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方法独特，讲解精辟；举一反三，学练结合；一线教学名师多年经验总结；告别题海战术，满分轻松得内容简介
本书源于全国卷网高考研究中心和全国名校名师多年教辅经验的沉淀与解法的提炼，针对全国卷高考数学高考导数内容应试场景和满分战略进行了深入研究与科学的梳理，侧重体现知识点的系统性与逻辑性以及为达到满分的知识扩充和解题标准.全书按照全国卷导数函数考题方向分为7章，覆盖了全国卷高考二次函数与高斯函数初步、函数的单调性极值与*值问题、应用导数研究函数的性质的问题、不等式恒成立与参数取值范围问题、函数零点与方程根的问题、高观点下的应用导数研究函数性质问题、函数子结论在不等式中的应用.本书部分例题和变式题讲解等配套资源请到全国卷网下载.本书适合高中二、三年级的学生学习使用，也可作为高中数学老师的参考用书.
作者简介
作者：李红庆李红庆 毕业于北京师范大学，30余年一线教学经验，海南华侨中学数学特级、正高级教师，海南省“有突出贡献优秀专家”，海口市“拔尖人才”“苏步青数学教育奖”获得者，海南师范大学硕士生导师，中学数学海口市青年骨干教师成长助推站和海南卓越工作室主持人。新课程改革高考数学方案五个论证专家之一（2006年），高考命题研究与解题专家。周韡
清华大学校友，北京大学光华管理学院MBA，中国数学会北京分会会员，中国教育学会会员，中国计算机学会会员，奥赛教练。曾受衡水中学、衡水二中、会宁二中等多所中学邀请讲学。现为全国卷网创始人，项目得到了清华大学经管学院XLAB和加速器四期培育。全国卷网由北大清华校友创办，是研究全国卷新高考的专业机构，并在网络上开辟了没有围墙的在线大学，也为900万考生提供高考和自招资讯和解决方案。
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目录
第1章二次函数、三次函数与高斯函数初步
1.1高斯函数［x］初步
1.1.1高斯函数［x］的定义与性质
1.2.1范例解析
1.2二次函数的性质总结和零点的分布
1.2.1内容概要
1.2.2范例解析
1.3三次方程的根（函数的零点）的判别式
1.3.1三次方程的求根公式与判别式
1.3.2三次方程有理根的求法与范例解析
1.4三次函数的性质
1.4.1三次函数的概念与性质
1.4.2范例解析
1.5高次方程及高次不等式的穿根法（根轴图）
1.5.1高次方程概要及高次不等式的穿根法简介
1.5.2范例解析
第2章导数的单调性、极值及*值问题
2.1表格法与穿根法（根轴图）解单调性
2.1.1表格法与穿根法（根轴图）解单调性概要
2.1.2范例解析
2.2极值、*值的参数讨论
2.2.1内容概要
2.2.2范例解析
2.3函数的切线、曲线相切问题
2.3.1内容概要
2.3.2范例解析
第3章应用导数研究函数的性质的题型问题
3.1探究充分性证明必要性问题的题型
3.1.1题型特征与解法逻辑性分析
3.1.2范例解析
3.2对称性迁移到非对称性问题的题型
3.2.1内容概要
3.2.2范例解析
3.3含参量的分类讨论问题的题型
3.3.1分类讨论要提纲挈领，要抓“纲”不抓“目”
3.3.2范例解析
第4章求不等式恒成立、存在性成立的参数范围
4.1恒成立、存在性成立逻辑概貌
4.1.1恰成立、恒成立、存在性成立逻辑剖析
4.1.2范例解析
4.2参数分离变量型
4.2.1内容概要
4.2.2范例解析
4.3不分离变量型
4.3.1内容概貌
4.3.2范例解析
第5章函数零点与方程的根的相关问题
5.1函数的零点定理与介值定理
5.1.1内容概貌
5.1.2范例解析
5.2函数零点方程根与其他问题交汇
5.2.1内容概要
5.2.2范例解析
5.3数学思想方法杂谈
5.3.1内容概貌
5.3.2范例解析
第6章函数子结论在不等式问题中的应用
6.1指数、对数函数的常见结论
6.1.1内容概貌
6.1.2范例解析
6.2构造函数解决不等式或数列问题
6.2.1内容概要
6.2.2范例解析
6.3生活中的优化问题
6.3.1内容概貌
6.3.2范例解析
第7章重要的定理、性质、法则简介与应用
7.1重要的定理、性质、法则简介
7.2范例解析
精彩书摘
第3章应用导数研究函数的性质的题型问题
应用导数研究函数的性质常见的题型首当其冲是探究充分性证明必要性问题，国家考试中心给予的解答，表面上看是分类讨论，其实质是先探求充分性，再应用逆否命题的等价性证明必要性，这类题型一般不能应用分离参变量，因为分离了参变量，无法求到新函数的*值，借助洛比达法则能碰到*值，但必须同时具备两个支撑条件： 新函数的单调性和极限的保号性定理，新函数的单调性也是无法解决的.其次对称性迁移到非对称性问题，函数的非对称性问题必须应用导数才能解决问题，全部是由对称性迁移出来的问题.应用基本函数图像模型走势图，进行分类讨论问题.当然这些问题在解答题中是穿插交错在其中，很难判定是什么题型，在具体选择背景方面，围绕姊妹不等式ex≥x+1，ln（x+1）≤x及其变式，f（x）=ex-e-x-2x，三次多项式函数及可化为三次多项式函数进行命题.
