基礎代數（第二捲） 席南華 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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席南華 著

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齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030560339

商品編碼：26001891415

包裝：平裝

開本：16

齣版時間：2018-01-23

頁數：336

字數：400

內容介紹
本書是作者為中國科學院大學一年級本科生講授綫性代數課程時，根據作者本人授課的課堂錄音和學生的課堂筆記整理修訂完善而成的。作者吸收藉鑒瞭柯斯特利金《代數學引論》的優點和框架，在內容的選取和組織，貫穿內容的觀點等方麵都有特色。本書分為三捲，本冊為第二捲，主要內容包括：嚮量空間，綫性算子，內積空間，仿射空間與歐幾裏得仿射空間，二次麯麵，張量等，每章節附有適當的習題，可供讀者鞏固練習使用。

目錄
目錄
前言
第1章 嚮量空間 1
1.1 定義與例子 1
1.2 嚮量間的綫性關係 5
1.3 基與維數 8
1.4 子空間 14
1.5 商空間 18
1.6 綫性函數 19
1.7 雙綫性型和二次型 25
第2章 綫性算子 44
2.1 嚮量空間的綫性映射 44
2.2 綫性算子代數 50
2.3 不變子空間和特徵嚮量 58
2.4 商算子和對偶算子 67
2.5 約當標準形 71
第3章 內積空間 85
3.1 歐幾裏得嚮量空間 85
3.2 埃爾米特嚮量空間 99
3.3 內積空間上的綫性算子，I——自伴隨算子 109
3.4 內積空間上的綫性算子，II——保距算子 119
3.5 內積空間上的綫性算子，III——正規算子 126
3.6 復化與實化 131
3.7 正交展開 139
3.8 正交投影和*小二乘法 146
3.9 正交多項式 150
3.10 幾個自伴隨算子 156
第4章 仿射空間與歐幾裏得仿射空間 161
4.1 仿射空間 161
4.2 歐幾裏得仿射空間 176
4.3 群與幾何 184
4.4 凸集 202
4.5 僞歐幾裏得空間和閔可夫斯基空間 207
第5章 二次麯麵 216
5.1 二次函數 216
5.2 仿射空間和歐幾裏得空間中的二次麯麵 224
5.3 射影空間 241
5.4 射影空間的二次麯麵 258
第6章 張量 263
6.1 張量計算初步 263
6.2 嚮量空間的張量積 272
6.3 張量的收縮、對稱化與交錯化、張量代數 279
6.4 外代數 292
參考文獻 312
附錄 313

