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内容简介

　　量子场论是理论物理的必备专业基础课。《量子场论与重整化导论》系统地介绍量子场论，特别是重整化理论最基本的知识和方法。第1章和第2章从拉格朗日方程和哈密顿方程出发，引入经典场方程并导出Noether定理，介绍正则量子化和费曼路径积分量子化，导出量子Noether定理和Ward恒等式。第3章用正则量子化给出自旋为0、1和1/2的几种自由场的量子化，在自旋为1的电磁场中介绍Gupta-Bleuler方法。第4章和第5章介绍几种场的费曼传播子、相互作用场的微扰展开、维克定理、费曼图规则以及散射截面。第6章是量子电动力学单圈图的重整化的详细计算。第7章介绍重整化的BPHZ方案。第8章给出了Zimmermann定理和Weinberg定理有关部分的详细证明，从而证明了BPHZ方案的收敛，并由此证明了量子电动力学传统重整化方案的收敛性。

内页插图

目录

目录
序言
第1章 经典场 1
1.1 经典拉格朗日体系与哈密顿体系 1
1.1.1 拉格朗日方程 1
1.1.2 作用量原理 2
1.1.3 哈密顿方程 2
1.1.4 泊松括号 3
附录1.1A 不同基底下的泊松括号 4
1.2 经典场 5
1.2.1 经典场方程 5
1.2.2 Noether定理 12
附录1.2A变分与泛函微商 18
第2章 场的量子化 20
2.1 力学体系的正则量子化 20
2.2 费恩曼路径积分量子化 24
附录2.2A Gauss积分 28
附录2.2B 费米型力学量的路径积分量子化 29
2.3 量子场方程 37
2.4 量子Noether定理与Ward恒等式 38
第3章 几种自由量子场 41
3.1 狄拉克场（自旋为1/2的场） 41
3.1.1 γ矩阵和洛伦兹变换 41
3.1.2 狄拉克方程 43
3.1.3 平面波解 48
3.1.4 狄拉克场的拉格朗日形式与哈密顿形式 49
3.1.5 狄拉克场的量子化 51
附录3.1A 推导u（p，s）和v（p，s）的性质 57
附录3.1B 产生湮灭算符和粒子数算符 59
3.2 自旋为0的中性粒子场（K-G场） 61
3.2.1 K-G场方程 61
3.2.2 K-G场的量子化 62
3.3 电磁场（自旋为1的场） 65
3.3.1 电磁场方程与洛伦兹规范下的量子化 66
3.3.2 偏振矢量 69
3.3.3 Gupta-Bleuler（G-B）方法 71
第4章 微扰论和相互作用场 73
4.1 两个非自由场的例子 73
4.1.1 *场论 73
4.1.2 电动力学 73
4.2 微扰论 77
4.2.1 相互作用的微扰展开 77
4.2.2 S矩阵、入射和出射态 80
4.2.3 维克定理 85
4.2.4 几种场与其产生、湮灭算子的收缩 89
4.2.5 几种自由场的费恩曼传播子 91
第5章 S矩阵的分振幅、费恩曼积分和费恩曼图 101
5.1 *理论的费恩曼图 101
5.2 量子电动力学（QED）中的微扰论 110
附录5.2A 光子的入射态（只考虑横向光子） 118
附录5.2B 量子电动力学中费恩曼图计算题 119
5.3 散射截面 123
附录5.3A 振子模式数等计算 125
第6章 重整化（一）量子电动力学单圈图的重整化 126
6.1 发散积分 126
6.1.1 真空极化 126
6.1.2 电子自能 127
6.1.3 顶角修正 128
6.2 表观发散度的计算（QED） 131
6.3 Furry定理 133
6.4 关于费米子圈的规范不变性 136
6.5 费恩曼积分的洛伦兹变换性质 141
附录6.5A ∑（p）的形式 142
6.6 QED单圈图重整化 145
6.6.1 真空极化的单圈图 146
6.6.2 电子自能的单圈图 154
6.6.3 顶角修正的单圈图 158
6.6.4 单圈图重整化总结 167
附录6.6A 光子*的计算 170
附录6.6B g1的计算过程 172
附录6.6C 另一种抵消方案 l73
附录6.6D 关于γ-矩阵的计算与公式 174
附录6.6E 当取重整化点为p=p’=0的Z2和Z2’的比较 175
附录6.6F 电子自能和顶角修正的一般形式 177
6.7 QED中的一个Ward恒等式 179
附录6.7A （6.7.10）式的推导 183
附录6.7B 电子的全费恩曼传播子 186
附录6.7C 光子的全费恩曼传播子 189
6.8 关于红外发散 191
第7章 重整化（二）重整化的BPHZ方案 207
7.1 单圈图重整化与泰勒展开 207
7.2 正规图 208
7.3 交叉发散与萨拉姆方案 212
7.4 BPHZ方案与重整化的自洽性 217
附录7.4A 关于泰勒展开的规范条件 226
附录7.4B 关于对称因子 226
7.5 Rr（费恩曼被积函数的收敛部分）的显示表达式 229
7.6 重整化点的选择与QED传统重整化方案的收敛问题 232
7.6.1 单圈图两种方案抵消项之差 233
7.6.2 多圈图的两种方案之差 236
7.6.3 传统方案的收敛性 247
7.6.4 从费恩曼被积函数角度分析 253
7.6.5 传统QED重整化的具体方案 256
第8章 BPHZ方案的收敛性 262
8.1 外动量的正则分布与费恩曼积分的积分变量 262
8.1.1 备忘录2 268
8.1.2 备忘录3 269
附录8.1A 关于正则分布 270
8.2 Rr的显示表达式 271
8.3 *林按七空间的子空间T的分类 276
8.3.1 动量*对t和对tq的幂次 276
8.3.2 当T确定后，*林的完备化和基底 278
8.4 Zimmermann定理 287
8.4.1 γ？w（U） 290
8.4.2 γ∈w（U） 295
附录8.4A泰勒展开余项的泰勒展开系数 302
8.5 Wick转动与Rr的收敛 302
附录8.5A Cα和C的绝对值之比 309
附录8.5B 正交化手续 310
附录8.5C 多项式系数的绝对收敛性质 313
附录8.5D 些公式的推导 314
8.6 Weinberg定理与*的收敛性 321
8.6.1 Weinberg定理的推论 321
8.6.2 *是k空间的An类函数 333
8.6.3 *的欧氏空间积分绝对收敛 335
附录8.6A 积分*的渐近指数 335
主要参考文献 338
索引 340

