變分法及有限元（上冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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錢偉長 著

圖書標籤:

• 變分法
• 有限元
• 數值分析
• 計算數學
• 偏微分方程
• 工程數學
• 科學計算
• 數學物理方法
• 連續介質力學
• 結構力學

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齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030468963

版次：1

商品編碼：10437785092

包裝：平裝

開本：16

齣版時間：2016-03-07

頁數：618

字數：529

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變分法及有限元（上冊）
	定價	158.00
	齣版社	科學齣版社
	版次	1
	齣版時間	2016年03月
	開本	16
	作者	錢偉長
	裝幀	平裝
	頁數	618
	字數	529
	ISBN編碼	9787030468963

內容介紹
錢偉長*的《變分法及有限元（典藏版）》係統 地論述瞭作為有限元法基礎的變分原理，以廣義變分 原理貫穿全書。其中相當一部分內容是作者多年來的 工作成果。
全書分上、下二冊，上冊為前九章，內容包括： 變分法的基礎理論；梁、闆小撓度和大撓度的靜力學 、動力學問題；闆的熱彈性問題；彈性體小位移變形 和大位移變形的靜力學、動力學問題；熱彈性力學和 塑性力學問題等等。
本書可供有關科學研究人員、工程技術人員和高 等院校師生參考。


目錄

第*章  變分法的一些基本概念   §1.1 曆史上有名的變分命題，泛函，較一般的變分命題   §1.2 變分及其特性   §1.3 泛函的極值問題求解，變分法的基本預備定理，歐拉方程   §1.4 多個待定函數的泛函，哈密頓原理   §1.5 含有多個自變量的函數的泛函及其極值問題 第二章  條件極值問題的變分法   §2.1 函數的條件極值問題，拉格朗日乘子   §2.2 泛函在約束條件φi（x，y1，y2，，yn）=0（i=1，2，，k）下的極值問題   §2.3 泛函在約束條件φi（x，y1，y2，，yn；y'1，y'2，，yn）dx=ai（i=1，2，，k）下的極值問題   §2.4 超音速流中細長體的zui小流阻問題   §2.5 彈性薄闆彎麯問題的廣義變分原理   §2.6 斯脫姆-劉維耳（sturin-Liouville）型二階微分方程的變分推導，瑞利（Rayleigh）原理，特徵值問題的瑞利一立茲（Rayleigh-Ritz）法   §2.7 斯脫姆-劉維耳四階微分方程的變分推導及其應用 第三章  邊界待定的變分問題   §3.1 zui簡單的，泛函為F（x，y，y’）dx的，邊界待定的變分問題，交接條件   §3.2 泛函F（x，y，y’）dx的極值麯綫有摺點的情況，光的摺射和反射   §3.3 泛函F（x，y，z，y’，x’）dx的邊界待定的變分問題   §3.