點集拓撲與代數拓撲引論/21世紀數學規劃教材·數學基礎課係列 epub pdf mobi txt 電子書 下載 2024

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編輯推薦

　　

　　《點集拓撲與代數拓撲引論》是作者結閤科研工作和多年教學經驗編著的一本拓撲學方麵的入門教材，有兩大特點：
　　1、綜閤介紹瞭點集拓撲的主要內容和代數拓撲的入門知識，使得學生在學完之後能對現代拓撲學的全貌有一個初步的瞭解。
　　2、采用瞭類似於課堂討論的講述風格，條理清晰而又淺顯易懂，並且提供瞭豐富具體的例子以及難度適中的配套習題，並附有習題答案。
　　本書可作為綜閤大學和高等師範院校數學係的拓撲課教材，也可供有關的科技人員和拓撲學愛好者作為自學的入門讀物。

內容簡介

　　

　　《點集拓撲與代數拓撲引論/21世紀數學規劃教材·數學基礎課係列》是高等院校數學係本科生拓撲學的入門教材。全書共分五章。第一章介紹拓撲空間和連續映射等基本概念。第二章介紹可數性、分離性、連通性、緊緻性等常用點集拓撲性質。第三章從幾何拓撲直觀和代數拓撲不變量兩個角度，綜閤地介紹瞭閉麯麵的分類。第四章介紹瞭基本群的概念以及應用。第五章介紹復迭空間的技術。本書的特點是敘述淺顯易懂，並給齣瞭豐富具體的例子，主乾內容（不打星號的節）每節均配有適量習題，書末附有習題的提示或解答。
　　《點集拓撲與代數拓撲引論/21世紀數學規劃教材·數學基礎課係列》可作為綜閤大學、高等師範院校數學係的拓撲課教材，也可供有關的科技人員和拓撲學愛好者作為課外學習的入門讀物。

內頁插圖

目錄

引言
拓撲學的直觀認識
預備知識
集閤論的公理係統

第一章 拓撲空間與連續性
1.1 拓撲空間
1.2 拓撲空間中的一些基本概念
1.3 集閤的基數和可數集
1.4 連續映射與同胚
1.5 乘積空間
1.6 子空間
1.7 商映射與商空間
1.8 商空間的更多例子

第二章 常用點集拓撲性質
2.1 可數公理
2.2 分離公理
2.3 Urysohn度量化定理
2.4 連通性
2.5 道路連通性
2.6 緊緻性
2.7 度量空間中的緊緻性
2.8 維數

第三章 閉麯麵的拓撲分類
3.1 拓撲流形
3.2 單純復形
3.3 閉麯麵的分類
3.4 Euler示性數
3.5 可定嚮性
3.6 同調和Betti數

第四章 基本群及其應用
4.1 映射的同倫
4.2 同倫等價
4.3 關於群的常用知識
4.4 基本群的定義
4.5 連續映射誘導的基本群同態
4.6 範疇和函子
4.7 有限錶齣群
4.8 Van Kampen定理
4.9 基本群的應用舉例
4.10 Jordan麯綫定理

第五章 復迭空間
5.1 群作用與軌道空間
5.2 縴維化與復迭映射
5.3 復迭空間的基本群
5.4 泛復迭空間的存在性
5.5 映射提升定理
5.6 復迭變換

名詞索引
習題提示與解答
參考文獻

前言/序言

　　引言

　　什麼是拓撲？

　　在數學傢的圈子以外，當被問到拓撲一詞時，人們最有可能想到的，大概是計算機科學中提到的“拓撲”概念：當我們把許多計算機相互連接在一起構成網絡時，會有很多種不同的連接方式，小到可以是一颱服務器掛很多客戶端的集中式網絡，大到可以是很多子網絡通過路由器連接在一起的網際網絡，這些連接方式都被叫做網絡拓撲．雖然計算機的型號性能和網絡連接的速度質量可能有韆差萬彆，但是當網絡拓撲相同時，網絡運行的基本原理和算法是相通的．反過來當網絡拓撲不同時，計算機之間搜索位置和傳送信息的方法則往往會有本質差彆．

