什么是数学 对思想和方法的基本研究（第四版）R柯朗 复旦大学出版社 大学数学经典专业书 研究学习 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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出版社： 复旦大学出版社

ISBN：9787309128109

商品编码：27179598715

基本信息

书名:什么是数学:对思想和方法的基本研究

定价：49元

作者:R·柯朗，H·罗宾 著；左平，张饴慈 译

出版社：复旦大学出版社

出版日期：2017-03-01

ISBN：97873091289

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装-胶订

开本：32开

商品重量：

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目录

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什么是数学第1章 自然数引言§1整数的计算1．算术的规律2．整数的表示3．十进位制中的计算*§2数系的无限性数学归纳法1．数学归纳法原理2．等差级数3．等比级数4．前n项平方和*5．-个重要的不等式*6．二项式定理*7．再谈数学归纳法第1章补充 数论引言§1素数1．基本事实2．素数的分布§2同余1．一般概念2．费马定理3．二次剩余§3毕达哥拉斯数和费马大定理§4欧几里得辗转相除法1．一般理论（53）2．在算术基本定理上的应用（58）3．欧拉函数再谈费马定理（59）4．连分数丢番都方程（61）第2章 数学中的数系引言§1有理数1．作为度量工具的有理数2．数学内部对有理数的需要推广的原则3．有理数的几何解释§2不可公度线段无理数和极限概念1．引言2．十进位小数无限小数3．极限无穷等比级数4．有理数和循环小数5．用区间套给出无理数的一般定义*6．定义无理数的另一个方法戴特金分割§3解析几何概述1．基本原理*2．直线方程和曲线方程§4无限的数学分析1．基本概念2．有理数的可数性和连续统的不可数性3．康托的“基数”4．反证法5．有关无限的悖论6．数学的基础§5复数1．复数的起源2．复数的几何解释3．棣莫弗公式和单位根*4．代数基本定理*§6代数数和**数1．定义和存在性**2．柳维尔定理和**数的构造第2章补充 集合代数1．一般理论2．在数理逻辑中的应用3．在概率论中的一个应用……第3章 几何作图数域的代数第4章 射影几何公理体系欧几里得几何第5章 拓扑学第6章 函数和极限第6章补充 极限和连续的一些例题第7章 极大与极小第8章 微积分第8章补充第9章 进展附录 补充说明问题和习题参考书目1参考书目2（推荐阅读）

内容提要

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《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第4版）》是世界的数学科普读物，它搜集了许多经典的数学珍品，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。无论是数学专业人士，或是愿意作数学思考者都可以阅读《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第4版）》。 特别对中学数学教师、大学生和高中生，《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第4版）》都是一本极好的参考书。