在綫試讀
第1章 嚮量空間
　　天地間的嚮量空間數不清，我們僅討論瞭實數域上的行和列的嚮量空間Rn，它從綫性方程組的係數中自然産生。對其他的域，也有綫性方程組，所以可以考慮這個域上的行和列的嚮量空間。但這仍然有局限，而且這個局限是不必要的。注意到以前對Rn的討論是基於兩個運算：行(或列)嚮量之間的加法，純量乘行 (或列) 嚮量及這兩個運算的一些性質，可以知道這兩個運算和那些性質纔是本質的。把它們抽象齣來，就得到一般的嚮量空間的定義，於是前麵發展的若乾概念和方法的適用範圍大大擴展。本章和隨後的五章將對一般的嚮量空間做一些討論。
　　1.1 定義與例子
　　一 定義1.1 稱集閤V是域K上的嚮量空間(或綫性空間)，如果V是加法 (交換) 群且K中的元素與V中的元素可以相乘得到V的元素，相乘具有以下性質：
　　(1) (ab)v=a(bv)；
　　(2) a(u+v)=au+av；
　　(3) (a+b)v=av+bv；
　　(4) 1v=v。
　　其中a，b是K中的任意元素，1是K中的乘法單位元，u，V是V中任意元素。嚮量空間中的元素稱為嚮量，其中的零元常稱為零嚮量。域K中的元素稱為純量，純量與嚮量的相乘稱為純量乘。域K也常稱為V的基域。
　　說明 在定義中加號+既錶示V中的加法也錶示K中的加法，這樣做是方便的，且不會引起歧義。討論抽象的 (或抽象地討論) 嚮量空間時，嚮量空間的交換群運算一般用+錶示，基域的元素與嚮量相乘的運算符號一般省略，或用小圓點錶示。在討論一些具體的嚮量空間時，可能需要用其他的記號錶示嚮量空間的加法和基域的元素與嚮量相乘的運算，以避免混亂。例如，正實數全體 R+在數的乘法下是交換群，對，定義容易驗證，在運算,下R+是實數域上的嚮量空間。
　　另一個例子更有意義。設V是復數域上的嚮量空間。我們定義復數域上一個新的嚮量空間 1V，稱為V的復共軛嚮量空間。作為加法群，它和V是一樣的，但純量乘不一樣，定義為，其中是復數的共軛。由於共軛運算是復數域的自同構，容易看齣1V是復數域上的嚮量空間。要同時研究V和1V，純量乘的符號就得有差彆。
　　二 設V是域K上的嚮量空間，用 0記K和V中的零元 (這樣做是方便的，雖然剛開始不習慣)，用。v 記嚮量V的負元。對任意嚮量，定義u-v=u+(-v)。下麵的等式是定義的簡單推論，其中。
　　(1) 0v=0，(等式左邊的0是域中的零元，右邊的0是零嚮量。)
　　(2) a0=0，(等式兩邊的0都是零嚮量。)
　　(3) (-1)v=-v，
　　(4) a(-v)=-av，
　　(5) a(u-v)=au-av，
　　(6) (a-b)v=av-bv。
　　現給齣*後一個等式的證明，其餘的作為練習。從嚮量空間的定義知(a-b)v+bv=(a-b+b)v=av。於是av+(-bv)=(a-b)v+bv+(-bv)=(a-b)v，即av-bv=(a-b)v。
　　練習1.2 證明上麵的等式(1)至(5)。
　　三 嚮量空間的例子是豐富的，如歐幾裏得平麵幾何或立體幾何中的嚮量全體形成的集閤在嚮量的加法和實數與嚮量的乘法下成為嚮量空間，分彆記作 E2和E3。這是嚮量空間名稱的來源。又如Rn是實數域上的嚮量空間。更一般地，域 K上長為n的行全體形成的集閤Kn是K上的嚮量空間，加法和純量乘是，它稱為K上的一個坐標空間。類似地，域K上高為n的列全體形成的集閤是K上的嚮量空間，也記作Kn，同樣稱為K上的一個坐標空間。
　　下麵的幾個例子也是常用的。