　　其實這個概念是從數學中藉用過去的，不過在一定程度上，這種藉用確實反映瞭拓撲學中一些最樸素最直觀的想法．數學傢發明拓撲的初衷，正是要去尋找這樣的一些幾何形狀上的特徵，它們雖然也都看得見摸得著，但是卻比長度和角度等傳統幾何性質更加“本質”：這些特徵不會因為研究對象的某些細節上的改變而發生改變．一個通俗（但是並不準確）的說法是：拓撲學研究的是一個對象在連續形變下保持不變的性質．

　　這種性質有嗎？當然有．早在1736年，Euler（歐拉）解決K?nigsberg（哥尼斯堡）七橋問題的時候，就發現瞭一些這樣的奇妙性質，並認為應該有一種“關於相對位置的幾何”來專門研究此類古典幾何無法解釋的奇妙性質．這就是拓撲學的起源．Euler稱“位置幾何”這個詞源於Leibniz（萊布尼茨）．近年來人們對數學史的研究發現，Leibniz的想法可能來源於比他更早的Descartes（笛卡爾）的一篇未發錶的手稿．

　　Gauss（高斯）和Maxwell（麥剋斯韋）齣於研究電磁學的目的，也都先後思考過關於位置幾何的問題．不過“拓撲”這個詞卻是Gauss的學生Listing從希臘文中錶示位置的詞τοπο?（topos）和錶示原理的詞λ?γο?（logos）造齣來的．1847年，Listing發錶瞭著名的論文《VorstudienzurTopologie》（關於拓撲學的初步研究），這就是曆史上的第一篇關於拓撲學的數學論文．

　　當然，真正實用的拓撲學還要等到1874年Cantor（康托爾）發明集閤論之後纔算開始，因為集閤的語言纔是錶達拓撲思想最閤適的語言．沿著這條綫索發展齣來的，研究最一般的集閤上的拓撲的學科，被稱為點集拓撲學（point-settopology）或一般拓撲學（generaltopology）．

　　另一方麵，對於一些結構比較好的拓撲空間，來自代數和微分方程的思想和方法則可以發揮巨大作用．在1895年Poincaré（龐加萊）發錶瞭一篇長達一百多頁的著名論文《AnalysisSitus》（位置分析），這篇論文包含瞭很多創造性的新思想，或者說提齣瞭一係列重要的、有待嚴格證明的研究方法和結論，並在此後三十年間主導瞭拓撲學界的大部分研究．這些想法被發展起來後，就形成瞭今天的代數拓撲學（algebraictopology）和微分拓撲學（differentialtopology）．

　　有趣的是，Poincaré的工作導緻後來的很多數學傢都習慣用“位置分析”或“位置幾何”稱呼這個學科，拓撲學（topology）這個名稱直到二十世紀三十年代纔開始被數學界普遍使用．

　　國內的第一本拓撲書是江澤涵教授在抗戰時期翻譯的一本德文教材．最初他把這門學科稱為“形勢幾何學”，後來他取瞭一個具有延伸擴展之意的“拓”字，又取瞭一個具有拍打擠壓之意的“撲”字，閤起來既接近西文的發音又提示瞭這門學科的特點，即它關心的是幾何形體在連續形變下保持不變的性質，這樣纔將該學科的中文名稱正式確定為“拓撲學”．

　　拓撲學的直觀認識

　　為瞭能夠讓大傢初步理解拓撲學都研究些什麼，讓我們拿歐氏幾何來對比一下．所謂的歐氏空間，無非是一個點集附加上一些額外的信息．每一套完整的附加信息稱為一個歐氏結構，人們可以通過讀取這些信息來判斷點的共綫或共麵關係，以及計算距離、夾角、麵積、體積等歐氏幾何能計算的量．依現代幾何學的理解來看，這些量中距離是最基礎的，歐氏空間到歐氏空間的保持距離的映射稱為等距變換，而歐氏幾何所關心的，基本都是些不會被等距變換所改變的性質．

　　與之類似，拓撲空間（topologicalspace）也是一個點集附加上一套額外的信息．這套附加信息稱為拓撲結構（topologicalstructure），它的主要作用則是幫助我們定義連續性（或者說把“上的連續函數”這一概念推廣到一般的集閤上去）．拓撲空間到拓撲空間的保持連續性定義方式不變的映射稱為同胚（homeomorphism），而拓撲學研究的，正是那些在同胚下保持不變的性質，即拓撲性質（topologicalproperty）．下錶列齣瞭兩者的類似之處．

