復變導論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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圖書標籤:

• 復變函數
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• 數學分析
• 高等數學
• 復數
• 解析函數
• 留數定理
• 共形映射
• 復變積分
• 數學

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510040658

商品編碼：10914323

包裝：平裝

用紙：膠版紙

前言/序言

《綫性代數：理論與應用》 本書旨在為讀者構建紮實的綫性代數基礎，深入探討其核心概念、理論體係及其在現代科學、工程與經濟領域中的廣泛應用。 第一部分：基礎與嚮量空間 第一章 矩陣與初等行變換 本章從最基礎的矩陣運算入手，詳細闡述矩陣的加減乘除、轉置、逆矩陣的求解。重點介紹高斯消元法和高斯-約旦消元法作為求解綫性方程組的基石。通過大量的實例和習題，使讀者熟練掌握行階梯形和簡化行階梯形的概念，理解矩陣的秩與綫性方程組解的存在性和唯一性之間的內在聯係。 第二章 嚮量空間 本章是理解綫性代數抽象結構的關鍵。我們首先引入嚮量的概念，並推廣到更一般的嚮量空間定義，包括實數域 $mathbb{R}^n$ 上的嚮量空間以及抽象嚮量空間。核心內容包括子空間的定義、和、交、直和分解。重點深入探討綫性組閤、綫性相關性與綫性無關性，以及基（Basis）與維數（Dimension）的定義與性質。讀者將學習如何對不同嚮量空間構造標準基，並理解維數作為空間“大小”的度量所蘊含的深刻幾何意義。 第三章 綫性變換 綫性變換是連接不同嚮量空間之間的橋梁。本章定義綫性變換的數學性質，並證明每個綫性變換都可以由一個唯一的矩陣錶示。我們將探討核（Kernel）和像（Image）的概念，理解它們如何刻畫變換的性質，特彆是關於單射性和滿射性。本章還涉及基變換對矩陣錶示的影響，為後續的相似變換打下基礎。 第二部分：結構與幾何 第四章 行列式 行列式作為衡量方陣性質的重要工具，是本章的核心。我們將通過兩種主要方式介紹行列式的定義：基於置換的定義和基於代數餘子式的遞歸定義。重點分析行列式的基本性質，如與行變換和列變換的關係。深入討論行列式在判斷矩陣可逆性、求解綫性方程組（剋萊姆法則）以及計算幾何體積變換中的作用。 第五章 對角化與特徵值 特徵值與特徵嚮量是綫性代數中應用最廣泛的概念之一。本章詳細介紹特徵值和特徵嚮量的求解過程，並解釋它們在動態係統分析中的物理意義——錶示係統不變的方嚮。本章的核心在於相似性的概念，以及判斷一個矩陣是否可對角化的充要條件。掌握對角化方法，可以極大地簡化矩陣的冪運算和高階方程的求解。 第六章 實內積空間 本章將代數結構提升到幾何層麵，引入內積（Dot Product）的概念，從而定義長度（範數）和角度。重點探討歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 上的標準內積，並推廣到一般實內積空間。關鍵內容包括施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，以及正交基和正交矩陣的優越性。本章還引入瞭正交補空間的概念，為最小二乘法奠定基礎。 第三部分：深入分析與應用 第七章 對稱矩陣與二次型 本章專注於在工程和優化問題中占據核心地位的對稱矩陣。我們將證明對稱矩陣必然可正交對角化，並利用這一性質深入研究二次型。通過閤同變換和主軸定理，學習如何將復雜的二次型轉化為標準的對角形式，這在幾何上對應於確定橢圓、雙麯綫等二次麯綫的主軸方嚮。 第八章 奇異值分解（SVD）與僞逆 奇異值分解（SVD）是現代數據科學和數值分析的基石。本章將介紹SVD的構造方法和幾何解釋，證明任何矩陣（無論方陣與否）都可以進行SVD分解。我們將探討SVD在低秩近似、主成分分析（PCA）中的作用，並利用SVD定義矩陣的摩爾-彭若斯僞逆，從而提供綫性方程組最小二乘解的普適方法。 第九章 導論：應用實例與模型 本章將前麵所學的理論知識應用於具體的實際問題，展示綫性代數的強大威力： 圖論與網絡分析： 利用鄰接矩陣和拉普拉斯矩陣分析網絡連通性。 差分方程與係統穩定性： 利用特徵值分析綫性常微分方程組的長期行為。 信息檢索： 簡要介紹PageRank算法背後的迭代思想與特徵嚮量的關係。 本書的編寫風格力求嚴謹的數學推導與清晰的直觀解釋相結閤，通過大量的應用實例和精心設計的習題，確保讀者不僅掌握“如何計算”，更能理解“為什麼”。本書適閤高等院校理工科、經濟管理類專業的本科生作為教材或參考書，也是自學者構建紮實數學基礎的理想選擇。

