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赵教练，李海龙 著

图书标签:

• 特殊函数
• 数学分析
• 高等数学
• 应用数学
• 工程数学
• 物理数学
• Gamma函数
• 贝塞尔函数
• Legendre函数
• 渐近分析

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030485199

版次：1

商品编码：12056291

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-06-01

用纸：胶版纸

页数：143

字数：192000

正文语种：中文

内容简介

　　《特殊函数论及其应用》介绍和总结了在数论和数学物理等学科中有重要应用的几类特殊函数，如Zeta函数、Gamma函数、超几何函数、椭圆函数等，主要分析和阐述在研究特殊函数时新的思想、方法和技巧，论证特殊函数的解析性质、特殊函数之间的内在联系、特殊函数的完全单调、模恒等式、渐近逼近、对数凸性等性质及其应用，获得了一些有趣的结果和应用。
　　《特殊函数论及其应用》可以作为特殊函数论的入门读物，也可供数学系、物理系的师生及工程技术研究人员参考。

内页插图

目录

前言
第1章 绪论
1．1 理论背景
1．2 国内外研究综述
1．3 结构导引
1．4 相关概念

第2章 预备知识
2．1 概要
2．2 复变函数基础知识
2．2．1 复数基本概念
2．2．2 Cauchy-Riemann方程
2．2．3 复积分基本概念
2．2．4 幂级数
2．2．5 Laurent展开式及留数
2．3 Jensen公式
2．4 部分分式分解
2．4．1 有理函数部分分式分解
2．4．2 余切函数的分解及应用

第3章 数论中的特殊函数
3．1 Plana求和公式及应用
3．2 Kubert函数及乘积公式
3．2．1 导引
3．2．2 相关结果
3．2．3 均值定理

第4章 超几何函数与椭圆Theta恒等式
4．1 R，amanujan三次椭圆函数论
4．1．1 -些经典椭圆函数论的基本性质
4．1．2 主要结论及证明
4．2 JacobiTheta恒等式及其应用
4．2．1 Ramanujan的模恒等式
4．2．2 Theta恒等式的推广和应用
4．2．3 平方和定理的新证明

第5章 Polygamma函数及q．模拟
5．1 Polygamma函数完全单调及应用
5．1．1 导引
5．1．2 改进及证明
5．2 Trigamma函数的完全单调性
5．2．1 导引
5．2．2 主要结论及证明
5．2．3 包含Polygamma函数的完全单调性推广
5．3 Polygamma的q一模拟及完全单调
5．3．1 Gamma的q一模拟及基本性质
5．3．2 导引
5．3．3 主要引理及证明
5．3．4 q-Polygamma的完全单调性

第6章 特殊函数的渐近逼近及不等式
6．1 Ramanujan Gamma双向逼近
6．1．1 导引
6．1．2 Ramanujan Gamma双向逼近的推广
6．1．3 已有结论的比较
6．2 Ramanujan问题与基本超越函数
6．2．1 引言
6．2．2 基本超越函数余项估计
6．2．3 与Becker-Stark的比较
6．3 Carlson不等式
6．3．1 导引
6．3．2 Carlson不等式改进与加强
6．3．3 两个推广
6．3．4 比较分析

第7章 多参量Gini均值
7．1 引言
7．2 概念和性质
7．3 主要结论及证明
7．3．1 Gini均值对数凸性的新证明
7．3．2 推广及性质
参考文献
附录 Polygamma完全单调的补充证明

