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陳小鬆 編

圖書標籤:

• 高等數學
• 代數
• 大學教材
• 數學分析
• 綫性代數
• 抽象代數
• 數學
• 理工科
• 考研
• 教材

齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302370963

版次：1

商品編碼：11544506

品牌：清華大學

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2014-09-01

用紙：膠版紙

內容簡介

本書是為高等院校數學類專業編寫的高等代數教材。包含多項式、行列式、綫性方程組、矩陣、二次型、嚮量空間、綫性變換、歐氏空間，雙綫性函數共9章內容。在注重強化基礎知識及其訓練的同時，兼顧應用以及與數學軟件的結閤，內容精煉，重點突齣。每章最後一節也可以作為學生自主研學的內容，對培養學生主動學習的能力大有益處。

目錄

第1章多項式

1.1數域整數的整除性

1.2一元多項式

1.3整除的概念

1.4最大公因式

1.5因式分解

1.6重因式

1.7多項式函數

1.8復係數與實係數多項式

1.9有理數域上多項式

1.10多元多項式

1.11對稱多項式

*1.12應用和利用Maple計算舉例

第1章習題

第2章行列式

2.1行列式的引入

2.2排列

2.3n級行列式

2.4行列式的性質

2.5剋萊姆法則

*2.6拉普拉斯定理和行列式乘法法則

*2.7應用和利用Maple計算舉例

第2章習題

第3章綫性方程組

3.1綫性方程組的消元法

3.2n維嚮量空間

3.3矩陣的秩

3.4綫性方程組有解的判定法

3.5綫性方程組解的結構

*3.6二元高次方程組

*3.7應用和利用Maple計算舉例

第3章習題

第4章矩陣

4.1矩陣的運算

4.2矩陣乘積的行列式與矩陣的逆

4.3矩陣的分塊初等矩陣

4.4矩陣的分塊舉例

*4.5應用和利用Maple計算舉例

第4章習題

第5章二次型

5.1二次型的矩陣錶示

5.2標準形

5.3復數域和實數域上的二次型

5.4正定二次型

*5.5應用和利用Maple計算舉例

第5章習題

第6章嚮量空間

6.1嚮量空間的定義與簡單性質

6.2嚮量的綫性相關性

6.3嚮量空間的基坐標

6.4基變換與坐標變換

6.5子空間

6.6子空間的交與和

6.7子空間的直和

6.8綫性映射嚮量空間的同構

*6.9應用和利用Maple計算舉例

第6章習題

第7章綫性變換

7.1綫性變換

7.2綫性變換的運算

7.3綫性變換的矩陣

7.4特徵值與特徵嚮量

7.5對角矩陣

7.6綫性變換的像與核

7.7不變子空間

7.8若爾當標準形

7.9λ�簿卣蟮母拍畈槐湟蜃�

7.10行列式因子初等因子

7.11矩陣相似的條件

7.12初等因子和標準形

*7.13應用和利用Maple計算舉例

第7章習題

第8章歐氏空間

8.1定義和性質

8.2正交組標準正交基

8.3同構

8.4正交變換

8.5正交補嚮量到子空間的距離

8.6對稱變換實對稱矩陣的標準形

8.7酉空間介紹

*8.8應用和利用Maple計算舉例

第8章習題

第9章雙綫性函數

9.1綫性函數

9.2雙綫性函數

*9.3辛空間

*9.4對偶空間

*9.5雙綫性函數的應用

第9章習題

附錄Maple簡介

索引

前言/序言

前言

高等代數所包含的教學內容在大學數學專業、理科和工科專業都起著重要的作用.在教與學的過程中教材起著重要的作用. 一本好的教材，我們認為要具有以下五個條件：一是要注意繼承過去已列名優教材的優點，教學內容選擇要恰當，內容安排順序要自然，循序漸進，由淺入深；二是要注重教學內容的曆史，問題的目的、來源和發展要簡單扼要地交待清楚，強化“問題驅動”的教學思想；三是要與時俱進，注重教學內容的應用，要將數學應用和數學軟件融入到教材裏，注重將數學軟件的應用編入到例題和習題中，可以作為學生自主研學的輔助材料；四是要適閤專業的特點，要給教師根據教學對象和學時多少選擇教學內容的餘地，教材要包含大多數名優教材的基本內容，以便於教師和學生查閱；五是要以學生為中心，充分發揮學生的主體作用，將引導學生進行自主研究性學習內容選入教材. 我們根據多年的教學經驗和體會，編寫瞭這本教材.我們注意繼承過去名優教材的優點，同時具有如下特點：第一，注重瞭教學內容的曆史；第二，注重瞭教學內容的應用；第三，注重瞭將數學軟件Maple應用到習題中，可以作為學生自主研學的輔助素材；第四，我們也將習題單獨裝訂為閤頁冊，方便學生習題和交作業，也方便老師批改；第五，部分調整瞭教學體係的結構，使得教學內容由淺入深，注重啓發性，避免教學內容單純重復；第六，增加瞭中英文對照的名詞索引.

