中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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欧阳毅，申伊塃 编

图书标签:

• 数学
• 代数学
• 中国科学技术大学
• 数学丛书
• 高等教育
• 教材
• 基础
• 抽象代数
• 大学教材
• 理论数学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040459494

版次：1

商品编码：11979661

包装：平装

丛书名： 中国科学技术大学数学丛书

开本：16开

出版时间：2016-08-01

用纸：胶版纸

页数：127

字数：160000

正文语种：中文

内容简介

　　《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》是中国科学技术大学代数系列教材三部曲的**部，是“代数学基础”课程参考教材。《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》对群、环、域的定义和基本性质，循环群和对称群（置换群），整数理论，域和整数上的多项式理论等进行介绍，目的是为后续的线性代数、近世代数和数论（包括数论的应用）等众多课程提供基础。《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》在保留中国科学技术大学初等数论课程传统内容的基础上，增加了复数、韦达定理等高中忽视的内容，强调了等价关系这个大学数学教学难点，增加了群、环、域的基础知识特别是循环群的知识，对线性代数教学急需的置换的概念进行讨论。这样编写的目的，首先是让学生较早接触到群、环、域等抽象概念，尽早锻炼学生的抽象思维能力，为后续的近世代数课程降低难度。其次《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》统一使用代数的思想介绍整数和多项式的理论，希望同学们能够了解初等数论不是数学竞赛中高不可攀的一道道难题，而是在统一逻辑框架下的优美理论，它不仅在今后数学各方面学习中有很多用处，而且是数学在实际生活中应用的重要理论基石。
　　《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》可以作为“初等数论”和“近世代数”（或“抽象代数”）课程的参考书籍。《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》适用于高等院校数学和信息安全专业学生，以及其他对代数思想和方法感兴趣的学生和学者。

内页插图

目录

第一章 预备知识
1.1 集合与映射
1.1.1 集合的定义
1.1.2 集合的基本运算
1.1.3 一些常用的集合记号
1.1.4 映射，合成律和结合律
1.1.5 等价关系，等价类与分拆
1.2 求和与求积符号
1.3 复数
1.3.1 复数域的定义
1.3.2 复数的几何意义与复平面
习题
第二章 初识群、环、域
2.1 群
2.1.1 群的定义和例子
2.1.2 子群与直积
2.2 环与域
2.2.1.定义和例子
2.2.2 环的简单性质
2.2.3 多项式环
2.3 同态与同构
2.3.1 群的同态与同构
2.3.2 环的同态与同构
习题
第三章 整数理论
3.1 整除
3.1.1 带余除法
3.1.2 最大公因子
3.1.3 欧几里得算法
3.1.4 最小公倍数
3.2 素数与算术基本定理
习题
第四章 整数的同余理论
4.1 同余式
4.2 中国剩余定理
4.3 欧拉定理和费马小定理
4.4 模算术和应用
4.4.1 模算术
4.4.2 应用举例
习题
第五章 域上的多项式环
5.1 整除性理论
5.1.1 最大公因子
5.1.2 不可约多项式和因式分解
5.2 多项式零点和韦达定理
5.3 多项式同余理论
5.3.1 多项式的同余
5.3.2 中国剩余定理
5.3.3 低次多项式的不可约性
习题
第六章 群论基础
6.1 元素的阶和循环群
6.2 拉格朗日定理
6.2.1 陪集表示
6.2.2 陪集与正规子群
习题
第七章 对称群
7.1 置换及其表示
7.2 置换的奇偶性和交错群
7.2.1 奇置换与偶置换
7.2.2 交错群
习题
第八章 域Fp上的算术
8.1 乘法群(Z／mZ)x与Fx p的结构
8.1.1 乘法群的结构
8.1.2 原根的计算
8.1.3 高次同余方程求解
8.2 Fx p的平方元与二次剩余
8.3 二次互反律的证明和变例
习题
第九章 多项式(II)
9.1 整系数多项式环Z|x|
9.2 多元多项式
习题
参考文献
索引