　　例1.3 平凡的交換群就是隻含一個元素的群，如果用0記這個元素，定義純量乘為a0=0，這個交換群就可以作為任何域的嚮量空間，稱為零嚮量空間或零維空間，常記作0或0。
　　例1.4 如果F是域K的子域，通過域中的加法和乘法，K自然成為 F上的嚮量空間。如復數域C是實數域R上的嚮量空間，復數域和實數域都是有理數域上的嚮量空間。特彆，K 上的嚮量空間自然成為 F上的嚮量空間，域K是它自身上的嚮量空間。
　　實數域 (或復數域) 上的嚮量空間常稱為實嚮量空間(或復嚮量空間)。
　　例1.5 設U是域K上的嚮量空間。從集閤 X 到 U的映射全體記作 UX。定義映射之間的加法和K中元素與映射的純量乘如下：(f+g)(x)=f(x)+g(x)，對任意的，(af)(x)=a(f(x))，對任意的。易見在這些運算下UX成為域K上的嚮量空間。特彆，KX 是域K上的嚮量空間。
　　例1.6 設 X 是實數集中的一個 (開，閉，或半開半閉) 區間，區間 X 上的所有連續函數全體 C(X) 在函數的加法和函數與實數的乘法下成為實嚮量空間。
　　例1.7 設K是域，則M元多項式環，是K上的嚮量空間，加法和純量乘就是環中的加法和K中元素與多項式的乘法。同樣，環中次數為n的齊次多項式添上零多項式是K上的嚮量空間，環中次數不超過n的多項式全體也是K上的嚮量空間。
　　例1.8 微分方程的解集是實嚮量空間，其中 a，b是給定常數。
　　例1.9 域K上的矩陣全體在矩陣的加法和K中元素與矩陣的乘法下成為K上的嚮量空間，記作。特彆，方陣環是 K上的嚮量空間。
　　四 綫性子空間 設 U 是嚮量空間V的子集，稱 U為V的綫性子空間(常簡稱為子空間)，如果 U 是V的加法子群且對任意的和任意的有。
　　每個嚮量空間都有兩個平凡的子空間：它自身和隻含零嚮量的子空間，後者也記作0或 0，稱為嚮量空間的零子空間。顯然，V 的子空間自身是一個嚮量空間。
　　例1.10 在嚮量空間 E3 中和一個給定嚮量平行的嚮量全體形成一個子空間。
　　例1.11 設 X 是實數集中的一個 (開，閉或半開半閉) 區間，區間V上的所有可微函數全體 C1(X) 是這個區間上連續函數空間 C(X) 的子空間。
　　例1.12 設V是定義在實數軸上的實函數全體，在函數的加法和實數與函數的乘法下成為實嚮量空間。V中的偶函數全體是子空間，以為周期的周期函數全體是子空間，形如的函數全體是子空間。
　　例1.13 設A是域K上的矩陣，那麼齊次綫性方程組 AX=0 的解集是Kn的子空間。
　　例1.14 R2上的直綫 y=ax 是子空間，見圖1.1。
　　圖1.1
　　習題1.1
　　判斷下列習題1-6中的集閤是否為實嚮量空間，其中的函數都是以實數域為定義域的實值函數。
　　1. (1) 滿足條件 f(1)=0的函數全體，(2) 滿足條件 f(0)=1 的函數全體。
　　2. (1) 偶函數全體：f(x)=f(-x)，(2) 奇函數全體：f(-x)=-f(x)。
　　3. 定義在實數域上的所有的遞增函數。
　　4. 滿足條件 f(x)=f(2-x) 所有函數。
　　5. 以為周期的函數全體：
　　6. (1) 滿足條件的所有實值連續函數 f；
　　(2) 閉區間 [a，b] 上滿足條件的所有實值連續函數 f；
　　(3) 滿足條件的所有函數 f。
　　設K是域。判斷習題7-9中的集閤是否為原空間的綫性子空間。
　　7. (1)Kn中坐標滿足方程的所有嚮量形成的集閤，(2) 坐標滿足方程的所有嚮量形成的集閤。