李俊平教授、劉金旺教授、劉慶平教授、王國富副教授和我多次對該教材進行討論、編寫和修改，並為本套教材配備瞭習題. 教材由劉偉俊教授審稿. 該書適閤數學、信息與計算科學及統計學專業作為教材使用，也適閤一些理科專業的學生對其內容選擇使用. 可以根據課程的學時，適當選擇教學內容. 例如，教學計劃為128學時的，可以選擇除9.3節，9.4節以外的所有內容，教學計劃為88學時的，可以選擇1.1~1.4節，第2章到第6章中非星號部分加上7.1~7.8節、8.1~8.6節的內容.整個教材中打星號的部分，可供教師教學時選擇. 每一章的最後一節可以作為學生自主研學、開展科研訓練的內容. 教材可能還會存在一些問題，希望使用該教材的同學和老師將問題指齣來，發送到我的郵箱：xschen@csu.edu.cn，以便今後重印或再版時修改.


陳小鬆
2014年5月於中南大學

好的，以下是一份關於一本名為《高等代數》的圖書的詳細簡介，這份簡介旨在描述一本非我們所討論的“高等代數”教科書可能涵蓋的內容，同時避免使用任何人工智能相關的詞匯或痕跡，並力求內容詳實、自然流暢，字數在1500字左右。 --- 《圖論與網絡流：現代算法的基石》 作者： 張偉，李明 教授 齣版社： 東方科學齣版社 齣版年份： 2024年 內容概述 《圖論與網絡流：現代算法的基石》並非一本探討傳統綫性代數或抽象代數概念的書籍，它聚焦於離散數學中兩個至關重要且應用極其廣泛的領域：圖論（Graph Theory）和網絡流（Network Flows）。本書旨在為計算機科學、運籌學、信息工程乃至復雜係統建模的研究者和實踐者，提供一套嚴謹而深刻的理論框架與高效的算法實現指南。 本書的編寫理念在於彌閤純理論研究與實際工程應用之間的鴻溝。我們深知，在數據爆炸的時代，如何高效地錶示、分析和優化相互連接的復雜係統，是解決現實世界諸多難題（如路綫規劃、資源分配、網絡可靠性）的關鍵。因此，本書在保持數學嚴謹性的同時，特彆強調瞭算法的效率、復雜性分析以及在實際案例中的落地應用。 全書共分為六大部分，共計二十章，內容深度由淺入深，邏輯脈絡清晰。 --- 第一部分：圖論基礎與結構分析 本部分奠定瞭整個學科的數學基礎。我們從集閤論和離散結構齣發，係統性地介紹瞭圖的基本定義、錶示方法（鄰接矩陣、關聯矩陣、鄰接錶）以及不同類型的圖結構（有嚮圖、無嚮圖、加權圖、平麵圖等）。 關鍵章節： 第1章：圖的初探與錶示：重點討論瞭圖的同構性判定問題，這是後續所有結構分析的基礎。我們詳細闡述瞭如何利用不變量來區分結構相似但本質不同的圖。 第2章：圖的連通性與分解：深入探討瞭割點、橋（割邊）的概念，並介紹瞭如何使用深度優先搜索（DFS）和廣度優先搜索（BFS）的變體算法，如 Tarjan 算法，高效地識彆雙連通分量，這在網絡可靠性分析中至關重要。 第3章：樹的性質與應用：著重分析瞭樹的唯一路徑特性。除瞭傳統的最小生成樹（MST）算法——Prim 和 Kruskal 算法的詳盡比較和復雜度分析外，還引入瞭在數據壓縮和編碼（如霍夫曼編碼）中樹結構的應用實例。 --- 第二部分：路徑與遍曆的奧秘 第二部分的核心在於解決“如何走”的問題。這不僅是導航係統的核心，也是許多優化問題的先決條件。 關鍵章節： 第4章：最短路徑算法：全麵覆蓋瞭單源最短路徑問題，包括 Dijkstra 算法（及其在優先隊列優化下的性能提升）和 Bellman-Ford 算法，並詳細分析瞭後者在檢測負權環中的關鍵作用。 第5章：多源與全源最短路徑：重點介紹瞭 Floyd-Warshall 算法，並討論瞭其在矩陣乘法視角下的動態規劃思想。此外，本章還探討瞭在特定稀疏圖結構中，如何通過分治策略優化整體計算效率。 第6章：圖的遍曆與迴路：歐拉迴路和哈密頓迴路的判定條件和構造算法是本章的難點。我們不僅闡述瞭經典的 Fleury 算法，還分析瞭 NP 完全性背景下對哈密頓問題的近似求解策略。 --- 第三部分：網絡流理論與最大流 本部分是本書的重中之重，將離散結構與連續優化思想相結閤。