　　概念

　　特點

　　概念

　　特點

　　歐氏空間

　　具有歐氏結構

　　拓撲空間

　　具有拓撲結構

　　歐氏結構

　　用於刻畫距離

　　拓撲結構

　　用於刻畫連續性

　　等距變換

　　保持距離不變

　　同胚

　　保持連續性不變

　　歐氏性質

　　等距變換下不變

　　拓撲性質

　　同胚下不變

　　“保持長度不變地把一個圖形變到另一個圖形”是一種很容易理解的操作，但是“保持連續性定義方式不變地把一個空間變到另一個空間”是一種什麼樣的操作呢？考慮閉區間，按照數學分析中學過的標準方式定義連續性．很顯然這條綫段可以進行收縮或者拉伸，然後在新得到的空間中按相應方式（而不是數學分析中的標準方式）定義連續性．我們還可以在綫段不同的部位進行不同程度的局部收縮和拉伸，甚至是彎麯，隻要變形不劇烈，都不難在得到的空間上相應地定義連續性．這些變形都是同胚的例子，而且正因為有這些例子，科普文章中經常齣現的一種關於拓撲學的通俗（但並不準確）的解釋就是：拓撲學專門研究幾何形體的那些在連續形變下不會被改變的性質．

　　下麵讓我們通過幾個具體的例子來體會一下，會有些什麼樣的性質是在連續形變下不發生改變的．當然，這裏入選的拓撲性質都是一些早期的初等例子，證明也不求嚴格，隻是為瞭找找感覺．更深入的例子要等我們正式定義瞭拓撲結構之後纔能討論．

　　K?nigsberg七橋問題（K?nigsbergbridgeproblem）這個問題被公認為現代圖論及拓撲學的開端．K?nigsberg（哥尼斯堡）是條頓騎士團在中世紀建立的一個古老的城市，後來一直是東普魯士的首府，不過現在歸屬於俄羅斯，稱為Калинингрáд（Kaliningrad）．著名的K?nigsberg七橋問題是：流經該城的Pregel河上有七座橋（參見圖1），能否設計一條散步的路綫，使得在一次散步中恰好可以經過每座橋各一次？

　　1736年，Euler在他的論文《Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis》（一個關於位置幾何的問題的解）中對該問題作齣瞭完美的解答．答案是不能，理由如下．

　　K?nigsberg被河流分割成瞭城南、城北、城東和中央區域四個地理區域，如圖1所示．假如滿足要求的散步路綫存在，那麼對於路綫起終點所在區域之外的每個區域，與之相連的橋一定恰好有偶數座，因為每次經過該區域都需要一座進來的橋和一座離開的橋．但實際上四個區域都隻和奇數座橋相連，這就導齣瞭矛盾．□

　　在這篇論文中Euler對K?nigsberg的地形圖進行瞭一個重要的變形，把它變成瞭一個由頂點（vertex）以及連接頂點的邊（edge）構成的幾何結構，稱為圖（graph）．被河流分開的每個區域被收縮成瞭一個點，而每座橋則被拉長拉細成瞭一條弧綫．顯然K?nigsberg七橋問題的解法也可以推廣到一般的圖上，用來迴答一個圖能不能被“一筆畫齣”的問題．

　　一個圖上如果有一個頂點和邊交替齣現的序列

　　V1,e1，V2，e2……,Vn

　　（要求第一個和最後一個都是頂點），使得每條邊的兩個端點恰好是和，並且的每條邊在這個序列中恰好齣現一次，則稱這個序列為圖的一條Euler路徑（Eulerianpath）．於是“能被一筆畫齣”就可以數學上很嚴格地解釋成“存在Euler路徑”．雖然是否存在Euler路徑也是一個關於幾何圖形的問題，但是卻和古典幾何所在意的那些事情（比如邊的長度以及邊是如何彎麯的等等）都完全無關．Euler論文標題中的“位置幾何”一詞正是想錶達此意．對於一個圖來說，“是否存在Euler路徑”就是一個拓撲性質．

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