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内容简介

　　《混沌数学基础》主要从数学角度讲述混沌的概念、性质、基本理论与解析判定方法，《混沌数学基础》引入了Li-Yorke混沌与Devaney混沌概念并讨论其条件化简问题，证明了三角帐篷映射、蒙古包映射、符号空间上移位映射以及平面Smale马蹄映射等映射或系统的混沌性，给出了“周期三意味着混沌”的详细证明，证明了Devaney混沌与Li-Yorke混沌等在拓扑共轭下的不变性，讲述了拓扑熵及其与Li-Yorke混沌的关系等并展示了用Melinkov定理判别系统混沌性的方法。
　　《混沌数学基础》可作为从事混沌理论与应用研究人员的入门读物，也可作为相关专业的高年级本科生或研究生的教材。

内页插图

目录

前言
第1章 混沌简介与知识准备
1．1 混沌学的产生与混沌概念的引入
1．2 预备知识
1．3 两种基本混沌的条件简化
习题1

第2章 一维混沌映射
2．1 Bernoulli移位映射的混沌表现
2．2 三角帐篷映射与蒙古包映射的混沌性
2．3 Li-Yorke定理
习题2

第3章 抽象空间上的混沌
3．1 度量空间上的Li-Yorke混沌
3．2 符号空间上的移位映射
3．3 Smale马蹄映射
3．4 其他混沌及其混沌之间的关系
3．5 拓扑空间上的混沌
习题3

第4章 拓扑熵
4．1 Adler拓扑熵
4．2 Bowen拓扑熵的定义
4．3 两种拓扑熵的一致性
4．4 马蹄、拓扑熵与Li-Yorke混沌的关系
习题4

第5章 二维自治系统与Hamilton系统
5．1 二维自治系统的初等奇点
5．2 平面Hamilton系统
5．3 同宿点理论
习题5

第6章 混沌的微扰判据
6．1 Melnikov函数
6．2 Melnikov定理的应用
习题6
附录 点集拓扑基础
参考文献

前言/序言

　　对混沌现象的理论探索，自20世纪70年代掀起热潮以来，已历经了40多个年头，至今仍方兴未艾。混沌学作为一门新学科，其研究领域之深广、攻关气势之磅礴，影响着整个学术界，一大批不同学科、不同方向的专家和学者不断投入到混沌学的应用与理论研究中，取得了众多令人惊奇的成果，发表了数以万计的科学论文或著作，吸引着大量的科技工作者和青年学生积极投入。
　　本书是混沌理论学习与研究的入门之书，主要从数学的角度对混沌的数学基础展开讨论与探索，从不同方面给予混沌严格的数学定义，力求用最通俗的严格数学语言描述混沌的基本性质与基本特征，以此建立混沌的基本理论，其方法蕴含点集拓扑学、泛函分析与微分方程及其稳定性理论的一些技巧，根据作者多年来对研究生讲述这门课程的经验，读者只要有较为扎实的数学功底、平静的心态和足够的时间投入学习，就能读懂或者掌握书中的基本内容，因此，无须专门先修拓扑学、泛函分析等课程，关于这一点，我校（电子科技大学）通信、计算机、生命科学、经济与金融等专业的一些研究生没有学过拓扑学与泛函分析等数学专业课程，但他们在选修这门课程的学习中也取得了比较好的成绩，当然，数学专业的优秀本科生顺利地读懂和学好这门课程是不会有问题的。
　　全书共分为6章，第1章在简述混沌学的产生的同时，引入两种基本混沌（Li-Yorke混沌与Devaney混沌）的定义并且讨论两种基本混沌的条件化简问题.第2章重点讨论三角帐篷映射与蒙古包映射的混沌性，为了证明蒙古包映射的Li-Yorke混沌性给出了拓扑共轭这一重要概念，同时证明了在一般度量空间上Devaney混沌在拓扑共轭下的不变性.最后，给出了Li-Yorke定理（周期3意味着混沌）的详细证明，第3章主要介绍度量空间、特殊的度量空间（符号空间与Banach空间）的一些混沌及其性质特征，首先证明：紧度量空间上Li-Yorke混沌在拓扑共轭下的不变性；其次，介绍在混沌应用上非常广泛并且非常重要的符号空间上的移位映射，给出了该映射的Devaney混沌性与Li-Yorke混沌性的详细证明并且在平面上引入了Smale马蹄映射的概念，证明了该马蹄映射的Devaney混沌性。3.4节和3.5节主要是作者与自己的研究生们的部分结果，特别是吴新星博士和卢天秀博士在攻读博士学位期间的一些研究成果为本书丰富了不少内容。第4章主要讲述拓扑熵及其拓扑熵与Li-Yorke混沌的关系，第5章是第6章的预备知识。第6章介绍混沌的解析判别方法，展示如何用Melinkov定理判别系统的混沌性。
　　最后需要提及的是本书存在一些不尽如人意的地方，例如，3.4节的第二部分：拓扑空间上的Li-Yorke混沌，这部分写得不够令人满意。因为Li-Yorke混沌推广到满足第一可数性公理的拓扑空间时依赖于邻域基的选择，而任何第一可数的拓扑空间有很多不同的邻域基。因此，对于同一个系统来讲选取不同邻域基系统的混沌性是否受到影响？关于这一问题至今没有完满解决，将其没有很好解决的问题写到这里的目的是期盼后来的读者和学者们能够完满地解决这一问题。

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