变分法与偏微分方程 刘宪高编著 （科学版）研究生教学丛书 偏微分方程研究泛函分析 数学类 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

刘宪高 编

图书标签:

• 变分法
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 数学
• 研究生
• 教学
• 科学版
• 刘宪高
• 偏微分方程研究
• 数值分析

店铺： 途创图书专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030494689

商品编码：26862548460

丛书名： 变分法与偏微分方程

开本：16开

出版时间：2016-08-01

基本信息

书名:变分法与偏微分方程

定价：49.00元

作者:刘宪高

出版社：

出版日期：2016-12-01

ISBN：9787030494689

字数：20

页码：

版次：31

装帧：平装

开本：B5

商品重量：

目录

 

 

前言
引言

第1章 函数空间
1．1 连续与Holder连续空间
1．2 Lp空间
1．3 Sobolev空间
1．4 Capacity
1．5 BMO空间

第2章 经典方法
2．1 Euler-Lagrange方程
2．2 泛函的二阶变分
2．3 Jacobi场
2．4 Hamilton-Jacobi方程
2．5 Noether定理
2．6 条件极值

第3章 直接方法
3．1 下半连续性
3．2 补偿紧
3．3 集中紧性原理
3．4 Ekeland变分原理
3．5 Nehari技巧

第4章 极小曲面
4．1 R3中的曲面理论和测地线
4．2 Douglas-Courant-Tonelli方法

第5章 等周不等式
5．1 R2中的等周不等式
5．2 Rn中的等周不等式

参考文献
索引

内容提要

 

《研究生教学丛书：变分法与偏微分方程（科学版）》在Sobolev空间框架下，介绍了积分泛函极小问题的现代偏微分方程的理论，内容括Sobolev函数空间及各种性质；经典变分方法：一阶变分、二阶变分、极小点存在的充分和必要条件、条件极值的Lagrange乘子法等；变分法的直接方法：下半连续性、补偿紧性、集中紧性、Ekeland变分、Nehari技巧等；三维欧氏空间极小曲面的Douglas方法和等周不等式的证明.
《研究生教学丛书：变分法与偏微分方程（科学版）》是学习偏微分方程和从事偏微分方程研究的基础课程，建立了从一个本科高年级学生跨入现代偏微分方程领域的知识桥梁，《研究生教学丛书：变分法与偏微分方程（科学版）》可作为理工类专业研究生的教材和高年级本科生的选修课教材，也可供相关的科学技术人员参考，