3.1探究充分性证明必要性问题的题型
3.1.1题型特征与解法逻辑性分析
例说题型： 函数f（x）=ex-1-x-ax2.若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.
使用洛比达法则解题的无赖之举： ax2≤ex-1-x，若x=0时，得a∈R； 若x＞0时，a≤ex-1-xx2，设g（x）=ex-1-xx2，根据洛比达法则limx→0g（x）=limx→0ex-12x=limx→0ex2=12，判断g（x）=ex-1-xx2的单调性，因为g′（x）=ex（x-1）+x+2x3，无法判断y=g（x）的单调性.
探究充分性证明必要性逻辑性剖析：
*步,探究充分性，f′（x）=ex-1-2ax≥（x+1）-1-2ax=（1-2a）x，当1-2a≥0，即a≤12时，当x≥0时，f′（x）≥0，所以f（x）在［0，+∞）上递增，因此，当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，所以a≤12是“对�衳≥0，f（x）≥0均成立”的充分条件；
第二步,证明必要性，先给予条件命名:
命题p： a≤12;
命题q： 对�衳≥0，f（x）≥0均成立;
命题 ?瘙 綈 p： a＞12;
命题 ?瘙 綈 q： �鰔0≥0，f（x）≥0不恒成立，即f（x0）＜0.必要性应该是q�輕，但具体解题中基本上做不到，改为其等价命题 ?瘙 綈 p�� ?瘙 綈 q.
当a＞12时，f′（x）=ex-1-2ax，令h（x）=f′（x），且h（0）=0，则h′（x）=ex-2a=0，得x=ln（2a）＞0，当x∈（0，ln（2a））时，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，ln（2a））上递减，当0＜x＜ln（2a）时，h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，ln（2a））上递减，因此�鰔0∈（0，ln（2a）），fx0＜f（0）=0，所以a≤12也是“对�衳≥0，f（x）≥0均成立”的必要条件.
综上所述，a的取值范围是-∞，12.
3.1.2范例解析
例1（2011年高考第二问）已知函数f（x）=lnxx+1+1x，如果x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnxx-1+kx，求k的取值范围.
【分析】方法上： *步探究充分性，第二步证明必要性； 把超越不等式转化整式不等式，具体用到姊妹不等式ex≥x+1和ln（x+1）≤x及其变式，如1-1x≤lnx≤x-1.
由f（x）＞lnxx-1+kx可化为F（x）=-2lnxx2-1+1-kx=2xlnx+（k-1）（x2-1）（1-x2）x
（x＞0，且x≠1），设h（x）=2xlnx+（k-1）（x2-1），“当x＞0，且x≠1时，F（x）＞0”等价于“当0＜x＜1时，h（x）＞0”和“当x＞1时，h（x）＜0”，又注意到h1x=-1x2h（x）（x＞0，x≠1），因此，命题“当0＜x＜1时，h（x）＞0”等价于命题“当x＞1时，h（x）＜0”.
当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnxx-1+kx，设F（x）=2xlnx+（k-1）（x2-1）（1-x2）x，“当x＞0，且x≠1时，F（x）＞0”等价于“当0＜x＜1时，h（x）＞0”.
