广义最小二乘问题的理论和计算 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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魏木生 著

图书标签:

• 广义最小二乘
• 最小二乘法
• 数值计算
• 优化算法
• 矩阵分析
• 统计模型
• 误差分析
• 迭代方法
• 线性模型
• 参数估计

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030177988

版次：1

商品编码：11872275

包装：平装

丛书名： 大学数学科学丛书

开本：32开

出版时间：2016-02-01

用纸：胶版纸

页数：368

正文语种：中文

内容简介

　　本书总结了各种广义的小二乘问题的理论与计算的新成果。主要包括小二乘问题、总体小二乘问题、等式约束小二乘问题以及刚性加权小二乘问题等的理论与科学计算问题。由于各种广义奇异值分解在解决矩阵论和数值代数问题中有着重要的作用，书中也较详细地介绍了广义的奇异值分解，并应用于解决若干矩阵论和数值代数问题。本书需要的预备知识为数值代数和矩阵论。本书可作为研究生和高年级本科生的教材，也可作为计算数学及应用学科中需要科学计算的科技工作者的参考书。

目录

第一章 预备知识
§1.1引言
§1.2特征值和特征向量
§1.3矩阵分解
1.3.1若干基本分解
1.3.2SVD的推广
§1.4Hermite矩阵的特征值和矩阵的奇异值
1.4.1Hermite矩阵特征值的极小极大定理
1.4.2矩阵奇异值的极小极大定理
§1.5广义逆
1.5.1Moore—Penrose逆
1.5.2其他广义逆
§1.6投影
1.6.1幂等矩阵和投影
1.6.2正交投影
1.6.3投影AA+和A+A的几何意义
§1.7范数
1.7.1向量范数
1.7.2矩阵范数
§1.8行列式，Hadamard不等式和Kronecker乘积
1.8.1Binet—Cauchy公式
1.8.2Hadamard不等式
1.8.3Kronecker乘积
§1.9矩阵广义逆的进一步讨论
1.9.1矩阵乘积广义逆的反序律
1.9.2加边矩阵的广义逆
1.9.3矩阵加权广义逆的结构
习题一
第二章 奇异值，奇异子空间和MP逆的扰动
§2.1酉不变范数的性质
2.1.1von Neumann定理
2.1.2SG函数
2.1.3酉不变范数的性质
§2.2奇异值的扰动和降秩最佳逼近
2.2.1奇异值的扰动
2.2.2降秩最佳逼近
§2.3正交投影和奇异子空间的扰动
§2.4MP逆的扰动
习题二
第三章 线性最小二乘问题
§3.1线性最小二乘问题
3.1.1线性最小二乘及其等价性问题
3.1.2LS问题的正则化
§3.2LS问题的扰动
§3.3若干矩阵方程的LS解
§3.4加权最小二乘问题
§3.5WLS问题的误差估计
3.5.1第一种类型的误差界
3.5.2第二种类型的误差界
习题三
第四章 总体最小二乘问题
§4.1总体最小二乘问题及其解集
4.1.1总体最小二乘问题的定义
4.1.2TLS问题的解集
§4.2TLS和截断的LS问题的扰动
4.2.1TLS问题的扰动
4.2.2截断的LS问题的扰动
§4.3TLS和截断的LS问题的比较
4.3.1TLS和截断的LS问题的解的比较
4.3.2TLS和截断的LS问题残量的比较
4.3.3TLS和截断的LS问题极小F范数修正矩阵的比较
4.3.4一个实例
§4.4推广的降秩最佳逼近定理
§4.5LS—TLS问题
§4.6约束总体最小二乘问题
习题四
第五章 等式约束最小二乘问题
§5.1等式约束最小二乘问题
5.1.1等式约束最小二乘问题的定义与解集
5.1.2等式约束最小二乘问题的等价性问题
§5.2关于KKT方程
5.2.1WLS问题的KKT方程
5.2.2LSE和WLS问题的KKT方程解的比较
5.2.3对应于B和B（t）零特征值的特征子空间
§5.3LSE问题的误差估计
§5.4等式约束加权最小二乘问题
5.4.1等式约束加权最小二乘问题的定义与解集
5.4.2加权最小二乘问题的等价性问题
§5.5WLSE问题的扰动
§5.6多重约束MP逆和多重约束最小二乘问题
§5.7嵌入总体最小二乘问题
习题五
第六章 加权MP逆和约束加权MP逆的上确界
§6.1基本问题
§6.2加权MP逆的上确界
§6.3约束加权MP逆的上确界
§6.4双侧加权MP逆的上确界
习题六
第七章 WLS问题和WLSE问题的稳定性扰动
§7.1加权MP逆和约束加权MP逆的稳定性
7.1.1加权MP逆的稳定性
7.1.2约束加权MP逆的稳定性
7.1.3双侧加权MP逆的稳定性
§7.2加权投影矩阵的扰动上界
§7.3加权最小二乘问题的稳定性扰动
§7.4约束加权最小二乘问题的稳定性扰动
习题七
第八章 刚性加权最小二乘问题
§8.1预备知识
§8.2刚性加权最小二乘和多重约束最小二乘问题
§8.3刚性加权投影矩阵和刚性加权MP逆的扰动
§8.4刚性加权最小二乘问题的扰动
习题八
第九章 广义最小二乘问题的直接解法
§9.1基本知识
9.1.1算法和浮点运算
9.1.2正定矩阵线性方程组的数值计算
9.1.3矩阵的预条件处理
§9.2正交分解的数值计算
9.2.1QR分解
9.2.2完全正交分解
9.2.3奇异值分解
§9.3最小二乘问题的直接解法
9.3.1QR分解方法
9.3.2法方程法
9.3.3完全正交分解方法
9.3.4SVD方法
§9.4总体最小二乘问题的直接解法
9.4.1基本SVD方法
9.4.2完全正交方法
9.4.3Cholesky分解法
§9.5约束最小二乘问题的数值解法
9.5.1零空间法
9.5.2加权LS法
9.5.3直接消去法
9.5.4QR分解和Q—SVD方法
§9.6刚性WLS问题和刚性WLSE问题的直接解法
9.6.1行稳定的QR分解
9.6.2刚性WLS问题的稳定解法
9.6.3刚性WLSE问题的稳定解法
习题九
……
第十章 广义最小二乘问题的迭代解法
第十一章 非线性最小二乘问题的迭代解法
参考文献
《大学数学科学丛书》已出版书目

