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內容簡介

　　量子場論是理論物理的必備專業基礎課。《量子場論與重整化導論》係統地介紹量子場論，特彆是重整化理論最基本的知識和方法。第1章和第2章從拉格朗日方程和哈密頓方程齣發，引入經典場方程並導齣Noether定理，介紹正則量子化和費曼路徑積分量子化，導齣量子Noether定理和Ward恒等式。第3章用正則量子化給齣自鏇為0、1和1/2的幾種自由場的量子化，在自鏇為1的電磁場中介紹Gupta-Bleuler方法。第4章和第5章介紹幾種場的費曼傳播子、相互作用場的微擾展開、維剋定理、費曼圖規則以及散射截麵。第6章是量子電動力學單圈圖的重整化的詳細計算。第7章介紹重整化的BPHZ方案。第8章給齣瞭Zimmermann定理和Weinberg定理有關部分的詳細證明，從而證明瞭BPHZ方案的收斂，並由此證明瞭量子電動力學傳統重整化方案的收斂性。

內頁插圖

目錄

目錄
序言
第1章 經典場 1
1.1 經典拉格朗日體係與哈密頓體係 1
1.1.1 拉格朗日方程 1
1.1.2 作用量原理 2
1.1.3 哈密頓方程 2
1.1.4 泊鬆括號 3
附錄1.1A 不同基底下的泊鬆括號 4
1.2 經典場 5
1.2.1 經典場方程 5
1.2.2 Noether定理 12
附錄1.2A變分與泛函微商 18
第2章 場的量子化 20
2.1 力學體係的正則量子化 20
2.2 費恩曼路徑積分量子化 24
附錄2.2A Gauss積分 28
附錄2.2B 費米型力學量的路徑積分量子化 29
2.3 量子場方程 37
2.4 量子Noether定理與Ward恒等式 38
第3章 幾種自由量子場 41
3.1 狄拉剋場（自鏇為1/2的場） 41
3.1.1 γ矩陣和洛倫茲變換 41
3.1.2 狄拉剋方程 43
3.1.3 平麵波解 48
3.1.4 狄拉剋場的拉格朗日形式與哈密頓形式 49
3.1.5 狄拉剋場的量子化 51
附錄3.1A 推導u（p，s）和v（p，s）的性質 57
附錄3.1B 産生湮滅算符和粒子數算符 59
3.2 自鏇為0的中性粒子場（K-G場） 61
3.2.1 K-G場方程 61
3.2.2 K-G場的量子化 62
3.3 電磁場（自鏇為1的場） 65
3.3.1 電磁場方程與洛倫茲規範下的量子化 66
3.3.2 偏振矢量 69
3.3.3 Gupta-Bleuler（G-B）方法 71
第4章 微擾論和相互作用場 73
4.1 兩個非自由場的例子 73
4.1.1 *場論 73
4.1.2 電動力學 73
4.2 微擾論 77
4.2.1 相互作用的微擾展開 77
4.2.2 S矩陣、入射和齣射態 80
4.2.3 維剋定理 85
4.2.4 幾種場與其産生、湮滅算子的收縮 89
4.2.5 幾種自由場的費恩曼傳播子 91
第5章 S矩陣的分振幅、費恩曼積分和費恩曼圖 101
5.1 *理論的費恩曼圖 101
5.2 量子電動力學（QED）中的微擾論 110
附錄5.2A 光子的入射態（隻考慮橫嚮光子） 118
附錄5.2B 量子電動力學中費恩曼圖計算題 119
5.3 散射截麵 123
附錄5.3A 振子模式數等計算 125
第6章 重整化（一）量子電動力學單圈圖的重整化 126
6.1 發散積分 126
6.1.1 真空極化 126
6.1.2 電子自能 127
6.1.3 頂角修正 128
6.2 錶觀發散度的計算（QED） 131
6.3 Furry定理 133
6.4 關於費米子圈的規範不變性 136
6.5 費恩曼積分的洛倫茲變換性質 141
附錄6.5A ∑（p）的形式 142
6.6 QED單圈圖重整化 145
6.6.1 真空極化的單圈圖 146
6.6.2 電子自能的單圈圖 154
6.6.3 頂角修正的單圈圖 158
6.6.4 單圈圖重整化總結 167
附錄6.6A 光子*的計算 170
附錄6.6B g1的計算過程 172
附錄6.6C 另一種抵消方案 l73
附錄6.6D 關於γ-矩陣的計算與公式 174
附錄6.6E 當取重整化點為p=p’=0的Z2和Z2’的比較 175
附錄6.6F 電子自能和頂角修正的一般形式 177
6.7 QED中的一個Ward恒等式 179
附錄6.7A （6.7.10）式的推導 183
附錄6.7B 電子的全費恩曼傳播子 186
附錄6.7C 光子的全費恩曼傳播子 189
6.8 關於紅外發散 191
第7章 重整化（二）重整化的BPHZ方案 207
7.1 單圈圖重整化與泰勒展開 207
7.2 正規圖 208
7.3 交叉發散與薩拉姆方案 212
7.4 BPHZ方案與重整化的自洽性 217
附錄7.4A 關於泰勒展開的規範條件 226
附錄7.4B 關於對稱因子 226
7.5 Rr（費恩曼被積函數的收斂部分）的顯示錶達式 229
7.6 重整化點的選擇與QED傳統重整化方案的收斂問題 232
7.6.1 單圈圖兩種方案抵消項之差 233
7.6.2 多圈圖的兩種方案之差 236
7.6.3 傳統方案的收斂性 247
7.6.4 從費恩曼被積函數角度分析 253
7.6.5 傳統QED重整化的具體方案 256
第8章 BPHZ方案的收斂性 262
8.1 外動量的正則分布與費恩曼積分的積分變量 262
8.1.1 備忘錄2 268
8.1.2 備忘錄3 269
附錄8.1A 關於正則分布 270
8.2 Rr的顯示錶達式 271
8.3 *林按七空間的子空間T的分類 276
8.3.1 動量*對t和對tq的冪次 276
8.3.2 當T確定後，*林的完備化和基底 278
8.4 Zimmermann定理 287
8.4.1 γ？w（U） 290
8.4.2 γ∈w（U） 295
附錄8.4A泰勒展開餘項的泰勒展開係數 302
8.5 Wick轉動與Rr的收斂 302
附錄8.5A Cα和C的絕對值之比 309
附錄8.5B 正交化手續 310
附錄8.5C 多項式係數的絕對收斂性質 313
附錄8.5D 些公式的推導 314
8.6 Weinberg定理與*的收斂性 321
8.6.1 Weinberg定理的推論 321
8.6.2 *是k空間的An類函數 333
8.6.3 *的歐氏空間積分絕對收斂 335
附錄8.6A 積分*的漸近指數 335
主要參考文獻 338
索引 340

