泛函分析基礎 epub pdf mobi txt 電子書 下載 2024

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內容簡介

　　《泛函分析基礎》主要論述泛函分析的基本內容及其在分析及逼近論中的應用。全書共分為五大部分，依次論述度量空間、賦範空間、內積空間、賦範空間中的基本定理及有界綫性算子的譜論。《泛函分析基礎》可以作為綜閤性大學工科各專業學生以及沒有修過實變函數的理科各專業學生學習泛函分析的教材，也可以作為數學係學生學習泛函分析時的參考書。

內頁插圖

目錄

第1章 度量空間
1．1 度量空間的定義及例子
1．2 開集和閉集
1．3 收斂性、完備性及緊性
1．4 Banach不動點定理及其應用
習題1

第2章 賦範空間
2．1 綫性空間和維數
2．2 賦範空間和Banach空間
2．3 有限維賦範空間
2．4 有界綫性算子
2．5 有界綫性泛函及其錶示
習題2

第3章 內積空間和Hilbert空間
3．1 內積空間
3．2 正交補及正交投影
3．3 標準正交集與標準正交基
3．4 Hilbert空間上有界綫性泛函的錶示
習題3

第4章 賦範空間中的基本定理
4．1 Hahn-Banach定理
4．2 一緻有界性原理
4．3 強收斂與弱收斂
4．4 開映射定理和閉圖像定理
4．5 在逼近論中的應用
習題4

第5章 綫性算子的譜論
5．1 基本概念及例子
5．2 緊算子的譜論
5．3 自伴算子的譜論
習題5

附錄1 半序集和Zorn引理
附錄2 集閤的勢與可數集
索引

前言/序言

　　泛函分析是數學的一個抽象分支，它起源於經典分析。人們在研究各種實際數學問題時發現，雖然他們研究的對象不同，有時可能是序列，有時可能是函數，有時可能是歐氏空問中的點，但他們研究這些問題的方法和技巧本質上是一樣的。人們根據這個事實，通過對問題的提煉，而獲得瞭解決這些問題有效而統一的途徑，形成瞭一套綜閤應用代數、分析和幾何的理論，這就是泛函分析的起源。泛函分析與數學的幾乎所有學科均有內在的聯係，在微分方程的現代理論、調和分析、隨機過程與隨機分析學、計算數學、生物數學以及經濟數學等數學分支中有著十分重要的應用。泛函分析在規劃與優化、電子信息、控製論、自動化及管理學等方麵也有著十分重要的應用，這也是越來越多的大學對工科學生開設泛函分析這門課程的原因。
　　本書是針對工科各專業學生和沒有修過實變函數的數學係學生講授的泛函分析教材。考慮到工科學生一般僅僅掌握高等數學的基本內容，對於較深的數學內容（如拓撲、Lebesgue積分及集閤論）所知甚少，我們在本書的編寫過程中力圖避開應用這些較深的數學內容。考慮到工科學生的數學基礎，我們盡量將所編內容細化，在證明的推導過程中盡力給齣詳細過程。隻要瞭解高等數學基本內容的學生就可以不費力地讀懂此書，從而掌握泛函分析的基本內容及其在實際中的應用技巧。我們希望學生們通過對詳細推導過程的閱讀和理解，不光可以掌握泛函分析的基本內容和應用技巧，也可以同時提高他們的抽象邏輯思維能力。這對他們以後在學習和工作中掌握更加深入的數學知識是十分必要的。
　　本書涵蓋瞭泛函分析的基本內容。第1章討論度量空間，這是全書的基礎。在這一部分中，將給齣度量空間的基本例子，研究度量空間的基本性質，包括開集、閉集、內部、閉包、稠密性、序列的收斂性、可分性、完備性、緊性、映射的連續性等，在這一部分裏還將介紹著名的Banach不動點定理，它在數學的許多分支均有重要的應用。第2章講授賦範空間的基本內容，包括綫性空間的維數、Hamel基、綫性算子、綫性泛函以及綫性泛甬的錶示等。第3章研究內積空間，主要內容包括。Hilbert空間的正交投影、正交分解、標準正交基以及Hilberl空間上有界綫性泛函的錶示等。第4章是本書的核心內容，將建立賦範空間中的四大基本定理，即Hahn-Banach定理、一緻有界性原理、開映射定理和閉圖像定理，在這一章裏還將給齣這些基本定理的幾個應用。第5章主要討論有界綫性算子的譜論，首先給齣譜論的一般理論，然後研究緊算子的譜論及自伴算子的譜論。
　　由於工科學生更加注重泛函分析的應用，我們在每個重要理論之後力圖多給一些此類抽象理論的具體應用。這些應用包括Banach不動點定理在求解綫性方程組、微分方程初值問題解的局部存在性、求解函數積分方程及隱函數存在定理方麵的應用。在第4章的最後一節，給齣瞭泛函分析在逼近論中的幾個應用，包括Chebysbev多項式、最小二乘法及三階樣條函數等。另外在第4章還給齣瞭一緻有界性原理在周期函數傅裏葉級數收斂性、序列的可求和性以及求數值積分等方麵的幾個典型應用。為瞭使所講授的主要內容緊湊些，將與集閤的半序性及勢的概念與基本性質安排在附錄中，以便於讀者自己補充這方麵的知識。
　　本書是作者在清華大學多年講授針對工科研究生的基礎泛函分析這門課程的講義基礎上形成的。在本書的撰寫過程中，得到瞭不少專傢、同事及這門課程助教們的支持和幫助，作者藉此機會一並嚮他們錶示衷心的感謝。對於書中的疏漏之處，也請讀者給予批評指正。

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