前言/序言

　　特殊函数是指在数学和工程领域中非常重要的函数，一般地，作为数学研究的一个分支，特殊函数论（或称为超越函数论）是指实与复分析、数学物理、数论等学科中具有基础理论和重要应用价值的函数。特殊函数主要包括Gamma函数、Zeta函数、超几何与合流超几何函数、Weierstrass函数与Jacobi椭圆函数、Lame函数、正交多项式等。
　　本书主要介绍Gamma函数、超几何函数、椭圆函数和Zeta函数等几类经典特殊函数及它们之间的内在联系，特殊函数的完全单调、模恒等式、渐近逼近、对数凸性等性质及其应用。主要利用解析函数论、微分方程、凸函数理论等思想、方法和技巧，具体分析和研究了Plana求和公式、Kubert函数、Gauss超几何函数2F（a，b；c；z）、Polygamma函数及其q一模拟，Ramanujan Gamma函数、Gini均值及Jacobi椭圆函数等特殊函数的性质。作为应用，揭示了不同特殊函数之间的相互关系，给出了Hurwitz-LerchZeta函数的积分表达，改进了部分特殊函数渐近逼近的界，建立了一些新的有趣的性质和不等式，并且推广了已有的结果。这些结果有利于在理论上更深入地理解特殊函数的性质，并且便于在实践中更广泛地应用这些性质，丰富了特殊函数论的研究。
　　本书核心部分主要是Gamma函数和Zeta函数的相关结论，由于Gamma函数在特殊函数论中的基础重要性，几乎所有的特殊函数论的专著和教材都从Euler积分定义的Gamma函数开始。它具备丰富和优美的特性，在数学的许多分支以及物理、工程等学科中都起着不可或缺的重要作用。它的重要性和丰富性集聚了几个世纪以来最优秀的数学家的智慧，如Wallis（1616～1703）、Bernoulli（1700～1782）、Euler（1707～1783）、Goldbach（1690~1764）、Gauss（1777～1855）、Ramanujan（1887～1920）等。数学家的共同努力使得Gamma函数已经成为高度发展了的系统理论，而Riemann（函数更是数论中的核心课题。
　　本书的核心内容是两位作者近年来在数论和特殊函数研究中所获得的一些结果，全书力图体现朴素的思想、分析的技巧和新颖的角度这三者有机结合的思路。对于复杂的问题，从一些简单的情形出发，寻找规律；对于经典的研究对象，力求从崭新的角度去审视和分析。
　　本书的出版得到了渭南师范学院学术专著出版基金、第58批中国博士后基金（2015M582619）、陕西省教育厅专项基金项目（15JK1264）、特色学科和人才项目（14TSXK02，15ZRRC05）及国家自然科学基金项目（61402335）等的资助，作者在此一并表示衷心的感谢。
　　由于作者水平有限，书中难免存在不足之处，恳请专家学者批评指正。