泛函F（x，y，y’，y”）如的邊界待定的變分問題   §3.5 泛函F（x，y，w，wx，wy）dxdy的邊界待定的變分問題；薄膜接觸問題   §3.6 泛函F（x，y，w，wx，wy，wxy，wyy）dxdy的邊界待定的變分問題，薄闆接觸問題 第四章  泛函變分的幾種近似計算法（一）立茲法和伽遼金法   §4.1 泛函極值的近似和極值函數的近似   §4.2 泛函（Au，u）的正定性，泛函的極值和極值函數   §4.3 立茲變分近似法   §4.4 柱體扭轉問題的立茲法   §4.5 彈性闆的彎麯的立茲近似法   §4.6 伽遼金法，權函數 第五章  泛函變分的幾種近似計算法（二）康托洛維奇法，屈列弗茲法及其它   S 5.1 康托洛維奇近似變分法   §5.2 懸空邊矩形闆的康托洛維奇解法   §5.3 平麵滑塊間的油膜潤滑理論的康托洛維奇解法   §5.4 屈列弗茲扭轉上限法   §5.5 關於靜電場的變分問題、立茲法和屈列弗茲法的應用   §5.6 固定邊界薄闆在橫嚮載荷下彎麯問題的屈列弗茲解   §5.7 圓薄闆大撓度問題   §5.8 限製誤差近似法   §5.9 用限製誤差近似法求解固定正方闆的彎麯問題 第六章  特徵值問題變分近似法   §6.1 特徵值問題變分近似法的一些基本理論問題   §6.2 薄膜振動的頻率，瑞利-立茲法   §6.3 薄闆振動的頻率，瑞利-立茲法   §6.4 薄闆平麵內受力時的振動頻率   §6.5 特徵值問題的邊界條件放鬆法（萬因斯坦-錢偉長）或特徵值問題的下限法   §6.6 闆內有張力的方闆的振動特徵值的下限問題   §6.7 有關瑞利-立茲法特徵方程的定理   §6.8 重演法求特徵方程的解 第七章  小位移變形彈性理論及有關問題的變分原理   §7.1 小位移變形彈性理論的zui小位能原理和zui小餘能原理   §7.2 彈性平麵問題的變分原理   §7.3 zui小餘能原理對固定矩形闆的應用   §7.4 小位移變形的彈性理論的廣義變分原理   §7.5 混閤邊界條件的廣義變分原理   §7.6 平麵應力問題的廣義變分，帶有邊框的矩形闆牆的平麵彈性力學問題   §7.7 彈性理論小位移變形問題的各級不完全的廣義變分原理   §7.8 彈性理論小位移變形問題的分區完全或不完全的廣義變分原理   §7.9 任意形狀薄闆在復雜邊界條件下的廣義變分原理 第八章  大位移變形彈性理論和熱彈性理論的變分原理   §8.1 大位移變形彈性理論的zui小位能原理   §8.2 薄闆大撓度問題的變分原理   §8.3 薄殼大撓度彎麯理論的廣義變分原理   §8.4 大位移變形彈性理論的餘能駐值原理   S 8.5 大位移非綫性彈性理論的廣義變分原理   §8.6 大位移變形彈性理論的不完全的廣義變分原理   §8.7 大位移變形非綫性彈性理論的分區完全和不完全的廣義變分原理   §8.8 彈性動力學問題的變分原理   §8.9 彈性體自由振動的廣義變分原理   §8.10 定常溫度場的熱彈性理論問題的變分原理   §8.11 非定常溫度場熱彈性理論的變分原理（耦閤的熱彈性理論的變分原理）   §8.12 彈性薄闆的耦閤熱彈性變分原理 第九章  塑性力學的變分原理   §9.1 塑性力學形變理論的變分原理   §9.2 塑性力學形變理論的廣義變分原理   §9.3 塑性流動理論的變分原理   §9.4 剛塑性體極限分析的變分原理 索引 人名、譯名對照索引

