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钱伟长 著

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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030468963

版次：1

商品编码：10437785092

包装：平装

开本：16

出版时间：2016-03-07

页数：618

字数：529

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变分法及有限元（上册）
	定价	158.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2016年03月
	开本	16
	作者	钱伟长
	装帧	平装
	页数	618
	字数	529
	ISBN编码	9787030468963

内容介绍
钱伟长*的《变分法及有限元（典藏版）》系统 地论述了作为有限元法基础的变分原理，以广义变分 原理贯穿全书。其中相当一部分内容是作者多年来的 工作成果。
全书分上、下二册，上册为前九章，内容包括： 变分法的基础理论；梁、板小挠度和大挠度的静力学 、动力学问题；板的热弹性问题；弹性体小位移变形 和大位移变形的静力学、动力学问题；热弹性力学和 塑性力学问题等等。
本书可供有关科学研究人员、工程技术人员和高 等院校师生参考。


目录

第*章  变分法的一些基本概念   §1.1 历史上有名的变分命题，泛函，较一般的变分命题   §1.2 变分及其特性   §1.3 泛函的极值问题求解，变分法的基本预备定理，欧拉方程   §1.4 多个待定函数的泛函，哈密顿原理   §1.5 含有多个自变量的函数的泛函及其极值问题 第二章  条件极值问题的变分法   §2.1 函数的条件极值问题，拉格朗日乘子   §2.2 泛函在约束条件φi（x，y1，y2，，yn）=0（i=1，2，，k）下的极值问题   §2.3 泛函在约束条件φi（x，y1，y2，，yn；y'1，y'2，，yn）dx=ai（i=1，2，，k）下的极值问题   §2.4 超音速流中细长体的zui小流阻问题   §2.5 弹性薄板弯曲问题的广义变分原理   §2.6 斯脱姆-刘维耳（sturin-Liouville）型二阶微分方程的变分推导，瑞利（Rayleigh）原理，特征值问题的瑞利一立兹（Rayleigh-Ritz）法   §2.7 斯脱姆-刘维耳四阶微分方程的变分推导及其应用 第三章  边界待定的变分问题   §3.1 zui简单的，泛函为F（x，y，y’）dx的，边界待定的变分问题，交接条件   §3.2 泛函F（x，y，y’）dx的极值曲线有折点的情况，光的折射和反射   §3.3 泛函F（x，y，z，y’，x’）dx的边界待定的变分问题   §3.