解析數論導引 9787560359625 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560359625

商品編碼：28216794054

包裝：平裝-膠訂

齣版時間：2016-11-01

基本信息

書名：解析數論導引

定價：58.00元

作者：(美) 阿普斯托著；唐太明譯

齣版社：哈爾濱工業大學齣版社

齣版日期：2016-11-01

ISBN：9787560359625

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：平裝-膠訂

開本：16開

商品重量：0.4kg

編輯推薦

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本書共分十四章，將解析數論從古到今幾乎所有的重要發現都做瞭較為簡單的論述和介紹，主要包括：算術基本定理、數論函數與迪利剋雷乘積、數論函數的平均值、素數分布的幾個基本定理等.

本書適閤大學師生及數論愛好者研讀.

內容提要

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目錄

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【目 錄】

曆史介紹//1

章算術基本定理//11

第二章數論函數與迪利剋雷乘積//21

第三章數論函數的平均值//46

第四章素數分布的幾個基本定理//66

第五章同餘//95

第六章有限阿貝爾群及其特徵//115

第七章算術級數裏素數的迪利剋雷定理//131

第八章周期數論函數與高斯和//141

第九章二次剩餘與二次互反律//161

第十章原根

第十一章迪利剋雷級數與歐拉乘積//207

第十二章兩種函數

第十三章素數定理的解析證明//261

第十四章分拆//228

附錄“哥德巴赫猜想”研究綜覽//311

參考文獻目錄//318

特殊符號索引//324

編輯手記//326

作者介紹

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文摘

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序言

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跨越數字的藩籬：一部現代概率論的精深探索 導言：概率的基石與世界的脈動 在浩瀚的數學科學圖景中，概率論以其獨特的魅力，連接著嚴謹的邏輯推演與瞬息萬變的現實世界。它不僅僅是關於“可能性”的計算，更是構建現代科學、工程、金融乃至社會決策理論的底層框架。本書，《概率論與隨機過程：從基礎原理到前沿應用》，旨在為有誌於深入理解和應用概率論的讀者，提供一個全麵、深入且富有啓發性的學習路徑。 本書的編寫理念，是力求在數學的嚴謹性與應用的直觀性之間找到完美的平衡點。我們深知，純粹的理論堆砌容易使人望而卻步，而缺乏理論支撐的應用探索又如同空中樓閣。因此，我們精心設計瞭結構，確保每一步理論的引入都伴隨著清晰的動機和直觀的解釋，而每一個重要的概念都通過豐富的實例得以鞏固和深化。 本書麵嚮的讀者群體廣泛，包括但不限於高等院校的數學、物理、計算機科學、信息工程、統計學等專業的本科高年級學生、研究生，以及需要紮實概率論基礎來進行科研或工程實踐的專業人士。我們假定讀者已經掌握瞭微積分、綫性代數以及一些初步的實分析基礎，這些是理解本書後續高級主題所必需的工具。 --- 第一部分：概率論的公理化基礎與隨機變量的刻畫（第1章至第4章） 本部分是全書的基石，著重於建立現代概率論的嚴格數學框架。 第1章：概率論的基本概念與測度論基礎 本章從集閤論和拓撲學的角度切入，為概率的公理化打下基礎。我們不再停留在傳統的樣本空間和事件的古典描述，而是引入$sigma$-代數、可測空間的概念。概率測度的定義（$sigma$-可加性、非負性、歸一化）被嚴格闡述。本章的重點在於理解“可測事件”的真正含義，以及為何需要測度論工具來處理復雜的隨機現象，例如不可數樣本空間上的定義。 第2章：隨機變量、分布函數與聯閤分布 隨機變量的定義被提升到函數的可測性層麵。我們詳細區分瞭離散型、連續型以及混閤型隨機變量的特徵，並引入瞭纍積分布函數（CDF）作為描述隨機變量特性的核心工具。特彆地，本章深入探討瞭聯閤分布的性質，包括邊緣分布的推導，以及隨機變量獨立性的嚴格判據——基於聯閤分布函數或概率密度函數的乘積形式。條件概率和條件期望在這一階段被引入，但側重於其在離散和連續情境下的計算方法。 第3章：重要的概率分布族 本章係統梳理瞭概率論中最常見和最重要的分布。對於離散分布，包括伯努利、二項、泊鬆、幾何和負二項分布的生成機製和矩的計算。對於連續分布，我們深入探討瞭均勻分布、指數分布、伽馬分布、貝塔分布以及正態（高斯）分布的特性。對於正態分布，我們將花費專門的篇幅討論其在二維和多維空間中的錶現形式，為後續隨機嚮量的分析做準備。此外，本章還將引入更一般的分布構造方法，如截斷分布和混閤分布。 第4章：隨機變量的變換與期望的深入解析 隨機變量的函數仍然是隨機變量，但其分布的推導需要精妙的技巧。本章係統教授瞭求解單變量和多變量函數變換後分布密度的方法，包括雅可比變換在極坐標、笛卡爾坐標變換中的應用。期望運算的性質在這一章得到強化，我們不僅計算一階矩（均值），還深入探討瞭方差、矩、概率生成函數（PGF）和特徵函數（Characteristic Function）的作用。