微积分与数学模型（第3版 下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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贾晓峰，孙洪波，贾云涛 编

图书标签:

• 微积分
• 数学模型
• 高等教育
• 理工科
• 数学
• 应用数学
• 微积分学
• 第三版
• 下册
• 教材

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040445589

版次：3

商品编码：11892800

包装：平装

丛书名： 高等学校教材

开本：16开

出版时间：2016-02-01

用纸：胶版纸

页数：375

字数：430000

正文语种：中文

内容简介

　　《微积分与数学模型（第3版 下册）》本次修订对多处内容进行了较大改动，其中首先以突出逼近思想为目标改造多处微积分内容表述方式，把逼近作为微积分应用的基础加以强调，并辅以相关训练，进一步强化数学建模的内容。
　　《微积分与数学模型（第3版 下册）》分为上、下两册。下册内容包括空间解析几何与向量代数、微分方程、多元函数微分法及其应用、各种类型的积分及其应用、第二类曲线与曲面积分。书后附有科学论文初步知识、参考书目、第三版编后记。
　　《微积分与数学模型（第3版 下册）》可作为高等学校非数学类专业高等数学课程的教材，也可供相关专业师生阅读和参考。

目录

第八章 空间解析几何与向量代数
第一节 空间直角坐标系
习题8．1
第二节 向量及其加减法·向量与数的乘法
习题8．2
第三节 向量的坐标
习题8．3
第四节 向量的数量积和方向余弦
习题8．4
第五节 向量积·混合积
习题8．5
第六节 曲面及其方程
习题8．6
第七节 平面及其方程
习题8．7
第八节 空间曲线及其方程
习题8．8
第九节 空间直线及其方程
习题8．9

第九章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
习题9．1
第二节 容易积分的一阶微分方程
习题9．2 （1）
习题9．2 （2）
习题9．2 （3）
第三节 斜率场及微分方程数值解
习题9．3
第四节 可降阶的高阶微分方程
习题9．4
第五节 二阶常系数线性微分方程
习题9．5
第六节 微分方程的幂级数解法
习题9．6
第七节 常系数线性微分方程组
习题9．7
第八节 微分方程应用模型
习题9．8

第十章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数概念
习题10．1
第二节 偏导数
习题10．2
第三节 全微分
习题10．3
第四节 多元复合函数的求导法则及泰勒公式
习题10．4
第五节 隐函数求导法
习题10．5
第六节 微分法的几何应用
习题10．6
第七节 方向导数与梯度
习题10．7
第八节 多元函数极值及其应用
习题10．8
第九节 最小二乘法
习题10．9

第十一章 各种类型的积分及其应用
第一节 各类积分的定义
习题11．1
第二节 各类积分的性质
习题11．2
第三节 二重积分的计算
习题11．3 （1）
习题11．3 （2）
习题11．3 （3）
第四节 三重积分的计算
习题11．4
第五节 第一类（对弧长的）曲线积分的计算
习题11．5
第六节 第一类（对面积的）曲面积分的计算
习题11．6
第七节 各类积分的应用
习题11．7

第十二章 第二类曲线与曲面积分
第一节 第二类（对坐标的）曲线积分
习题12．1
第二节 格林公式及其应用
习题12．2
第三节 第二类（对坐标的）曲面积分
习题12．3
第四节 高斯公式·通量与散度
习题12．4
第五节 斯托克斯公式·环流量与旋度
习题12．5
附录 科学论文初步知识
参考书目
第三版编后记