泛函F（x，y，y’，y”）如的边界待定的变分问题   §3.5 泛函F（x，y，w，wx，wy）dxdy的边界待定的变分问题；薄膜接触问题   §3.6 泛函F（x，y，w，wx，wy，wxy，wyy）dxdy的边界待定的变分问题，薄板接触问题 第四章  泛函变分的几种近似计算法（一）立兹法和伽辽金法   §4.1 泛函极值的近似和极值函数的近似   §4.2 泛函（Au，u）的正定性，泛函的极值和极值函数   §4.3 立兹变分近似法   §4.4 柱体扭转问题的立兹法   §4.5 弹性板的弯曲的立兹近似法   §4.6 伽辽金法，权函数 第五章  泛函变分的几种近似计算法（二）康托洛维奇法，屈列弗兹法及其它   S 5.1 康托洛维奇近似变分法   §5.2 悬空边矩形板的康托洛维奇解法   §5.3 平面滑块间的油膜润滑理论的康托洛维奇解法   §5.4 屈列弗兹扭转上限法   §5.5 关于静电场的变分问题、立兹法和屈列弗兹法的应用   §5.6 固定边界薄板在横向载荷下弯曲问题的屈列弗兹解   §5.7 圆薄板大挠度问题   §5.8 限制误差近似法   §5.9 用限制误差近似法求解固定正方板的弯曲问题 第六章  特征值问题变分近似法   §6.1 特征值问题变分近似法的一些基本理论问题   §6.2 薄膜振动的频率，瑞利-立兹法   §6.3 薄板振动的频率，瑞利-立兹法   §6.4 薄板平面内受力时的振动频率   §6.5 特征值问题的边界条件放松法（万因斯坦-钱伟长）或特征值问题的下限法   §6.6 板内有张力的方板的振动特征值的下限问题   §6.7 有关瑞利-立兹法特征方程的定理   §6.8 重演法求特征方程的解 第七章  小位移变形弹性理论及有关问题的变分原理   §7.1 小位移变形弹性理论的zui小位能原理和zui小余能原理   §7.2 弹性平面问题的变分原理   §7.3 zui小余能原理对固定矩形板的应用   §7.4 小位移变形的弹性理论的广义变分原理   §7.5 混合边界条件的广义变分原理   §7.6 平面应力问题的广义变分，带有边框的矩形板墙的平面弹性力学问题   §7.7 弹性理论小位移变形问题的各级不完全的广义变分原理   §7.8 弹性理论小位移变形问题的分区完全或不完全的广义变分原理   §7.9 任意形状薄板在复杂边界条件下的广义变分原理 第八章  大位移变形弹性理论和热弹性理论的变分原理   §8.1 大位移变形弹性理论的zui小位能原理   §8.2 薄板大挠度问题的变分原理   §8.3 薄壳大挠度弯曲理论的广义变分原理   §8.4 大位移变形弹性理论的余能驻值原理   S 8.5 大位移非线性弹性理论的广义变分原理   §8.6 大位移变形弹性理论的不完全的广义变分原理   §8.7 大位移变形非线性弹性理论的分区完全和不完全的广义变分原理   §8.8 弹性动力学问题的变分原理   §8.9 弹性体自由振动的广义变分原理   §8.10 定常温度场的热弹性理论问题的变分原理   §8.11 非定常温度场热弹性理论的变分原理（耦合的热弹性理论的变分原理）   §8.12 弹性薄板的耦合热弹性变分原理 第九章  塑性力学的变分原理   §9.1 塑性力学形变理论的变分原理   §9.2 塑性力学形变理论的广义变分原理   §9.3 塑性流动理论的变分原理   §9.4 刚塑性体极限分析的变分原理 索引 人名、译名对照索引