数学史上的瑰宝：解析经典数学著作的深度与广度 献给严谨求知者的学术导航 目录： 引言：数学研究的基石与演进 第一部分：代数结构与数论的疆域 群论的精妙：对称性的逻辑架构 环与域的拓扑：代数几何的先声 数论的殿堂：从欧几里得到现代猜想 第二部分：分析学的宏伟蓝图 实分析与测度论：严谨性的基石 泛函分析的无限维度 调和分析：傅里叶的遗产与现代应用 第三部分：拓扑学与几何学的交织 拓扑空间的本质与分类 微分几何：流形上的计算 第四部分：概率论与随机过程的复杂性 测度论概率论的严格基础 随机过程的动态演化 结语：通往知识深处的阶梯 --- 引言：数学研究的基石与演进 本指南旨在为数学爱好者、研究生及专业研究人员提供一份详尽的、涵盖了二十世纪以来数学核心分支的参考书目导览。我们聚焦于那些奠定现代数学大厦的经典著作，这些书籍不仅是知识的载体，更是数学思想发展的里程碑。它们以其无与伦比的严谨性、清晰的逻辑结构和深刻的洞察力，引领着一代又一代的学者深入探索抽象世界的奥秘。我们所探讨的领域，从离散的代数结构到连续的分析空间，无不体现着数学家们对模式、结构与量化的不懈追求。这些著作的核心价值，在于它们系统性地梳理了某一学科从基本公理到前沿研究的全貌，是构建扎实理论基础的不可或缺的工具。 第一部分：代数结构与数论的疆域 群论的精妙：对称性的逻辑架构 对称性是自然界和人工构造中普遍存在的美学与结构原则，而群论正是描述这种对称性的完美语言。我们推荐的经典著作，着重于从基础的群定义出发，系统阐述子群、正规子群、商群的构建，并深入探讨同态与同构的深刻联系。重点章节会详尽分析有限群的结构定理，如西洛夫定理（Sylow Theorems）的证明及其在分类问题中的应用。更进一步，这些书籍将带领读者进入无限群的世界，介绍自由群、其表示论的初步概念，以及群作用在集合上的应用，尤其是在几何与组合学中的体现。对于学习者而言，理解如何通过群的性质来简化复杂的对称问题，是掌握现代物理学（如量子力学）和密码学基础的关键一步。 环与域的拓扑：代数几何的先声 环论和域论是代数几何和代数拓扑的语言基础。经典教材会严格定义这些代数结构，区分交换环与非交换环，并引入理想（Ideals）的概念，这是理解商结构的核心。关于域的理论，重点将放在域扩张（Field Extensions），伽罗瓦群（Galois Group）的构建及其与多项式根的深刻联系，这是对古典代数难题（如五次方程求解）的彻底解答。在这些著作中，读者可以清晰地看到，如何从简单的加减乘除规则，构建出可以处理几何对象的抽象框架。 数论的殿堂：从欧几里得到现代猜想 数论被誉为“数学女王”，其迷人之处在于其简洁的陈述与极高的研究难度。本领域的经典读物，必然始于欧几里得算法、同余关系（Modular Arithmetic）和中国剩余定理。随后，内容将转向更具挑战性的领域：解析数论，包括狄利克雷的素数定理的证明思想（尽管证明本身极度复杂），以及代数数论的基础，例如关于整环、唯一分解域的讨论，以及对费马大定理（在特定历史背景下）的初步探索。这些著作的价值在于，它们展示了如何用分析的工具去攻克离散的整数问题。 第二部分：分析学的宏伟蓝图 实分析与测度论：严谨性的基石 现代数学分析学的基石是建立在实分析和测度论之上的。区别于传统微积分的直观叙事，经典教材强调 $epsilon-delta$ 语言的彻底运用。测度论部分，将详细论述勒贝格测度（Lebesgue Measure）的构造，为何需要超越黎曼积分，并引入可测函数、勒贝格积分的收敛定理（如单调收敛定理和优控收敛定理）。这些工具是概率论、泛函分析乃至现代微分方程理论的不可或缺的前提。 泛函分析的无限维度 当我们将分析的对象从有限维欧几里得空间扩展到无限维函数空间时，泛函分析应运而生。推荐的文献会详尽介绍赋范向量空间、巴拿赫空间（Banach Spaces）和希尔伯特空间（Hilbert Spaces）。核心内容包括贝尔定理（Baire Category Theorem）、开映射定理（Open Mapping Theorem）和闭图像定理（Closed Graph Theorem）。此外，对算子理论的初步探讨，例如有界线性算子的性质及其谱理论的引入，也构成了这部分内容的关键。 调和分析：傅里叶的遗产与现代应用 调和分析是研究函数在“频率”域中表示的学问。从傅里叶级数和傅里叶变换的定义出发，教材将逐步过渡到更抽象的、基于局部紧群上的拓扑群的傅里叶分析。这需要对卷积操作有深刻理解，并展示其在偏微分方程（PDEs）求解中的强大威力。对傅里叶变换在 $L^p$ 空间上的性质的探讨，是理解信号处理和数学物理的重要桥梁。 第三部分：拓扑学与几何学的交织 拓扑空间的本质与分类 拓扑学研究的是空间在连续形变下保持不变的性质。经典入门读物从点集拓扑（General Topology）开始，定义开集、闭集、连续函数、紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）。这些抽象概念的引入，使得我们可以用统一的语言处理几何、分析和代数中的结构。进阶部分会探讨度量空间，并引出代数拓扑的序幕——同伦与同调群的直观意义，即用代数不变量来区分拓扑空间。 微分几何：流形上的计算 现代物理学和几何学的核心语言是微分几何，它将微积分建立在更广阔的、不依赖于坐标系的框架上。推荐的书籍将从曲线和曲面的概念入手，严格定义光滑流形（Smooth Manifolds）、切空间（Tangent Spaces）和向量场。张量场的概念及其在流形上的外微分（Exterior Differentiation）是关键工具，它们是广义相对论和现代拓扑场论的数学基础。 第四部分：概率论与随机过程的复杂性 测度论概率论的严格基础 现代概率论完全建立在测度论之上。要理解概率的严谨性，必须掌握勒贝格积分在概率空间上的应用。经典教材会详细阐述随机变量的定义、期望的精确计算，以及最重要的——大数定律和中心极限定理的严格证明。理解概率的“事件”是如何被建模为测度空间中的子集，是超越初级概率论的关键一步。 随机过程的动态演化 随机过程是描述随时间演化的随机现象的数学模型。入门级的随机过程课程会重点介绍马尔可夫链（Markov Chains）——无论是离散时间还是连续时间——及其稳态分布和遍历性。更深入的著作将探讨布朗运动（Brownian Motion）的构造、伊藤积分（Itô Calculus）的原理，这是金融数学和复杂系统建模的基石。 结语：通往知识深处的阶梯 以上所概述的数学领域，每一个都代表着人类智力在理解世界结构方面取得的重大飞跃。这些经典著作并非易读之物，它们要求读者具备坚实的预备知识和高度的抽象思维能力。然而，正是通过对这些严谨体系的系统学习，我们才能真正掌握现代科学和工程领域所依赖的那些最深层的、最可靠的数学工具。它们是探索未知的坚实阶梯，而非肤浅的知识概览。