好的，以下是一本不包含“变分法与偏微分方程 刘宪高编著（科学版）研究生教学丛书 偏微分方程研究泛函分析 数学类”的图书简介，内容详尽且避免明显的AI痕迹。 --- 图书名称：《深入探索：现代拓扑学基础与应用》 作者： 张伟 出版社： 卓越学林出版社 出版年份： 2023年 图书简介： 本书旨在为数学、物理学、计算机科学及工程学领域的研究生和高年级本科生提供一套全面而深入的拓扑学导论。在传统的数学训练中，拓扑学常被视为一个相对抽象的分支，然而，它的核心思想——研究空间在连续形变下保持不变的性质——早已渗透到现代科学的诸多前沿领域。本书正是立足于此，力图将理论的严谨性与实际应用的关联性紧密结合。 本书的结构设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，首先奠定坚实的集合论和一般拓扑学基础，随后逐步过渡到代数拓扑学的核心概念，并辅以丰富的实例和现代视角。 第一部分：一般拓扑学基础 本部分首先回顾了度量空间和规范空间的基础概念，这是理解更一般拓扑空间的起点。随后，我们引入了拓扑空间的最基本定义——开集族，并详细探讨了闭集、邻域、开/闭包、密度、分离公理（如$T_1, T_2, T_3, T_4$等）等核心概念。我们着重讨论了紧致性、连通性和可数性等拓扑不变量的性质及其在不同空间上的表现。 一个重要的篇章聚焦于连续函数和连续映射的性质，特别是同胚的概念。通过大量的例子，如欧几里得空间、函数空间以及一些经典流形的拓扑结构，读者将建立起对“形状不变性”的直观理解。此外，本书还详细阐述了商拓扑的构建方法，这在构造新的拓扑空间，例如球面、环面或实射影平面时至关重要。 第二部分：连续映射与完备性 在第二部分，我们深入探究了拓扑空间上的函数分析工具。巴拿赫不动点定理（或称压缩映射定理）在处理微分方程的解的存在性时具有不可替代的地位，本书将其作为核心内容之一进行了详尽的推导和应用展示。 完备性是分析学中的一个关键概念。我们不仅讨论了度量空间中的完备性（如鲍尔空间），还引入了拓扑空间中的概念，如Baire纲定理。该定理在证明某些函数空间的性质和解的唯一性时显示出强大的威力。 第三部分：代数拓扑的初步接触 代数拓扑学是将代数工具（如群论）应用于拓扑问题的分支。本书在第三部分为读者打开了这扇门。我们引入了基本群（$pi_1$）的概念，它测量了空间中“洞”的数量和类型。通过计算一些常见空间（如圆周 $S^1$、环面 $T^2$、实射影平面 $mathbb{RP}^2$）的基本群，读者可以直观地理解代数不变量如何捕捉拓扑结构的关键特征。 我们详细介绍了同伦等价的概念，并展示了如何利用基本群来区分拓扑上不同的空间。书中的部分内容还会涉及更高级的概念，如覆盖空间理论的初步介绍，为后续学习纤维丛和更高阶同伦群打下基础。 第四部分：拓扑学在现代科学中的应用实例 为了体现拓扑学的实用价值，本书的最后部分精选了几个跨学科的应用案例。 数据分析与拓扑数据分析（TDA）： 探讨如何使用持久同调等工具，从高维数据集中提取稳健的拓扑特征，这在机器学习和模式识别中日益重要。 物理学中的应用： 简要介绍了拓扑绝缘体和拓扑量子场论中，拓扑不变量（如陈数）如何描述物质的宏观性质，体现了纯数学概念在凝聚态物理中的深刻体现。 几何学中的联系： 阐述了黎曼几何与拓扑学的交叉点，例如，通过度量确定空间的拓扑性质，反之亦然。 本书特点： 1. 严谨的证明与清晰的阐述并重： 确保读者在掌握核心概念的同时，能够理解证明背后的数学逻辑。 2. 丰富的图示与实例： 拓扑学高度依赖直觉，本书在关键概念的引入处设计了大量辅助图示，帮助读者建立直观理解。 3. 面向未来研究的选材： 选取的应用部分紧跟当代研究热点，为有志于从事应用拓扑研究的学生指明方向。 4. 详尽的习题与讨论： 每章末尾均附有难度适中的习题，旨在巩固知识和激发独立思考。 本书适合具备微积分和线性代数基础的读者。它不仅是深入学习拓扑学的优秀教材，也是一本可供研究人员参考的工具书，有助于拓宽其数学视野。

评分☆☆☆☆☆

这本书在构建数学知识体系的宏大叙事上，显示出极高的水准。它不仅仅是关于“变分法”或“偏微分方程”的知识点堆砌，更像是在描绘一个学科的“演化史”和“内在关联”。我尤其欣赏其对历史背景和关键转折点的简要回顾，这些小小的侧注，能让读者更好地理解为什么某个特定的方法（比如能量法）会被采纳，以及它相对于前一种方法的优势何在。这种“知其然，更知其所以然”的叙事结构，极大地提升了阅读的兴趣。它成功地将那些看似孤立的数学工具——比如泛函分析中的度量空间、微分拓扑中的流形概念（如果涉及高阶非线性问题）——整合到一个统一的框架下，服务于解决微分方程的纲领性目标。这种高屋建瓴的视角，对于拓宽一个年轻学者的学术视野是极其宝贵的。它教会了我如何从更宏观的角度去审视自己正在研究的具体问题，而不是陷入细节的泥潭而不能自拔。

