1與頻率均值及時間均值有關的經典關係式的推廣
4.2Hardy—Sobolev導數
4.3超強測不準原理
4.3.1非光滑信號的強測不準原理
4.3.2H—S導數下的超強測不準原理
4.3.3相對於Hilbert空間中自共軛算子對的超強測不準原理
4.4最小相位物理可實現信號及全通濾波器
4.4.1離散信號
4.4.2上半及下半復平麵
4.4.3連續信號
4.5基於AFD的Dirac型的時間一頻率分布
4.5.1單分量信號的TFD（mono—componenttime—frequencyrdistribution，MTFD）
4.5.2多分量函數的Dirac型時間一頻率分布（Diractypetimefrequencydistributionofmulti—component，MuTFD）
第5章前移及後移算子的不變子空間及其應用
5.1TM係統是它們所生成的閉子空間的Schauder基
5.2平方可積函數的理論
5.3Lp可積函數的理論
第6章四元數與Clifford代數框架下的自適應Fourier分解
6.1四元數空間中的AFD
6.1.1預備知識
6.1.2L2（S4）中函數的快速球調和分解
6.1.3函數定義在整個空間的情形
6.1.4四元數域上AFD的收斂階
6.2函數定義域低於四維的情況
6.3函數定義域不低於三維的情況
6.3.1高維空間中標量值的相位導數
6.3.2上半空間的Clifford全純信號及其相位導數
6.3.3用標量值相位導數錶述的測不準原理
第7章多復變量框架下高維空間的自適應Fourier分解
7.1乘積TM係統的二維AFD理論
7.2乘積Szego字典型二維AFD
第8章復再生核Hilbert空間上的預正交貪婪算法與字典的完備化
8.1復再生核Hilbert空間上的預正交貪婪算法
8.2AFD與字典之完備化
參考文獻
編後記
索引
《信息與計算科學叢書》已齣版書目
彩圖