網絡流是解決資源分配、匹配和運輸問題的強大工具。 關鍵章節： 第7章：網絡流基礎概念：引入瞭流、容量、流量守恒等核心術語，定義瞭可行流和最大流。 第8章：最大流的理論基石——割：深入剖析瞭著名的“最大流-最小割定理”。本章不僅給齣該定理的嚴格數學證明，還通過大量實例展示瞭最小割在網絡瓶頸識彆中的直觀意義。 第9章：Ford-Fulkerson 及其改進：係統介紹瞭 Ford-Fulkerson 方法，並著重討論瞭 Edmonds-Karp 算法（基於 BFS 尋找增廣路徑）和 Dinic 算法（利用層次圖加速）。對 Dinic 算法的實際性能提升進行瞭詳盡的算例分析。 --- 第四部分：最小費用流與匹配 在此基礎上，本書進一步擴展到更復雜的約束條件——成本或費用。 關鍵章節： 第10章：最小費用最大流 (MCMF)：介紹瞭如何將費用納入網絡流模型，並主要依靠“勢能”和“最短路徑”來迭代尋找費用最優的增廣路徑。我們詳細闡述瞭基於 Bellman-Ford 或 SPFA（在無負環時使用 Dijkstra 優化）的算法實現。 第11章：二分圖匹配與網絡流：清晰地展示瞭如何將最大基數匹配、最大權重匹配問題轉化為特定的網絡流模型（如最大流或最小費用流）。本章包含瞭對匈牙利算法的圖論解釋及其在實際匹配問題中的應用。 --- 第五部分：平麵圖與拓撲結構 本部分迴歸到圖的幾何和拓撲性質。 關鍵章節： 第12章：平麵圖的判定與嵌入：介紹瞭 Kuratowski 定理（K5 和 K3,3 子圖）作為非平麵圖的判定標準。我們詳細分析瞭如何判斷一個圖是否可以在平麵上繪製而不發生邊交叉。 第13章：對偶圖與歐拉公式：深入探討瞭平麵圖的對偶結構，並嚴格推導瞭歐拉公式 $V-E+F=2$ 在連通平麵圖中的應用。 --- 第六部分：高級主題與現代應用 最後一部分，本書將理論提升至前沿應用層麵。 關鍵章節： 第14章：染色問題與著色算法：討論瞭圖著色的基本概念（色數），並重點分析瞭四色定理的復雜性背景。對於實際中的圖調度和資源分配問題，我們介紹瞭貪心策略和局部搜索算法。 第15章：隨機圖模型：介紹瞭 Erdős–Rényi (ER) 模型和 Barabási–Albert (BA) 模型，用於模擬真實世界中諸如互聯網、社交網絡等復雜係統的演化特性，為後續的復雜網絡科學打下基礎。 --- 本書特色 1. 算法實現的精確性：每種核心算法後都附帶有僞代碼和詳細的步驟說明，便於讀者直接轉化為程序代碼。 2. 復雜度分析的徹底性：對所有關鍵算法的時間復雜度和空間復雜度進行瞭嚴格的上下界分析。 3. 工程案例的豐富性：書中穿插瞭數十個精心挑選的案例，涵蓋物流配送優化、數據包路由、任務調度、電路布局等領域，真正體現瞭“算法的基石”這一主題。 讀者對象： 計算機科學、軟件工程、應用數學、運籌學及電子工程專業的高年級本科生、研究生，以及需要利用圖論與網絡流技術解決實際問題的工程師和研究人員。掌握微積分和綫性代數基礎知識是學習本書的先決條件。

評分☆☆☆☆☆

《高等代數》這本書，給我最直觀的感受就是它的“厚重感”。不僅僅是紙張和篇幅，更是內容本身的深度和廣度。書中的每一個定理，每一個證明，都像是一塊塊精密搭建的基石，共同構築起一個巍峨的數學大廈。我最享受的是那種“頓悟”的時刻，當書本上的某個抽象概念，突然在我腦海中變得清晰起來，或者一個看似復雜的證明，在我眼中變得簡潔明瞭時，那種感覺就像是撥開迷霧，看到瞭清晰的道路。這本書並沒有刻意去迴避難度，相反，它鼓勵讀者去直麵挑戰。例如，在講解抽象代數結構時，書本會引用大量的例子，從熟悉的數字運算到更抽象的集閤關係，幫助讀者建立起直觀的認識，但同時，它也會要求讀者去掌握這些抽象概念的普遍性質。我在這本書中最大的收獲，並非是記住瞭多少公式定理，而是學會瞭如何去思考數學問題，如何運用嚴謹的邏輯去分析和論證，這種能力，對於我未來的學習和研究來說，是無價的。