前言/序言

　　代数方法和分析方法是数学研究中两种最基本的方法，也是大学数学专业学生数学教育的重点。中国科学技术大学创校伊始就受到华罗庚、王元、万哲先、曾肯成等前辈数论和代数大家的谆谆教导，代数和数论方面人才辈出。20世纪80年代以来，在冯克勤教授和李尚志教授等领导下，中国科学技术大学的代数教学水平一直维持在较高水平，培养的代数和数论人才受到国内外同行高度称许。科大之所以能够在代数教学方面取得较好成果，一方面原因是学生们受到严格的“线性代数”基础训练；另一方面科大一直坚持为数学系学生开设“初等数论”和“近世代数”基础课程，并在高年级和研究生阶段开设“群表示论”“交换代数”等课程，并配备有《整数与多项式》（冯克勤、余红兵编著），《近世代数引论》（冯克勤、李尚志、查建国、章璞编著），《群与代数表示论》（冯克勤、章璞、李尚志编著）等著名教材。
　　进入新世纪以来，新一代科大学生入学时的数学基础和20世纪八十、九十年代学生有较大区别。这里面一部分原因是高中新课标和高考指挥棒的影响，大部分学生在高中时代受到题海战术的锤炼，但独立探索和抽象思维能力受到压制。他们更早接触到微积分的思想，对于高考中出现的各种题型十分熟练.但在平面几何、因式分解和三角函数等方面的基本训练远不如以前，在数学证明和逻辑严格性方面的训练也不如以前。另一方面，这一代学生或多或少参加过数学竞赛，而其中最体现抽象思维能力的初等数论问题常常是他们最头疼的问题之一。当同学们在大一开始接触“初等数论”课程时，上述两方面的原因就让同学们对于课程学习产生畏难情绪。到大二开始学习“近世代数”课程时，扑面而来的抽象代数思想，特别是群论思想和方法更让不少学生感到无所适从。因此科大的代数教学在前些年受到比较严重的挑战。另一方面，我们的教材没有及时体现新时期学生的最新情况，需要得到及时更新。从教学本身来看，通过多年教学和科研实践，我们发现各代数课程之间的衔接以及对应教材之间衔接不是特别流畅（各数学核心课程的衔接亦是如此），在统一的框架下对代数课程教学和教材建设进行规划成为必要。
　　2011年，在编者的组织下，数学科学学院全体教授对于代数系列课程的教学大纲和教学内容进行了热烈讨论，《代数系列课程纲要》数易其稿，最终得到通过。我们对代数方面涉及的6门课程进行全面改革和优化。原来的“初等数论”课程由“代数学基础”课程替代，与“近世代数”“代数学”一起构成代数教学三门核心课程。它们由浅入深，目标是为数学学院学生奠定扎实的代数基础。基于课程改革的需要，我们当即着手对应的教材建设，计划在原来教材的基础上编写代数学三部系列教材：《代数学I代数学基础》，《代数学II近世代数》和《代数学III代数学进阶》。
　　本书即是代数学系列教材三部曲的第一部。我们在冯克勤教授和余红兵教授编著的教材《整数与多项式》基础上，参照Artin，Lang，Hungerford，Dummit-Foote等著名英文教材，对群、环、域的定义和基本性质，循环群和对称群，整数理论，多项式理论等进行介绍，目的是为后续的线性代数，近世代数和数论（包括数论的应用）等众多课程提供基础。我们在保留原来初等数论课程整数理论和多项式理论的基础上，增加了复数、韦达定理等高中忽视的内容，强调了等价关系这个大学数学教学难点，增加了群.环、域的基础知识特别是循环群的知识，对线性代数教学急需的置换的概念进行讨论。这样编写的目的，首先是让学生较早接触到群、环、域等抽象概念，尽早锻炼学生的抽象思维能力，为后续的近世代数课程降低难度。其次我们统一使用代数的思想介绍整数和多项式的理论，希望同学们能够了解初等数论不是数学竞赛中高不可攀的一道道难题，而是在统一逻辑框架下的优美理论，它不仅在今后数学各方面学习中有很多用处，而且是数学在实际生活中应用的重要理论基石。这也是我们将《初等数论》改名为《代数学基础》的原因。
　　本书分为九章。第一章为预备知识，总结了集合和映射等概念，特别对等价关系进行详细阐述，介绍了复数的基本性质，以及求和与求积符号等内容。此章内容实为数学各学科之基础，在此一并给出，应属必要。第二章引入了群、环、域的概念，包括同态、同构、正规子群和理想等概念，给出例子和简单性质。第三章和第四章是整数整除和同余理论的学习，包括算术基本定理和欧几里得算法，剩余类环的构造以及欧拉定理、费马小定理和中国剩余定理等著名定理。第五章则是域上多项式环的介绍，这里大部分结果是整数环理论的平行结果，另外则是多项式零点研究，并给出了根与系数关系的韦达定理。第六章是群论基础，介绍了元素的阶，循环群的基本性质，陪集和群论拉格朗日定理。第七章是对置换和对称群的介绍，包括置换奇偶性和交错群。第八章则是对元有限域乘法群的学习，包括原根和二次剩余的概念，以及二次互反律的证明。最后一章我们回到对多项式的学习，介绍了整系数多项式和对称多项式的性质。