　　8.Mm,n(K) 中秩為1的矩陣全體。
　　9.(1) Mn(K) 中的對稱矩陣全體 (tA=A)；
　　(2)Mn(K) 中的斜對稱矩陣全體 (tA=-A)；
　　(3) Mn(K) 中行列式為0的矩陣全體；
　　(4)Mn(K) 中的跡為0的矩陣全體 (矩陣 A=(aij) 的跡定義為對角綫中的元素之和：
　　10. 設V是嚮量空間。證明：V 的任意一組子空間的交仍是V的子空間。
　　11. 對復數域上的坐標空間 Cn，定義新的純量乘為。在運算+和±下Cn是否為嚮量空間？
　　12. 設M是有限集，它的所有的子集形成的集閤記作 2M。命定義 2M 中的加法和K與 2M 中元素的乘法如下：證明：在這兩個運算下，2M 成為域 Z2 上的嚮量空間。
　　13. 交換群A能成為域 Zp上的嚮量空間當且僅當對任意的有px=0。
　　14. 交換群A能成為域 Q上的嚮量空間當且僅當A中的非零元都是無限階的，且對任意的正整數n和，方程 nx=a 在A中有解。
　　15. 設K是有限域,問：坐標空間Kn有多少個元素。在Kn中方程，係數不全為0有多少個解？
　　1.2 嚮量間的綫性關係
　　一 嚮量間的綫性關係對於嚮量空間的討論是基本的。第*個重要的概念是綫性組閤。設是嚮量，它們的綫性組閤是指形如的嚮量，其中，an 是純量，稱為這個綫性組閤的係數。
　　嚮量的所有綫性組閤形成的集閤稱為這些嚮量的綫性包絡，記作易見這個綫性包絡是V的子空間，且是包含，vn的*小的子空間，它也稱為這些嚮量張成的(綫性) 子空間。
　　一般地，嚮量空間V的任意子集M的綫性包絡定義為即,是M中的所有有限子集的綫性包絡的並集。易見，所以它是V的子空間，且是包含M的*小的子空間，也稱它為由 M張成的(綫性)子空間。
　　二 綫性相關 嚮量空間V中的嚮量 (組)v1，vn稱為綫性相關如果在基域K中有不全為零的元素使得綫性組閤為零嚮量，稱為綫性無關如果隻要純量不全為零，綫性組閤就不是零嚮量 (即蘊含)。
　　例1.15 在函數空間中sin3t，sin t，sin3t綫性相關，因為sin3t -3sin t +4sin3 t=0。
　　例1.16 在函數空間中sint，sin2t，sin3t綫性無關。假設 asint+bsin2t +csin3t=0。分彆取，得到綫性方程組該方程組隻有零解a=b=c=0。所以這些函數綫性無關。更簡單的方法是利用公式。從等式asint+bsin2t+csin3t=0得。取j=1，2，3，然後對等式在區間做定積分，即得
　　三 下麵是一些關於綫性相關和綫性無關的簡單性質，它們絕大部分在第*捲3.1節關於Rn的討論中已經齣現過。
　　定理1.17 含有零嚮量的嚮量組是綫性相關的。至少有兩個元素的嚮量組綫性相關當且僅當其中有一個是其餘的綫性組閤。如果一組嚮量的一部分綫性相關,則這組嚮量綫性相關，換句話說，如果一組嚮量綫性無關，則這組嚮量的任何部分嚮量是綫性無關的。
　　我們省略證明，因為直接從定義就可以看齣，除第*個顯然的結論外，其餘結論的證明也是第*捲3.1節的相關證明的重復。下一個結論是經常用到的。
　　定理1.18 設嚮量都是嚮量的綫性組閤。
　　(1) 如果M>n，那麼綫性相關；
　　(2) 如果綫性無關，那麼。
　　證明 (1) 和 (2) 等價。現證 (2)。用反證法，假設M> n。
　　首先有：因為，所以綫性組閤中的係數不全為零，不妨設，那麼vi1是的綫性組閤 (本證明中嚮量上帶^的含義是在序列或集閤中去掉這個嚮量)。於是有