圖書簡介：數學的深邃與應用的廣袤 本書籍旨在深入探討現代數學在解決復雜科學與工程問題中的核心理論與實用方法。全書內容圍繞兩大支柱構建：泛函分析的基礎理論與有限元方法在工程實踐中的應用。我們緻力於為讀者提供一個既具有堅實數學根基，又緊密貼閤實際工程需求的知識體係。 第一部分：泛函分析的基石與變分原理的精髓 本部分著重於建立解決偏微分方程（PDEs）的理論框架，特彆是變分法作為其核心工具的地位。變分法不僅是一種求解技巧，更是一種深刻的物理直覺的數學錶達，它將對物理係統（如最小勢能原理、最小作用量原理）的描述轉化為對特定函數空間中泛函的極值問題。 1. 函數空間與拓撲結構： 我們將從拓撲學基礎和度量空間概念入手，逐步過渡到更抽象但更強大的賦範綫性空間。重點闡述Banach空間和Hilbert空間的結構特性。對這些空間的研究是理解無窮維空間中收斂性、完備性和連續性的關鍵。特彆關注Sobolev空間 ($ ext{W}^{k,p}(Omega)$) 的引入，這是處理含有高階導數的偏微分方程（如泊鬆方程、雙調和方程）的必備工具。Sobolev空間的定義、嵌入定理（如Rellich-Kondrachov定理）的深入剖析，將使讀者理解為什麼在許多工程問題中，經典意義下的光滑解是不存在的，而廣義解（Sobolev解）纔是問題的真正答案。 2. 綫性算子與有界性： 對綫性算子（Operators）的分析是泛函分析的核心。本書詳細討論瞭有界綫性算子的性質，其定義、範數計算以及與矩陣的類比。更進一步，將介紹Hellinger-Toeplitz定理和開映射定理等，這些定理為我們理解無窮維問題中的解的存在性和唯一性提供瞭堅實的理論後盾。 3. 變分問題的提煉與拉剋朗日乘子法推廣： 本章將經典的變分問題（如極小麯麵問題）提升到泛函的層麵。我們定義瞭泛函的變分（Gateaux導數和Fréchet導數），並推導齣歐拉-拉格朗日方程。在涉及約束條件的情況下，將詳述拉格朗日乘子法在無窮維空間中的推廣，這直接導嚮瞭 PDEs 的弱形式。重點強調，從物理直覺（如能量最小化）到數學形式（弱解的定義）的轉化過程，這是理解後續有限元方法的思想源泉。 4. 橢圓型方程的弱解理論： 本部分的高潮在於將變分法應用於橢圓型偏微分方程（如泊鬆方程 $Delta u = f$）。我們將嚴謹地推導並證明拉剋施米德-米爾格蘭（Lax-Milgram）定理。該定理是保證二階綫性自伴隨橢圓型方程在特定條件下存在唯一弱解的基石。讀者將清晰地理解弱解的定義、測試函數空間的選取，以及如何利用對偶理論和能量不等式來建立解的存在性。 第二部分：有限元方法的結構、離散化與實現 第二部分將理論框架轉化為可操作的計算工具——有限元方法（FEM）。有限元方法的核心思想是將無限維的函數空間（弱解空間）離散化到有限維的子空間上，從而將復雜的積分方程轉化為可求解的綫性代數方程組。 1. 有限元方法的數學基礎與離散化： 首先，本書將弱形式（變分形式）作為有限元方法的齣發點，強調瞭 Galerkin方法的本質。我們將詳細討論有限元空間（Trial and Test Spaces）的構建，即如何選擇一組基函數（形函數）來近似真實解。 2. 三角剖分與網格生成： 工程應用中的幾何復雜性要求對求解區域 $Omega$ 進行恰當的離散化。本章深入探討單純剖分（Triangulations/Tessellations）的性質，包括邊界處理、網格質量（如角度質量）對解精度的影響。我們將分析一維、二維和三維空間中網格的生成技術，並介紹一緻性（Unisolvence）和局部細化（Refinement）的概念。 3. 形函數（Shape Functions）與單元剛度矩陣的構建： 這是 FEM 計算的核心。本書將詳細分析P1 (綫性)、P2 (二次) 等不同階次的拉格朗日插值多項式作為形函數。重點講解如何利用單元剛度矩陣（Element Stiffness Matrix）和單元載荷嚮量的局部計算公式。我們將通過高斯積分（數值積分）來精確或近似地計算這些矩陣的元素。 4. 組裝過程與代數方程的求解： 局部計算的單元矩陣和嚮量需要通過組裝（Assembly）過程，映射到全局求解器上，形成一個大規模的稀疏綫性代數方程組 $AU = F$。本書將分析稀疏矩陣的存儲格式（如CSR格式）以及該係統方程的特性（對稱性、正定性）。 5. 方法的收斂性與誤差分析： 理論的嚴謹性要求對 FEM 的精度進行量化分析。我們將引入插值誤差估計，重點闡述 Nitsche’s Lemma 和 Céarlet-Raviart 定理。分析全局誤差 ($|u - u_h|$) 與網格尺寸 $h$ 之間的關係，解釋 $h$-收斂和 $p$-收斂的概念，使讀者能根據工程需求選擇閤適的網格和多項式階數。 6. 邊界條件的處理： 邊界條件（Dirichlet, Neumann, Robin）在變分框架下的自然嵌入方式是 FEM 優於有限差分法的關鍵優勢之一。本書將清晰展示如何將這些條件融入到弱形式的推導和單元組裝過程中，確保物理約束得到正確的數值實現。 全書的敘述風格力求清晰、邏輯嚴密，理論推導詳盡，並輔以適量的算例和幾何直觀的解釋，旨在為從事固體力學、流體力學、電磁場分析、以及計算物理的工程師和研究人員打下堅實的理論基礎。

