高中數學競賽課程講座：組閤數學 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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《中等數學》編輯部 編

圖書標籤:

• 組閤數學
• 高中數學
• 數學競賽
• 競賽輔導
• 組閤計數
• 排列組閤
• 數學思維
• 解題技巧
• 進階學習
• 挑戰自我

齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308118149

版次：1

商品編碼：11313756

包裝：平裝

叢書名： 高中數學競賽課程講座

開本：16開

齣版時間：2013-07-01

用紙：膠版紙

頁數：158

正文語種：中文

內容簡介

　　《高中數學競賽課程講座：組閤數學》收集瞭近十年發錶在中等數學上有關組閤數學多篇文章。這些文章涉及組閤數學的各個方麵，包括分類計數、容斥原理、組閤幾何、組閤恒等式等內容，講解組閤數學的基本概念、基本知識和基本的解題方法、技能，旨在培養學生分析問題和解決問題的能力。

目錄

一、組閤數及性質應用
（一）排列組閤問題的基本解法
（二）組閤求和
（三）組閤數的算法和技巧
（四）用數學歸納法解組閤問題
（五）介紹一個組閤問題

二、組閤計數
（一）數學競賽中的計數問題
（二）數學歸納法解一類計數問題
（三）配對原理（映射法計數）
（四）一類染色問題的計數公式
（五）等分圓周內接三角形計數問題
（六）分組法

三、組閤極值
（一）極值填數問題再探
（二）組閤極值問題的常用解法

四、與棋盤有關的組閤問題
（一）從“五子棋”到“馬步跳”
（二）棋盤上的數學問題
（三）近年國內外與數錶棋盤有關的競賽題

五、組閤構造
（一）兩種基本的構造方法
（二）構造法在數學競賽中的應用
（三）研究特例發現構造

六、染色與覆蓋
（一）趣談覆蓋
（二）點的任意染色問題

七、圖論問題
（一）與完全圖有關的競賽問題
（二）二部圖在組閤問題中的應用

八、組閤雜談
（一）有序化假設，尋找解題突破口
（二）利用轉化思想解競賽題
（三）解題小品——架橋結網
（四）解題小品——移形換位
（五）解題小品——歸本溯源
（六）一個有趣的組閤問題——五行輪填數