前言/序言

线性代数中的矩阵分解、特征值与奇异值理论：应用与深度解析 本书旨在为读者提供一个全面、深入的线性代数核心概念的现代视角，重点聚焦于矩阵分解、特征值理论及其在数值分析和数据科学中的实际应用。本书并非专注于优化方法或回归分析的特定领域，而是致力于夯实读者在处理大规模矩阵运算和理解系统内在结构方面的理论基础。 第一部分：矩阵代数基础与分解的统一视角 本书的第一部分从成熟的矩阵代数概念出发，但很快将重点转移到“分解”这一核心思想上。我们首先回顾了向量空间、线性映射以及行列式的定义，但随后便引入了矩阵分解作为理解矩阵结构的主要工具。 矩阵的LU分解与高斯消元法的结构意义： 我们详细探讨了LU分解（下三角与上三角矩阵的乘积）如何系统地反映了高斯消元过程中执行的行操作。不同于仅仅将LU视为求解线性方程组的计算步骤，本书强调了它作为一种将复杂矩阵转化为一系列更简单、更容易处理的变换（行操作）的分解结构。我们深入分析了主元选择（Pivot Selection）对数值稳定性的影响，并引入了带部分或完全主元的LU分解形式，讨论了其在计算稀疏矩阵逆或求解线性系统时的计算复杂度。 矩阵的QR分解：正交性与最小二乘的几何解释： 随后，我们详尽阐述了QR分解（正交矩阵与上三角矩阵的乘积）。重点放在了Gram-Schmidt过程、Householder反射和Givens旋转这三种主要的构造QR分解的方法上。我们从几何角度解读了QR分解：它本质上是将一个矩阵的列向量空间投影到一个正交基上。这种正交性是其在数值计算中稳定性的根本来源。我们清晰地展示了，求解最小二乘问题（未涉及具体广义最小二乘的复杂性）的几何直观理解，即寻找投影到列空间中的最佳近似解，如何直接通过QR分解的结构得到简洁的解法。 Cholesky分解：对正定矩阵的特殊处理： 对于对称正定矩阵，我们引入了Cholesky分解，将其视为QR分解在特定矩阵类别上的简化和高效版本。我们分析了Cholesky分解在数值稳定性上的优势，并探讨了其在某些特定数值模拟中的应用，例如蒙特卡洛模拟中的协方差矩阵分解。 第二部分：特征值、特征向量与相似性理论 本书的第二部分深入探讨了特征值理论，这是理解线性变换作用于向量空间内在方向的关键。 特征值的代数与几何性质： 我们详细推导了特征方程，并区分了代数重数和几何重数。本书强调了特征值和特征向量的“不变性”——即在相似变换下，它们所代表的系统内在行为保持不变。 相似性、对角化与Jordan标准型： 我们构建了矩阵相似变换的理论框架，解释了对角化（Diagonalization）的条件及其意义——即找到一组基，使得线性变换在该基下表示为对角矩阵，从而简化了矩阵的幂运算和指数运算。对于不可对角化的情形，本书系统地引入了Jordan标准型（Jordan Canonical Form）。我们详细分析了Jordan块的结构如何精确地捕捉矩阵的非对角化部分，包括广义特征向量的概念，这对于分析微分方程的解的稳定性至关重要。 实数域上的Schur分解： 考虑到实际应用中矩阵通常是实数矩阵，我们引入了实数域上的Schur分解，即将矩阵分解为一个正交矩阵与一个上Hessenberg矩阵的乘积。我们阐释了Schur分解的优势：即使矩阵不可对角化，Schur分解也能提供一个数值稳定的分解形式，使得特征值的计算更为可靠。 