精彩书摘

第 1章经典场
场是力学量 (场量 )随空间坐标的变化而变化的系统 .描写一个场的构形需要给出空间每一点的场量 .比如电场 ,必须对空间每一点给出电场的 3个分量 ,才能知道整个电场的情况 .场论研究场的构形随时间的演化规律 .量子场论研究场在量子化以后的演化规律 .在这一章我们介绍经典场作为拉格朗日体系和哈密顿体系的方程 ,以及经典的 Noether定理 .由这条定理 ,可以从场的一些对称性给出它们对应的守恒量.
1.1经典拉格朗日体系与哈密顿体系
1.1.1拉格朗日方程
一个力学体系有一些量是可以自由变动的 ,这些量一旦确定下来 ,体系的构形 (位置 )便完全确定了 ,它们称为广义坐标 ,用 {qi}表示 , i =1, 2, 3, ,n.这个体系的自由度是 n .随便给出一个 qi随时间的变化关系 {qi(t)} ,就给出了这个体系的一个 “运动学上可能的运动 ”.然而 ,运动学上可能的运动并不一定是动力学上可以实现的运动 .找出运动学上可能的 ,同时也在动力学上可能的运动 ,就是动力学的目的,决定它们的方程叫动力学方程.
对动力学的保守体系,可以找到一个量叫拉格朗日量 L,它是 qi和 q˙i的函数,
L = L(qi,q˙i).
什么是动力学上可能的 ,也即是真实的运动呢 ?它就是要求 {qi(t)}满足拉格朗日方程的运动： d / .L L =0,i =1, 2, , n. (1.1.1)
dt .q˙i .qi
在最简单的情形 , L(qi,q˙i)= T . V ,其中 T是动能 , V是位能 .在其他情形 ,可以适当找出 L,使它的拉格朗日方程正好给出体系的动力学方程.
请注意 (1.1.1)式偏微商中的自变量 {qi}、{q˙i}以及全微商 d 的意思.如果给出一个运动, qi = qi(t),怎么判定它是否是真实的运动?dt
由 qi(t) → q˙i(t), {qi(t)}和 {q˙i(t)}给出 L以及 .L 、 .L ,它们都是时间的
.qi.q˙i d / .L
函数,因而可以得到 dt .q˙i ,再检查它是否满足方程 (1.1.1).若满足 ,就是一个动力学上允许的运动.
1.1.2作用量原理
拉格朗日方程可以用极值原理表示出来.我们首先定义作用量 S：
Jt2
S = L(q, q˙)dt. (1.1.2)
t1
从这个定义可以看出,每给定一个运动学上可能的运动,就可标出体系在 t1 ～ t2间的作用量.作用量原理是说,在初始和末了的位置确定 (即 qi(t1)和 qi(t2)都确定)的所有运动学上可能的运动中,真实的运动是使作用量取极值的运动.
推导如下:作用量的变更为
J t2
/ .L .L δS = δqi + δq˙i dt.
t1 .qi .q˙i
由 δq˙i = δ dd tqi = δ{[qi(t +Δt) . qi(t)]/Δt} d
=[δqi(t +Δt) . δqi(t)]/Δt = δqi,
dt
J t2 / .L .L d