《数学的边界：探索未知，构建未来》 引言： 数学，作为一门古老而又充满活力的学科，不仅是理解我们所处世界的基石，更是推动人类文明进步的强大引擎。从宇宙的浩瀚星辰到微观粒子的奇妙运动，从经济金融的复杂模型到人工智能的飞速发展，数学无处不在，深刻地影响着我们的生活。然而，数学的魅力远不止于已知，其真正的力量在于探索未知、突破边界。本书《数学的边界：探索未知，构建未来》正是这样一部旨在引导读者跨越已知，抵达数学新视界的著作。它将带领我们深入探索数学研究的前沿领域，领略数学思想的深刻演变，并展望数学在未来将扮演的关键角色。 第一部分：数学思想的演进——从经典到前沿 数学的发展并非一蹴而就，而是一个漫长而辉煌的演进过程。本部分将梳理数学思想的经典传承，并重点介绍那些引领数学走向未来的前沿分支。 第一章：逻辑与集合——构建数学的基石 我们将从最基础的逻辑推理原则出发，探讨形式逻辑如何成为数学证明的语言。 接着，我们将深入理解集合论的革命性意义，它如何统一了数学的各个分支，并为现代数学奠定了坚实的基础。我们将探讨朴素集合论与公理化集合论的区别，以及罗素悖论等引发的深刻思考。 此外，本章还将介绍数理逻辑在计算机科学、哲学等领域的应用，展示其跨学科的强大生命力。 第二章：代数的奥秘——从群论到范畴论 从数的运算到抽象代数，本章将带领读者领略代数之美。我们将深入研究群论，理解对称性的深刻内涵，以及它在物理学、化学等领域的广泛应用。 我们将探讨环、域等代数结构，揭示其丰富的性质与联系。 更进一步，我们将介绍范畴论这一更为抽象但极为强大的数学语言。范畴论如何以“态射”为核心，以一种统一的视角连接数学的各个分支，并成为现代数学研究的重要工具。我们将探讨同构、函子、自然变换等基本概念，并初步领略其在代数几何、拓扑学等领域的威力。 第三章：几何的蜕变——从欧几里得到微分几何与拓扑学 本章将从经典的欧几里得几何出发，展现几何学如何不断拓展其研究的边界。 我们将深入学习微分几何，了解如何利用微积分的工具研究曲线、曲面以及高维空间的几何性质。黎曼几何将作为重点，它为广义相对论提供了数学框架，是理解时空弯曲的关键。 我们将探讨拓扑学，它研究的是在连续形变下保持不变的几何性质。我们将从直观的例子（如橡皮膜上的洞）出发，理解同胚、同伦等基本概念，并初步认识同调论、同伦论等强大的拓扑不变量。拓扑学在理论物理、网络科学等领域有着极其重要的应用。 第四章：分析的深度——从微积分到函数空间与动力系统 本章将回顾微积分的核心思想，并进一步拓展到更广阔的分析领域。 我们将探讨函数空间的结构，理解无穷维空间的分析方法，以及傅里叶分析、泛函分析在信号处理、量子力学等领域的应用。 我们将深入研究动力系统，理解方程的解如何随时间演化，以及混沌理论的深刻洞见。分形几何也将穿插其中，展现自然界中普遍存在的复杂结构。 第二部分：前沿数学的探索——挑战与机遇 数学的边界不断被拓展，新的领域层出不穷。本部分将聚焦于一些最具活力和影响力的前沿数学研究方向，展现数学家们正在解决的挑战以及未来的发展机遇。 第五章：数论的密码——从素数分布到密码学 数论，这门研究整数性质的古老学科，在现代依然保持着旺盛的生命力。本章将回顾素数定理等经典成果，并深入探讨代数数论、解析数论等分支。 我们将重点关注数论在现代密码学中的核心作用，理解椭圆曲线密码学、整数分解问题等如何保障信息安全。 我们将展望数论在量子计算、编码理论等新兴领域中的潜在应用。 第六章：概率与统计的融合——从大数据到机器学习 在信息爆炸的时代，概率论和统计学的重要性日益凸显。本章将介绍随机过程、马尔可夫链等核心概念。 我们将探讨统计推断的理论基础，以及大数据分析的统计方法。 尤其重要的是，我们将深入分析概率与统计如何成为机器学习的核心驱动力，理解从监督学习到深度学习的数学原理，并探讨其在人工智能、金融建模、生物医学等领域的广泛应用。 第七章：计算数学与理论计算机科学——算法的边界 随着计算能力的飞跃，计算数学已成为数学研究中不可或缺的一部分。本章将介绍数值分析、科学计算等方法，以及它们在模拟复杂系统中的应用。 我们将探讨计算复杂性理论，理解算法的效率极限，以及P/NP问题的深远意义。 我们将关注算法设计与优化的前沿进展，以及它们在人工智能、优化问题、图论等领域的突破。 第八章：数学与物理的对话——弦论、拓扑量子场论与数学物理 数学与物理学之间一直存在着深刻而富有成效的互动。本章将深入探讨数学物理的前沿领域。 我们将初步了解弦论、M理论等试图统一物理学基本规律的理论，以及其中涉及的深刻数学概念，如超对称、规范场论等。 我们将介绍拓扑量子场论，它如何利用拓扑学研究量子场论，并与凝聚态物理、量子计算等领域产生联系。 我们将探讨数学在量子信息、量子引力等未知领域的研究中扮演的关键角色。 第三部分：数学的未来——工具、思想与人文价值 数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式、一种探索世界的有力工具。本部分将展望数学的未来发展方向，并强调其在构建未来社会中的重要意义。 第九章：跨学科的融合——数学在科学与工程中的新机遇 数学与其他学科的界限日益模糊，跨学科研究成为新常态。本章将列举数学在生物信息学、神经科学、环境科学、经济学等领域的具体应用案例。 我们将探讨如何利用数学模型解决现实世界中的复杂问题，并预测数学在未来科学探索中的更大作用。 第十章：数学教育的革新——培养面向未来的数学人才 数学教育的理念和方法需要不断革新，以适应时代发展的需求。本章将探讨如何培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和创造力。 我们将讨论在线教育、交互式学习等新型教学模式，以及如何激发学生对数学的兴趣。 本章也将关注如何缩小数学领域的性别差距，促进数学教育的公平性。 第十一章：数学的人文价值——逻辑、抽象与美的追求 除了实用价值，数学还蕴含着深刻的人文精神。本章将探讨数学思维的逻辑性、严谨性、抽象性及其对人类理性思维的培养作用。 我们将从数学的对称性、和谐性、简洁性等方面，展现数学之美，阐释数学家们对真理的执着追求。 本章也将反思数学在哲学、艺术、文学等领域的影响，探讨数学的普遍性和超越性。 结语： 《数学的边界：探索未知，构建未来》是一次对数学世界深度探索的邀请。它不仅为有志于深入数学研究的读者提供了清晰的导引，更希望能激发所有对未知充满好奇的人们，一同踏上这场智识的冒险之旅。数学的边界，并非终点，而是通往更广阔知识海洋的起点。掌握数学的思想和方法，就是掌握了洞察世界、塑造未来的强大力量。让我们一同迎接数学的未来，探索无限可能。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书的阅读体验并非一蹴而就，它需要时间和耐心，但回报却是巨大的。 柯朗教授的叙述风格，虽然严谨而不失细腻，但他所探讨的内容，往往需要读者反复咀嚼，才能真正领会其中的深意。我常常会在某个段落反复阅读数遍，甚至暂时放下书本，去思考他提出的观点。这种“慢阅读”的方式，让我受益匪浅。它迫使我跳出碎片化、快餐式的阅读模式，去进行更深入、更系统的思考。书中关于数学概念的引入，总是循序渐进，从最直观的例子出发，逐渐引向抽象的定义和定理。这种“由易到难”的设计，对于我这样对数学有着一定兴趣但基础不扎实的读者来说，尤为友好。它让我能够在理解一个概念的基础上，再去学习下一个概念，避免了因理解障碍而产生的挫败感。而书中对于数学方法论的探讨，更是让我眼前一亮。它不仅仅是教我们如何运用数学工具，更是引导我们去理解数学思维的逻辑，去掌握分析问题、解决问题的通用方法。那些关于“类比”、“归纳”、“演绎”等思维方法的阐述，让我看到了数学的普遍适用性，不仅仅局限于数学领域，更能应用于科学、工程、甚至生活中的各种挑战。这本书让我明白，学习数学，不仅仅是学习一门学科，更是在学习一种思维方式，一种认识世界、改造世界的能力。