特徵函數作為分析極限分布和獨立和的強大工具，將被詳細闡述。 --- 第二部分：隨機嚮量、大數定律與中心極限定理（第5章至第7章） 在奠定單變量概率論基礎後，本部分轉嚮多維隨機現象的分析，並探討極限理論的核心成果。 第5章：隨機嚮量與多元分布 本章將隨機變量的概念推廣到嚮量空間。我們討論瞭聯閤概率密度函數、協方差矩陣和相關係數的性質。重點分析瞭多元正態分布的結構，包括其密度函數的形式和基於協方差矩陣的幾何解釋。本章還將介紹如何處理隨機變量的綫性變換，以及在多元正態分布中，其子嚮量仍然服從多元正態分布的性質。 第6章：大數定律與隨機變量的收斂性 本部分的核心理論探討由此開始。我們嚴格區分瞭不同類型的收斂：依概率收斂（Convergence in Probability）、依分布收斂（Convergence in Distribution）和幾乎必然收斂（Almost Sure Convergence）。本章的重點是證明並應用切比雪夫不等式、伯努利大數定律以及更具普適性的強大數定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN），理解樣本均值在何種條件下會穩定地收斂於真實期望。 第7章：中心極限定理（CLT）及其推廣 中心極限定理是概率論應用中最具影響力的結果之一。本章將詳細闡述Lyapunov和Lindeberg-Lévy兩種形式的中心極限定理，解釋為何無論原始分布如何，獨立同分布隨機變量之和的標準化形式漸進趨近於標準正態分布。本章還將探討隨機變量序列的依分布收斂與特徵函數之間的關係，並簡要介紹使用CLT進行統計推斷的基礎思路。 --- 第三部分：隨機過程導論：時間序列的動態建模（第8章至第11章） 從靜態的概率分布躍升至動態的隨機過程，這是本書應用價值的集中體現。隨機過程是描述隨時間演變的隨機現象的數學工具。 第8章：隨機過程的基本概念與分類 本章定義瞭隨機過程的數學框架，包括參數空間（時間）和狀態空間。我們討論瞭過程的獨立增量、平穩性（嚴平穩與寬平穩）的定義。重點分析瞭高斯過程和馬爾可夫過程的初步特徵。 第9章：馬爾可夫鏈：離散時間的隨機演化 馬爾可夫鏈是研究具有“無後效性”特性的離散時間隨機過程的核心模型。本章詳細講解瞭轉移概率矩陣、狀態空間分類（常返、瞬態）、不可約性以及周期性的概念。我們深入探討瞭平穩分布的存在性、唯一性及其求解方法，並介紹瞭平穩分布的物理意義。 第10章：泊鬆過程與指數分布 泊鬆過程是描述事件隨機到達的經典模型。本章將泊鬆過程與指數分布聯係起來，證明瞭事件到達時間服從指數分布的特性。我們討論瞭泊鬆過程的獨立增量和馬爾可夫性質，並將其應用於排隊論和可靠性理論的初步建模。 第11章：連續時間馬爾可夫鏈（CTMC） 將馬爾可夫鏈擴展到連續時間，需要引入生成元矩陣（速率矩陣）。本章闡述瞭無窮小生成元矩陣的定義和性質。我們利用微分方程（Kolmogorov前嚮和後嚮方程）來描述過程的演化，並探討瞭CTMC的穩態分布（平衡方程）的求解，這在分析穩態係統性能時至關重要。 --- 結語：概率的廣闊前沿 《概率論與隨機過程：從基礎原理到前沿應用》的構建，旨在提供一個堅實的理論地基，支撐讀者嚮更深層次的隨機分析領域邁進，例如鞅論、Itô微積分、時間序列分析等。我們相信，通過本書對公理化基礎的嚴格闡述和對核心定理（如大數定律與中心極限定理）的細緻剖析，結閤對馬爾可夫過程等動態模型的深入解析，讀者將能以更清晰、更自信的視角去駕馭和解決復雜的現實世界中的不確定性問題。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計得非常樸實，拿到手上感覺挺有分量的，那種厚重感讓人覺得內容一定紮實。我一開始隻是對數論這個領域有點好奇，想找本入門書看看，結果翻開這本，發現它果然是為初學者量身定製的。作者的敘述方式非常平易近人，他似乎很清楚讀者在理解抽象概念時會遇到的睏難，所以總能找到非常形象的比喻來解釋那些復雜的定理。比如講到模運算的時候，他用瞭日常生活中取餘數的例子，一下子就把那個抽象的概念具象化瞭。我特彆欣賞它在證明過程中使用的循序漸進的步驟，每一步推導都交代得非常清楚，不會讓人有“怎麼突然就跳到這裏瞭”的感覺。有時候我讀其他數學書，看到一個證明就直接卡住瞭，但這本書很少齣現這種情況，它會把很多中間步驟也寫齣來，這對於我這種數學基礎不太紮實的讀者來說，簡直是福音。我感覺作者在寫這本書的時候，是真的站在讀者的角度去思考，而不是僅僅把已有的知識堆砌起來。它不僅僅是知識的傳授，更像是一次耐心的引導，讓人在不知不覺中建立瞭對數論的基本框架認識。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我不是數學專業齣身，純粹是齣於興趣纔接觸數論，所以很多高深的代數和分析背景知識我都沒有。這本書的強大之處就在於，它幾乎沒有設置太高的閱讀門檻。對於那些需要復習初等代數和初等數論知識點的讀者，它在開篇就做瞭非常詳盡的背景迴顧，像是一個貼心的私人教師，確保你不會因為基礎薄弱而掉隊。我尤其欣賞它對曆史背景的穿插介紹，每一次介紹一個定理的發現者和發現過程，都讓我對這個知識點有瞭更深的情感聯結。比如講到歐拉是如何發現某個重要公式時，那種天纔的火花和反復試驗的艱辛躍然紙上，這使得枯燥的公式不再隻是公式，而是人類智慧的結晶。這種人文關懷使得原本可能顯得冷硬的數學書籍，多瞭一份溫度。我感覺自己不是在“啃”一本教材，而是在和一位博學的長者進行一場關於宇宙規律的深度對話，那種沉浸感是很多其他學術著作無法比擬的。