前言/序言

高中數學競賽課程講座：組閤數學 內容概述 本書是一部係統性、進階性的高中數學競賽輔導讀物，專注於組閤數學這一充滿趣味與挑戰的數學分支。本書旨在為有誌於衝擊各類數學競賽（如中國數學奧林匹剋、美國數學競賽等）的同學們提供堅實的基礎知識、深入的解題技巧以及豐富的練習素材。全書內容緊密圍繞組閤數學的核心概念展開，從基礎的計數原理齣發，逐步深入到生成函數、圖論基礎、置亂排列、容斥原理等更高級的專題，並結閤瞭大量經典的競賽試題進行剖析，引導讀者掌握解決復雜組閤問題的策略與方法。 本書結構與內容詳解 本書的章節設計循序漸進，邏輯嚴密，力求讓不同水平的讀者都能從中獲益。 第一章：計數原理初步——排列與組閤的基石 本章是組閤數學的入門，詳細介紹瞭排列與組閤的基本概念、計算公式以及它們之間的聯係與區彆。 基本計數原理： 深入講解加法原理和乘法原理，並通過大量實例展示它們在實際問題中的應用，如不同路綫的規劃、元素的選取與排列等。 排列： 區分有放迴和無放迴的排列，以及全排列、部分排列的概念。重點講解涉及重復元素的排列問題，例如“aabbc”類型的排列數計算。 組閤： 同樣區分有放迴和無放迴的組閤，以及組閤數公式 $C(n, k) = frac{n!}{k!(n-k)!}$ 的推導與應用。詳細討論組閤在分組、選派等問題中的運用。 排列與組閤的混閤應用： 學習如何根據問題特點，靈活運用排列和組閤來解決更復雜的計數問題。例如，在特定條件下進行元素的選擇與排列。 經典例題剖析： 選取一些初等但具有代錶性的排列組閤問題，進行詳細的解題步驟分析，強調思維過程的嚴謹性。 第二章：進階計數技巧——隔闆法、捆綁法與分類討論 在掌握瞭基本原理後，本章將介紹一些更具技巧性的計數方法，能夠解決一些看似棘手的問題。 隔闆法： 深入講解隔闆法在非負整數解、正整數解等方程整數解計數問題中的應用。例如，求解 $x_1 + x_2 + dots + x_k = n$ 的非負整數解的個數。 捆綁法： 介紹捆綁法在解決“相鄰”、“不相鄰”等排列問題中的應用。例如，在排列中要求某些元素必須相鄰或必須不相鄰的情況。 分類討論思想： 強調在計數問題中，恰當的分類和討論是避免重復或遺漏的關鍵。本章將通過多個實例展示如何根據問題的不同特徵進行分類，然後對每一類分彆計數，最後求和。 插空法： 講解插空法在解決“不相鄰”問題中的便捷性，例如，將若乾個元素排成一列，要求其中某幾個元素互不相鄰。 例題精講： 選取包含隔闆法、捆綁法、分類討論等技巧的經典競賽題目，演示如何識彆問題類型並運用相應的技巧。 第三章：容斥原理——“排除法”的藝術 容斥原理是組閤數學中一種強大的工具，用於計算若乾集閤的並集大小，尤其是當直接計算難度較大時，通過排除重疊部分來獲得最終結果。 容斥原理的基本形式： 介紹容斥原理在兩個集閤、三個集閤情況下的公式推導與理解。 容斥原理的推廣： 進一步講解容斥原理在 $n$ 個集閤情況下的普遍形式。 容斥原理在數論問題中的應用： 演示容斥原理如何應用於求解特定性質的整數個數，例如，求解在一定範圍內的整數中，不被若乾個互質數整除的數的個數。 容斥原理在圖論與組閤問題中的應用： 探討容斥原理在其他組閤學分支中的應用，例如，計算滿足特定條件的子集數量。 經典容斥問題解析： 選取最具代錶性的容斥原理應用題，詳細講解解題思路和步驟，幫助讀者熟練掌握此方法。 第四章：生成函數——“編碼”組閤問題的利器 生成函數是組閤數學中一種高級且靈活的工具，它將計數問題轉化為多項式的運算，從而簡化問題的分析。 多項式與級數： 迴顧多項式和級數的基本概念，為生成函數的引入做鋪墊。 普通生成函數： 介紹普通生成函數的構造方法，以及如何利用多項式乘法和冪級數運算來解決計數問題。例如，利用生成函數求解不定方程的整數解。 指數生成函數： 講解指數生成函數的特點及其在處理排列問題中的優勢，尤其是在涉及重復元素或特定順序的計數問題上。 生成函數在遞推關係求解中的應用： 展示如何利用生成函數將綫性遞推關係轉化為代數方程，從而求解遞推數列的通項公式。 實例與技巧： 通過多個不同類型的生成函數應用案例，講解如何構造閤適的生成函數，以及如何從生成函數中提取所需信息。 第五章：圖論基礎與計數——連接與結構的探索 圖論作為組閤數學的重要分支，研究對象是圖，涉及頂點、邊及其之間的關係，在很多組閤問題中都扮演著核心角色。 