评分☆☆☆☆☆

第一次翻开这本书，就被它那深邃的哲学思考所吸引。 柯朗教授不仅仅是在传授数学的知识，他似乎在引导我们进行一场关于“思维”本身的探索。那些关于数学的本质、数学思维的形成、数学在人类认知体系中的位置的讨论，如同一盏盏明灯，照亮了我原本模糊的认知边界。我常常会在阅读中停下来，反复咀嚼那些看似简单却蕴含哲理的句子，试图理解数学作为一种语言、一种工具、一种思想体系，如何渗透到我们理解世界的方方面面。这本书让我意识到，数学并非冰冷的符号和公式堆砌，而是一种生动的、充满活力的思维方式，它塑造着我们解决问题、分析事物的能力，甚至影响着我们对真理的追求。尤其令我印象深刻的是，作者在阐述数学概念时，总能从最基础的直观感受出发，层层递进，直至抽象的理论。这种“由浅入深”的讲解方式，极大地降低了学习的门槛，让我这个并非数学专业出身的读者，也能感受到数学的魅力和力量。那些贯穿全书的对数学历史的溯源，对不同数学分支之间联系的揭示，都让我对数学这个学科有了更宏观、更深刻的认识。它不再是孤立的知识点，而是一个庞大而精妙的体系，充满了内在的逻辑和美感。我开始尝试用书中的思想来审视我日常工作和生活中遇到的问题，惊喜地发现，许多曾经困扰我的难题，似乎都有了新的解决思路。这种思维的启迪，是这本书带给我的最宝贵财富。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的，不仅仅是知识的增长，更是思维的升华。 柯朗教授以其深厚的学养和独到的见解，为我们展现了数学的思想和方法。他所探讨的内容，不仅仅停留在技术层面，更是深入到了数学的哲学内涵。我常常在阅读中，被书中提出的深刻问题所吸引，例如“数学的语言为何如此强大？”“数学是如何影响人类思维的？”“数学在探索未知领域中扮演着怎样的角色？”这些问题，引人深思，让我对数学产生了更深层次的理解和热爱。书中对于数学概念的引入，总是从最基础的直观感受出发，层层递进，直至抽象的理论。这种“由浅入深”的讲解方式，极大地降低了学习的门槛，让我这个并非数学专业出身的读者，也能感受到数学的魅力和力量。尤其是对数学证明的阐述，让我看到了逻辑推理的严谨之美，也让我理解了数学的确定性和普适性。这本书让我意识到，学习数学，不仅仅是为了掌握一门学科，更是为了培养一种独立思考、严谨求证的能力。它让我开始用更敏锐的目光去审视周遭的世界，用更理性的思维去分析问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度，让我不得不赞叹柯朗教授的博学与洞见。 他不仅仅是一位数学家，更像是一位哲学家、一位思想家。他对于数学思想和方法的探讨，超越了单纯的技术层面，触及了数学作为人类智力活动最高形式的本质。在阅读的过程中，我不断地被书中提出的问题所激发，例如“什么是数学的本质？”“数学思维是如何形成的？”“数学在不同文化和历史背景下的发展有何差异？”等等。这些问题引人深思，引导我去探索数学的根源，去理解数学的逻辑严谨性是如何建立起来的，去感受数学的普适性是如何在不同领域发挥作用的。书中对于数学证明的讨论，让我对“严谨”二字有了全新的认识。它不再是死记硬背的条条框框，而是一种对逻辑推理的极致追求，一种对真理的不懈探索。柯朗教授通过生动的例子和深入浅出的讲解，将抽象的数学概念变得触手可及，让我看到了数学在几何、代数、分析等不同领域是如何相互联系、相互促进的。他对于数学史的梳理，也让我对数学的发展历程有了更清晰的认识，理解了数学是如何在人类文明的进程中扮演着重要角色的。这本书不仅仅是关于数学的“是什么”，更是在引导我们思考“为什么”和“怎么做”。它鼓励我们主动去探索、去质疑、去创造，去成为一个真正意义上的“思考者”。对于任何一个渴望深化自身思维能力的人来说，这本书都绝对是一份无价的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书在我学习数学的道路上，无疑是一座里程碑。 柯朗教授以其非凡的洞察力，为我们呈现了一幅数学思想和方法的宏大画卷。他不仅仅是在讲解数学知识，更是在传递一种对数学的热爱和敬畏。书中对于数学作为一门“活的科学”的描述，让我看到了数学并非一成不变的教条，而是一个不断发展、不断演进的动态系统。