普通高等教育“十二五”规划教材：数学分析选讲（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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臧子龙，李永军，魏晓娜 著

图书标签:

• 数学分析
• 高等教育
• 大学教材
• 微积分
• 函数
• 极限
• 连续性
• 微分
• 积分
• 规划教材

出版社： 同济大学出版社

ISBN：9787560847856

版次：1

商品编码：10959201

包装：平装

开本：16开

出版时间：2012-03-01

用纸：胶版纸

页数：172

字数：280000

内容简介

《普通高等教育“十二五”规划教材：数学分析选讲（上册）》分为上、下两册．《普通高等教育“十二五”规划教材：数学分析选讲（上册）》是为报考硕士研究生的学生并兼顾正在学习“数学分析”课程的学生编写的复习指导书．目的是帮助他们从概念和方法两方面深化、开拓所学数学分析的内容。
《普通高等教育“十二五”规划教材：数学分析选讲（上册）》按数学分析课的内容分为四章：极限理论、连续函数、一元函数微分学和一元函数积分学．每章由基本概念分析和解题方法分析两部分组成．前一部分，针对学生学习时易出现的错误，设计编写了各种形式的问题，以引导读者对基本概念、基本理论进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的思索和辨析；后一部分则着重分析解题思路，探索解题规律，归纳、总结解题方法。本书对读者掌握分析问题和处理问题的方法与技巧有较好的指导作用．所选例题、习题内容广泛，且具有与硕士研究生入学考试相当的水平．本书对从事数学分析和高等数学教学的教师也有参考价值。

目录

前言
第1章 极限理论
1基本概念分析
1．1数列极限和函数极限的定义收敛原理
1．2子列、聚点和上（下）极限
1．3极限的性质
习题1．I
Ⅱ解题方法分析
1．4利用定义和收敛原理研究极限
1．5利用子列和上（下）极限研究极限
1．6未定型的处理法
习题1．Ⅱ

第2章 连续函数
1基本概念分析
2．1连续与间断
2．2连续函数的性质
2．3一致连续性
习题2．I
Ⅱ解题方法分析
2．4连续性的判别
2．5连续函数性质的应用
2．6用实数基本定理研究函数
习题2．Ⅱ