图书简介：数学的深邃与应用的广袤 本书籍旨在深入探讨现代数学在解决复杂科学与工程问题中的核心理论与实用方法。全书内容围绕两大支柱构建：泛函分析的基础理论与有限元方法在工程实践中的应用。我们致力于为读者提供一个既具有坚实数学根基，又紧密贴合实际工程需求的知识体系。 第一部分：泛函分析的基石与变分原理的精髓 本部分着重于建立解决偏微分方程（PDEs）的理论框架，特别是变分法作为其核心工具的地位。变分法不仅是一种求解技巧，更是一种深刻的物理直觉的数学表达，它将对物理系统（如最小势能原理、最小作用量原理）的描述转化为对特定函数空间中泛函的极值问题。 1. 函数空间与拓扑结构： 我们将从拓扑学基础和度量空间概念入手，逐步过渡到更抽象但更强大的赋范线性空间。重点阐述Banach空间和Hilbert空间的结构特性。对这些空间的研究是理解无穷维空间中收敛性、完备性和连续性的关键。特别关注Sobolev空间 ($ ext{W}^{k,p}(Omega)$) 的引入，这是处理含有高阶导数的偏微分方程（如泊松方程、双调和方程）的必备工具。Sobolev空间的定义、嵌入定理（如Rellich-Kondrachov定理）的深入剖析，将使读者理解为什么在许多工程问题中，经典意义下的光滑解是不存在的，而广义解（Sobolev解）才是问题的真正答案。 2. 线性算子与有界性： 对线性算子（Operators）的分析是泛函分析的核心。本书详细讨论了有界线性算子的性质，其定义、范数计算以及与矩阵的类比。更进一步，将介绍Hellinger-Toeplitz定理和开映射定理等，这些定理为我们理解无穷维问题中的解的存在性和唯一性提供了坚实的理论后盾。 3. 变分问题的提炼与拉克朗日乘子法推广： 本章将经典的变分问题（如极小曲面问题）提升到泛函的层面。我们定义了泛函的变分（Gateaux导数和Fréchet导数），并推导出欧拉-拉格朗日方程。在涉及约束条件的情况下，将详述拉格朗日乘子法在无穷维空间中的推广，这直接导向了 PDEs 的弱形式。重点强调，从物理直觉（如能量最小化）到数学形式（弱解的定义）的转化过程，这是理解后续有限元方法的思想源泉。 4. 椭圆型方程的弱解理论： 本部分的高潮在于将变分法应用于椭圆型偏微分方程（如泊松方程 $Delta u = f$）。我们将严谨地推导并证明拉克施米德-米尔格兰（Lax-Milgram）定理。该定理是保证二阶线性自伴随椭圆型方程在特定条件下存在唯一弱解的基石。读者将清晰地理解弱解的定义、测试函数空间的选取，以及如何利用对偶理论和能量不等式来建立解的存在性。 第二部分：有限元方法的结构、离散化与实现 第二部分将理论框架转化为可操作的计算工具——有限元方法（FEM）。有限元方法的核心思想是将无限维的函数空间（弱解空间）离散化到有限维的子空间上，从而将复杂的积分方程转化为可求解的线性代数方程组。 1. 有限元方法的数学基础与离散化： 首先，本书将弱形式（变分形式）作为有限元方法的出发点，强调了 Galerkin方法的本质。我们将详细讨论有限元空间（Trial and Test Spaces）的构建，即如何选择一组基函数（形函数）来近似真实解。 2. 三角剖分与网格生成： 工程应用中的几何复杂性要求对求解区域 $Omega$ 进行恰当的离散化。本章深入探讨单纯剖分（Triangulations/Tessellations）的性质，包括边界处理、网格质量（如角度质量）对解精度的影响。我们将分析一维、二维和三维空间中网格的生成技术，并介绍一致性（Unisolvence）和局部细化（Refinement）的概念。 3. 形函数（Shape Functions）与单元刚度矩阵的构建： 这是 FEM 计算的核心。本书将详细分析P1 (线性)、P2 (二次) 等不同阶次的拉格朗日插值多项式作为形函数。重点讲解如何利用单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）和单元载荷向量的局部计算公式。我们将通过高斯积分（数值积分）来精确或近似地计算这些矩阵的元素。 4. 组装过程与代数方程的求解： 局部计算的单元矩阵和向量需要通过组装（Assembly）过程，映射到全局求解器上，形成一个大规模的稀疏线性代数方程组 $AU = F$。本书将分析稀疏矩阵的存储格式（如CSR格式）以及该系统方程的特性（对称性、正定性）。 5. 方法的收敛性与误差分析： 理论的严谨性要求对 FEM 的精度进行量化分析。我们将引入插值误差估计，重点阐述 Nitsche’s Lemma 和 Céarlet-Raviart 定理。分析全局误差 ($|u - u_h|$) 与网格尺寸 $h$ 之间的关系，解释 $h$-收敛和 $p$-收敛的概念，使读者能根据工程需求选择合适的网格和多项式阶数。 6. 边界条件的处理： 边界条件（Dirichlet, Neumann, Robin）在变分框架下的自然嵌入方式是 FEM 优于有限差分法的关键优势之一。本书将清晰展示如何将这些条件融入到弱形式的推导和单元组装过程中，确保物理约束得到正确的数值实现。 全书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，理论推导详尽，并辅以适量的算例和几何直观的解释，旨在为从事固体力学、流体力学、电磁场分析、以及计算物理的工程师和研究人员打下坚实的理论基础。