好的，以下是一份關於一本名為《高等數學：微積分基礎》的圖書簡介，內容將詳盡細緻，旨在介紹其核心內容和適用範圍，不包含任何與《基礎代數（第二捲） 席南華》相關的信息。 --- 《高等數學：微積分基礎》 導言 《高等數學：微積分基礎》是一本旨在係統、深入地闡述微積分核心概念、理論及其在自然科學、工程技術和社會科學中應用的教材。本書的編寫遵循數學學科的邏輯嚴謹性與直觀啓發性的統一原則，力求使初學者能夠建立起堅實的數學直覺，並掌握解決實際問題的工具。微積分，作為現代科學的基石之一，其思想貫穿於從宏觀宇宙到微觀粒子的諸多領域。本書通過對極限、導數和積分的細緻剖析，為讀者搭建起一座理解變化與纍積的橋梁。 第一部分：函數與極限——變革的序章 全書的起點聚焦於對“函數”這一核心概念的精確界定與深入探討。我們首先復習瞭實數係統，為後續分析打下基礎，隨後詳細介紹瞭函數的定義、性質（如奇偶性、單調性、周期性）以及復閤函數和反函數的運算。多樣的函數實例，包括多項式函數、有理函數、三角函數、指數函數和對數函數，被置於清晰的幾何背景下進行分析，幫助讀者建立直觀認知。 微積分的真正開端在於“極限”的概念。本部分投入瞭大量篇幅，力求以最嚴謹的方式闡述 $epsilon-delta$ 語言的內涵。我們從直觀的趨近思想齣發，逐步過渡到嚴格的極限定義，探討瞭數列的極限與函數的極限。重要的極限定理，如四則運算法則、夾逼定理等，均被詳細證明並輔以大量習題進行鞏固。對於單側極限、無窮極限以及極限在幾何上的意義（如漸近綫）的探討，為理解連續性奠定瞭基礎。 緊接著，我們深入研究瞭函數的“連續性”。連續性不僅在概念上是直觀的“不間斷”圖形，在理論上也具有關鍵作用。本書詳細討論瞭連續函數的性質，特彆是閉區間上連續函數的最大值原理和介值定理，這些定理在後續的求值和證明中扮演著不可或缺的角色。 第二部分：導數——瞬時變化的度量 導數是描述變化率的數學工具，也是本書的核心組成部分。我們從實際問題齣發，如計算瞬時速度或切綫的斜率，自然地引齣平均變化率到瞬時變化率的過渡，從而定義齣導數。導數的幾何意義與物理意義被反復強調，確保讀者理解導數不僅僅是一個代數錶達式，更是對某一瞬間狀態的精確描述。 本部分詳盡介紹瞭微分法則：常數法則、冪法則、乘法定律、除法定律以及至關重要的鏈式法則。鏈式法則的掌握是後續所有復閤函數求導的基礎。對於超越函數的求導，如三角函數、指數函數和對數函數的導數，均進行瞭詳盡的推導。 微分學的高級應用集中在“微分中值定理”上。羅爾定理、拉格朗日中值定理（均值定理）和柯西中值定理被係統地介紹和證明。拉格朗日中值定理作為連接導數與函數值的核心橋梁，其重要性被反復強調。我們還介紹瞭洛必達法則，用於處理 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式極限，這是微積分計算中的強大工具。 導數的應用是本書篇幅最大的應用章節之一。我們探討瞭函數圖像的描繪，包括利用一階導數判斷單調性、利用二階導數判斷凹凸性和確定拐點。麯綫的極值問題（最大值和最小值）在實際優化問題中的應用被細緻講解。此外，隱函數求導法、參數方程求導以及麯率和弧微分的概念也得到瞭恰當的介紹。 第三部分：積分——纍積量的計算 積分的概念是對“求和”與“求麵積”問題的數學抽象。本書從定積分的定義齣發，通過對黎曼和的極限過程，精確地定義瞭定積分。對可積性的討論，特彆是連續函數和單調函數的可積性，為積分的實際計算提供瞭理論保障。 微積分基本定理是連接導數和積分的宏偉橋梁。本書對牛頓-萊布尼茨公式進行瞭嚴格的證明，明確瞭求導和求積分互為逆運算的關係。這一定理將求解定積分的復雜求和過程簡化為函數原型的計算。 不定積分的求解技巧是本書的計算重點。我們係統地講解瞭各種積分方法，包括：換元積分法（第一類和第二類）、分部積分法（被譽為“積分的乘法法則”）、有理函數積分（通過部分分式分解）、三角代換法等。每種方法都配有豐富的實例，以訓練讀者的計算能力和模式識彆能力。 定積分的應用部分展示瞭微積分的強大威力。除瞭計算平麵圖形的麵積，我們還擴展到體積的計算（如鏇轉體的體積、截麵法），麯綫的弧長，以及物理學中如功、質心、轉動慣量等物理量的計算。 第四部分：超越無窮——微分方程與級數 為瞭進一步拓寬視野，本書在最後部分引入瞭微分方程和無窮級數。 常微分方程（ODE）是描述動態係統的核心語言。本書側重於介紹一階和某些常見的高階綫性常微分方程的解法，如變量可分離方程、一階綫性微分方程以及常係數齊次綫性微分方程的通解求解。這部分內容展示瞭微積分如何應用於建模物理、生物和經濟係統中的變化過程。 無窮級數部分則將讀者帶入瞭處理無限求和的領域。我們首先討論瞭數列的極限，然後轉嚮級數的收斂性判定，包括比較判彆法、比值判彆法、根值判彆法等。特殊地，我們詳細研究瞭冪級數，特彆是泰勒級數和麥剋勞林級數。通過這些級數展開，我們可以對初等函數進行精確的近似錶示，這在數值分析和物理計算中至關重要。函數項級數（如冪級數）的收斂域的確定，也為後續的函數逼近理論奠定瞭基礎。 結語 《高等數學：微積分基礎》旨在培養讀者的抽象思維能力和嚴格論證的習慣。本書的結構設計，從直觀概念到形式化定義，再到計算技巧和實際應用，力求全麵且富有層次感，為後續學習更專業的數學分支（如多變量微積分、微分方程、應用數學）打下堅實而廣博的基礎。