好的，这是一份针对“中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础”之外的其他数学书籍的详细简介，力求内容详实、自然流畅，不包含原书信息。 --- 书籍名称：《拓扑学导论：从点集到流形》 丛书系列： 高等数学核心教材系列 作者： 李文华，张志明 出版社： 华夏高等教育出版社 页码/字数： 680页 / 约110万字 装帧形式： 精装，双色印刷 目标读者： 数学专业本科高年级学生、研究生，以及对几何和空间结构有浓厚兴趣的理工科研究人员。 --- 内容概述与核心价值 《拓扑学导论：从点集到流形》旨在系统、深入地介绍现代拓扑学的基本概念、核心理论及其在数学其他分支中的应用。本书超越了传统微积分课程中对几何的直观理解，将读者引入一个更加抽象、严谨的数学结构世界，即研究空间在连续形变下保持不变的性质。 本书的结构设计遵循“由浅入深，由具体到抽象”的原则，共分为四个主要部分，构建了一个完整的拓扑学学习路径。 第一部分：点集拓扑的基石 (Foundations of Point-Set Topology) 本部分是全书的逻辑起点，着重于建立必要的分析基础和严格的集合论语言。 预备知识回顾与强化： 详细回顾了集合论、函数、序关系、构造 $mathbb{R}^n$ 空间的必要分析背景。 拓扑空间的定义与基本概念： 引入拓扑空间（Topology Space）的严格定义，重点探讨开集、闭集、邻域、基与 $sigma$-基的概念。这部分详尽地分析了不同拓扑（如子空间拓扑、乘积拓扑、商拓扑）的构造方法及其性质。 连续性与同胚： 深入讨论拓扑空间之间的连续映射，并严格定义了同胚（Homeomorphism），这是拓扑学研究的核心等价关系。通过大量实例说明拓扑性质的保持与改变。 分离公理与紧致性： 详细讲解分离公理（如 $T_1, T_2$ 郝斯多夫空间）的重要性，并对紧致性（Compactness）进行全面阐述。特别对比了有限开覆盖定义和序列紧致性的等价性，并引入紧致集的推广——局部紧致性。 连通性与分离： 探讨连通空间（Connected Space）的性质，包括路径连通性。通过实例展示如何利用连通性证明某些拓扑属性的不可同胚性。 第二部分：代数拓扑的初步接触：基本群 (Introduction to Algebraic Topology: The Fundamental Group) 在建立了坚实的点集拓扑基础后，本书引入代数工具来区分不同的拓扑空间，标志着从描述性拓扑向计算性拓扑的过渡。 路径与同伦： 严格定义路径、路径群以及映射的同伦概念。这是理解基本群的物理直觉来源。 基本群的构造与性质： 详细介绍如何从一个基点构造基本群 $pi_1(X, x_0)$，证明其作为群的结构，并展示其对空间进行分类的能力。 覆盖空间理论简介： 作为基本群理论的重要应用，本章简要介绍了覆盖空间的定义，并探讨了基本群与覆盖空间之间的深刻联系（如提升定理）。 第三部分：更高级的拓扑结构：流形理论 (Advanced Topics: Manifold Theory) 第三部分将焦点从抽象空间转向具有局部欧几里得性质的空间——微分流形，为后续的微分几何和微分拓扑学打下基础。 $n$ 维流形的定义： 明确定义拓扑流形，包括图册、坐标卡、转移函数等概念。 嵌入与切空间初步： 讨论流形之间的连续映射和光滑映射，并初步引入切空间（Tangent Space）的概念，为后续的微分结构做铺垫，而不涉及复杂的微分形式计算。 