他对于数学发展历史的梳理，让我们看到了无数数学家们是如何在探索真理的道路上，不断突破、不断创新的。这对于我这样一个对数学史怀有浓厚兴趣的读者来说，无疑是一种精神上的激励。我尤其喜欢书中对于数学证明的探讨，它让我深刻理解了数学的严谨性是如何通过精密的逻辑推理来保证的。那些看似枯燥的证明过程，实则蕴含着智慧的光芒，是人类理性思维的结晶。柯朗教授善于将复杂的数学思想，用通俗易懂的语言表达出来，让非数学专业背景的读者也能感受到数学的魅力。他对于数学在物理、工程、甚至哲学等其他学科中的应用的阐述，也让我看到了数学的强大生命力和普适性。这本书不仅仅是提供知识，更是在启发思考，在培养批判性思维。它鼓励我们去质疑，去探索，去发现数学的更多可能性。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本书，我感觉自己并非在学习一门科目，而是在进行一场心灵的洗礼。 柯朗教授的文字，充满了哲学的思辨和人文的关怀。他将数学的概念，与人类的认知、宇宙的奥秘紧密联系起来，让我看到了数学的博大精深。书中对于数学本质的探讨，让我对“什么是数学”有了全新的认识。它不仅仅是数量和空间的描述，更是一种对普遍规律的探索，一种对抽象真理的追求。我尤其喜欢书中对于数学证明的讲解，它让我看到了逻辑的严谨和思维的深度。那些精妙的证明过程，如同一件件精美的艺术品，展示了人类智慧的结晶。而书中对于数学方法论的阐述，更是让我看到了数学的普适性。那些抽象、类比、归纳、演绎等思维方式，不仅仅适用于数学领域，更能应用于科学、工程、甚至日常生活中的各种挑战。这本书让我明白，学习数学，不仅仅是学习一门学科，更是在学习一种思维方式，一种认识世界、改造世界的能力。它鼓励我们主动去探索、去质疑、去创造，去成为一个真正意义上的“思考者”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的文字，如同涓涓细流，滋润着我对数学的认知，也涤荡着我的思维。 柯朗教授以其特有的笔触，将数学的思想和方法，描绘得如此生动而深刻。我常常在阅读时，被他精妙的比喻和贴切的例子所打动，它们将抽象的数学概念，转化为触手可及的画面，让我能够轻松地理解和吸收。书中对于数学史的介绍，更是让我看到了数学是如何在人类文明的长河中，不断发展、不断演进的。那些伟大的数学家们，他们的智慧和探索精神，仿佛穿越时空，与我进行着对话，激励着我勇于探索和创新。我尤其喜欢书中对于数学证明的探讨，它让我看到了数学的严谨和逻辑之美。柯朗教授并没有简单地罗列证明过程，而是深入分析了证明的思路和方法，让我能够理解“为什么”这样做，而不仅仅是“怎么做”。这种“知其然，更知其所以然”的学习方式，让我受益匪浅。而书中对于数学方法论的阐述，更是让我看到了数学的普适性。那些关于抽象、类比、归纳、演绎等思维方法，不仅仅适用于数学领域，更能应用于科学、工程、甚至生活中的各种挑战。这本书让我明白，学习数学，不仅仅是学习一门学科，更是在学习一种思维方式，一种认识世界、改造世界的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书为我打开了一扇认识数学的新视窗。 柯朗教授的深刻洞察力，将数学的精髓展现在我们面前，不仅仅是那些冰冷抽象的公式，更是其背后蕴含的思想和方法。他通过层层递进的讲解，让我们看到数学是如何从简单的几何图形、数量关系，逐渐演化出复杂的代数结构、分析理论。这种由浅入深的叙述方式，对于我这样的初学者来说，无疑是极大的福音，它让我在理解基本概念的基础上，能够逐步深入到更复杂的数学世界。书中对于数学证明的讲解，尤其让我印象深刻。我过去常常觉得证明过程枯燥乏味，但柯朗教授的阐述，让我看到了证明背后的逻辑之美和思想之深邃。他将证明的过程，不仅仅看作是推导，更是一种思维的探索和对真理的求证。而书中对于数学方法论的探讨，更是让我看到了数学的普适性。那些关于抽象、类比、归纳、演绎等思维方法，不仅在数学领域至关重要，更是在科学研究、日常生活等方方面面都发挥着关键作用。这本书让我明白，学习数学，不仅仅是学习一门技术，更是在学习一种思维方式，一种解决问题的能力。它让我开始用更广阔的视野去看待数学，理解数学在人类文明发展中的重要地位。