精彩書摘

第 1章經典場
場是力學量 (場量 )隨空間坐標的變化而變化的係統 .描寫一個場的構形需要給齣空間每一點的場量 .比如電場 ,必須對空間每一點給齣電場的 3個分量 ,纔能知道整個電場的情況 .場論研究場的構形隨時間的演化規律 .量子場論研究場在量子化以後的演化規律 .在這一章我們介紹經典場作為拉格朗日體係和哈密頓體係的方程 ,以及經典的 Noether定理 .由這條定理 ,可以從場的一些對稱性給齣它們對應的守恒量.
1.1經典拉格朗日體係與哈密頓體係
1.1.1拉格朗日方程
一個力學體係有一些量是可以自由變動的 ,這些量一旦確定下來 ,體係的構形 (位置 )便完全確定瞭 ,它們稱為廣義坐標 ,用 {qi}錶示 , i =1, 2, 3, ,n.這個體係的自由度是 n .隨便給齣一個 qi隨時間的變化關係 {qi(t)} ,就給齣瞭這個體係的一個 “運動學上可能的運動 ”.然而 ,運動學上可能的運動並不一定是動力學上可以實現的運動 .找齣運動學上可能的 ,同時也在動力學上可能的運動 ,就是動力學的目的,決定它們的方程叫動力學方程.
對動力學的保守體係,可以找到一個量叫拉格朗日量 L,它是 qi和 q˙i的函數,
L = L(qi,q˙i).
什麼是動力學上可能的 ,也即是真實的運動呢 ?它就是要求 {qi(t)}滿足拉格朗日方程的運動： d / .L L =0,i =1, 2, , n. (1.1.1)
dt .q˙i .qi
在最簡單的情形 , L(qi,q˙i)= T . V ,其中 T是動能 , V是位能 .在其他情形 ,可以適當找齣 L,使它的拉格朗日方程正好給齣體係的動力學方程.
請注意 (1.1.1)式偏微商中的自變量 {qi}、{q˙i}以及全微商 d 的意思.如果給齣一個運動, qi = qi(t),怎麼判定它是否是真實的運動?dt
由 qi(t) → q˙i(t), {qi(t)}和 {q˙i(t)}給齣 L以及 .L 、 .L ,它們都是時間的
.qi.q˙i d / .L
函數,因而可以得到 dt .q˙i ,再檢查它是否滿足方程 (1.1.1).若滿足 ,就是一個動力學上允許的運動.
1.1.2作用量原理
拉格朗日方程可以用極值原理錶示齣來.我們首先定義作用量 S：
Jt2
S = L(q, q˙)dt. (1.1.2)
t1
從這個定義可以看齣,每給定一個運動學上可能的運動,就可標齣體係在 t1 ～ t2間的作用量.作用量原理是說,在初始和末瞭的位置確定 (即 qi(t1)和 qi(t2)都確定)的所有運動學上可能的運動中,真實的運動是使作用量取極值的運動.
推導如下:作用量的變更為
J t2
/ .L .L δS = δqi + δq˙i dt.
t1 .qi .q˙i
由 δq˙i = δ dd tqi = δ{[qi(t +Δt) . qi(t)]/Δt} d
=[δqi(t +Δt) . δqi(t)]/Δt = δqi,
dt
J t2 / .L .L d