評分☆☆☆☆☆

從裝幀質量上來說，這本書的紙張選擇非常考究，長時間閱讀下來，眼睛的疲勞感比閱讀其他光麵紙的書籍要輕很多。排版也十分清晰，公式和文字的間距處理得恰到好處，使得閱讀體驗非常流暢。我注意到，一些關鍵的定義和定理都被加粗或用不同的字體突齣顯示，這對於快速迴顧和查找特定知識點非常有幫助，極大地提高瞭復習效率。作者在引用其他數學傢的工作時，標注得非常規範和清晰，體現瞭嚴謹的學術態度。整本書的風格是內斂而自信的，沒有花哨的圖錶或多餘的裝飾，所有的重點都集中在知識本身的闡述上。它給我的整體印象是：這是一本被認真對待的嚴肅學術著作，它尊重讀者的時間和智力，用最純粹、最高效的方式傳遞瞭數論的精髓。我願意把它放在書架上最容易取到的位置，相信它會是未來幾年裏我反復研讀的寶貴工具書。

評分☆☆☆☆☆

這本書的習題設計簡直是點睛之筆，它們不僅是檢驗學習成果的工具，更是進一步探索和拓展知識邊界的階梯。不同於市麵上很多教材的習題要麼過於簡單，要麼直接跳躍到研究生水平的難度，這裏的習題梯度控製得非常精準。基礎的計算題用來鞏固新概念，中等的證明題則要求你靈活運用剛剛學到的定理，而最後的幾道挑戰題，則真正體現瞭“導引”的意義——它們引導你去思考尚未在正文中完全展開的更深層次的問題。我常常在做完一個章節的習題後，會有豁然開朗的感覺，仿佛自己真的參與瞭數學發現的過程。而且，書的後半部分還提供瞭詳細的解題思路，對於那些卡住的地方，它不會直接給齣最終答案，而是提供一個解決問題的切入點，這種“授人以漁”的教育理念我非常贊賞。這讓我感到，即使是自學，我也能獲得高質量的反饋和引導，極大地提升瞭學習效率和自信心。

評分☆☆☆☆☆

這本書的編排邏輯簡直是教科書級彆的典範，從基礎的算術理論開始，層層遞進地引入到更高級的主題。我喜歡它那種螺鏇上升的結構，每學完一個新概念，都會立刻用它來解決之前齣現的難題，這種“學以緻用”的感覺極大地增強瞭我的學習動力。初讀時可能會覺得有些概念比較枯燥，比如那些關於素數分布的討論，但作者巧妙地將這些理論與實際應用場景結閤起來，比如密碼學中的一些基礎原理，這樣一來，原本冰冷的數字似乎也變得鮮活起來。我印象最深的是關於丟番圖方程的那一章，它沒有直接給齣一個萬能的解法，而是先從最簡單的綫性方程入手，逐步過渡到更復雜的二次方程，讓讀者親身體驗到數學傢是如何思考和解決問題的。閱讀過程中，我發現自己開始主動去思考“如果換個角度看這個問題會怎麼樣”，而不是被動地接受書本上的結論。這種啓發式的教學方法，對於培養真正的數論思維至關重要，它教會的不僅僅是知識點，更是一種嚴謹的數學研究方法論。