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编辑推荐

适读人群 ：数学模型与数学建模可作为高等学校数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业、系统工程专业、工商管理等专业的本科生或研究生的教材 也可作为工程技术人员、管理人员和相关学者的参考书。
　　《数学模型与数学建模》内容适合数学与应用数学专业的特点和要求，同时兼顾信息与计算科学专业、统计学专业、系统工程、管理科学与工程、工商管理等专业的要求，可作为相关专业的本科生和研究生的教材，也可作为工程技术人员、管理干部和相关学者的参考书。

内容简介

数学模型与数学建模的内容包括数学建模常用软件介绍, 代数模型, 微分与差分方程模型, 数学规划, 概率统计方法模型, 图论模型, 预测和决策模型, 全国大学生数学建模真题. 数学模型与数学建模注重阐述各类数学模型的基本原理和方法, 使之具有一定的系统性和新颖性; 同时也介绍了求解数学模型的MATLAB软件、LINGO 软件和R 软件. 为了便于读者理解和掌握数学模型与数学建模的内容, 数学模型与数学建模给出了部分案例的模型及其求解程序代码, 并配有适量的习题.

目录

前言第 1章绪论 1
1.
1数学模型的概念及其特点 1


1.
2数学模型的分类 2


1.
3数学建模的基本步骤和方法 4



1.4数学建模和竞赛及其对大学生创新能力培养的作用 5

第 2章数学建模常用软件 7

2.1
MATLAB软件介绍 7


2.1.1
MATLAB软件的常用命令 7


2.1.2
MATLAB常用数据类型 9


2.1.3
MATLAB的矩阵运算 10


2.1.4
MATLAB的图形绘制 12


2.1.5
MATLAB基本程序设计 . 13



2.2
LINGO软件介绍 15


2.2.1
LINGO软件的安装 15


2.2.2
LINGO软件的基本操作 16


2.2.3
LINGO语言程序设计 20




2.3
R软件 .25

2.3.1
R软件的下载安装与基本操作 26


2.
3.2数字与向量运算 28

2.
3.3多维数组和矩阵 29

2.
3.4列表与数据框 30

2.
3.5读、写数据文件 32


2.3.6控制流
35







2.3.7编写自己的函数 36习题 38第 3章代数模型 . 42
3.1投入产出模型 42
3.1.1投入产出模型简介 . 42
3.1.2投入产出模型的产品分配方程 42

3.1.3投入产出模型的产值构成方程 43

3.1.4列昂捷夫矩阵的存在性 44
3.1.5列昂捷夫矩阵的近似估计 44

3.1.6投入产出模型的应用 45
3.2马尔可夫预测模型 . 46
3.3层次分析法 52
3.3.1层次分析法的基本原理 52
3.3.2层次分析法的基本步骤 58
3.3.3单一准则下互反判断矩阵排序向量的实用算法 59
3.3.4群决策排序向量简洁算法 61习题 63第 4章微分与差分方程模型 . 66
4.1常微分方程模型 66

4.1.1饮酒驾车模型 66
4.1.2交通信号灯黄灯管制模型 71

4.2常微分方程组模型 . 75
4.2.1传染病模型 . 75
4.2.2种群增长模型 83
4.2.3无干扰的男生追女生模型 92

4.3偏微分方程模型 95

4.4差分方程模型 99
4.4.1差分方程及其平衡点的稳定性 99

4.4.2个人住房贷款模型 102
4.4.3蛛网模型 106习题 111第 5章数学规划 113
5.1线性规划 113

5.1.1线性规划问题的数学模型及其标准形式 113
5.1.2线性规划问题的 LINGO软件和 MATLAB软件求解 116


5.1.3线性规划应用案例 118
5.2非线性规划 . 122
5.2.1非线性规划问题的数学模型和基本概念 123
5.2.2凸函数 124

5.2.3凸规划及其性质 125
5.2.4含不等式约束的非线性规划问题的最优性条件 126
5.2.5应用 LINGO, MATLAB软件求解非线性规划 127

5.3整数规划 128

5.3.1整数规划的例子和数学模型的一般形式 128
5.3.2整数线性规划解的特点 131

5.3.3割平面方法和分支定界方法 131

5.3.4指派问题的数学模型 .132
5.3.5应用 LINGO软件求解整数规划 133

5.4多目标规划 . 134习题 137第 6章概率统计方法模型 140
6.1概率模型与 Monte CArlo模拟 140

6.1.1概率模型 140
6.1.2 Monte CArlo模拟 143
6.2报童问题与随机库存模型 147
6.2.1报童问题 147
6.2.2随机库存模型 . 148
6.3线性回归模型 150