圖的基本概念： 介紹圖的定義、類型（有嚮圖、無嚮圖）、頂點、邊、度數、連通性等基本概念。 圖的計數問題： 討論一些基本的圖計數問題，例如，不同圖的個數，有標號圖和無標號圖的區彆。 通路、迴路與樹： 講解圖中的通路、迴路（圈）的概念，以及樹的定義、性質和計數。 二分圖與匹配： 介紹二分圖的概念，以及匹配（特彆是最大匹配）在某些組閤問題中的應用。 圖論思想在組閤問題中的應用： 舉例說明如何將一些抽象的組閤問題轉化為圖的結構，然後利用圖論的性質來求解。 第六章：置亂排列與遞推關係——“錯位”的奧秘 置亂排列（derangements）是組閤數學中一個經典且有趣的問題，它研究的是將一組元素重新排列，使得沒有任何元素齣現在其原來的位置上的排列方式。 置亂排列的定義與計數： 引入置亂排列的概念，並推導其計數公式（$!n$ 或 $D_n$）。 置亂排列的遞推關係： 建立置亂排列的遞推關係，並展示如何利用遞推關係進行計算。 置亂排列的應用： 探討置亂排列在實際問題中的應用，例如，帽子分配問題。 與容斥原理的聯係： 展示如何利用容斥原理來推導置亂排列的公式。 相關問題探討： 討論與置亂排列相關的變體問題，例如，至少一個元素在原位的排列數。 第七章：組閤恒等式與數學歸納法 數學歸納法和組閤恒等式是組閤數學中常用的證明工具，能夠幫助我們係統地證明數學命題。 數學歸納法的原理與應用： 詳細講解數學歸納法的證明步驟，並應用於證明組閤數公式、遞推關係等。 組閤恒等式： 介紹一些重要的組閤恒等式，例如，二項式定理、吸收恒等式、對稱恒等式等。 組閤證明技巧： 強調通過構造性計數（考慮同一事物，從不同角度計數）來證明組閤恒等式。 利用恒等式簡化計算： 展示如何利用已知的組閤恒等式來簡化復雜的組閤計數錶達式。 競賽試題中的證明： 選取一些需要利用數學歸納法或組閤恒等式進行證明的競賽題目，進行詳細的解題與證明過程分析。 第八章：抽屜原理與鴿巢原理 抽屜原理（或稱鴿巢原理）是組閤數學中最簡單但又最強大的證明工具之一，用於證明某些集閤中必然存在具有特定性質的元素。 抽屜原理的基本形式： 介紹抽屜原理的兩個基本形式，以及它們的直觀理解。 廣義抽屜原理： 講解廣義抽屜原理，以及它在處理更復雜問題中的應用。 抽屜原理的應用： 通過大量實例展示抽屜原理在數論、幾何、圖論等領域的廣泛應用。例如，證明在一定數量的整數中，必然存在兩個數的差（或和）是某個特定整數的倍數。 抽屜原理的變體與技巧： 探討抽屜原理的一些變體和巧妙運用方法。 例題剖析： 選取包含抽屜原理的典型競賽題目，進行深入的解題分析。 第九章：高級計數主題與技巧（選講） 本章將介紹一些更高級的組閤數學主題，為有餘力的讀者提供進一步探索的空間。 斯特林數（Stirling Numbers）： 介紹第一類和第二類斯特林數的定義、性質及其在劃分問題中的應用。 整數拆分（Integer Partitions）： 探討整數拆分的定義、生成函數以及相關的計數問題。 Burnside引理與Polya計數定理（概念介紹）： 簡要介紹Burnside引理和Polya計數定理的核心思想，以及它們在具有對稱性的計數問題中的作用。 組閤設計（Designs）初步： 簡要介紹組閤設計的基本概念，如平衡不完全區組設計（BIBD）。 附錄： 常用組閤數學公式匯總 數學術語中英文對照錶 參考文獻 本書特色 內容全麵且深入： 涵蓋瞭高中數學競賽中最核心、最常用的組閤數學知識點，從基礎到進階，由淺入深。 例題豐富且典型： 精選瞭大量來自國內外知名數學競賽的真題和改編題，涵蓋瞭各種題型和解題技巧。 講解清晰且透徹： 對每一個概念、定理都進行瞭詳細的推導和闡釋，並輔以直觀的解釋和類比，幫助讀者建立深刻的理解。 技巧性與係統性並重： 不僅傳授解題技巧，更注重培養讀者嚴謹的數學思維和解決問題的係統性方法。 循序漸進的難度設計： 章節之間邏輯緊密，難度逐步提升，適閤不同基礎的競賽選手。 啓發性與探索性： 鼓勵讀者獨立思考，通過對例題的深入研究，掌握解題的“道”，而不僅僅是“術”。 適用讀者 高中數學競賽選手： 準備參加全國高中學生數學聯賽、中國數學奧林匹剋、美國數學競賽（AMC）、國際數學奧林匹剋（IMO）等各類數學競賽的學生。 對組閤數學感興趣的學生： 希望係統學習和深入理解組閤數學知識的初高中生。 數學愛好者： 喜歡挑戰思維、探索數學奧秘的各類讀者。 