第3章 一元函数微分学
I基本概念分析
……
第4章 一元函数积分学
参考文献

前言/序言

现代高等数学与应用分析前沿探索 （本书旨在为具有扎实微积分基础，并希望深入探索高等数学理论深度与实际应用广度的学生及研究人员提供一套全面、严谨且富于启发性的进阶读物。全书共分上下两册，本册为上册，侧重于理论基础的深化与拓宽。） 引言：超越基础，迈向分析的殿堂 高等数学的学习是理工科人才培养的基石，但传统的微积分课程往往受限于篇幅和教学目标，难以触及现代数学分析的诸多精妙之处。本书正是在此背景下应运而生，它并非传统“数学分析”或“高等数学”的简单重复，而是力求在继承经典分析学严谨性的同时，融入当代数学研究中至关重要的现代视角与工具。我们相信，真正的理解源于对概念本质的深刻洞察，而非公式的机械记忆。 第一篇：拓扑预备与度量空间基础 在本书的开篇，我们首先将读者从熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中“解放”出来，进入更具一般性的集合结构——拓扑空间的领域。 第1章：基础集合论与关系回顾：本章快速回顾实数集 $mathbb{R}$ 上的基本性质，重点在于构造性证明的思维训练，并引入了关于选择公理和良序的讨论，为后续构建抽象空间打下逻辑基础。 第2章：度量空间（Metric Spaces）的建立：这是本书理论深化的第一个关键步骤。我们详细定义了度量、拓扑、开集、闭集、邻域等核心概念。重点在于通过具体的例子（如函数空间 $C[a, b]$ 上的均匀收敛度量、泛函分析中常见的 $L^p$ 范数导出的度量），展示度量空间如何概括我们熟悉的距离概念。我们将深入探讨完备性——完备度量空间（巴拿赫空间的前身）的性质，并首次引入贝尔纲定理（Baire Category Theorem）的初步应用，揭示完备空间中“大部分点”的性质。 第3章：连续性与紧致性的一般化：在度量空间中，我们重新审视函数和映射的性质。函数在度量空间间的连续性定义被抽象化，并与拓扑结构联系起来。至关重要的是，我们彻底剖析了紧致性的概念。紧致集的定义（任一流有限子开复盖必有有限子覆盖）在度量空间中的等价描述——可列紧性，以及它在保证函数能取到最大值、保证收敛序列有收敛子序列中的核心作用。我们将探讨紧致性与完备性的协同工作，为后续处理函数空间上的收敛问题奠定坚实基础。 第二篇：序列、级数与泛函分析的萌芽 在构建了抽象空间框架后，本篇将分析的核心对象——序列和级数——置于更广阔的背景下考察，并引入线性代数中向量空间的分析视角。 第4章：序列收敛与极限的深入研究：我们不再满足于 $epsilon-N$ 语言，而是使用拓扑术语（如极限点、聚点）来刻画收敛性。本章将深入讨论依范数收敛与依度量收敛的区别与联系，并引入点态收敛与一致收敛的严格区分，尤其是在函数序列中，一致收敛是如何保证连续性的传递，而非点态收敛所能保证的。 第5章：函数空间中的幂级数与傅里叶级数的初步接触：虽然傅里叶分析通常被视为一个独立分支，但其收敛性问题本质上是函数空间上的级数问题。本章会使用巴拿赫空间（完备赋范向量空间）的工具，初步讨论柯西序列在函数空间中的含义。我们将展示为什么 $L^2$ 空间在处理无穷级数展开时具有优越性，并为下册中更精细的傅里叶分析做铺垫。 第6章：线性算子与连续性：本章将分析的视角从静态的点扩展到动态的映射。我们将拓扑线性空间中的线性映射（算子）进行研究。一个关键成果是证明有界线性算子的定义，并证明在有限维空间中，所有线性算子都是有界的。我们将用著名的开映射定理和闭图像定理的简单形式，展示完备性条件对线性映射性质的巨大约束力，这构成了泛函分析的初步框架。 第三篇：勒贝格积分理论的引入 传统黎曼积分在处理不规则函数和极限操作时存在明显缺陷。本书将通过现代测度论的视角，引入更强大、更普适的勒贝格积分。 第7章：测度空间（Measure Spaces）的构建：测度论是现代分析的基石。本章将从可测集（Measurable Sets）开始，定义 $sigma$-代数和测度（Measure）。我们将详细构造勒贝格测度，并证明其外延性。本章的核心在于理解可测函数的定义，这是积分理论的先决条件。 第8章：勒贝格积分的定义与性质：本书将采用标准的两步构造法：先定义简单函数的积分，再推广到非负可测函数，最后推广到一般的可测函数。我们将着重证明勒贝格积分相较于黎曼积分的优越性：单调收敛定理（MCT）和法图引理（Fatou’s Lemma）。这两个定理是分析学中处理极限与积分顺序交换的核心工具，其简洁和普适性令人震撼。 第9章：积分的收敛定理与应用：本章的重头戏是勒贝格控制收敛定理（DCT）。我们将通过严谨的证明展示，在“控制”（即存在一个可积函数支配着函数序列）的条件下，极限与积分可以自由交换。我们将用具体的例子（如狄利克雷函数在不同极限过程下的积分表现）来对比黎曼积分的失败与勒贝格积分的成功，展示其在概率论、偏微分方程等领域的不可替代性。 展望：上册的收尾，是为读者提供一个坚实的、现代的分析基础。读者将能够理解从 $mathbb{R}^n$ 空间到抽象度量空间，再到测度空间的理论递进关系，并掌握处理函数序列和级数问题的利器——勒贝格积分。下册将在此基础上，深入探讨傅里叶分析、调和分析的初步概念，以及泛函分析中的希尔伯特空间理论。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本教材，我最大的感受是它成功地拉近了数学分析与读者之间的距离。作者的语言风格非常平实易懂，避免了过于生僻的术语和晦涩的表达。即使是一些非常抽象的概念，例如函数空间或者测度论的初步思想，作者也能用非常生活化的比喻和类比来解释，让这些高深的理论变得触手可及。例如，在介绍序列的收敛性时，作者用“追逐”和“靠拢”这样的词汇来形象地描述数列项的运动趋势，这比单纯的数学定义更能引发读者的共鸣。书中还穿插了一些数学史的小故事，介绍了一些著名数学家在探索这些概念时的心路历程，这不仅增加了阅读的趣味性，也让读者对数学这门学科有了更深层次的理解，认识到数学是人类智慧的结晶，而非冷冰冰的符号。这种人文关怀的融入，使得这本书不仅仅是一本教科书，更是一本引人入胜的数学读物。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我印象深刻的一点，是它并非简单地罗列定理和公式，而是着重于数学思想的渗透和逻辑推理的训练。作者在讲解每一个概念时，都会追溯其产生的历史背景和解决问题的动机，这使得学习过程不再是枯燥的记忆，而更像是一次思维的探险。例如，在介绍导数的章节，作者并没有直接给出定义，而是先从物理学中瞬时速度的概念引申，再到几何学中切线斜率的讨论，层层递进，让读者在潜移默化中理解导数为何出现，以及它在解决实际问题中的强大能力。书中的例题设计也非常巧妙，难度循序渐进，既有基础巩固型的，也有能够启发思考的变式题。更重要的是，作者在解题思路的分析上非常到位，不仅仅给出答案，还会剖析解题的关键步骤和可能遇到的陷阱，这对于培养学生的独立思考能力和解决问题的能力非常有帮助。我常常在一道题上卡壳，但通过研读作者的分析，总能豁然开朗，这种学习的成就感是其他许多教材无法给予的。