第三部分：奇异值分解（SVD）——普适性的分解理论 全书的第三部分集中于奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD），将其定位为最强大、最普适的矩阵分解工具。 SVD的构造与几何意义： 我们从SVD的定义出发，展示了它与特征值理论（通过$A^TA$和$AA^T$的特征值）的深刻联系。我们将SVD的几何意义解释为对任意线性变换（由矩阵$A$表示）的三步分解：首先是旋转（由右奇异向量定义的正交基），其次是缩放（由奇异值定义），最后是另一个旋转（由左奇异向量定义）。 低秩近似与截断SVD： 本书的重点应用部分在于截断SVD（Truncated SVD）理论。我们基于Schmidt分解的观点，证明了SVD是实现最佳秩-$k$近似（基于Frobenius范数或2-范数）的唯一方法。我们详细讨论了如何选择奇异值（即“保留多少信息”），并探讨了由此引出的主成分分析（PCA）背后的数学原理，将其视为数据在最优子空间上的投影。 SVD在伪逆矩阵中的应用： 最后，我们利用SVD构建了Moore-Penrose 伪逆矩阵，并讨论了如何利用此工具对奇异值进行正则化处理，以克服矩阵病态性（ill-conditioned matrices）带来的数值问题。 结论 本书的结构旨在提供一个清晰的知识链条：从基础的线性变换，到通过LU/QR/Cholesky分解简化矩阵结构，再到通过特征值理论理解系统的内在动态，最终通过SVD这一普适工具实现对任意矩阵的高效近似与分析。全书严格围绕这些分解的理论推导、数值稳定性考量及在纯数学和基础科学计算中的应用展开，不涉及优化算法的特定求解技术或回归模型的统计推断。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事逻辑简直是一绝，它仿佛带着读者进行了一场精心规划的学术探险。开篇部分对背景知识的梳理可谓是鞭辟入里，作者并没有急于抛出复杂的模型，而是从最直观的问题引入，层层递进，引导我们逐步认识到现有方法的局限性。这种循序渐进的教学方法，对于初学者来说简直是福音。我发现自己很容易就能跟上作者的思路，每一个新的概念或工具的引入，都有明确的动机和清晰的上下文支撑。特别是当涉及算法的收敛性和稳定性分析时，作者巧妙地穿插了一些历史上的经典案例作为对比，使得抽象的理论讨论立刻变得鲜活和具有实践意义。这种叙事节奏的把握，充分体现了作者深厚的学术功底和出色的沟通能力。读完前几章，我对于整个领域的认知结构清晰了不少，感觉自己仿佛被一位经验丰富的大师手把手地领进了门槛。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值在于它提供了一种全面的视角，将理论的优美与计算的残酷完美结合。我特别欣赏作者在总结部分所体现的哲学思辨。他不止步于“如何解决问题”，更引导我们思考“为什么选择这个问题”以及“在何种约束下这个解是最优的”。在探讨模型选择的局限性时，作者引用了大量的反例和实际工程中的失败教训，这让阅读体验充满了警醒意味。它教会了我们，在追求数学上的完美解的同时，必须兼顾工程实现中的鲁棒性和可解释性。这种高度的成熟度和批判精神，贯穿全书，使得每一次阅读都像是一次与领域内顶尖专家的深入对话。这本书不仅仅是一本技术手册，更是一部关于如何审慎对待复杂系统建模的思考录。