給齣 δS = .qi δqi +dt δqi dt
.q˙i
t1
J t2 [ .L d / .L / d .L 叫
= δqi + δqi . δqidt
.qi dt .q˙i dt .q˙i
t1 t2
J t2 / .L d .L .L I
= . δqi . δqi . (1.1.3)
.qi dt .q˙i .q˙i
t1 t1
當拉格朗日方程成立並且在 t1和 t2 , δqi =0時 I
,對其餘任意 δqi有 δS =0.反之,要求在任意 δqi下 δS =0,可推齣拉格朗日方程及邊界條件.

1.1.3哈密頓方程
由拉格朗日方程可以導齣哈密頓方程,從而將拉格朗日體係改變為哈密頓體係.這樣可以得到動力學體係的哈密頓形式,也稱為正則形式.為此,首先定義廣義動量 pi： = .L . (1.1.4)
pi .q˙i 它給齣廣義動量作為 q和 q˙的函數 pi = pi(q, q˙) ,然後反解齣 q˙i = fi(q, p).定義哈密頓量
H = L piq˙i . L
= Lipiq˙i(p, q) . L(q, q˙(p, q)) i
= H(p, q). (1.1.5)
考慮哈密頓量的一個微小變更,
δH = L i δpiq˙i + L i piδq˙i . L i = L i q˙iδpi . L i .L .qi δqi. .L .qi δqi . L i .L .q˙i δq˙i (1.1.6)
因此, H作為 q和 p的函數有
.H .pi = q˙i, .H .qi = L .qi . (1.1.7)
又由拉格朗日方程 (1.1.1)得
p˙i = d dt p = d dt / .L .q˙i = .L .qi = H .qi . (1.1.8)

方程 (1.1.7)的第一個式子和 (1.1.8)式就是哈密頓方程 .一個運動對應的 pi(t),qi(t)如果滿足哈密頓方程,就是一個動力學上可能的運動.問題：任意給定 pi(t),qi(t)是否是一個在拉格朗日意義下可能的運動?

1.1.4泊鬆括號
我們研究在哈密頓體係中 ,任意的力學量 A(q, p, t)如何隨時間變化 . A對時間的變化率為
.A .A .A
˙
A =+ L q˙i + L p˙i
.t .qi .pi
ii
.A .A .H .A .H
=+ L . L (1.1.9)
.t .qi .pi .pi .qi
ii
.A
≡ + {A, H}.
.t
在這裏我們定義
.A .B .A .B
{A, B}≡ L . L (1.1.10)
.qi .pi .pi .qi
ii
為泊鬆括號.泊鬆括號滿足
{A, B} = .{B, A},
{AB, C} = A{B, C} + {A, C}B,

(1.1.11)
{αA + βB, C} = α{A, C} + β{B, C}, {A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} =0.
其中 , α, β為常數,最後一個等式叫 JAcobi恒等式.習題證明這些式子.
由定義易得基本泊鬆括號：
{qi,pj} = δij , {qi,qj} = {pi,pj } =0. (1.1.12)



附錄 1.1A不同基底下的泊鬆括號
如果已知 {Al}和 {Bl},以及它們之間的泊鬆括號 ,試計算新的基底下的泊鬆括號.
( .R .S .R .S )
{R, S}AB = L . ,
.Ai .Bi .Bi .Ai
i
(.R .S .R .S )
.qi .pi .pi .qi