6.3.1多元线性回归模型 150
6.3.2逐步回归模型 . 155
6.4非线性回归模型 158

6.5方差分析模型 162

6.5.1样本分布的正态性检验 162

6.6主成分分析和因子分子模型 168

6.6.1主成分分析 168
6.6.2因子分析 173
6.7聚类分析 175

6.7.1距离 176

6.7.2谱系聚类法 177习题 180


第 7章图论模型 186
7.1基本概念 186

7.1.1图及其分类 186
7.1.2顶点的次 188
7.1.3子图 189

7.1.4连通图 189

7.1.5网络 190

7.1.6图的矩阵表示 . 191
7.2最短路模型 . 192
7.2.1 DijkstrA算法模型 192
7.2.2 Floyd算法模型 195

7.2.3 0-1规划模型 197

7.3网络流模型 . 198
7.3.1最大流模型 198
7.3.2最小费用最大流模型 .207
7.4最优连线模型与最优环游模型 212
7.4.1最小生成树模型 213
7.4.2旅行商模型 217习题 222第 8章预测和决策模型 224
8.1常用的单项预测模型 224

8.1.1时间序列预测模型 224
8.1.2回归分析预测模型 226
8.1.3灰色系统预测模型 228
8.2组合预测模型 230

8.2.1非最优的组合预测模型 230

8.2.2最优线性组合预测模型的建立 233

8.2.3最优组合预测模型的实例分析 234

8.3不确定型决策 236

8.4风险型决策 . 238
8.4.1最大可能法 238
8.4.2最大期望收益值准则 .238
8.4.3具有样本情报的决策分析 (贝叶斯决策 ) 239
8.5多属性决策模型 242

8.5.1多属性决策方法 242

8.5.2基于 OWA算子的多属性决策模型 243
8.5.3基于 OWA算子的多属性决策方法 244
8.6对策论模型 . 245
8.6.1矩阵对策的数学模型 .246
8.6.2矩阵对策的混合策略 .248
8.6.3非合作的对策模型 249
8.6.4合作 n人对策 252
习题 254
第 9章全国大学生数学建模竞赛真题 256

9.1高等教育学费标准探讨 . 256
9.1.1问题提出与分析 256
9.1.2若干模型假设 . 257
9.1.3模型符号说明 . 257
9.1.4基于描述性统计量的我国高等教育学费的现状分析 258

9.1.5高等教育学费标准确定的三种主要模型 259
9.1.6高等教育学费标准确定的三种主要模型的实证分析 264

9.1.7模型的优缺点分析 267
9.1.8高等教育学费的若干政策建议 267

9.2公交查询系统的最佳乘车方案研究与设计 269
9.2.1问题分析 270
9.2.2模型假设 270
9.2.3符号说明 270
9.2.4公汽站点之间线路选择模型 271

9.2.5同时考虑公汽与地铁最佳线路选择模型 280
9.2.6已知站点间步行时间的线路选择模型 . 289
9.3 DVD租赁优化方案 293
9.3.1问题的重述 294
9.3.2模型假设及符号说明 .294
9.3.3模型的建立及求解 295
9.3.4结果分析 304
9.3.5模型的优缺点 . 304参考文献 306

精彩书摘

1.1数学模型的概念及其特点
数学模型的历史可以追溯到人类开始应用数学的时代 .自从人类使用数字开始 ,人们就不断地建立各种数学模型 ,以解决各种各样的实际问题 .在科学技术迅速发展的今天 ,随着各类实际问题的需要 ,数学模型越来越多地出现在人们的生产和生活中 ,如企业管理者、电气工程师、气象工作者、生物医学专家等 ,他们经常需要利用数学的工具去解决企业管理、人工智能、天气预报、药物疗效分析等各行各业的专业性问题.用数学工具处理实际问题的方法就是在合理假设的基础上 ,通过建立相关的数学模型 ,来实现对实际问题的求解 .因此 ,建立数学模型是实际问题与数学工具之间联系的一座不可或缺的桥梁 .
我们通过历史上著名的哥尼斯堡七桥问题为例 ,了解如何从实际问题提取和抽象出恰当的数学模型 ,来实现对实际问题的求解 .在哥尼斯堡的一个公园里 ,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来 .当时产生了这样一个问题 ,即某人是否可能从这四块陆地中任何一块出发 ,恰好通过每座桥一次 ,再回到起点？
伟大的瑞士数学家欧拉 (LeonhArd Euler)1736年发表论文完满回答了这一问题 ,并将问题一般化为 “任意河道图和任意多座桥 ,能否一条路线通过每座桥恰好一次？ ”.欧拉在论文中将陆地抽象成点 ,桥抽象成线 .4块陆地区域及 7座桥被简化和抽象成 4个点 (A, B, C,D)及连接这 4个点的 7条线 .这样就将问题转化成了图论中的一笔画问题 ,即能否找到一个恰好包含了所有的线 (或边 ),并且没有重复的路径 .在图论中定义 ,凡是经过一点的关联线 (或边 )条数为奇数 ,则称该点为奇点 ;凡是经过一点