给出 δS = .qi δqi +dt δqi dt
.q˙i
t1
J t2 [ .L d / .L / d .L 叫
= δqi + δqi . δqidt
.qi dt .q˙i dt .q˙i
t1 t2
J t2 / .L d .L .L I
= . δqi . δqi . (1.1.3)
.qi dt .q˙i .q˙i
t1 t1
当拉格朗日方程成立并且在 t1和 t2 , δqi =0时 I
,对其余任意 δqi有 δS =0.反之,要求在任意 δqi下 δS =0,可推出拉格朗日方程及边界条件.

1.1.3哈密顿方程
由拉格朗日方程可以导出哈密顿方程,从而将拉格朗日体系改变为哈密顿体系.这样可以得到动力学体系的哈密顿形式,也称为正则形式.为此,首先定义广义动量 pi： = .L . (1.1.4)
pi .q˙i 它给出广义动量作为 q和 q˙的函数 pi = pi(q, q˙) ,然后反解出 q˙i = fi(q, p).定义哈密顿量
H = L piq˙i . L
= Lipiq˙i(p, q) . L(q, q˙(p, q)) i
= H(p, q). (1.1.5)
考虑哈密顿量的一个微小变更,
δH = L i δpiq˙i + L i piδq˙i . L i = L i q˙iδpi . L i .L .qi δqi. .L .qi δqi . L i .L .q˙i δq˙i (1.1.6)
因此, H作为 q和 p的函数有
.H .pi = q˙i, .H .qi = L .qi . (1.1.7)
又由拉格朗日方程 (1.1.1)得
p˙i = d dt p = d dt / .L .q˙i = .L .qi = H .qi . (1.1.8)

方程 (1.1.7)的第一个式子和 (1.1.8)式就是哈密顿方程 .一个运动对应的 pi(t),qi(t)如果满足哈密顿方程,就是一个动力学上可能的运动.问题：任意给定 pi(t),qi(t)是否是一个在拉格朗日意义下可能的运动?

1.1.4泊松括号
我们研究在哈密顿体系中 ,任意的力学量 A(q, p, t)如何随时间变化 . A对时间的变化率为
.A .A .A
˙
A =+ L q˙i + L p˙i
.t .qi .pi
ii
.A .A .H .A .H
=+ L . L (1.1.9)
.t .qi .pi .pi .qi
ii
.A
≡ + {A, H}.
.t
在这里我们定义
.A .B .A .B
{A, B}≡ L . L (1.1.10)
.qi .pi .pi .qi
ii
为泊松括号.泊松括号满足
{A, B} = .{B, A},
{AB, C} = A{B, C} + {A, C}B,

(1.1.11)
{αA + βB, C} = α{A, C} + β{B, C}, {A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} =0.
其中 , α, β为常数,最后一个等式叫 JAcobi恒等式.习题证明这些式子.
由定义易得基本泊松括号：
{qi,pj} = δij , {qi,qj} = {pi,pj } =0. (1.1.12)



附录 1.1A不同基底下的泊松括号
如果已知 {Al}和 {Bl},以及它们之间的泊松括号 ,试计算新的基底下的泊松括号.
( .R .S .R .S )
{R, S}AB = L . ,
.Ai .Bi .Bi .Ai
i
(.R .S .R .S )
.qi .pi .pi .qi

