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王小云 等 著

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• 公钥密码学
• 密码学
• 数学基础
• 数论
• 代数
• 算法
• 安全通信
• 信息安全
• 离散数学
• 计算复杂度

店铺： 智博天恒图书专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030474308

商品编码：29370817668

包装：圆脊精装

出版时间：2016-05-01

图书基本信息
图书名称	公钥密码学的数学基础
作者	王小云 等
定价	98.00元
出版社	科学出版社
ISBN	9787030474308
出版日期	2016-05-01
字数
页码
版次	1
装帧	圆脊精装
开本
商品重量	0.4Kg

内容简介

数论与代数结构这门课是数学学院信息安全专业的一门专业基础课。通过该课程的学习，让学生掌握密码学所需要的重要的数学基础理论，熟悉密码体制中常用的数学基本算法及其复杂性理论。具体分为下面几个方面的内容：1.整除：整除的基本理论，辗转相除法；2.同余：同余、剩余类的基本理论，同余方程，Euler定理；3.原根：指标的基本理论，原根基本定理；4.群、环、域基本理论；5.群、环、域进一步的理论，扩域、有限域的理论；6.基本算法、及其复杂性理论；7.格理论。

作者简介

目录

编辑推荐

文摘

序言

探索数字世界的隐形守护者：公钥密码学的数学基石 在信息爆炸的时代，数字安全如同空气般不可或缺。无论是网上购物的支付安全，还是敏感信息的加密传输，亦或是数字身份的可靠认证，都离不开一个核心的支撑——公钥密码学。它如同数字世界的隐形守护者，默默地保护着我们的隐私和财产，而这一切的奥秘，则深深植根于一套严谨而优美的数学体系之中。 本书并非对公钥密码学的应用层面进行泛泛而谈，也不是简单罗列各种算法的流程。它将带领读者深入到公钥密码学那精巧而强大的数学世界，从最基础的概念出发，层层递进，揭示支撑起这一技术的底层逻辑和核心原理。我们并非旨在提供一套即学即用的加密工具箱，而是希望构建一种能够理解、分析乃至创新公钥密码学技术的数学视野。 一、数论的基石：整数的迷人世界 公钥密码学与数论，特别是与整数的性质，有着不可分割的联系。本书将从最基本的整数运算开始，构建坚实的数论基础。我们将深入探讨： 整除性与同余： 这是理解许多密码学算法的关键。我们将详细阐述整除的定义、性质，并重点介绍同余关系，理解模运算在密码学中的核心作用。例如，模n的加法、乘法群的性质，以及它们如何构成代数结构，为后续的加密和解密操作奠定基础。我们将研究中国剩余定理，它能够让我们理解如何将一个大数在不同模下的信息合并，这在一些多方计算和秘密共享方案中有着重要的应用。 素数与分解： 素数，即只能被1和自身整除的正整数，是密码学中最令人着迷的元素之一。我们将探讨素数的分布规律，例如素数定理，理解素数在密码学中的稀缺性和重要性。本书将重点分析大数分解的困难性，这是RSA算法安全性的基石。我们将深入研究各种因子分解算法的原理，例如试除法、Pollard's rho算法、二次筛法等，并分析它们的计算复杂度，从而理解为何目前而言，分解一个极大的合数是一项极其困难的任务。 欧拉函数与欧拉定理： 欧拉函数 $phi(n)$ 给出了小于或等于n且与n互质的正整数的个数。我们将深入研究欧拉函数的性质，并重点阐述欧拉定理，即对于互质的整数a和n，有 $a^{phi(n)} equiv 1 pmod{n}$。这个定理是许多公钥密码系统中指数运算的基础，它为我们提供了在模算术下安全进行幂运算的理论依据。 离散对数问题： 作为Diffie-Hellman密钥交换和ElGamal加密算法的基石，离散对数问题（DLP）是公钥密码学中另一个核心的难题。我们将详细定义离散对数问题，即在群G中，给定元素g（生成元）和 $g^x$，求解x。我们将探讨其计算上的困难性，以及不同群（如整数模p的乘法群、椭圆曲线群）中DLP的难度差异，并介绍一些求解DLP的算法，如Baby-step giant-step算法和Pollard's rho算法。 二、群论与代数结构：密码学的骨架 抽象代数，特别是群论，为公钥密码学提供了严谨的理论框架和结构。