數學教師與教練： 作為教學參考、競賽輔導的優質資源。 本書將帶領讀者進入一個充滿邏輯、結構與創意的數學世界，通過對組閤數學的深入學習，不僅能提升競賽成績，更能培養嚴謹的邏輯思維、強大的分析能力和解決問題的創新精神。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我帶來的最大感受，是那種“原來如此”的豁然開朗。在我翻閱《高中數學競賽課程講座：組閤數學》之前，我對許多組閤數學中的概念，比如“斯特林數”、“貝爾數”等，都感到十分陌生和難以理解。然而，作者以一種非常係統和漸進的方式，層層剝繭地將這些概念展現在讀者麵前。他非常善於通過“可視化”的手段來輔助理解，比如用圖形、錶格等方式來展示組閤結構的構成和變化，這極大地降低瞭理解的門檻。我特彆欣賞書中關於“遞推關係”的講解，作者不僅給齣瞭多種求解遞推關係的方法，更重要的是，他強調瞭如何通過分析問題的結構來構建遞推關係，這是一種更深層次的數學思維訓練。而且，書中的習題難度設置也非常閤理，從基礎鞏固到能力提升，再到思維拓展，各個層次的題目都覆蓋到瞭。讀完這本書，我感覺自己在組閤數學的知識體係上，已經建立起瞭一個紮實而完整的框架，這為我日後的深入學習和參加競賽打下瞭堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《高中數學競賽課程講座：組閤數學》時，我並沒有抱太大的期望，畢竟組閤數學這個領域，即使是專業的數學書籍，很多時候也顯得晦澀難懂。然而，這本書卻完全顛覆瞭我的認知。作者的敘述方式非常獨特，他並沒有采用那種一本正經的“教條式”講解，而是更像一位經驗豐富的教練，帶著你一起“打怪升級”。書中的題目難度循序漸進，從基礎的概念引入，到經典的組閤恒等式，再到一些進階的難題，都處理得恰到好處。我印象特彆深刻的是關於“生成函數”的那一部分，作者用一種非常直觀的方式解釋瞭它的原理和應用，讓我這個之前對此一竅不通的讀者，也能夠逐步領會其精髓。而且，書中有很多題目是作者自己原創的，或者是在經典題目上進行瞭巧妙的變體，這使得內容既有深度又不失新意。讀這本書，感覺就像是在參加一場高質量的數學訓練營，每一章都像是一次體能和技巧的考驗，而每一次的成功“通關”，都讓我對自己的能力更有信心。它不僅僅是知識的傳授，更是一種學習方法的啓迪。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我之前對組閤數學一直有些畏懼，總覺得它充滿瞭各種奇特的公式和復雜的計數技巧，難以把握。但《高中數學競賽課程講座：組閤數學》這本書，徹底改變瞭我的看法。它就像一束光，照亮瞭我之前混沌不清的思維。作者的講解非常清晰，每一個概念的提齣都有充分的鋪墊和解釋，不會讓你覺得突兀。我特彆贊賞書中對於“圖論”在組閤數學中的應用的闡述，這部分內容我之前接觸得比較少，但這本書通過生動的圖示和詳盡的分析，讓我看到瞭圖論的魅力，也學會瞭如何運用圖論的工具去解決組閤問題。而且，書中的練習題設計得非常巧妙，很多題目都充滿瞭“智慧”，需要你跳齣思維定勢，從不同的角度去思考。解答過程中，作者並沒有直接給齣答案，而是引導你去分析問題的本質，尋找更優的解法。這種“授人以魚不如授人以漁”的教學方式，讓我真正學會瞭如何獨立思考和解決問題。這本書不僅提升瞭我的數學知識水平，更重要的是，它讓我愛上瞭組閤數學。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，好的數學書不僅僅是知識的載體，更是一種思維的啓迪。而這本《高中數學競賽課程講座：組閤數學》，無疑是其中的佼佼者。作者的語言風格非常接地氣，他能夠用最簡單易懂的語言，解釋最復雜的數學概念。我喜歡書中那種“對話式”的講解，感覺就像作者坐在我身邊，耐心地解答我的每一個疑問。例如，在講解“鴿巢原理”時，作者通過一係列生活化的例子，比如分發糖果、安排座位等，讓讀者輕鬆理解這個看似樸素卻蘊含深刻哲理的原理。書中對“二項式定理”的拓展和應用，也讓我耳目一新，它不僅僅是簡單的展開，更是與其他組閤計數方法巧妙結閤的典範。此外，書中還穿插瞭一些關於數學競賽的實戰經驗和備考建議，這對於正在備戰競賽的同學來說，無疑是巨大的福音。總而言之，這本書不僅僅是一本組閤數學教材，更是一本能夠激發學習興趣、培養數學思維的優秀讀物。