评分☆☆☆☆☆

不得不提的是书中对计算复杂度和实现细节的关注，这使得这本书的实用价值远超纯理论著作。在介绍完复杂的迭代过程后，作者紧接着分析了不同求解策略在实际计算资源消耗上的差异。表格数据清晰地对比了不同算法在处理大规模数据集时的运行时间和内存占用情况。更重要的是，书中附带的一些伪代码示例，虽然没有直接给出完整的可执行程序，但其清晰的结构和对边界条件的考虑，极大地简化了我们将理论转化为代码的过程。我尝试根据书中的描述，复现了其中一个关键的验证过程，发现只要严格遵循书中的指导，结果的一致性非常高。这表明作者在理论与实践之间架起了一座坚实的桥梁，避免了理论在实际应用中“水土不服”的问题，这是很多纯理论书籍所欠缺的宝贵特质。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计实在让人眼前一亮，封面采用了深邃的藏蓝色调，配以简洁的银色字体，显得既专业又不失典雅。纸张的选择也相当考究，触感细腻，即便是长时间阅读也不会感到疲惫。我尤其欣赏作者在排版上的用心，无论是公式的对齐还是图表的清晰度，都达到了很高的水准。阅读过程中，那些复杂的数学表达式在清晰的排版下变得更容易理解和追踪。尤其是在介绍核心算法推导的部分，图文并茂的展示方式极大地降低了学习的门槛。对于我们这些需要经常处理大量数据和模型的科研人员来说，一本在细节上如此下功夫的书，无疑是值得珍藏的工具书。可以说，从拿起书本的那一刻起，就能感受到作者对知识传播的热忱与专业态度。这种对细节的极致追求，为后续深入理解那些艰涩的理论打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的理论深度令人印象深刻，它绝非泛泛而谈的入门读物，而是真正触及了问题的核心。在深入探讨特定优化技术时，作者展现了极强的数学洞察力。例如，在某一章节中，作者对某些矩阵分解在数值计算中的稳定性进行了深入剖析，其中引用的不等式和定理的论证过程严密且极具启发性。我曾尝试在其他教材中寻找类似的详尽论述，但大多都一笔带过。这本书却毫不吝惜笔墨，详细阐述了每一步推导背后的数学原理和潜在的数值陷阱。这种对底层机制的彻底揭示，使得读者不仅知其然，更知其所以然。对于那些希望在理论上有所突破的研究生或者资深工程师而言，这本书提供的深度足以支撑起一篇高质量的学术论文。它提供的不仅仅是知识，更是一种批判性思考问题的框架。

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017-12-13

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