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内容简介

有限p群是有限群最基本和最重要的分支之一。从群论诞生起，特别是从sylow1872年发表的著名定理（sylow定理）起，p群就受到所有群论学者的关注，并且取得了很重要的研究成果。我国对于p群的研究开始于20世纪30年代华罗庚和段学复先生组织的p群讨论班，他们对于p群的算术结构作了系统的研究，得到了若干重要的成果。
作者徐明曜多年来从事有限p群的研究，并多次在北京大学、山西师范大学为研究生开设有限p群课程；作者曲海鹏近年来也做了大量p群的研究和教学工作。《有限p群》就是在二位作者编写的讲义基础上经过补充、整理而成的，是一部研究生教材。全书共分12章。内容包括：群论基本概念复习，p群的初等事实，某些重要的换位子公式，p交换p群，正则p群，亚循环p群，子群结构、交换子群、正规子群，极大类p群，p群的幂结构，有限p群的一般分类问题，有限幂导p群，研究专题等。
《有限p群》内容自包含，讲述详细，逻辑严谨。第4-11章每章一个主题，注重阐明p群研究成果的主轴及相关联的背景知识。每章按节给出适量习题及应研究的问题，书末给出了习题和问题的提示及解答。第12章讲述研究专题，是作者为读者准备的若干可以进一步研究的题目，作者认为这些研究专题是有意义、初学者容易上手、又有发展前途的研究问题，可作为硕士或博士研究生论文选题的参考；同时书末提供的较详细的参考文献也为研究生开展研究提供了方便。
《有限p群》可作为综合大学、高等师范院校数学专业研究生有限群课程的教材或参考书，也可作为群论学者选择论文题目指导研究生的教学参考书。

作者简介

徐明曜，1965年毕业于北京大学数学力学系数学专业，1980年在北京大学数学系研究生毕业，获硕士学位，并留校任教。1985年晋升为副教授，1988年破格晋升为教授，博士生导师。　　
徐明曜长期从事本科生及研究生代数课程的教学以及有限群论的研究工作，讲授过多门本科生和研究生课程，著有《有限群导引》（下册与他人合作）；科研方面自20世纪60年代起进行有限p群的研究工作，80年代中期又开创了我国“群与图”的研究领域，培养了13位博士。现在，他的学生已有5人晋升为博士生导师，又带自己的博士生，使得这个研究领域后继有人。2004年退休后因看到国际上p群的研究又趋活跃，遂带领山西师范大学的同志研究有限p群，已培养出不少业务骨干，做出了不小的成绩。徐明曜至今已发表论文80多篇，多数发表在国外的重要杂志上，曾获得国家教委优秀科技成果奖（1985），国家教委科技进步二等奖（1995），周培源基金会数理基金成果奖（1995）。

目录

第1章 群论基本概念的复习
1.1 子群和同态
习题
1.2 自同构
习题
1.3 群例
1.3.1 循环群
1.3.2 二面体群和四元数群
1.3.3 置换群
1.3.4 线性变换组成的群
习题
1.4 群作用、Sylow定理、有限p群的简单性质
习题
1.5 Jordan-HSlder定理和直积分解定理
习题
1.6 交换群，换位子
1.6.1 有限交换群的构造
1.6.2 换位子和可解群
习题
1.7 幂零群
习题
1.8 群扩张，圈积
习题
1.9 自由群和群的表现
习题
第2章 p群的初等事实
2.1 换位子公式
习题
2.2 p群的初等结果
习题
2.3内交换和极小非交换p群
习题
2.4亚循环p群
习题
2.5极大类p群的概念
习题
2.6中心积，p4阶群的分类
习题
2.7 p群计数定理
习题
2.8 p群的幂结构
习题
2.9 两个重要的例子
2.9.1 Spn的Sylow p子群S(pn)
2.9.2 GL(n，q)的Sylow p子群T(pn)
习题
2.10 与p群相关联的Lie环和Lie代数
习题
第3章 某些重要的换位子公式
3.1 Hall-Petrescu恒等式
习题
3.2 Zassenhalus恒等式
3.3 Engel条件
3.4 Gupta-Newman公式
第4章 p交换p群
4.1 p交换p群
习题
4.2 亚交换p交换p群
习题
4.3 关于Bur-nside问题的注记
4.4 p换位子
习题
第5章 正则p群
5.1 ps正则p群
习题
5.2 某些正则性准则
习题
5.3 正则p群的直积
5.4 正则p群的幂结构
习题
5.5 唯一性基底
5.6 幂零类
习题
第6章 亚循环p群
6.1 内亚循环p群的分类
习题
6.2 亚循环p群的分类
习题
6.3 二元生成平衡p群
第7章 子群结构，交换子群，正规子群
7.1 特殊和超特殊p群
习题
7.2 Dedekind p群
习题
7.3 具有很多正规子群的p群
7.4 子群格
7.4.1 偏序集和格的概念
7.4.2 分配格和模格
7.4.3 模p群
习题
7.5 所有非交换子群皆亚循环的p群
7.6 交换子群和交换正规子群
习题
7.7 正规秩为2的有限p群
习题
第8章 极大类p群
8.1极大类p群的进-步性质
习题
8.2 极大类p群的交换度、-致元素
8.3 具有交换极大子群的极大类p群
习题
8.4 极大类3群
第9章 p群的幂结构
9.1 拟正则p群及广义正则p群
习题
9.2 二元生成广义正则2群
习题
9.3 具有“好的幂结构”的有限p群
习题
9.4 p中心p群
9.5 般有限p群的幂结构
习题
第10章 有限p群的一般分类问题
第11章 有限幂导p群
第12章 研究专题
习题提示与解答
参考文献
名词索引