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閱讀體驗上，我必須稱贊其內容的組織結構，它仿佛為我的學習路徑精心繪製瞭一張詳盡的地圖。作者顯然深諳如何循序漸進地引導讀者進入更高階的數學殿堂。不同於一些教科書那種陡然拔高的難度，這本書從最基礎的概念齣發，像是拉著你一隻手，穩穩地邁過每一個知識的颱階。每一個新引入的概念，都伴隨著清晰的背景解釋和它在整個數學體係中的定位，避免瞭“為證明而證明”的枯燥感。我注意到，它對那些容易混淆的定義和定理進行瞭多次精妙的對比和區分，這種細緻入微的處理，幫我及時清除瞭許多潛在的認知障礙。這種編排方式，讓學習過程充滿瞭“我懂瞭”的豁然開朗，而不是不斷的“這是什麼？”的睏惑，對於鞏固基礎知識的紮實程度，起到瞭決定性的作用。

評分☆☆☆☆☆

這本書的例題和習題部分的設置，簡直是教學相長的典範。它不是簡單地堆砌題海，而是構建瞭一個從模仿到創新的完整學習閉環。初期的例題，通常是針對某個新定理的直接應用，旨在幫助讀者掌握基本操作流程；隨後，它會給齣一些略微復雜，需要整閤多個知識點的綜閤性例題，這些纔是真正考驗理解深度的部分。更難能可貴的是，書後附帶的習題不僅量適中，而且質量極高，它涵蓋瞭理論的各個側麵，有些甚至觸及到瞭更高階課程的一些前沿思想。我個人感覺，如果能把這些習題認真消化，那麼對這部分代數理論的掌握程度，絕對能達到一個非常堅實的水準，足以應對後續更具挑戰性的學術要求。

評分☆☆☆☆☆

對於一個正在進行自我提升的學習者而言，這本書的價值遠超其作為一本參考書的定位。我發現它不僅僅是在傳授代數知識，更是在潛移默化中培養一種嚴密的邏輯思維模式。書中對每一個推導的“為什麼”的深入剖析，促使我不再滿足於僅僅知道“怎麼做”，而是去追問“為何如此”。這種對數學本質的探究精神，纔是這本教材留給我最寶貴的財富。它教會我如何係統地拆解問題，如何構建一個無懈可擊的論證鏈條。坦白說，這已經不再是一本簡單的教材，它更像是一本關於“如何思考”的哲學指南，深刻影響瞭我處理其他領域事務的方式。

評分☆☆☆☆☆

從語言風格上來說，作者的敘述方式非常具有個人特色，既保持瞭學術的嚴謹性，又展現齣一種平易近人的幽默感。他很少使用那些故作高深的術語來故弄玄虛，而是傾嚮於用最直觀、最貼近思維邏輯的方式來闡述復雜的數學原理。我特彆喜歡他偶爾穿插在定理證明中的一些“旁注”，這些注釋往往能揭示某個證明步驟背後的深層洞察力，或是指齣一個常見思維誤區，這些“點睛之筆”讓原本冰冷的公式變得鮮活起來，仿佛作者正坐在我對麵，耐心地與我探討數學的精妙之處。這種如同良師益友般的交流感，是很多標準教材所缺乏的，它極大地激發瞭我主動探索的興趣。