本书将带领读者领略群论在密码学中的核心地位： 群、环与域： 我们将从集合和运算的定义出发，引入群、环和域的概念。理解这些代数结构的基本性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等，对于理解密码学算法的设计至关重要。我们将特别关注有限域（Galois Field），特别是伽罗瓦域 $GF(p)$ 和 $GF(p^k)$，它们是许多现代密码学算法（如AES、ECC）的重要底层结构。 有限域上的运算： 在有限域中进行的运算，如加法、乘法、逆元计算等，是实现加密和解密操作的具体工具。我们将详细讲解在有限域中的加法和乘法规则，以及如何计算元素的逆元。对于椭圆曲线密码学，我们将深入研究椭圆曲线方程在有限域上的定义，以及椭圆曲线上的加法运算，理解其数学特性如何保证安全性。 生成元与循环群： 在一个群中，存在一个元素，它的幂能够生成群中的所有元素，这样的元素称为生成元，由生成元生成的群称为循环群。我们将探讨生成元在密码学中的重要性，例如在Diffie-Hellman密钥交换中，生成元是公开的参数，而私钥则是指数。 三、模运算与多项式：构建加密的砖石 除了基本的数论和群论，一些特殊的运算和代数结构也是公钥密码学不可或缺的部分： 模平方根： 在一些公钥体制中，例如Goldwasser-Micali（GM）概率性加密方案，需要计算模平方根。我们将探讨如何高效地计算模平方根，并分析其与二次剩余的关系，理解其在设计安全加密方案中的作用。 多项式与有限域： 对于基于编码的密码学以及某些分组密码，多项式的运算在有限域上变得尤为重要。我们将介绍多项式的定义、加法、乘法以及如何在有限域中进行这些运算。特别是，我们将讨论不可约多项式及其在构建有限域 $GF(2^k)$ 中的作用。 四、公钥密码学的核心算法原理 在打下坚实的数学基础后，本书将逐步深入到公钥密码学的经典算法，从数学原理层面剖析其安全性和工作机制： RSA算法： 作为最著名的公钥加密算法之一，RSA的安全性完全建立在大整数分解困难性的基础上。我们将详细阐述RSA的密钥生成、加密和解密过程，并从数学角度证明其正确性。我们将分析RSA的数学基础，包括欧拉定理、模幂运算以及填充方案（如OAEP）的重要性。 Diffie-Hellman密钥交换： 这个开创性的算法允许两个不具备任何预共享秘密的通信方，通过公开信道安全地建立一个共享的秘密密钥。我们将深入分析Diffie-Hellman算法的数学原理，重点在于离散对数问题的困难性，以及如何在有限域乘法群上安全地进行密钥交换。 ElGamal加密体系： ElGamal是一种基于离散对数问题的公钥加密算法，具有概率性加密的特点。我们将详细介绍ElGamal的密钥生成、加密和解密过程，并分析其与Diffie-Hellman算法的关系，以及其在数字签名中的应用。 椭圆曲线密码学（ECC）： 作为当前最前沿的公钥密码学技术之一，ECC以其更短的密钥长度实现同等的安全强度而著称。我们将详细介绍椭圆曲线在有限域上的定义，椭圆曲线上的加法运算，以及基于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的ECC算法，如ECDH密钥交换和ECDSA数字签名。 五、数学证明与安全分析 理解公钥密码学的安全性，离不开严谨的数学证明。本书将引导读者理解： 安全性归约： 如何将一个密码学系统的安全性归约到已知的数学难题（如大数分解、离散对数问题）。我们将探讨各种安全性归约的思路和方法，理解为什么解决这些数学难题就意味着能够破解密码系统。 计算复杂度理论： 理解算法的计算复杂度，即解决一个问题所需的计算资源（时间、空间）。我们将介绍多项式时间（P类问题）和指数时间（NP类问题）的概念，并分析密码学算法的计算复杂度，以论证其在实际应用中的可行性和安全性。 概率论在密码学中的应用： 许多公钥密码体制是概率性的，即同一个明文加密多次会得到不同的密文。我们将探讨概率论在设计和分析这些算法中的作用，例如随机数的生成、错误概率的分析等。 本书的目标是为读者构建一个扎实的数学理论框架，使其能够从根本上理解公钥密码学的强大之处。我们鼓励读者通过深入研究这些数学原理，不仅能够理解当前流行的公钥密码学技术，更能为未来密码学的发展和创新打下坚实的基础。这是一场关于数字世界幕后逻辑的探索之旅，一场关于数学之美的发现之旅。