前言/序言

自適應傅裏葉變換：深入復幾何、調和分析與信號分析的數學工具箱 本書旨在為讀者呈現一種強大的數學框架——自適應傅裏葉變換（Adaptive Fourier Transform, AFT），它不僅僅是一種信號處理技術，更是一種貫穿復幾何、調和分析及信號分析等多個數學分支的深刻洞察。AFT的核心在於其能夠根據信號自身的特性進行“自適應”，從而在分析和錶徵復雜信號方麵展現齣傳統傅裏葉分析所難以企及的優勢。本書將深入剖析AFT的數學根基，並展示其在各個領域的廣泛應用。 第一部分：數學基石——復幾何與調和分析的交融 理解AFT，首先需要建立起對復幾何和調和分析的紮實認知。本書將從復數域齣發，構建對復幾何的直觀理解，探討復函數的解析性質、共形映射等概念，並將其與傅裏葉分析的數學語言相結閤。 復數域中的傅裏葉級數與積分： 我們將迴顧經典的傅裏葉級數和傅裏葉變換，並將其置於復數域的框架下重新審視。通過理解復指數函數 $e^{i omega t}$ 的幾何意義，即單位圓上的鏇轉，我們可以更深刻地把握信號的頻率成分。 希爾伯特空間與傅裏葉分析： 調和分析的強大力量很大程度上源於其對函數空間的研究。本書將介紹希爾伯特空間的理論，特彆是 $L^2$ 空間的完備性，以及傅裏葉級數在 $L^2$ 空間上的完備正交基性質。這將為理解信號的正交分解和能量譜分析奠定基礎。 復幾何在傅裏葉分析中的體現： 復幾何的許多概念，例如復平麵上的點積、內積以及嚮量場的流，都可以被巧妙地映射到信號分析的範疇。例如，我們可以將信號視為復平麵上的一個軌跡，其在不同頻率下的“投影”則對應於其頻譜分量。共形映射的思想，盡管在直接AFT構建中不常直接齣現，但其保持角度不變的特性，啓發瞭我們對信號局部特性進行分析的思路。 傅裏葉變換的性質及其局限性： 我們將詳細梳理傅裏葉變換的綫性性、時移不變性、頻率移不變性、捲積定理等重要性質。同時，也將深入探討其在處理非平穩信號、局部化特性差的信號時的局限性，這正是AFT的切入點。例如，當信號的頻率隨時間發生變化時，傳統的傅裏葉變換會“模糊”這些瞬時頻率信息。 第二部分：自適應傅裏葉變換的核心原理 在夯實瞭數學基礎後，本書將正式引入自適應傅裏葉變換（AFT）的概念。AFT的核心在於其“自適應性”，即變換本身的設計能夠根據待分析信號的內在結構進行調整，從而實現更精確、更細緻的信號錶徵。 從固定基底到自適應基底： 傳統的傅裏葉變換使用一組固定的正交基（如正弦和餘弦函數）。AFT則打破瞭這一限製，它允許我們根據信號的特性，構建一套“定製”的、與信號局部特性相匹配的基底。 基於優化原則的基底構建： AFT的基底構建通常基於某種優化準則。例如，可以要求所選基底能夠最大化地“捕捉”信號的主要能量，或者最小化信號在基底上的殘差。這個過程可能涉及到迭代優化算法。 與短時傅裏葉變換（STFT）和Wigner-Ville分布的比較： 為瞭凸顯AFT的獨特性，本書將將其與一些經典的信號分析技術進行對比。 短時傅裏葉變換（STFT）： STFT通過引入一個窗函數，將信號分割成許多短段進行傅裏葉變換，從而獲得一定的時間-頻率局部化能力。然而，STFT的時間-頻率分辨率存在固定的權衡（海森堡不確定性原理），無法同時在高時間和高頻率分辨率之間取得最優。 Wigner-Ville分布（WVD）： WVD是一種二次型時頻分布，能夠提供更高的時頻分辨率，但其存在交叉項（cross-term）的問題，使得在多分量信號分析時會産生難以解釋的僞信號。 AFT旨在剋服STFT的固定分辨率限製，並可能在一定程度上避免WVD的交叉項問題，提供一種更清晰、更準確的時頻錶示。 AFT在復幾何中的體現： AFT的自適應基底構建過程，可以在復幾何的框架下進行更形象的理解。例如，將信號的局部特性映射到復平麵上的一個區域，然後根據該區域的幾何形狀和“麯率”來構建與之匹配的復指數基底。這種“幾何匹配”的思想是AFT的關鍵。 AFT的數學形式（示例）： 雖然具體的AFT算法可能多種多樣，但本書將介紹一些代錶性的數學形式，例如基於投影尋優的算法，或者基於稀疏錶示的框架。我們將詳細推導算法的步驟，並分析其收斂性。 第三部分：應用領域——信號分析的革新 自適應傅裏葉變換憑藉其強大的信號分析能力，在眾多領域展現齣巨大的應用潛力。本書將聚焦於幾個核心領域，深入探討AFT如何解決實際問題。 非平穩信號分析： 許多現實世界的信號，如語音、生物電信號（心電圖、腦電圖）、機械振動信號等，其頻率成分都隨時間發生變化。AFT能夠實時地跟蹤這些頻率變化，提供比STFT更精細的時頻分辨率，從而揭示信號的動態特性。 語音信號分析： AFT可以精確地捕捉語音信號的共振峰變化，為語音識彆、說話人識彆、語音閤成等應用提供更好的基礎。 生物信號分析： 分析腦電圖（EEG）和心電圖（ECG）中的瞬時頻率變化，有助於診斷神經係統疾病和心髒疾病。 調頻（FM）信號的精確解調： 調頻信號的瞬時頻率是其信息的載體。AFT能夠準確地估計調頻信號的瞬時頻率，實現高精度的解調，這在通信和雷達係統中至關重要。 瞬態信號檢測與識彆： 瞬態信號，如衝擊、脈衝等，其持續時間非常短，但攜帶重要信息。AFT能夠高精度地定位和錶徵這些瞬態信號，即使它們在噪聲背景下非常微弱。 故障診斷與健康監測： 在機械設備和工程結構中，異常的振動模式往往預示著潛在的故障。AFT可以有效地識彆這些微小的、隨時間變化的振動特徵，實現早期故障預警。 復幾何在信號錶徵中的應用： AFT的自適應基底構建過程，可以從復幾何的角度進行理解。例如，信號的局部性質可以用復平麵上的某個“幾何形狀”來描述，而AFT的基底則像是“精心雕刻”的幾何元素，能夠完美地“擬閤”這些形狀。這種幾何直覺有助於我們更深入地理解AFT的內在機製。 與其他先進信號處理技術的結閤： AFT可以與其他先進的信號處理技術，如小波變換、稀疏錶示、機器學習等相結閤，進一步提升信號分析的性能。例如，利用AFT提取的信號特徵作為機器學習模型的輸入，可以構建更強大的分類器或預測模型。 結論：AFT——連接數學理論與實際應用的橋梁 本書將通過嚴謹的數學推導、清晰的理論闡述以及豐富的實例分析，帶領讀者深入理解自適應傅裏葉變換的數學魅力和應用價值。AFT不僅僅是一種信號分析工具，更是一種深刻理解和錶徵復雜信號的新視角，它在復幾何、調和分析和信號分析之間架起瞭一座堅實的橋梁，為解決現實世界中的各種挑戰提供瞭強大的數學支撐。掌握AFT，意味著掌握瞭一套能夠洞察信號深層結構、揭示隱藏信息的高級數學方法。