（1） （探求充分性）
h′（x）=2lnx+2+2（k-1）x＜2（x-1）+2+2（k-1）x=2kx，当0＜x＜1时，当k≤0时，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上递减，且h（1）=0，当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，
所以“k≤0”是“�衳∈（0，1），h（x）＞0恒成立”的充分条件； 下面证明必要性：
图3��1
（2） 若0＜k＜1时，h′（x）=2lnx+2+2（k-1）x，令φ（x）=h′（x），h′（1）=2k，φ′（x）=2（k-1）x+2x=0，得x=11-k∈（1，+∞），画出y=φ′（x）的根轴图（见图3��1），当x∈1，11-k时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在1，11-k递增，当x∈1，11-k时，φ（x）＞φ（1）=2k＞0，即当x∈1，11-k时，h′（x）＞0，则h（x）在1，11-k上递增，存在x0∈1，11-k，使得h（x0）＞h（1）=0，即存在1＜1x0＜1-k，使得h1x0=-1x20h（x0）＜0，因此，对�衳∈（0，1）时，h（x）＞0不恒成立；
（3） 若k≥1时，当0＜x＜1时，h（x）=2xlnx+（k-1）（x2-1）＜（k-1）（x2-1）＜0，因此，对�衳∈（0，1）时，h（x）＞0不恒成立，由（2）、（3）知，k≤0也是“�衳∈（0，1），h（x）＞0恒成立”的必要条件，
综上所述： k的取值范围是（-∞，0］.
评注：
题是“盘”活的，去分母，移项变形是解题首先要考虑的问题，题解时需要三思，触类旁通，主动增强命题，研讨解题机理.
变式1（全国卷网原创题）设函数f（x）=cosx-1+mx2（m∈R，x∈R）.
（1） 当m=12时，讨论f（x）的单调性；
（2） 若当x≥0时，f（x）≥0，求m的取值范围.
变式2（全国卷网原创题）设函数f（x）=m（x+1）2-ex+1+x+2（m∈R）.
（1） 当m=0时，求证： x∈R时，f（x）≤0；
（2） 若当x≤-1时，f（x）≥0，求m的取值范围.
变式3（全国卷网原创题）函数设g（x）=（x+1）ln（x+1）-x+（a+1）x2+16x3（a∈R），f（x）=ln（x+1）-x+12x2.
（1） 求函数f（x）的单调性；
（2） 若当x≥0，g(x)≥0，求a的取值范围.
例2已知函数f（x）=xmx+1+e-x-1（m∈R）.
（1） 当m=0时，讨论f（x）的单调性；
（2） 若当x≥0时，f（x）≥0，求m的取值范围.
（1） 得到e-x≥-x+1供（2）用，解（略）.
（2） 由f（x）=xmx+1+e-x-1，得（mx+1）f（x）=x+（e-x-1）（mx+1），设g（x）=（mx+1）f（x），即g（x）=x+（e-x-1）（mx+1），g′（x）=1-m+e-x（m-mx-1），且g′（0）=0，设h（x）=g′（x），h′（x）=e-x（mx+1-2m），考虑到h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，则mx+1＞0
e-x（mx+1-2m）≥0在［0，+∞）上恒成立，得0≤m≤12.
① 当0≤m≤12时，当x≥0时，g′（x）≥0，所以g（x）在［0，+∞）上递增，且g（0）=0，所以任意x≥0，f（x）≥f（0）=0.
因此，0≤m≤12是“任意x≥0，f（x）≥0都成立”的充分条件；
② 当m＞12时，f（x）与g（x）符号相同，g′（x）=1-m+e-x（m-mx-1），设h（x）=g′（x），h′（x）=e-x（mx+1-2m）=0，得x=2-1m＞0，当x∈0，2-1m时，h′（x）＜0，所以h（x）在0，2-1m上递减，因此，当x∈0，2-1m时，h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0，所以�鰔∈0，2-1m，使得g（x）＜g（0）=0；
③ 当m＜0时，�鰔＞-1m，f（x）=xmx+1+e-x-1≤xmx+1＜0.
由②③知，0≤m≤12也是“任意x≥0，f（x）≥0都成立”的必要条件，
综上所述： m的取值范围是0，12.
变式1（2016年全国卷网原创题）设函数f（x）=ln（x+1）+ae-x-a（a∈R）.
（1） 当a=1时，证明： f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2） 若当x∈［0，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围.
变式2（2014年全国卷21）已知函数f（x）=ex-e-x-2x.
（1） 讨论f（x）的单调性；
（2） 设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的*大值.
变式3设函数f（x）=ln（x-1）+2ax（a∈R）.