i
{R, S}qp = L/ .R Al .R .Bl / .S 辛 .S 辛 . = L.L + .Bl .Al.pi + 辛 .Bl.{qi . pi}
辛 .Al .qi .qi 辛 .Al.Bl.pi .R .S .Al .Al辛 .R .S .Al .Bl辛 = L .Al .Al辛 L .qi .pi + L .Al .Bl辛 L .qi .pi
i ll
辛辛
lli lli
.R .S .Bl .Al辛 .S .Bl .Bl辛
+ L .Bl .Al辛 L .qi .pi + L .Bl .Bl辛 L .qi .pi .{qi . pi}
辛辛 .R
lli lli
= L .R .S {Al,Al辛 }qp + L .R .S {Al,Bl辛 }qp llll
辛 .Al .Al辛辛 .Al .Bl辛
+ L .R .S {Bl,Al+ L .R .S 辛 }qp.ll辛 .Bl .Al辛辛 }qp ll辛 .Bl .Bl辛 {Bl,Bl
如果
{Al,Bl辛 }qp = δll辛 , {Al,Al;}qp = {Bl,Bl;}qp =0,
.S .S
上式 =0+ L .Al .Bl辛 δll辛 + L .Bl .Al辛 (.δll辛)+0 llll
辛 .R 辛 .R / .R .S .R .S = L .Al .Bl Bl .Al辛 = {R, S}AB.
l
所以在這特殊基底變換下,泊鬆括號不變.我們計算 dd t {qi,pj },
d (.H )( .H )
{qi,pj} = {q˙i,pj} + {qi,p˙j} = ,pj + qi, .
dt .pi .qj ( .2H .pj )(.qi .2H )
= L . 0+ L (.) . 0
.pi.ql .pl .ql .qj.pl
ll
.2H.2H
= . =0.
.pi.qj .qj.pi
類似地 ,我們可以證明 dd t {qi,qj} = dd t {pi,pj} = 0.因此 ,基本泊鬆括號不隨時間改變,從而定義泊鬆括號可以用任何時刻的 q, p作為基底 ,盡管 (1.1.9)式的推導要求當時的 q, p為基底.

1.2經典場
在本節 ,我們用前麵的結果推導場作為拉格朗日體係和哈密頓體係的經典運動方程.
1.2.1經典場方程
場是有無窮多自由度的體係，為瞭研究場 ,我們首先把它簡化成一個有限自由度的體係,將空間劃分為格點,如圖 1.2.1.考慮到對應關係 qi → φ(xxl) → φ(xx).其中, xxl是分立的坐標點 xxl = {xi,yj,zk} .

圖 1.2.1
我們把場量 φ(xxl)作為拉格朗日係統的廣義坐標 ,把分立的 xxl作為廣義坐標的 “指標 ”.這樣 ,場就變成一個有限自由度的拉格朗日體係瞭 .因此 ,拉格朗日量是 φ和 φ˙的函數：
˙
L(qi,q˙i) .→ L(φ(xxi),φ(x
xi)).
由於通常場論是局域的 ,否則會有因果律的破壞 ,所以 L是一些局域拉格朗日量 l的和
L = L lijk = L(ΔV )Lijk. ijk
ΔV是一個格點元胞的體積 . lijk隻依賴於 {xi,yj,zk}點及其附近的 φ和 φ˙.在以下推導中,我們考慮最簡單的情形,比如說
lijk = f(φ(xi,yj,zk),φ(xi+1,yj,zk),φ(xi,yj+1,zk),φ(xi,yj,zk+1),φ˙(xi,yj ,zk)).
這個式子又可寫成
lijk = f1(φ(xi,yj,zk), Vxφ(xi,yj,zk), Vyφ(xi,yj,zk), Vzφ(xi,yj ,zk),φ˙(xi,yj ,zk)),
其中,定義 1
Vxφ(xi,yj,zk)= (φ(xi+1,yj,zk) . φ(xi,yj ,zk)), xi+1 . xi
1
Vyφ(xi,yj,zk)= (φ(xi,yj+1,zk) . φ(xi,yj,zk)), yi+1 . yi
1
Vzφ(xi,yj,zk)= (φ(xi,yj,zk+1) . φ(xi,yj,zk)).zi+1 . zi
於是,我們有
˙
L = LVlijk(φ(xi,yj,zk), Vxφ(xi,yj ,zk), Vyφ(xi,yj,zk), Vzφ(xi,yj,zk),φ(xi,yj,zk)).ijk
當格點變得越來越密,我們可以將求和變為積分：
J dxdydz
LV= .
V ΔV
ijk
由此給齣
dxdydz l
L = J lijk(φ, Vxφ, Vyφ, Vzφ, φ˙) = J dxdydz
V ΔV ΔV
J
→ dxdydzLxyz(φ(x, y, z),φ(x, y, z),φ(x, y, z),φ(x, y, z),φ(x, y, z)),V
.x .y .z .t
其中, Lxyz = lim lijk .
ΔV →0 ΔV 我們看到 ,在場論中 ,坐標 (x, y, z)相當於理論力學中廣義坐標的指標 ,而場量 φ相當於廣義坐標
q˙i → φ(x, y,

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