評分☆☆☆☆☆

我一直對信號處理領域充滿好奇，特彆是那些能夠深入理解信號本質的數學工具。《自適應Fourier變換：一個貫穿復幾何，調和分析及信號分析的數學方法》這個書名一下就抓住瞭我的眼球，尤其是“復幾何”和“調和分析”這些詞匯，讓我感覺這本書不僅僅是停留在錶麵的信號處理技巧，而是會帶我進入一個更深邃的數學世界。我期待這本書能幫我理清傅立葉變換在不同數學分支中的聯係，比如它如何與復數的幾何錶示相結閤，又如何在調和分析的框架下得到更普適的解釋。我希望作者能夠清晰地講解自適應傅立葉變換的核心思想，特彆是它與傳統傅立葉變換在處理非平穩信號時的優勢，並且通過嚴謹的數學推導，展示其理論基礎的堅實性。我也好奇這本書會如何聯係到信號分析的實際應用，比如在圖像識彆、語音處理或者生物醫學信號分析中，自適應傅立葉變換的具體作用和價值。如果這本書能提供一些經典的例子或者算法的僞代碼，那就更好瞭，這樣我就可以嘗試著去理解和實現。總的來說，我希望這本書能成為我深入理解和掌握傅立葉變換及其在信號分析中強大應用的敲門磚，開啓我對這個領域更進一步的探索。

評分☆☆☆☆☆

這本書的題目——《自適應Fourier變換：一個貫穿復幾何，調和分析及信號分析的數學方法》——讓我感受到一種係統性和理論深度。我之前對傅立葉變換的理解主要停留在其時頻分析的能力上，而“復幾何”和“調和分析”這兩個詞匯，則預示著這本書將從一個更高維度的數學視角來審視這一工具。我非常期待書中能夠詳細講解復幾何如何為傅立葉變換提供直觀的幾何解釋，例如相位鏇轉、復數域的展開式等，以及這些幾何概念如何與信號的內在結構相呼應。調和分析部分，我希望能看到關於傅立葉級數和傅立葉積分的嚴謹數學推導，以及它們在不同函數空間中的性質，特彆是如何在調和分析的框架下理解和發展自適應傅立葉變換。對於“自適應”的理念，我希望書中能夠揭示其核心思想，即如何根據信號的局部特性動態地選擇分析的基函數或窗口，從而實現更精細、更準確的時頻分析。在信號分析的應用層麵，我期待看到這本書能展示自適應傅立葉變換在現代信號處理領域，如譜估計、去噪、特徵提取等方麵，所展現齣的強大威力，尤其是在處理復雜、非綫性和非平穩信號時，其相對於傳統方法的優越性。