（1） 求函数f（x）的单调性；
（2） 若当x＞1，且x≠2时，ln（x-1）x-2＞ax，求a的取值范围.
例3已知函数f（x）=cosxsinx-2.
（1） 求f（x）的单调性；
（2） 若当x≥-π2时，f（x）≥mx+π2，求m的取值范围.
（1） f（x）的定义域为（-∞，+∞），f′（x）=2sinx-1（sinx-2）2，令f′（x）=0，得x=π6+2kπ（k∈Z）或x=5π6+2kπ（k∈Z），当x∈-76π+2kπ，π6+2kπ（k∈Z）时，f′（x）＜0； 当x∈π6+2kπ，5π6+2kπ（k∈Z）时，f′（x）＞0，因此，f（x）的递减区间是-76π+2kπ，π6+2kπ（k∈Z）； 递增区间是π6+2kπ，5π6+2kπ（k∈Z）.
（2） 令g（x）=mx+π2-f（x），则g′（x）=m-2sinx-1（sinx-2）2=m+22-sinx-3（2-sinx）2，
即g′（x）=-312-sinx-132+m+13.
① 若m+13≤0，即m≤-13时，g′（x）≤0，g（x）在-π2，+∞上递减，且g-π2=0，所以当x≥-π2时，g（x）≤g-π2=0，即f（x）≥mx+π2（充分性）；
② 若-13＜m＜0时，再令h（x）=cosx+3mx+π2，且x∈-π2，0，则h′（x）=-sinx+3m=0，得sinx=3m∈（-1，0），即�鰔0∈-π2，0，使得sinx0=3m，所以，当x∈-π2，x0时，h′（x）＞0，所以h（x）在-π2，x0上递增，因此，当x∈-π2，x0时，h（x）＞h-π2=0，即cosx＞-3mx+π2，于是
f（x）=cosxsinx-2≤cosx-3＜mcosx=msinx+π2≤mx+π2，故对任意x≥-π2，f（x）≥m
x+π2不恒成立；
③ 若m≥0时，�鰔=0，使得f（0）=-12＜m·0+π2，所以对任意x≥-π2，f（x）≥mx+π2不恒成立.
由②③知，必要性得证.
综上所述： m的取值范围是-∞，-13.
变式1（全国卷网原创题）设函数f（x）=m（x2-2x）-（x-1）ln（x-1）（m∈R）.
（1） 当m=1时，求f（x）的单调区间；
（2） 若当x≥2，f（x）≥0，求m的取值范围.
变式2
已知函数f（x）=
x+1x，x≠0，
0，x=0，
则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解的充要条件是（）.
A. b＜-2且c＞0B. b＞-2且c＜0
C. b＜-2且c=0D. b≥-2且c=0
变式3
已知f（x）=1+x1-xe-ax，若对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1，求a的取值范围.
例4
（湖南省东部六校2016届高三联考）已知函数f（x）=ex，g（x）=mx+n.
（1） 设h（x）=f（x）-g（x）.
① 若函数h（x）的图像在x=0处的切线过点（1，0）.求m+n的值；
② 当n=0时，若函数h（x）在（-1，+∞）上没有零点，求m的取值范围.
（2） 设函数r（x）=1f（x）+nxg（x），且n=4m（m＞0），求证： 当x≥0时，r（x）≥1.
解
（1） ① 由题意，得h′（x）=ex-m，
所以函数h（x）的图像在x=0处的切线斜率k=1-m.
又h（0）=1-n，所以函数h（x）的图像在x=0处的切线方程为y-（1-n）=（1-m）x，
将点（1，0）代入，得m+n=2.
② 当n=0时，可得h′（x）=（ex-mx）′=ex-m，因为x＞-1，所以ex＞1e，
（i） 当m≤1e时，h′（x）=ex-m＞0，函数h（x）在（-1，+∞）上单调递增，而h（0）=1.
所以只需h（-1）=1e+m≥0，解得m≥-1e，从而-1e≤m≤1e；
（ii） 当m＞1e时，由h′（x）=ex-m=0，解得x=lnm∈（-1，+∞），
当x∈（-1，lnm）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减； 当x∈（lnm，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增.
所以函数h（x）在（-1，+∞）上有*小值h（lnm）=m-mlnm.
所以只需m-mlnm＞0，解得m＜e，所以1e＜m＜e.
综上所述，-1e≤m＜e.
（2） 由题意，r（x）=1f（x）+nxg（x）=1ex+nmxx+nm=1ex+4xx+4.