评分☆☆☆☆☆

作为一个正在接触偏微分方程数值解的初级研究人员，我发现这本书提供了一种强大的理论后盾，即所谓的“理论验证”视角。虽然本书的主线似乎更偏向于分析理论的建立，但其中蕴含的对解的“正则性”和“光滑性”的深入讨论，为我理解有限元方法（FEM）中的形函数选择和误差估计提供了坚实的理论基础。如果一个偏微分方程的解析解具有某种光滑性（比如二次可微），那么我才能有信心地选择特定的插值空间。这本书对这些光滑性条件的探讨，远比其他只停留在“存在性”的教材来得深入。我特别关注了涉及不定定性和稳定性的章节——这些是实际应用中常常遇到的难题。作者在讨论这些问题时，似乎总能预见到读者在实际应用中可能遇到的困难，并提前给出理论上的预警和解释。这种“理论为实践服务”的教学思路，使得这本书的阅读体验非常踏实，让人感觉掌握的知识是活的，是能够应对真实挑战的。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学类书籍的价值，很大程度上取决于它能否提供一个清晰的“地图”，指引读者在复杂的知识领域中找到方向。这本教材在这方面做得非常出色，它仿佛是一幅精细绘制的航海图，标明了变分法和偏微分方程之间的复杂水道。我目前着重阅读了与Sobolev空间和Sobolev嵌入定理相关的章节。作者对这些泛函分析工具的引入，处理得非常自然，没有为了引入而引入。每一个定理的陈述，都紧密围绕着解决偏微分方程边值问题的实际需求展开。例如，在讨论弱解的定义时，对测试函数的选择和对导数概念的推广，都是通过变分原理的视角来自然导出的。这种内在的逻辑联系，使得原本枯燥的泛函分析概念变得生动起来，因为它有了明确的“应用目的”。不同于一些教材将变分法和泛函分析割裂开来，这本书成功地将它们编织成一张密不可分的网，真正体现了“研究”的深度——即方法论之间的相互支撑。我对后续如何利用这些空间工具来建立解的存在性和唯一性证明抱有极大的期待，相信这是全书的重头戏。

评分☆☆☆☆☆

这本《变分法与偏微分方程》确实是理解现代数学研究前沿的绝佳入门。虽然我还没有深入到这本书的核心章节，但光是导论部分对于变分原理的阐述就足以让人眼前一亮。作者在开篇就构建了一个非常清晰的框架，将物理直观与严格的数学推理巧妙地结合起来。例如，书中对能量泛函的介绍，不仅仅是生硬地给出定义，而是通过一系列经典的力学问题背景，比如悬链线问题或者最小曲面问题，来引导读者体会“泛函”这个概念的精妙之处。这种循序渐进的教学方式，极大地降低了初学者面对抽象概念时的畏惧感。特别是对欧拉-拉格朗日方程的推导，作者的处理方式兼顾了普适性和可操作性，让我感觉自己不再是单纯地记忆公式，而是在“创造”这些基本方程。而且，注意到丛书的定位是研究生教学，这保证了其内容深度远超普通本科教材，为后续深入研究偏微分方程的理论基础打下了坚实的地基。我特别期待接下来的章节中，如何将这些变分思想平滑地过渡到更复杂的椭圆型方程，比如泊松方程或更具挑战性的非线性问题。这种由直觉到严谨的过渡设计，是优秀教材的关键标志之一。

评分☆☆☆☆☆

从排版和装帧来看，这套“科学版”丛书的质量确实体现了其专业性。纸张的质感和字体的选择，都非常适合长时间的阅读和圈画批注。但这还不是最重要的，最让我欣赏的是作者在阐述定理和引理时的那种克制而精准的语言风格。没有多余的赘述，每一个数学符号的引入都承载着深刻的含义。例如，在介绍拉克斯-米尔格拉姆定理（如果该书涉及此范畴的话，我正在尝试推测其内容深度）时，作者仿佛是引导读者进行一次精密的“外科手术”，每一步操作都要求绝对的精确性，不允许任何模糊地带。这种严谨到近乎苛刻的数学表达，对于培养研究生的逻辑思维能力至关重要。它强迫读者在脑海中构建一个完全自洽的逻辑链条，任何一个环节的疏忽都可能导致整个证明的失败。这种对“准确性”的极致追求，正是高等数学教材区别于普及读物最显著的特征。它不是在“告知”你知识，而是在“训练”你的思维成为一个数学家应有的样子。