評分☆☆☆☆☆

收到這本《自適應Fourier變換：一個貫穿復幾何，調和分析及信號分析的數學方法》真是讓我眼前一亮，書名本身就散發著一種學術的嚴謹和內容的深度。我尤其對“復幾何”這個角度很感興趣，因為我總覺得傅立葉變換背後隱藏著更豐富的幾何直觀，而我之前接觸的資料大多集中在代數推導上，很少能真正從幾何的視角去理解。我希望這本書能詳細闡述復數域中的幾何解釋，比如如何通過鏇轉、映射等幾何操作來理解傅立葉變換的原理。此外，“調和分析”更是我一直想深入學習的方嚮，這本書能夠將自適應傅立葉變換置於這個宏大的理論框架下，對我來說無疑是極大的吸引力。我期望書中能詳細講解調和分析中的一些核心概念，例如希爾伯特空間、傅立葉級數、傅立葉變換的積分錶示等，並清晰地展示自適應傅立葉變換如何在這之中找到自己的位置，以及它如何擴展或修正瞭這些經典理論。如果能有關於捲積、相關等基本操作在復幾何和調和分析中的推廣和應用，我會覺得收獲良多。這本書的厚度和給人的感覺，預示著它將是一本能讓我沉下心來，係統性地構建知識體係的讀物，而非淺嘗輒止的科普。

評分☆☆☆☆☆

《自適應Fourier變換：一個貫穿復幾何，調和分析及信號分析的數學方法》這個書名，給我一種“大道至簡”又“包羅萬象”的感覺。我一直對傅立葉變換的深層數學原理感到著迷，但很多時候覺得現有教材偏重於工程實現，對底層的數學邏輯介紹不夠清晰。這本書將“復幾何”和“調和分析”並列，讓我看到瞭一個更純粹、更數學化的角度來理解傅立葉變換。我希望書中能夠詳細地闡述復幾何的語言如何幫助我們理解傅立葉變換的本質，比如它如何與信號的相位、幅值産生聯係，以及在復平麵上的幾何意義。調和分析的部分，我期望能看到關於函數的傅立葉分析，以及其與泛函分析的關係，特彆是如何通過一些積分變換和算子理論來嚴謹地定義和研究傅立葉變換。自適應方麵，我希望能深入理解其“自適應”的原理，是基於信號的時頻局部特性，還是其他更復雜的模型？對於信號分析，我希望這本書能展示自適應傅立葉變換如何剋服傳統方法的不足，在處理瞬態信號、奇異點或者多尺度信號時展現齣獨特的優勢。如果有關於其在壓縮感知、模式識彆等現代信號處理技術中的應用，我會非常欣喜。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字《自適應Fourier變換：一個貫穿復幾何，調和分析及信號分析的數學方法》給我一種非常紮實和全麵的感覺。我一直覺得傅立葉變換是信號分析的基石，但傳統傅立葉變換在處理非平穩信號時存在局限性，而“自適應”二字正點齣瞭我一直以來尋找的突破口。我對書中如何具體闡述“自適應”的機製非常好奇，比如它是如何根據信號本身的特性來動態調整分析窗口或者基函數的。而且，將“復幾何”和“調和分析”作為貫穿的數學方法，這讓我看到瞭一個非常高級和係統性的視角。我希望書中能夠詳細介紹復幾何在構建傅立葉變換理論中的作用，是否涉及到一些群論或者更抽象的代數結構。同時，調和分析部分，我希望能夠深入理解其在信號分解、重構等方麵的強大能力，以及自適應傅立葉變換如何在此基礎上提供更精細、更靈活的分析工具。對於信號分析的應用，我期待看到更具體、更前沿的實例，例如如何利用自適應傅立葉變換來解決一些棘手的工程問題，或者在科研領域開闢新的研究方嚮。如果書中包含對不同自適應傅立葉變換算法的比較和分析，那就更具參考價值瞭。