评分☆☆☆☆☆

在我看来，这本书最大的价值在于它为我打开了一个全新的视角，让我看到了数学在现代信息安全领域所扮演的关键角色。《公钥密码学的数学基础》这本书，与其说是一本教科书，不如说是一本引导我探索数学奥秘的探险指南。作者在讲解每一个数学概念时，都极其注重其在密码学中的实际应用，这让我不再是被动地记忆公式，而是主动地去理解“为什么”需要这些数学工具。例如，书中对有限域的深入剖析，不仅仅是定义了伽罗瓦域，更是阐述了它如何成为实现高效、安全的公钥加密算法（如ElGamal）的基石。同时，作者对数论中一些经典难题，如大数分解问题和离散对数问题，是如何被巧妙地转化为密码学安全性的基础，进行了细致入微的解读。我尤其欣赏书中对于一些理论推导的详尽解释，虽然有些地方需要反复阅读和思考，但每一次的理解都让我感到豁然开朗，仿佛解锁了一个新的知识维度。这本书的语言风格也十分吸引人，它既有学术的严谨，又不失启发性的趣味，读起来一点都不会感到枯燥乏味，反而会让我越读越想深入。

评分☆☆☆☆☆

我一直对计算机安全和信息加密领域抱有浓厚的兴趣，但往往在深入研究时，会被那些晦涩难懂的数学公式和定理所困扰。《公钥密码学的数学基础》这本书，恰好填补了我在这方面的知识空白。作者的叙述方式非常清晰流畅，即使是对于我这样数学基础不算特别扎实的读者来说，也能循序渐进地理解书中的内容。书中的每一章都围绕着一个核心的数学概念展开，并详细阐述了该概念如何在公钥密码学中发挥作用。比如，在介绍数论中的素性检验时，作者不仅解释了费马小定理和米勒-拉宾检验的原理，还进一步探讨了它们在生成大素数方面的应用，这对于理解RSA算法的安全性至关重要。另外，关于离散对数问题的讲解，也做得非常到位。作者通过对有限群结构的比喻和类比，让读者更容易理解“计算离散对数”的困难性，进而明白Diffie-Hellman密钥交换协议为何能够安全地建立共享密钥。书中还涉及了代数曲线理论，虽然这部分内容相对更抽象一些，但作者通过一些直观的几何解释，帮助我理解了椭圆曲线的性质以及它在ECC加密算法中的应用。总的来说，这本书就像一座桥梁，连接了抽象的数学理论和实际的密码学应用，让我在享受数学之美的同时，也深刻理解了现代加密技术的强大之处。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更是一种思维方式的启迪。《公钥密码学的数学基础》这本书，用一种前所未有的方式，让我看到了数学的优雅和力量。作者在讲解公钥密码学中的各种算法时，总是能巧妙地引出背后所依赖的数学原理，例如，在介绍Diffie-Hellman密钥交换协议时，作者就从群论中的生成元和离散对数问题出发，层层递进地揭示了其安全性的数学基础。书中对于一些抽象数学概念的解释，比如有限域的构造和性质，以及多项式环的应用，都做得非常清晰易懂，并且始终与密码学应用场景紧密相连。我特别喜欢书中对于“随机性”在密码学中重要性的讨论，以及如何通过数学手段来模拟和应用随机性，这让我对密码学的鲁棒性有了更深的认识。此外，书中还涉及到了一些与代数几何相关的概念，虽然这部分内容对我的数学功底提出了更高的要求，但作者通过引入一些具体的例子和几何直观的解释，极大地降低了理解的门槛。总的来说，这本书让我深刻体会到，数学并非是冰冷的符号和公式，而是构建现代信息安全体系不可或缺的基石，其内在的逻辑和精妙之处，足以令人着迷。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构安排可以说是匠心独运。我印象最深刻的是，作者并没有一开始就抛出大量的数学公式，而是从密码学的一些基本问题入手，例如“如何安全地共享秘密信息”或者“如何验证信息的真实性”，然后循序渐进地引出解决这些问题所需的数学工具。《公钥密码学的数学基础》在这方面做得非常出色，它将晦涩的数论、代数和群论概念，与实际的公钥密码学算法（如RSA、ECC）紧密联系起来，使得学习过程充满了逻辑性和目的性。我特别喜欢书中对“单向函数”和“陷门单向函数”的解释，这部分内容对于理解公钥密码学的核心思想至关重要。作者通过生动形象的比喻，例如“一扇只能进不能出的门”，来解释单向函数的概念，让我一下子就抓住了问题的关键。随后，作者又将这些抽象概念与实际算法联系起来，比如RSA算法中大数分解的困难性，以及在ECC中离散对数问题的计算难度，都完美契合了陷门单向函数的特性。书中对于数学证明的呈现方式也值得称道，它并非简单地罗列定理，而是尽可能地引导读者去理解证明的思路和逻辑，从而培养独立思考的能力。这本书的数学严谨性和科普性达到了一个非常高的平衡点，适合各个水平的读者。

评分☆☆☆☆☆

这本《公钥密码学的数学基础》实在是太令人惊艳了！我本来以为这会是一本枯燥乏味的理论堆砌，但事实完全出乎我的意料。作者用一种极其精妙的方式，将抽象的数学概念与实际的密码学应用巧妙地结合起来。读第一章的时候，我就被那些关于数论和群论的介绍深深吸引住了，原本以为只是枯燥的定理和证明，却在作者的笔下变得生动有趣，甚至带着一丝哲学思辨的韵味。例如，在讲解模算术时，作者并非仅仅罗列公式，而是通过一些引人入胜的例子，比如时钟的运行、日期的计算，来阐释其核心思想，让我在不知不觉中就掌握了其中的精髓。更让我惊喜的是，书中对于有限域和多项式环的介绍，也并非只是简单的定义和性质，而是深入剖析了它们在公钥密码学中的关键作用，比如RSA算法是如何依赖于模幂运算的困难性，以及椭圆曲线密码学是如何利用有限域上的离散对数问题来实现高效安全的加密。我尤其喜欢书中对于一些历史典故的穿插，比如早期密码学的演变，以及一些著名数学家在密码学发展过程中的贡献，这些都为原本严肃的数学论述增添了不少人文色彩，使得整本书读起来一点都不乏味。总而言之，这是一本既有深度又有广度，既严谨又生动的优秀读物，强烈推荐给所有对密码学和数学感兴趣的朋友们。