评分☆☆☆☆☆

《什么是数学》这本书，就像一位博学的向导，引领我踏入了数学的奇妙殿堂。 柯朗教授的讲解，与其说是教科书，不如说是思想的启迪。他并没有直接灌输复杂的公式和定理，而是从数学的本质入手，探讨数学思想的形成和发展。这种“哲学式”的数学教学，让我耳目一新。我常常在阅读中停下来，思考他提出的问题，例如“数学是如何诞生的？”“数学的语言有何独特之处？”“数学在宇宙中扮演着怎样的角色？”这些问题，不仅让我对数学有了更深的理解，更激发了我对未知世界的探索欲望。书中对于数学概念的引入，总是从最直观的例子出发，层层递进，直至抽象的理论。这种“由浅入深”的讲解方式，极大地降低了学习的门槛，让我这个并非数学专业出身的读者，也能感受到数学的魅力和力量。尤其是对数学证明的阐述，让我看到了逻辑推理的严谨之美，感受到了数学的确定性和普适性。这本书不仅仅是关于数学知识的传递，更是关于思维方式的培养。它鼓励我们独立思考，勇于质疑，并从中发现解决问题的真正方法。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我重新认识数学的书，它不仅仅是公式和符号的集合，更是思想的盛宴。 柯朗教授的叙述，总能将数学的深邃与生活中的观察巧妙地结合起来，让我对数学的理解不再局限于课本。他所探讨的数学思想，不仅仅是知识点，更是一种看待世界的方式。我尤其欣赏他对于数学发展历程的回顾，那些先贤们为了追求真理而付出的努力，让我感受到了数学作为一门“活的科学”的生命力。书中对于数学证明的讲解，让我看到了逻辑的强大力量，也让我理解了数学的严谨性是如何建立的。这种对“为什么”的深入探讨，远比机械地记忆公式来得更有意义。而书中对于数学方法论的阐述，更是让我看到了数学的普适性。那些关于抽象、类比、归纳、演绎等思维方式，不仅仅在数学领域大放异彩，在科学、工程、乃至日常生活决策中都具有重要的指导意义。这本书让我意识到，学习数学，不仅仅是为了掌握一门学科，更是为了培养一种独立思考、严谨求证的能力。它让我开始用更敏锐的目光去审视周遭的世界，用更理性的思维去分析问题。