而r（x）=1ex+4xx+4≥1等价于
ex（3x-4）+x+4≥0.
令F（x）=ex（3x-4）+x+4.
则F（0）=0，且F′（x）=ex（3x-1）+1，F′（0）=0.
令G（x）=F′（x），则G′（x）=ex（3x+2）.
因为x≥0，所以G′（x）＞0，
所以导数F′（x）在［0，+∞）上单调递增，于是F′（x）≥
F′（0）=0.
从而函数F（x）在［0，+∞）上单调递增，即F（x）≥F（0）=0.
例5
已经函数f（x）=ex-ax-1（a∈R）.
（1） 求函数f（x）的单调区间；
（2） 若g（x）=ln（ex-1）-lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围.
前言/序言
本书源于全国卷网高考研究中心和全国名校名师多年教辅经验的沉淀与解法的提炼，针对全国卷高考数学高考导数内容应试场景和满分战略进行了深入研究与科学的梳理，侧重体现知识点的系统性与逻辑性以及为达到满分的知识扩充和解题标准.全书按照全国卷导数函数考题方向分为7章，覆盖了全国卷高考二次函数与高斯函数初步、函数的单调性极值与*值问题、应用导数研究函数的性质的问题、不等式恒成立与参数取值范围问题、函数零点与方程根的问题、高观点下的应用导数研究函数性质问题、函数子结论在不等式中的应用.
书中内容参考多位一线名校名师著作，相当多的内容是作者团队实践积累的研究成果，比如导数的数形结合思想及二级子结论的运用，参数的讨论等应用.针对全国卷的高考题型及特点，作者力求探索简洁、高效、容易掌握的普适方法.让考试满分不再成为学子的一个梦想，希望能对广大学子、教研工作者和一线教师提供帮助.
书中内容针对全国卷历年真题和模拟试题精选，配合互联网技术，真实还原考试场景下达到满分所具备的高考知识和学科素养.全国卷高考数学满分教程分导数、解析几何等分册，针对全卷*难的解答题梳理了二级子结论和知识扩展，应用出题人的思想，高屋建瓴.本书参考了大量著作和论文，并和全国卷命题人探讨精编，从大量题海中提炼了解题方法和技巧，更快更好地梳理全国卷命题走势并预测未来.
第1章二次函数、三次函数与高斯函数初步： 二次函数三次函数是高考试题中应用导数研究函数的性质中常用到的基本函数，试题中出现往往都把它们与其他函数复合而成，高斯函数主要是体现与分段函数的联系上，数学竞赛试题中常考查它的性质.
第2章函数的单调性极值及*值问题： 应用导数研究函数的性质，指应用导数研究函数的单调性，函数的极值、*值也是依赖于对函数的单调性的研究.
第3章应用导数研究函数的性质的题型问题： 应用导数研究函数的性质常见的题型首当其冲是探究充分性证明必要性问题，本章主要围绕该种证明题，应用分离参变量或者借助洛比达法则进行证明.
第4章求不等式恒成立、存在性成立的参数范围： 这种题是逻辑性命题，根据具体的题目的构造，常选择转化成*值问题，参数与自变量关系换位置，分离参变量等方法.
第5章函数零点与方程的根的相关问题： 讲解了函数的零点、方程的根、两函数图像的交点问题.
第6章函数子结论在不等式问题中的应用： 介绍了应用导数把超越不等式转化为整式不等式或分式不等式.
第7章重要的定理、性质、法则简介及应用： 根据高考的命题特点，需要介绍高等数学中几个重要的定理、性质和法则.包括拉格朗日(Lagrange)中值定理，凸函数(或凹函数）的性质和琴生（Jensen）不等式.
本书知识框架和例题讲解具有代表性，所有变式题和习题以及*新的扩展题在全国卷网（百度搜索全国卷网）网校都有讲解，供给读者使用.
本书得到海南华侨中学特级教师、正高级教师李红庆老师的中国教育学会“十二五”规定课题《素质教育目标下学生个性塑造、特长培养策略研究》（课题立项号： 21050065）和2015年海南省教育科学重点课题《互联网+高中数学几何探究性实验研究》（立项号gjz1251507）研究成果支持.
本书的视频讲解为收费课程，放于全国卷网站.本书的完成有赖于一支高度负责的团队，各位编委都花了大量时间精心编写各自分工的内容.然而，编者虽倾心倾力，但终究水平有限，书中若有不妥之处，恳请广大读者批评指正！
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