i
{R, S}qp = L/ .R Al .R .Bl / .S 辛 .S 辛 . = L.L + .Bl .Al.pi + 辛 .Bl.{qi . pi}
辛 .Al .qi .qi 辛 .Al.Bl.pi .R .S .Al .Al辛 .R .S .Al .Bl辛 = L .Al .Al辛 L .qi .pi + L .Al .Bl辛 L .qi .pi
i ll
辛辛
lli lli
.R .S .Bl .Al辛 .S .Bl .Bl辛
+ L .Bl .Al辛 L .qi .pi + L .Bl .Bl辛 L .qi .pi .{qi . pi}
辛辛 .R
lli lli
= L .R .S {Al,Al辛 }qp + L .R .S {Al,Bl辛 }qp llll
辛 .Al .Al辛辛 .Al .Bl辛
+ L .R .S {Bl,Al+ L .R .S 辛 }qp.ll辛 .Bl .Al辛辛 }qp ll辛 .Bl .Bl辛 {Bl,Bl
如果
{Al,Bl辛 }qp = δll辛 , {Al,Al;}qp = {Bl,Bl;}qp =0,
.S .S
上式 =0+ L .Al .Bl辛 δll辛 + L .Bl .Al辛 (.δll辛)+0 llll
辛 .R 辛 .R / .R .S .R .S = L .Al .Bl Bl .Al辛 = {R, S}AB.
l
所以在这特殊基底变换下,泊松括号不变.我们计算 dd t {qi,pj },
d (.H )( .H )
{qi,pj} = {q˙i,pj} + {qi,p˙j} = ,pj + qi, .
dt .pi .qj ( .2H .pj )(.qi .2H )
= L . 0+ L (.) . 0
.pi.ql .pl .ql .qj.pl
ll
.2H.2H
= . =0.
.pi.qj .qj.pi
类似地 ,我们可以证明 dd t {qi,qj} = dd t {pi,pj} = 0.因此 ,基本泊松括号不随时间改变,从而定义泊松括号可以用任何时刻的 q, p作为基底 ,尽管 (1.1.9)式的推导要求当时的 q, p为基底.

1.2经典场
在本节 ,我们用前面的结果推导场作为拉格朗日体系和哈密顿体系的经典运动方程.
1.2.1经典场方程
场是有无穷多自由度的体系，为了研究场 ,我们首先把它简化成一个有限自由度的体系,将空间划分为格点,如图 1.2.1.考虑到对应关系 qi → φ(xxl) → φ(xx).其中, xxl是分立的坐标点 xxl = {xi,yj,zk} .

图 1.2.1
我们把场量 φ(xxl)作为拉格朗日系统的广义坐标 ,把分立的 xxl作为广义坐标的 “指标 ”.这样 ,场就变成一个有限自由度的拉格朗日体系了 .因此 ,拉格朗日量是 φ和 φ˙的函数：
˙
L(qi,q˙i) .→ L(φ(xxi),φ(x
xi)).
由于通常场论是局域的 ,否则会有因果律的破坏 ,所以 L是一些局域拉格朗日量 l的和
L = L lijk = L(ΔV )Lijk. ijk
ΔV是一个格点元胞的体积 . lijk只依赖于 {xi,yj,zk}点及其附近的 φ和 φ˙.在以下推导中,我们考虑最简单的情形,比如说
lijk = f(φ(xi,yj,zk),φ(xi+1,yj,zk),φ(xi,yj+1,zk),φ(xi,yj,zk+1),φ˙(xi,yj ,zk)).
这个式子又可写成
lijk = f1(φ(xi,yj,zk), Vxφ(xi,yj,zk), Vyφ(xi,yj,zk), Vzφ(xi,yj ,zk),φ˙(xi,yj ,zk)),
其中,定义 1
Vxφ(xi,yj,zk)= (φ(xi+1,yj,zk) . φ(xi,yj ,zk)), xi+1 . xi
1
Vyφ(xi,yj,zk)= (φ(xi,yj+1,zk) . φ(xi,yj,zk)), yi+1 . yi
1
Vzφ(xi,yj,zk)= (φ(xi,yj,zk+1) . φ(xi,yj,zk)).zi+1 . zi
于是,我们有
˙
L = LVlijk(φ(xi,yj,zk), Vxφ(xi,yj ,zk), Vyφ(xi,yj,zk), Vzφ(xi,yj,zk),φ(xi,yj,zk)).ijk
当格点变得越来越密,我们可以将求和变为积分：
J dxdydz
LV= .
V ΔV
ijk
由此给出
dxdydz l
L = J lijk(φ, Vxφ, Vyφ, Vzφ, φ˙) = J dxdydz
V ΔV ΔV
J
→ dxdydzLxyz(φ(x, y, z),φ(x, y, z),φ(x, y, z),φ(x, y, z),φ(x, y, z)),V
.x .y .z .t
其中, Lxyz = lim lijk .
ΔV →0 ΔV 我们看到 ,在场论中 ,坐标 (x, y, z)相当于理论力学中广义坐标的指标 ,而场量 φ相当于广义坐标
q˙i → φ(x, y,

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