深入探索：微积分与数学模型（第3版 下册）之外的广阔天地 本书旨在为读者提供一个与《微积分与数学模型（第3版 下册）》内容既有联系又彼此独立的知识图谱。鉴于该书主要聚焦于经典微积分的高阶应用、多元函数分析以及基础的动态系统建模，本指南将把注意力投向更广阔的数学、应用科学与计算领域，探索那些在特定教材中可能被略过或仅作简要提及的关键主题。 我们假设读者已对标准微积分（单变量与多变量）有扎实的理解，并对基础的微分方程有所接触。因此，下面的内容将侧重于现代数学分析、进阶数值方法、抽象代数结构以及更复杂的应用领域，这些领域是理解现代科学与工程问题的核心。 --- 第一部分：深化数学基础与分析的疆域 虽然《微积分与数学模型》可能涉及拉格朗日乘子法和基本的傅立叶级数，但要真正掌握现代科学的语言，我们需要更深入地进入泛函分析和实分析的严谨世界。 1. 测度论与勒贝格积分 (Measure Theory and Lebesgue Integration) 这是从“黎曼可积”到“更具泛用性”积分理论的飞跃。 核心概念的建立： 介绍 $sigma$-代数、测度（如勒贝格测度）的概念。理解为什么黎曼积分在处理不连续函数族时会失效，而勒贝格积分的强大之处在于其对极限运算（如积分号与极限符号的交换）的鲁棒性。 Lp 空间： 深入探讨 $L^p$ 空间，这些空间构成了泛函分析的基础框架。理解范数 ($|f|_p$) 的定义及其重要性，这对于理解信号处理和概率论中的收敛性至关重要。 应用背景： 测度论是现代概率论（Kolmogorov 概率论体系）的基石，也是理解诸如热传导方程或波动方程的 $L^2$ 范数解法的理论支撑。 2. 泛函分析导论 (Introduction to Functional Analysis) 将函数视为“点”进行研究，是抽象数学研究的核心工具之一。 拓扑向量空间： 在向量空间上引入拓扑结构，使其具有“邻近”的概念。重点讨论巴拿赫空间（完备的赋范向量空间）和希尔伯特空间（完备的内积空间）。 算子理论： 研究线性算子（如微分算子、积分算子）在这些空间上的性质。理解有界线性算子、连续算子和闭算子的区别。 核心定理的洞察： 探讨如开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach 分离定理等，这些定理在证明偏微分方程解的存在性和唯一性时扮演关键角色。 --- 第二部分：进阶模型构建与计算方法 《微积分与数学模型》可能覆盖基础的常微分方程（ODE）的解析解法和简单的有限差分法。本部分着眼于更复杂、更依赖数值技术的建模领域。 3. 偏微分方程的数值解法 (Numerical Methods for PDEs) 对于许多物理和工程问题，解析解是不存在的，数值逼近成为唯一的途径。 有限元方法 (Finite Element Method, FEM)： 与有限差分法（FDM）不同，FEM 将求解区域分割成小单元（网格），并在每个单元上使用基函数（通常是多项式）来近似解。深入研究变分原理、形函数（Shape Functions）的构造、以及刚度矩阵和载荷向量的组装过程。重点关注椭圆型方程（如泊松方程、弹性力学问题）的求解。 谱方法 (Spectral Methods)： 当解具有高频振荡或需要极高精度时，谱方法（如傅里叶谱法、切比雪夫谱法）通过在全局基函数（正交多项式）上展开解，展示出卓越的精度（指数收敛速度）。 时间离散化进阶： 对常微分方程和双曲型/抛物型偏微分方程的时间步进，需要超越简单的欧拉法，深入研究隐式方法（如后向欧拉法、Crank-Nicolson 方法）以保证稳定性，并讨论 CFL 条件。 4. 随机过程与建模 (Stochastic Processes and Modeling) 现实世界中充满了不确定性，纯粹的确定性模型不足以描述金融市场、生物种群或噪声干扰。 马尔可夫链： 深入分析离散时间与连续时间马尔可夫链，包括转移矩阵、平稳分布的求解，以及遍历性和吸收态的分析。 布朗运动与伊藤积分： 引入连续时间随机过程，特别是维纳过程（布朗运动）。理解伊藤引理的必要性，它取代了经典微积分中的链式法则，是随机微积分的核心。 随机微分方程 (SDEs)： 学习如何利用布朗运动驱动 SDEs 来建模金融衍生品定价（如 Black-Scholes 模型背后的随机性）或粒子在随机环境中的扩散。这要求读者掌握如 Euler-Maruyama 等 SDE 的数值求解技术。 --- 第三部分：数学结构与离散世界 微积分处理的是连续性，而许多现代计算和信息科学问题依赖于离散结构和代数关系。 5. 抽象代数基础与群论 (Abstract Algebra and Group Theory) 理解对称性、不变性和结构是高阶理论物理和密码学的基础。 群论： 学习群、子群、陪集、同态与同构的概念。理解拉格朗日定理在计数和结构分析中的应用。 环与域： 探讨更丰富的代数结构，如整数环 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$。这对于理解有限域（用于编码理论）和代数数论至关重要。 应用焦点： 群论在晶体学（对称操作）、量子力学（守恒定律）和现代密码学（如椭圆曲线加密）中扮演不可替代的角色。 6. 组合优化与图论进阶 (Combinatorial Optimization and Advanced Graph Theory) 解决离散决策问题是运筹学和计算机科学的核心挑战。 网络流问题： 除了基础的最大流最小割定理，深入研究最小费用最大流问题、多商品流问题，以及它们在物流、资源分配中的实际应用。 整数规划 (Integer Programming, IP)： 当决策变量必须取整数值时（如是否修建一座桥梁），线性规划不再适用。重点研究分支定界法（Branch and Bound）和割平面法（Cutting Plane Methods）等精确求解算法的原理。 图的结构分析： 探索更复杂的图不变量，如图的染色数、匹配理论（如匈牙利算法的扩展），以及在复杂网络（如社交网络、互联网拓扑）中的中心性度量。 --- 总结 本结构导引的范围超越了基础微积分模型的范畴，导向了更严格的分析工具（测度论、泛函分析）、更强大的数值计算框架（FEM、谱法）、处理不确定性的方法（随机过程）以及描述离散世界的代数和优化理论。掌握这些知识，读者将能够构建和分析远超初级微积分所能处理的复杂、高维且不确定的现实系统。