評分☆☆☆☆☆

這本書的精妙之處，恰恰在於它對理論框架的構建邏輯有著近乎強迫癥般的嚴謹性，但這種嚴謹性並未以犧牲可讀性為代價。每當引入一個關鍵定理，比如柯西-古薩蒂定理（Cauchy-Goursat Theorem），作者都會先從一個看似微不足道的、隻在一個小區域內成立的特例講起，然後通過一係列精心設計的、層層遞進的輔助引理，最終推導齣更一般、更強大的結論。這種“積木式”的搭建過程，使得讀者不僅記住瞭公式本身，更深刻理解瞭公式成立的必要條件和適用範圍。對我而言，這種對數學思維過程的還原比單純的結果展示更有價值。書中對解析函數的性質，特彆是其光滑性與可微性的緊密聯係，探討得極為透徹。它沒有滿足於僅僅展示“復變函數可導意味著無窮次可導”這個驚人結論，而是深入挖掘瞭泰勒展開和冪級數收斂在復平麵上的深刻含義。這種對數學“為什麼”的追問，使得這本書不僅僅是一本工具書，更是一部關於復分析思想哲學的深刻論述，讓我對數學的內在美感有瞭更深一層的體會。

評分☆☆☆☆☆

如果說這本書的理論深度讓人敬佩，那麼它在習題設計上的匠心獨運則更令人稱道。市麵上很多教材的習題要麼過於簡單，停留在機械代數運算的層麵，要麼直接跳躍到需要研究生水平技巧的難題。然而，這本書的習題設置，完美地實現瞭從基礎鞏固到創新應用的過渡。前麵的練習題通常緊扣當前章節的核心定義和基本定理，目的是確保讀者對概念的掌握是紮實且靈活的；而章節末尾的綜閤題則往往設計得富有啓發性，常常需要讀者將本章內容與前幾章的知識點巧妙地結閤起來，甚至需要引入一些輔助函數或進行巧妙的變量代換。我特彆喜歡那些涉及特定積分計算的題目，它們巧妙地利用瞭留數定理來處理那些在實分析中幾乎無法下手的定積分或無窮級數求和問題。這些習題不僅僅是檢驗學習成果的工具，更像是作者精心設計的“思維迷宮”，引導我們自己去發現和體會復變函數在解決實際問題時的強大威力，這無疑極大地增強瞭學習的成就感和自信心。

評分☆☆☆☆☆

我必須強調這本書在排版和視覺呈現上的巨大貢獻。對於一本涉及大量希臘字母、復雜上下標、積分符號和特殊函數符號的數學著作來說，清晰度是至關重要的。這本書在這方麵做到瞭極緻。所有的公式都經過精心排布，符號之間的間距恰到好處，使得復雜的錶達式在視覺上也不會顯得擁擠或混亂。更難能可貴的是，作者在引入新概念或定理時，往往會使用略微不同的字體或加粗處理，這使得讀者在快速瀏覽時，能夠迅速捕捉到文本的核心結構和重點內容。例如，當涉及到復平麵的特定區域描述時，作者會用清晰的圖形來輔助說明，這些圖示不僅準確，而且往往包含額外的注釋，指明瞭邊界點的性質或者積分路徑的方嚮性。這種對細節的關注，極大地減少瞭閱讀過程中的認知負荷，讓我可以將更多精力投入到理解數學邏輯本身，而不是在辨認模糊不清的符號或圖形上浪費時間，這對於長時間的深度閱讀體驗來說，是無價的加分項。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名雖然直指高深的數學分支，但閱讀體驗卻齣奇地平易近人，尤其對於像我這樣在基礎微積分和綫性代數領域剛剛站穩腳跟，對復變函數抱持著既好奇又畏懼的初學者來說，它簡直是一盞明燈。作者似乎深諳初學者的心理睏境，沒有一上來就拋齣那些令人望而生畏的復數域上的柯西積分定理或留數定理的嚴密證明。相反，開篇花瞭大量篇幅在復數的幾何意義和代數結構上進行細緻入微的闡釋，比如莫比烏斯變換如何優雅地將平麵映射到球麵上，這種直觀的圖像感構建，極大地降低瞭抽象概念的門檻。我尤其欣賞的是作者在引入復變函數基礎概念時，總是習慣性地將其與讀者熟悉的實變量函數進行對比和類比，例如，通過對比 $frac{d}{dx}$ 和 $frac{d}{dz}$ 的不同，自然地引齣柯西-黎曼方程的意義。這種循序漸進、步步為營的教學方式，讓我在閱讀過程中很少産生“卡殼”的感覺，仿佛有一位耐心且博學的導師，始終伴隨左右，隨時準備為我清除前方的知識障礙。它成功地將一個被公認為難度係數較高的學科，用一種近乎講故事的敘述方式娓娓道來，讓學習過程充滿瞭探索的樂趣而非枯燥的計算。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我最大的啓發，是它成功地打破瞭我以往對“工具性數學”的刻闆印象。在此之前，我總覺得復分析不過是實分析在高階維度上的簡單延伸，主要用途無非是在物理或工程中進行一些復雜的積分運算。然而，通過閱讀此書，我開始領悟到復變函數論本身蘊含著一種超越計算的深刻美學。書中對共形映射（Conformal Mapping）的討論，讓我看到瞭幾何與分析如何完美融閤，它不僅僅是工具，更是一種強大的可視化語言，能夠將復雜的邊界值問題轉化為更簡單的幾何形狀上的研究。這種對解析函數保持角度不變性的特性，在描述流體力學或電磁場分布時展現齣的優雅性，讓我由衷地感到震撼。這本書沒有停留在教科書的層麵，它更像是一部導論性的哲學著作，引導我們思考數學結構如何在不同的抽象層次上保持其內在的一緻性和美感。它教會我的不僅僅是計算技巧，更是一種看待數學世界、探索其深層規律的全新視角。