評分☆☆☆☆☆

與其他一些側重於有限元具體離散步驟的教材相比，這本《變分法及有限元（上冊）》的側重點明顯更偏嚮於“根源”的挖掘。它更像是一本關於“數學物理方法”與“數值分析”的交匯點綜述，而不是一本純粹的“有限元操作手冊”。我欣賞它對“變分不等式”的討論，這在處理接觸問題和非光滑優化時是無可替代的理論基石。書中對於選擇閤適的測試函數空間（Test Functions）的討論，也顯得尤為深刻，這直接關係到解的“弱解”性質和物理意義。我發現，當我對一個具體的工程問題感到睏惑時，迴過頭來查閱這本書中關於能量守恒或虛功原理的變分錶述，往往能瞬間理清思路，找到問題的核心矛盾。這本書的寫作風格是典型的學院派，邏輯鏈條緊密到幾乎沒有冗餘，但同時也要求讀者必須具備紮實的微積分和綫性代數基礎纔能跟上節奏。它不是一本可以輕鬆讀完的書，它更像是一部可以長期參考的工具書，每次重讀都會有新的體悟。

評分☆☆☆☆☆

這本教材的封麵設計就給人一種沉穩、厚重的學術氣息，拿到手裏就能感受到它分量十足。我一直對純數學在工程應用中的落地充滿好奇，尤其是在力學和結構分析領域，理論推導的嚴謹性如何轉化為實際問題的求解框架。盡管我還沒能完全啃完，但前幾章關於泛函極值原理的引入，那種從微積分到變分原理的自然過渡，著實令人耳目一新。作者似乎非常注重理論的內生邏輯，而不是簡單地堆砌公式。特彆是講解歐拉-拉格朗日方程時，那種步步為營、層層遞進的推導過程，仿佛是領著讀者在數學的迷宮中尋找到瞭一條清晰的路徑。對於我這種習慣瞭數值計算的“後學者”來說，重新審視這些基礎原理，就像是給自己的知識體係打瞭一次堅實的底層地基。我特彆期待後續章節如何將這些抽象的變分概念，與我們熟悉的偏微分方程（PDEs）建立起牢不可破的聯係。希望它能幫助我真正理解，為什麼有限元方法（FEM）的“弱形式”可以如此高效地處理復雜的邊界條件。總的來說，目前的閱讀體驗是，它是一本需要耐心、但迴報豐厚的“內功心法”類書籍。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，這本書的數學嚴謹性是令人敬畏的，它可能不太適閤初次接觸變分法的讀者。那些習慣於快速得到計算結果的人，可能會在開篇的嚴格定義和公理推導中感到挫敗。但對於那些真正想在理論上站穩腳跟的人來說，這種“慢工齣細活”的敘事方式恰恰是最寶貴的財富。我個人特彆喜歡作者在引入瑞利-裏茨法（Rayleigh-Ritz Method）時所采取的策略，他沒有急於給齣離散化的公式，而是先從函數空間的最小二乘逼近這一幾何直覺齣發，將抽象的泛函極小問題，轉化為可以操作的有限維嚮量空間上的最小化問題。這種從幾何到代數的橋梁搭建得非常巧妙。此外，這本書在符號的選取上，似乎也暗含著某種約定俗成的慣例，這對於習慣瞭閱讀其他專業文獻的讀者來說，減少瞭二次學習成本。我目前正在對照書中的例子，嘗試自己推導一些關於彈性力學的本構關係下的能量泛函，進展雖然緩慢，但每一步的清晰感都極大地增強瞭我的信心。

評分☆☆☆☆☆

這本書的深度和廣度是毋庸置疑的，它絕非市麵上那種淺嘗輒止的“科普”讀物，而是實打實的硬核教材。我注意到，作者在處理經典力學中的拉格朗日量和哈密頓量時，明顯融入瞭現代控製理論的視角，這使得原本略顯陳舊的理論煥發齣瞭新的活力。我嘗試著將書中的變分原理應用於一個簡單的懸臂梁撓度問題，發現它提供的求解框架比傳統剛體平衡方程的思路要優雅得多，尤其是在處理非綫性約束時，這種優勢更加明顯。我目前正在努力消化關於“伴隨問題”（Adjoint Problems）的引入部分，這部分內容在現代優化算法和後處理誤差估計中扮演著至關重要的角色，但往往在入門書籍中被一帶而過。這本書卻給予瞭足夠的篇幅進行詳盡的分析，甚至討論瞭不同函數空間下的收斂性和穩定性問題，這對於一個希望深入有限元數值實現的人來說，簡直是如獲至寶。它的價值在於，它不隻是教你“怎麼做”，更重要的是告訴你“為什麼這樣做是正確的，而且是最優的”。

評分☆☆☆☆☆

說實話，初次翻開這本書時，我的心情是略帶忐忑的，畢竟“變分法”這個詞聽起來就帶著一股高深莫測的精英氣息。我更習慣於直接學習算法的實現細節，而不是深究其背後的數學哲學。然而，這本書的處理方式卻非常接地氣。它沒有直接跳入復雜的積分方程，而是先花瞭大篇幅來鋪墊變分思想的起源和發展脈絡，這使得概念的接受度大大提高瞭。有一段關於“作用量最小原理”的闡述，作者用瞭一種非常形象的比喻來解釋為什麼自然界總是選擇最“經濟”的路徑，讀來令人會心一笑，瞬間打破瞭抽象理論帶來的距離感。這本書的排版也值得稱贊，公式的對齊和符號的規範使用，極大地減輕瞭閱讀時的認知負擔。不像有些老舊的教材，符號東拼西戳，讓人懷疑自己是不是在解密暗號。我個人尤其欣賞它在概念清晰度上的努力，比如對“第一變分”和“第二變分”的區分，處理得極其到位，為後續理解能量泛函的極小性提供瞭關鍵的物理直覺。目前看來，它更像是一位經驗豐富的導師，而非冰冷的公式集閤。