前言/序言

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具有有限多个元素的群。群论的重要内容之一。其所含元素的个数，称为有限群的阶。有限群可分为两大类：可解群与非可解群。有限群论是群论的基础部分，也是群论中应用最为广泛的一个分支。历史上，抽象群论的许多概念起源于有限群论。近年来，随着有限群理论的迅速发展，其应用的日益增多，有限群论已经成为现代科技的数学基础之一，是一般科技工作者乐于掌握的一个数学工具。有限群论无论是从理论本身还是从实际应用来说，都占有突出地位，它中的置换群、可解和非可解群、幂零群、以及群表示论等等，都是重要的研究对象，总之，其内容十分丰富而且庞大。

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有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。1829年伽罗瓦（Galois）引入了置换群的概念，并成功地解决了一个方程可用根式求解的充要条件。置换群是群论历史上最先知道的一种具体的群。拉格朗日和高斯在研究数论中的二次型类是出现过交换群的概念；Cayley（凯莱）曾经在1849年提出过抽象群，但这个概念的价值当时没有被认识到，远远超越时代的Dedekind（戴德金）在1858年给有限群下了一个抽象的定义，这个群是从置换群中引导出来的，他又在1877年提出了一个抽象的有限交换群。Kronecker（克罗内克）也给出了一个相当于阿贝尔群的定义，他规定了抽象的元素，运算，封闭性，结合性，交换性。以每个元素的逆运算的存在和唯一。他还证明了一些有关群的定理。1878年又是凯莱提出了一个群可以看作一个普遍的概念。毋需只限于置换群，这样认识到抽象群比置换群包含更多的东西。德国数学家霍尔德在l889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个（n>=5）文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有艰的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当一霍尔德合成群列和若尔当一霍尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于 (p,q是素数）必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想（伯恩塞德猜想）；奇数阶群一定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约百年的共同努马中骐．群论习题精解1981年得到解决，这是数学史上的一个非凡成就。

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译林出版社出版的这套增订本《莎士比亚全集》，前后共用了近五年的时间。这套全集以朱生豪先生译本为基础，有两大特点：一是“全”，二是“新”。说它“全”，因为它收了已发现的莎氏全部作品，说它“新”，因为它在校、译中吸收了国际莎学界的研究新成果，还恢复了被认为“不雅驯”而被删除的词句、段落等，以尽量保持莎氏作品的本来面目。

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有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。1829年伽罗瓦（Galois）引入了置换群的概念，并成功地解决了一个方程可用根式求解的充要条件。置换群是群论历史上最先知道的一种具体的群。拉格朗日和高斯在研究数论中的二次型类是出现过交换群的概念；Cayley（凯莱）曾经在1849年提出过抽象群，但这个概念的价值当时没有被认识到，远远超越时代的Dedekind（戴德金）在1858年给有限群下了一个抽象的定义，这个群是从置换群中引导出来的，他又在1877年提出了一个抽象的有限交换群。Kronecker（克罗内克）也给出了一个相当于阿贝尔群的定义，他规定了抽象的元素，运算，封闭性，结合性，交换性。以每个元素的逆运算的存在和唯一。他还证明了一些有关群的定理。1878年又是凯莱提出了一个群可以看作一个普遍的概念。毋需只限于置换群，这样认识到抽象群比置换群包含更多的东西。德国数学家霍尔德在l889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个（n>=5）文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有艰的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当一霍尔德合成群列和若尔当一霍尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于 (p,q是素数）必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想（伯恩塞德猜想）；奇数阶群一定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约百年的共同努马中骐．群论习题精解1981年得到解决，这是数学史上的一个非凡成就。

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