评分☆☆☆☆☆

这部教材简直是为那些渴望在复杂的数学世界中寻找清晰路径的工程师和科研人员量身定制的“导航图”。我印象最深的是它对各种实际问题的建模过程的细致入微的解析。例如，在处理那些涉及非线性动态系统的章节时，作者并没有直接抛出晦涩的微分方程，而是先从一个具体的工程挑战出发，比如机械臂的振动控制，逐步引导我们理解为什么要选择特定的数学工具，如何将物理直觉转化为精确的数学语言。书中的插图质量极高，那些三维的相图和时间序列图，不是简单的装饰，而是真正帮助理解系统稳定性和周期性行为的关键视觉辅助。特别是关于稳定性分析的部分，它深入浅出地介绍了李雅普诺夫稳定性理论，并且展示了如何在MATLAB或Python环境中进行数值验证，这极大地弥合了理论与实践之间的鸿沟。对于我们这些需要将理论成果转化为实际应用的人来说，这种注重“可操作性”的讲解方式，比纯粹的理论推导要宝贵得多。它教会的不仅仅是解题技巧，更是一种严谨的问题分解和数学抽象的能力。

评分☆☆☆☆☆

对于任何想要深入研究应用数学领域的人来说，这本书的广度和深度都令人赞叹。它不仅仅停留在传统的常微分方程或傅里叶分析的范畴，而是大胆地将一些现代研究热点也纳入了进来。我注意到它对偏微分方程（PDEs）的处理非常到位，特别是热传导和波动方程的讲解，不仅提供了分离变量法这种经典的解析解法，还详细阐述了有限元方法的思想框架，虽然没有深入到复杂的矩阵计算层面，但足以让读者对现代数值方法的原理有一个宏观的把握。这种对“当前前沿”的关注，使得这本书的生命力比那些只停留在经典理论的教材要强很多。每一次重读，都会因为自己知识背景的增长而发现新的层次和细节，这正是优秀教材的标志——它能随着读者的成长而共同成长。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我印象深刻的特点，是它将“数学工具”的“使用说明书”和“哲学思考”完美地融合在一起。它不仅仅是告诉我们“如何做”，更深入地探讨了“为什么这么做”。例如，在介绍概率论与随机过程的应用时，作者并未将随机性视为一种“误差”或“干扰”，而是将其提升到描述复杂系统不确定性的基本层面，并展示了如何利用马尔可夫链等工具来精确地建模信息传播或市场行为。这种对数学在现实世界中角色的深刻洞察，激发了我对学科本身更深层次的敬畏。它成功地将那些原本感觉与日常生活相去甚远的数学概念，拉回到了我们能够理解和操作的范围，使得学习过程充满了发现的乐趣和智力上的满足感。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，我对高等数学的恐惧感在翻开这本书的某些章节后得到了极大的缓解。它的叙述风格非常平易近人，不像某些经典教材那样高高在上，动辄引用过于抽象的定义。我特别喜欢它在引入新概念时所采用的“对比教学法”。比如，在讲解变分法时，它会先回顾经典的微积分中的极值问题，然后用一个通俗的例子——比如最快下降的曲线——来激发读者对泛函的兴趣，然后再温柔地引入欧拉-拉格朗日方程。这种循序渐进，层层递进的结构，使得即便是初次接触这类高级主题的学生，也能较快地建立起正确的概念框架。此外，书后附带的大量习题设置得极其巧妙，它们并非是简单的计算题，很多都需要读者进行一定的建模假设和推理，这强迫我们在做题的过程中不断地进行批判性思考，确保我们真正理解了理论背后的物理或工程意义，而不是死记硬背公式。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验上，这本书的排版和细节处理非常考究，这对于长时间阅读来说至关重要。纸张的质感很适合长时间在灯光下阅读，墨迹的清晰度也无可挑剔，这避免了阅读过程中因为字体模糊而产生的烦躁感。更重要的是，作者在论证过程中对于关键步骤的逻辑连接词使用得非常精妙，使得整个推导过程一气呵成，逻辑链条非常清晰。举个例子，在证明某些积分的收敛性时，作者会明确指出“基于前文对[某个定理]的应用，我们现在可以断言……” 这种清晰的指引，极大地减少了读者在复杂推导中迷失方向的可能性。它就像一位经验丰富的导游，总是在关键的路口清晰地指明方向，让我们能够专注于理解核心思想，而不是被支线任务分散注意力。