评分☆☆☆☆☆

这本书在练习题的设计上，可以说是“寓教于乐”的典范。每一章的习题都紧密结合当章的知识点，并且难度分布合理，从基础巩固到综合应用，再到一些具有挑战性的探索性题目，能够满足不同水平的读者的需求。而且，很多习题的设置都充满了巧思，并不是简单的计算题，而是需要读者运用所学知识进行分析和推理。我尤其喜欢其中一些“思考题”，它们往往不要求直接得出答案，而是引导读者去思考问题的本质，去挖掘知识点之间的联系，这对于提升数学思维的深度和广度非常有益。解答这些题目虽然需要花费一些时间和精力，但每次解决一个难题，都会带来巨大的满足感，也让我对相关知识点有了更透彻的理解。书本的附录也相当实用，包含了一些重要的公式汇总和符号说明，方便查阅。整体而言，这本书的学习体验是全方位的，从理论讲解到实践练习，都设计得非常出色。

评分☆☆☆☆☆

这套书的排版设计真的非常用心，封面色彩搭配沉静而不失活力，摸上去的质感也相当不错，让人一看就觉得是经过精心打磨的作品。拿到手里沉甸甸的，仿佛承载着知识的分量。翻开内页，字体清晰，行距适中，阅读起来非常舒适，长时间看也不会感到眼睛疲劳。尤其值得称赞的是，书中的插图和图表制作得非常精美，逻辑清晰，色彩运用得当，对于理解抽象的数学概念起到了至关重要的辅助作用。例如，书中关于极限的章节，运用了大量生动形象的图形来解释 epsilon-delta 定义，这种可视化处理方式极大地降低了理解难度，让我这个对数学分析一直有些畏惧的读者，也能够饶有兴致地跟随作者的思路去探索。纸张的质量也非常好，不容易洇墨，用荧光笔标记也毫无压力，这对于需要反复研读和做笔记的学生来说，简直是福音。整体来说，这本书在物理形态上就已经给予了读者非常好的第一印象，让人迫不及待地想沉浸在其中。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容组织结构十分严谨，脉络清晰，过渡自然。从最基础的集合论和逻辑预备知识开始，逐步深入到函数、极限、连续性，再到微分学的基础。每一章都建立在前一章的基础上，形成了一个有机的整体。作者在内容的取舍上也很有见地，精选了数学分析中最核心、最能体现其魅力的部分进行深入讲解，避免了冗杂和不必要的细节，使得读者能够专注于核心知识的学习。书中对一些关键定理的证明，虽然逻辑严密，但并非照本宣科，而是辅以清晰的文字解释和直观的图示，让证明过程显得不那么艰涩。我特别欣赏作者在讲解积分章节时，对黎曼积分的引入方式，从分割、求和到取极限，整个过程的铺垫非常到位，让读者能够理解黎曼积分的几何意义和计算方法。这种由浅入深、循序渐进的教学方式，大大降低了学习的门槛，也让学习过程更加顺畅。