曲面（2-流形）的分类： 集中分析二维可定向流形的分类定理，包括亏格、连通分支数和边界的代数拓扑意义。 第四部分：应用与拓展 (Applications and Extensions) 本部分旨在展示拓扑学的普适性和其实际应用价值。 函数空间与卷积： 探讨函数空间（如连续函数空间 $C(X)$）上的拓扑结构，并引入紧开收敛等重要概念。 应用实例： 结合实际问题，展示拓扑学在网络分析、数据降维（拓扑数据分析 TDA 的理论前身）中的应用潜力。 本书的教学特色 1. 严谨性与启发性的平衡： 本书在保持数学高度严谨性的同时，通过大量的几何直觉和图示来辅助理解复杂的抽象概念，避免了纯粹形式主义带来的晦涩感。 2. 丰富的习题体系： 每章末尾配备了分层练习题，包括基础巩固题、证明题和开放性探究题，帮助读者深入消化理论。 3. 历史背景与现代视野： 穿插了拓扑学发展史上的关键人物和思想，使学习过程更具人文色彩，并引导读者关注现代拓扑学的前沿方向。 本书力求成为一本经典的、能够帮助学习者建立起完备拓扑学知识体系的权威教材。阅读本书后，读者将能够熟练运用拓扑学的语言和工具，为深入研究代数拓扑、微分几何或几何分析打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本《代数学1：代数学基础》简直是我期待已久的宝藏！我是一名对数学充满好奇心的自学者，一直想系统地学习代数学，但市面上很多书籍要么太过于理论化，要么太过于应用导向，总感觉缺少一本能够让我从零开始，一步步构建起代数思维的书。《代数学1》恰好弥补了这一空白。书的开篇就以一种非常友好的方式介绍了群的概念，从一些简单的例子入手，让我这个初学者也能够迅速进入状态。作者的语言非常生动，而且没有过多的专业术语堆砌，即使是抽象的概念，也能被讲解得通俗易懂。我特别喜欢书中的一些“思考题”，它们不会直接给出答案，而是引导你去思考，去探索，这极大地激发了我的学习主动性。虽然我还没能完全掌握书中的所有内容，但已经能感受到这本书的深度和广度，它为我打开了一扇新的数学大门。我计划花更多的时间来钻研这本书，希望能够真正理解代数学的精髓，并且能够将所学知识应用到我感兴趣的数学领域。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，对我来说简直是及时雨。我是一名大二的数学专业学生，最近正在学习抽象代数这门课程，感觉非常吃力。我们老师讲课总是有点快，而且课本的例题又少，很多概念都模模糊糊的，我总是抓不住重点。偶然的机会，我听师兄推荐了这本《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》，说这本书写得非常清晰透彻，适合入门。拿到手后，我迫不及待地翻阅了一下，果然名不虚传！书中的概念讲解非常详细，而且循序渐进，从最简单的群论入手，然后逐步引申到环和域，每一步都解释得非常到位。我尤其喜欢书中的一些例子，它们都非常贴合概念，而且难度适中，能够帮助我更好地理解抽象的定义。我还注意到书中还穿插了一些历史背景的介绍，这让我觉得学习过程更加生动有趣，而不是枯燥的符号推导。我计划接下来的时间，会把这本书当作我学习抽象代数的主要参考书，希望能通过它，彻底打通我在这门课上的所有难点，并且能够真正领会到代数学的美妙之处。