評分☆☆☆☆☆

讀《高等代數》的過程，對我來說更像是一次深入的數學探索之旅，這本書就像是一位經驗豐富的嚮導，引領我穿越代數世界的奇幻風景。我特彆喜歡書中那種層層遞進的編排方式，從最基礎的概念齣發，逐步構建起一個宏大的理論體係。讓我印象深刻的是關於綫性空間的部分，那些嚮量、基底、子空間的概念，起初顯得有些空泛，但隨著例題的展開，我纔逐漸體會到它們在幾何空間中的直觀意義，以及在綫性變換等應用中的強大力量。書中不乏一些需要反復推敲的證明，每一次我成功地跟上作者的思路，都感覺自己對數學的理解又上瞭一個颱階。有時候，我會放下書本，靜靜地思考某個定理的內涵，或者嘗試用不同的方式去理解它，這種主動思考的過程，比單純地記憶公式要來得有意義得多。這本書不隻是羅列知識點，更注重培養讀者的數學思維，那種嚴謹、邏輯、抽象化的能力，是我在這本書中最大的收獲，也是我未來繼續深入學習數學的堅實基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字就叫《高等代數》，光聽名字就讓人覺得是那種需要啃很久纔能明白的硬骨頭，不過我一直對數學裏那些抽象又精巧的結構充滿好奇，所以抱著挑戰自己的心態翻開瞭它。剛開始看的時候，確實被那些定義和定理繞得有點暈頭轉嚮，什麼群、環、域，這些名詞在我腦海裏就像一團亂麻。但漸漸地，隨著我一點點地消化，那些抽象的概念開始有瞭具體的模樣。比如，當學習到群論時，我開始能理解為什麼對稱性可以用群來描述，這給我帶來瞭極大的啓發，仿佛打開瞭新世界的大門。書中的例題雖然一開始看有些難度，但細細琢磨，卻能發現解題思路的巧妙之處，讓我忍不住自己動手去演算，去體會定理的威力。而且，很多定理的證明過程都寫得相當嚴謹，雖然有時候需要反復推敲，但正是這種嚴謹性，讓我對數學的邏輯性有瞭更深的認識。總的來說，這本書給我一種“欲罷不能”的感覺，雖然過程充滿挑戰，但每一次理解新的概念，每一次解決一個難題，都帶來瞭巨大的成就感，讓我對接下來的學習充滿瞭期待。

評分☆☆☆☆☆

初次翻開《高等代數》，我帶著一種既期待又忐忑的心情。期待是因為我知道它會帶我進入更深層次的數學世界，而忐忑則是因為聽說這本書的難度不小。的確，書中的概念很多都是我之前從未接觸過的，比如那些高維空間的描述，或者矩陣的各種性質，都需要我花很多時間去理解。但隨著閱讀的深入，我發現這本書的優點在於它的係統性非常強，每個章節都是在前一章的基礎上展開，所以隻要前麵的知識點理解透徹，後麵的內容也就相對容易一些。我特彆喜歡書中的習題設計，它們不僅僅是簡單的計算題，更多的是一些概念性的問題，或者需要綜閤運用多個定理纔能解決的難題，這極大地鍛煉瞭我的邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。有時候，我會對著一道難題冥思苦想幾個小時，當最終找到解法時，那種滿足感是無法言喻的。這本書讓我深刻體會到，高等代數不僅僅是工具，更是一種思考方式，一種嚴謹的邏輯訓練。

評分☆☆☆☆☆

老實說，《高等代數》這本書給我的感覺就像是走進瞭一個充滿智慧的迷宮，裏麵有無數精巧的設計和令人驚嘆的構造，但同時，也需要極大的耐心和專注纔能找到齣口。書中的章節安排很有條理，但有時候，一個看似簡單的概念，背後卻隱藏著深刻的邏輯推導，需要我花費大量時間去理解和消化。我尤其欣賞書本在講解每個定理時，不僅僅給齣證明，還會穿插一些相關的背景知識和曆史淵源，這讓冰冷的數學理論變得生動有趣，也讓我對這些數學概念的産生和發展有瞭更深的認識。例如，在學習多項式理論時，書本裏對根式解的研究，讓我看到瞭數學傢們為瞭解決一個問題所付齣的不懈努力，這種曆史的厚重感，是我在其他一些數學書籍中很少體會到的。雖然過程中遇到過不少睏惑，也曾因為某個證明而反復查閱資料，但每一次剋服睏難，都能讓我感受到數學的魅力所在，以及個人能力的提升。