评分☆☆☆☆☆

这本教材的封面设计就给人一种沉稳、厚重的学术气息，拿到手里就能感受到它分量十足。我一直对纯数学在工程应用中的落地充满好奇，尤其是在力学和结构分析领域，理论推导的严谨性如何转化为实际问题的求解框架。尽管我还没能完全啃完，但前几章关于泛函极值原理的引入，那种从微积分到变分原理的自然过渡，着实令人耳目一新。作者似乎非常注重理论的内生逻辑，而不是简单地堆砌公式。特别是讲解欧拉-拉格朗日方程时，那种步步为营、层层递进的推导过程，仿佛是领着读者在数学的迷宫中寻找到了一条清晰的路径。对于我这种习惯了数值计算的“后学者”来说，重新审视这些基础原理，就像是给自己的知识体系打了一次坚实的底层地基。我特别期待后续章节如何将这些抽象的变分概念，与我们熟悉的偏微分方程（PDEs）建立起牢不可破的联系。希望它能帮助我真正理解，为什么有限元方法（FEM）的“弱形式”可以如此高效地处理复杂的边界条件。总的来说，目前的阅读体验是，它是一本需要耐心、但回报丰厚的“内功心法”类书籍。

评分☆☆☆☆☆

与其他一些侧重于有限元具体离散步骤的教材相比，这本《变分法及有限元（上册）》的侧重点明显更偏向于“根源”的挖掘。它更像是一本关于“数学物理方法”与“数值分析”的交汇点综述，而不是一本纯粹的“有限元操作手册”。我欣赏它对“变分不等式”的讨论，这在处理接触问题和非光滑优化时是无可替代的理论基石。书中对于选择合适的测试函数空间（Test Functions）的讨论，也显得尤为深刻，这直接关系到解的“弱解”性质和物理意义。我发现，当我对一个具体的工程问题感到困惑时，回过头来查阅这本书中关于能量守恒或虚功原理的变分表述，往往能瞬间理清思路，找到问题的核心矛盾。这本书的写作风格是典型的学院派，逻辑链条紧密到几乎没有冗余，但同时也要求读者必须具备扎实的微积分和线性代数基础才能跟上节奏。它不是一本可以轻松读完的书，它更像是一部可以长期参考的工具书，每次重读都会有新的体悟。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度是毋庸置疑的，它绝非市面上那种浅尝辄止的“科普”读物，而是实打实的硬核教材。我注意到，作者在处理经典力学中的拉格朗日量和哈密顿量时，明显融入了现代控制理论的视角，这使得原本略显陈旧的理论焕发出了新的活力。我尝试着将书中的变分原理应用于一个简单的悬臂梁挠度问题，发现它提供的求解框架比传统刚体平衡方程的思路要优雅得多，尤其是在处理非线性约束时，这种优势更加明显。我目前正在努力消化关于“伴随问题”（Adjoint Problems）的引入部分，这部分内容在现代优化算法和后处理误差估计中扮演着至关重要的角色，但往往在入门书籍中被一带而过。这本书却给予了足够的篇幅进行详尽的分析，甚至讨论了不同函数空间下的收敛性和稳定性问题，这对于一个希望深入有限元数值实现的人来说，简直是如获至宝。它的价值在于，它不只是教你“怎么做”，更重要的是告诉你“为什么这样做是正确的，而且是最优的”。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书的数学严谨性是令人敬畏的，它可能不太适合初次接触变分法的读者。那些习惯于快速得到计算结果的人，可能会在开篇的严格定义和公理推导中感到挫败。但对于那些真正想在理论上站稳脚跟的人来说，这种“慢工出细活”的叙事方式恰恰是最宝贵的财富。我个人特别喜欢作者在引入瑞利-里茨法（Rayleigh-Ritz Method）时所采取的策略，他没有急于给出离散化的公式，而是先从函数空间的最小二乘逼近这一几何直觉出发，将抽象的泛函极小问题，转化为可以操作的有限维向量空间上的最小化问题。这种从几何到代数的桥梁搭建得非常巧妙。此外，这本书在符号的选取上，似乎也暗含着某种约定俗成的惯例，这对于习惯了阅读其他专业文献的读者来说，减少了二次学习成本。我目前正在对照书中的例子，尝试自己推导一些关于弹性力学的本构关系下的能量泛函，进展虽然缓慢，但每一步的清晰感都极大地增强了我的信心。

评分☆☆☆☆☆

说实话，初次翻开这本书时，我的心情是略带忐忑的，毕竟“变分法”这个词听起来就带着一股高深莫测的精英气息。我更习惯于直接学习算法的实现细节，而不是深究其背后的数学哲学。然而，这本书的处理方式却非常接地气。它没有直接跳入复杂的积分方程，而是先花了大篇幅来铺垫变分思想的起源和发展脉络，这使得概念的接受度大大提高了。有一段关于“作用量最小原理”的阐述，作者用了一种非常形象的比喻来解释为什么自然界总是选择最“经济”的路径，读来令人会心一笑，瞬间打破了抽象理论带来的距离感。这本书的排版也值得称赞，公式的对齐和符号的规范使用，极大地减轻了阅读时的认知负担。不像有些老旧的教材，符号东拼西戳，让人怀疑自己是不是在解密暗号。我个人尤其欣赏它在概念清晰度上的努力，比如对“第一变分”和“第二变分”的区分，处理得极其到位，为后续理解能量泛函的极小性提供了关键的物理直觉。目前看来，它更像是一位经验丰富的导师，而非冰冷的公式集合。