评分☆☆☆☆☆

作为一名已经工作多年的科研人员，我一直对数学有着浓厚的兴趣，但碍于工作繁忙，一直没有机会系统地学习。近来，我开始重新拾起数学学习，希望能够巩固和拓展我的知识面。在众多数学书籍中，《代数学1：代数学基础》这本书吸引了我。它不仅是国内知名高校的教材，更重要的是，其内容涵盖了代数学的基础理论，这正是我所需要的。我花了些时间浏览了目录和部分章节，发现书中对群、环、域等基本概念的阐述非常严谨，而且逻辑清晰，易于理解。与我过去接触的一些国外教材相比，这本书在语言的表达上更加贴合国内读者的习惯，减少了翻译带来的理解障碍。我特别欣赏书中所包含的丰富的习题，这些习题不仅能够检验学习效果，更能引导读者进行更深入的思考。我相信，通过这本书的学习，我能够重新构建起扎实的代数基础，为我未来的科研工作提供更坚实的理论支撑。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师，引领我进入代数学的殿堂。

评分☆☆☆☆☆

终于拿到这本《代数学1：代数学基础》了，自从在网上看到它的介绍，就一直心痒痒，想着什么时候能捧在手里好好研究一下。这本书虽然厚重，但翻开来，那种知识的厚度和严谨的结构立刻就吸引住了我。我主要是在学完一些基础的微积分和线性代数后，想进一步深入理解数学的内在逻辑，感受那种从基本概念出发，一步步构建起宏大理论体系的魅力。《代数学1》正是满足了我这个需求，它从最根本的群、环、域这些概念讲起，娓娓道来，一点点揭示它们之间的联系和深刻的性质。虽然我还没来得及深入啃读每一页，但初步浏览下来，就感觉作者在这本书里倾注了大量的心血，无论是概念的引入，还是例题的选取，都显得十分用心。我尤其期待后面的章节，希望能看到更多关于同态、同构，以及不同代数结构之间的转换和联系的精彩阐述。这本书的装帧也很精美，纸张的质感和印刷的清晰度都堪称上乘，拿在手里就有一种想要认真学习的冲动。我相信，通过这本书的学习，我的数学思维一定会得到极大的提升，对代数学的理解也会更加深入和全面。

评分☆☆☆☆☆

收到《代数学1：代数学基础》这本书，我感到非常惊喜。这本书的编排和内容让我眼前一亮。作为一名喜欢钻研数学细节的学习者，我一直在寻找一本既有深度又不失清晰度的代数入门读物。这本书给我的感觉就是这样，它在概念的定义上非常严谨，丝毫没有含糊之处，但同时，作者又善于通过精妙的例证来辅助理解，这使得抽象的理论变得生动起来。我翻阅了关于“环”的章节，发现书中对理想、商环等概念的阐述非常到位，并且通过大量的例子展现了这些概念在不同数学结构中的具体表现。我特别欣赏书中对于定理证明的详细过程，这让我能够跟随着作者的思路，一步步理解证明的逻辑和技巧。这本书的排版也非常舒适，字体大小适中，段落清晰，阅读起来非常享受。我已经迫不及待地想要继续深入阅读下去，相信这本书一定能帮助我建立起对代数学的坚实理解，并且为我今后的学习和研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

非常好的教材，适合数学系的学生读一下。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

代数学检察院，新版的，中国科学技术大学编的，很好用

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