评分☆☆☆☆☆

这本名为“高等数学（上册）”的著作，带给我一种穿越回严谨的古典数学课堂的感觉。它的叙事风格非常“欧式”，强调逻辑链条的完整性和定理的普适性。微积分部分，极限的ε-δ语言被放在了一个非常突出的位置，作者似乎认为对极限概念的深刻理解是后续所有内容的地基，这一点我非常认同。关于导数的应用，书中囊括了大量与物理学、工程学相关的例题，比如求物体运动的瞬时速度和加速度，对培养工科学生的直觉很有帮助。不过，其在“微分中值定理”部分的处理方式略显传统，如果能结合现代的优化问题或者数值逼近的视角来阐述，或许能更好地吸引对应用更感兴趣的读者。书本的插图不多，但每一个几何图形的绘制都恰到好处地服务于定理的证明，没有丝毫多余的装饰。整体而言，这是一部需要耐心啃读，但回报丰厚的入门级经典。

评分☆☆☆☆☆

我对“概率论与数理统计”这本书的评价是：结构严谨，但深度略显保守。它忠实地遵循了概率论的经典发展脉络，从概率的基本公理出发，逐步构建了离散型和连续型随机变量的框架。在数理统计部分，对参数估计（矩估计与极大似然估计）的介绍详尽无疑，推导过程清晰可见。然而，对于现代统计学越来越重视的非参数方法，如核密度估计或者蒙特卡洛模拟的介绍略显单薄，更像是一个脚注而非系统性的章节。对于希望通过本书直接过渡到机器学习中涉及的贝叶斯推断或马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法的读者来说，可能需要另寻高阶读物作为补充。我个人更喜欢它在“大数定律”和“中心极限定理”部分的讲解，作者用通俗易懂的语言描述了极限的意义，避免了纯粹的分析学证明带来的枯燥感。排版上采用了双栏设计，使得阅读节奏感较强，适合长时间的案头研读。

评分☆☆☆☆☆

这本关于“线性代数”的教材，内容组织得极为清晰流畅。作者似乎深谙初学者在接触矩阵运算和向量空间时的困惑，因此，开篇便用非常直观的几何解释引入了基、维数和线性变换这些核心概念。我尤其欣赏它对矩阵分解（如LU分解和QR分解）的阐述，没有直接堆砌复杂的公式，而是先通过大量的实例展示了这些分解在解决实际工程问题，比如最小二乘法拟合曲线时的威力。书中的习题设计也十分巧妙，前半部分侧重于基本运算的熟练度训练，而后半部分则巧妙地融入了数值稳定性和计算复杂度的讨论，这对于希望将理论应用于实际计算领域的读者来说，无疑是一笔宝贵的财富。装帧方面，纸张的质感非常好，即使用荧光笔重点标记，背面也很少出现洇墨现象，足见出版方对细节的把控。如果非要说有什么遗憾，也许是关于张量分析的介绍可以再深入一些，但考虑到它面向的是入门和进阶读者，目前的平衡点拿捏得相当到位了。总而言之，这是一本能让你真正理解“为什么”而不是仅仅“怎么做”的经典教材。

评分☆☆☆☆☆

关于这本“复变函数与积分变换”的学习体验，我必须赞扬其在介绍复分析的几何直觉方面所做的努力。作者并没有让读者仅仅沉溺于复数的代数运算，而是通过大量的复平面上的映射图景，生动地展示了共形映射的奇妙性质。留数定理的讲解是全书的亮点，它极大地简化了许多原本极其繁琐的实积分计算，作者通过不同极点类型的例子，将这一强大工具的应用范围展现得淋漓尽致。至于积分变换部分，对拉普拉斯变换和傅里叶变换的介绍侧重于它们在求解微分方程中的“操作流程”，对于变换的收敛域和逆变换的严格性讨论相对简略，这似乎是定位在“工程应用导向”的体现。装帧上，书本的开本较大，使得公式和图表得以充分展开，阅读时非常舒适，不会出现频繁拉伸视线的情况。这是一本非常实用的工具书，特别适合需要处理信号处理或控制系统问题的工程师们。

评分☆☆☆☆☆

我最近翻阅了一本关于“偏微分方程引论”的书籍，给我的印象是，它更像是一本面向研究生的综述性手册，而不是本科阶段的入门教材。作者的知识广度令人钦佩，不仅覆盖了热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程这三大经典方程的定性解法（如分离变量法），还深入探讨了弱解的概念以及能量守恒的原理。书中穿插了对Sobolev空间和分布理论的初步介绍，这对于希望从事波动现象或流体力学数值模拟的人来说，提供了坚实的理论基础。然而，对于初次接触 PDE 的读者，可能需要事先对傅里叶分析和常微分方程有非常扎实的掌握，否则会感到步履维艰。它的例题往往侧重于边界条件的复杂性分析，而非计算的巧妙性，这使得全书的难度曲线陡峭。如果要我推荐给谁，那一定是那些已经具备一定数学分析功底，并准备探索更深层次物理数学问题的进阶学习者。