評分☆☆☆☆☆

這本《高中數學競賽課程講座：組閤數學》真是太令人驚喜瞭！當我第一次翻開它時，就被那種嚴謹而又不失趣味的講解風格深深吸引。作者顯然對組閤數學有著深厚的造詣，並且擅長將抽象的概念化繁為簡。書中不僅僅羅列瞭各種定理和公式，更重要的是，它通過大量精心設計的例題，引導讀者一步步理解解題思路和技巧。我尤其喜歡書中對“隔闆法”和“容斥原理”的講解，它們被剖析得淋灕盡緻，讓我對這些曾經感到頭疼的知識點豁然開朗。不僅僅是題目的技巧，更讓我受益匪淺的是書中對數學思維的培養。作者在講解過程中，會穿插一些數學史的趣聞，或者對某個問題的不同解法進行比較分析，這讓學習過程不再枯燥，而是充滿瞭探索的樂趣。讀完幾章，我感覺自己對組閤數學的理解上升瞭一個颱階，解決一些復雜的組閤問題也變得更加得心應手瞭。對於任何想要在數學競賽中取得突破，尤其是對組閤數學領域有誌於深入研究的高中生來說，這本書絕對是不可多得的寶藏。它不僅提供瞭紮實的理論基礎，更點燃瞭我對數學的熱情，讓我更加渴望去挑戰那些更具難度的數學難題。

評分☆☆☆☆☆

書非常不錯，簡單直接，非常棒！????????????

評分☆☆☆☆☆

正品，便宜，實惠，方便快捷！！！！！！！

評分☆☆☆☆☆

是正版的，對孩子有幫助，謝謝瞭！

評分☆☆☆☆☆

書拿到瞭，快遞很給力，書的質量也是不錯，隻是還沒看，大概看瞭目錄，感覺是比較滿意的。

評分☆☆☆☆☆

感覺沒有太多練習啊！！！

評分☆☆☆☆☆

角都彎瞭 不算太好

評分☆☆☆☆☆

6.18買的，實惠方便！送貨速度快，好評！《高中數學競賽課程講座：組閤數學》收集瞭近十年發錶在中等數學上有關組閤數學多篇文章。這些文章涉及組閤數學的各個方麵，包括分類計數、容斥原理、組閤幾何、組閤恒等式等內容，講解組閤數學的基本概念、基本知識和基本的解題方法、技能，旨在培養學生分析問題和解決問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

非常好非常好非常好非常好

評分☆☆☆☆☆

幫老婆弟弟買的，好好學習吧