的关联线 (或边 )条数为偶数 ,则称该点为偶点 .欧拉在论文中做了如下论证：
(1)
若图中奇点只有一个或超过两个以上 ,不能实现一笔画 ;

(2)
若图中奇点仅有两个 ,则由任一奇点出发 ,可实现一笔画而停在另一奇点上 ;

(3)
若图中每个点都是偶点 ,则从任一点出发 ,可实现一笔画而回到出发点 .


根据上述三条结论 ,图哥尼斯堡七桥问题所抽象出的图中的四个点均为奇点 ,因此不能实现一笔画 .也就是说 ,没有一条线路能经过每座桥恰好一次 .进而我们可以根据上述三条结论判断任意一个网络图能否实现一笔画 .
所谓数学模型 ,是指针对或参照现实世界中某类事物系统的主要特征、主要关系 ,经过简化与抽象 ,用形式化的数学语言概括或近似地加以表述的一种数学结构 .一般表现为数理逻辑的逻辑表达式、各种数学方程 (如代数方程、微分方程、积分方程等 )及反映量与量之间相互关系的图形、表格等形式 .它或者能解释特定现象的现实状态 ,或者能预测对象的未来状态 ,或者能提供处理对象的最优决策与控制 .
一般地 ,好的数学模型应具备可靠性和可解性 (也叫适用性 )两个方面的特点 .可靠性是指在允许的误差范围内 ,能反映出该系统有关特性的内在联系 ;可解性是指易于数学处理与计算 .数学模型方法将复杂的研究对象简单化、抽象化 ,撇开对象的一些具体特征 ,减少其参数 ,只抽取其主要量、量的变化及量与量之间的相互关系 ,在 “纯粹 ”的形态上进行研究 ,突出主要矛盾 ,忽略次要矛盾 ,用数学语言刻画出客观对象量的规律性 ,简洁明了地描述现实原型 ,揭示出其本质的规律 ,并在对模型修正、求解的基础上使原问题得以解决 .
因而 ,数学模型是对现实原形的一种理想化处理 ,是一个科学的抽象过程 ,因而具有高度的抽象性与形式化特征 .这一特征使其成为一种经典的方法工具 ,并随着科学技术的数学化趋势 ,大大超越了数学范畴 ,广泛地应用于自然科学、工程技术和社会科学的一切领域 .它将现实问题归结为相应的数学问题 ,并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究 ,一方面它从定性或定量的角度来刻画实际问题 ,并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导 ,另一方面它是研究和掌握系统运动规律的有力工具 ,是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础 .

1.2数学模型的分类
数学模型可以根据不同的方式分类 ,下面介绍一些分类方法 .
(1)
根据数学模型的应用领域 ,可分为人口模型、生物数学模型、医学数学模型、经济数学模型、生态模型、交通模型、数量经济学模型、数量社会学模型等 .

(2)
根据建立数学模型的方法 ,可分为初等模型、微分方程模型、图论模型、规划模型、概率统计模型、几何模型等 .


(3)根据人们对事物发展过程的了解程度 ,分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型 .


白箱模型是指那些内部规律比较清楚的模型 ,如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题 ;灰箱模型是指那些内部规律尚不十分清楚 ,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题 ,如气象学、生态学、经济学等领域的模型 ;所谓的黑箱模型 ,是指一些其内部规律还很少为人们所知的现象 ,如生命科学等方面的问题 ,由于因素众多、关系复杂 ,也可简化为灰箱模型来研究 .
(4)
根据实际问题是否考虑不确定因素的影响 ,可分为确定性模型、随机性模型和模糊性模型等 .

(5)
根据模型是否考虑时间因素的动态变化 ,可分为静态模型和动态模型 .

(6)
根据模型中变量取值的性质 ,可以分为离散型模型和连续性模型 .



(7)
根据模型中参数的确定性情况 ,分为参数与非参数模型 .一般地 ,用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型 ,建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数 ,通常通过理论分析总是得出参数模型 .非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应 ,如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就

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