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南京理工大学应用数学系 编

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出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111545002

版次：2

商品编码：11996215

品牌：机工出版

包装：平装

丛书名： 普通高等教育基础课规划教材

开本：16开

出版时间：2016-10-01

用纸：胶版纸

页数：360

内容简介

　　本书参照教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会制定的工科类本科数学基础课程教学基本要求，配合学生学习《高等数学》课程而编写的一本教学参考书。全书共有十二章，每章按主要知识点分成若干小节，每小节均由三部分内容组成：1．内容提要：编者结合多年教学经验，对本小节的主要内容，按照基本概念、重要结论、方法等方面进行归纳总结，便于学生查找复习。2．重难点分析：给出本小节的重点、难点，并对重要内容进行强调，使学生学习心中有数，目的明确。3．典型例题：给出了本节的一些典型例题，并给出详细的分析和解答，供学生课后复习。

目录

前言
第一章函数、极限与连续1
第一节函数1
第二节极限4
第三节函数的连续性12
自测题（一）19
自测题（二）20
自测题答案21
第二章导数与微分23
第一节导数概念23
第二节导数的计算27
第三节函数的微分35
自测题（一）38
自测题（二）39
自测题答案40
第三章中值定理与导数应用42
第一节中值定理42
第二节洛必达法则与泰勒公式48
第三节函数的单调性、极值和凸性56
自测题（一）63
自测题（二）64
自测题答案66
第四章不定积分68
第一节原函数与不定积分的概念68
第二节利用凑微分法求不定积分71
第三节第二类换元积分法与分部积分法75
第四节几种特殊类型函数的积分84
自测题（一）91
自测题（二）92
自测题答案94
第五章定积分96
第一节定积分的概念与性质96
第二节定积分的计算方法98
第三节反常积分106
第四节与定积分相关的综合性问题107
自测题（一）109
自测题（二）110
自测题答案112
第六章定积分的应用115
第一节极坐标简介115
第二节定积分的应用117
自测题（一）125
自测题（二）126
自测题答案128
第七章向量代数与空间解析几何133
第一节向量代数133
第二节空间曲面与空间曲线139
第三节平面与直线方程143
自测题（一）152
自测题（二）153
自测题答案154
第八章多元函数微分法及应用156
第一节多元函数的概念156
第二节多元函数微分法159
第三节多元函数微分法的应用171
自测题（一）179
自测题（二）180
自测题答案182
第九章重积分184
第一节二重积分的概念184
第二节二重积分的计算185
第三节三重积分的计算196
第四节重积分的应用203
自测题（一）207
自测题（二）208
自测题答案209
第十章曲线积分与曲面积分210
第一节对弧长的曲线积分210
第二节对坐标的曲线积分213
第三节格林公式217
第四节对面积的曲面积分222
第五节对坐标的曲面积分225
第六节高斯公式和Stokes公式227
自测题（一）232
自测题（二）233
自测题答案234
第十一章无穷级数235
第一节常数项级数及其性质235
第二节常数项级数敛散性判别法239
第三节幂级数248
第四节函数展开成幂级数258
第五节傅里叶级数263
自测题（一）271
自测题（二）273
自测题答案275
第十二章微分方程279
第一节常微分方程的基本概念279
第二节一阶微分方程280
第三节可降阶的高阶微分方程288
第四节高阶线性和常系数线性方程289
自测题（一）300
自测题（二）302
自测题答案303
附录306
附录一高等数学考试试卷306
高等数学(上)期中考试卷(一)306
高等数学(上)期中考试卷(二)307
高等数学(上)期末考试卷(一)309
高等数学(上)期末考试卷(二)310
高等数学(上)期末考试卷(三)311
高等数学(下)期中考试卷(一)312
高等数学(下)期中考试卷(二)314
高等数学(下)期末考试卷(一)315
高等数学(下)期末考试卷(二)317
高等数学(下)期末考试卷(三)318
南京理工大学高等数学竞赛试卷320
第十二届江苏省普通高校非理科专业高等数学竞赛试题320
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷322
附录二高等数学试卷参考答案324
附录三常用数学公式356
参考文献360

前言/序言

　　本书是参照教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会制定的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，配合《高等数学》教材的学习而编写的一本教学参考书.全书共有十二章，每章按主要内容分小节，每小节均由三部分内容组成： 　　1�蹦谌萏嵋�：结合编者多年教学经验，对本小节的主要内容按照基本概念、重要结论、方法与技巧等方面进行归纳总结，便于学生查找复习.2�敝氐恪⒛训惴治觯焊�出本小节的重点、难点，并对重要内容进行强调，使学生学习时心中有数，目的明确.3�钡湫屠�题：总结本节的典型例题，并给出详细的分析和解答，供学生课后复习.另外，对于中学教学中淡化的某些重要教学内容（如：数学归纳法、极坐标、行列式、复数等），我们在相应章节进行了补充.且在每章后增加了应用能力矩阵，以及编有两套自测题，第一套主要是基本题，第二套有提高题.学生既可用来检测本章的学习效果，也可作为章节测验题.最后，还按照上、下两个学期，分别汇编了两套期中考试试卷和三套期末考试试卷，以及三套数学竞赛试题，供学生考前模拟练习使用.本书主要作为普通高等工科院校学生的课外学习指导书，也可作为夜大、职大、自考、考研等学生的参考书.本书由许春根、王为群、徐慧玲、张丽琴、杨建新、邱志鹏共同编写.许春根负责全部稿件的统稿工作，并完成第一、二章的编写.王为群编写第三、四章，徐慧玲编写第五、六章，张丽琴编写第七、八章，杨建新编写第九、十章，邱志鹏编写第十一、十二章.杨孝平教授、俞军副教授仔细审阅了全部书稿，并提出了许多宝贵意见，机械工业出版社的郑玫编辑给予很多帮助，在此表示衷心感谢！ 　　由于编者水平有限，书中难免存在错误和不妥之处，恳请同行专家和热心读者批评指教，不胜感激.编者

探寻数字世界的奥秘：离散数学基础与应用 作者： [此处可填写一位假定的、权威的数学家或教育学家的名字，例如：张伟、李明] 出版社： [此处可填写一家知名的学术出版社，例如：清华大学出版社、高等教育出版社] 装帧与定价： 精装/平装，具体价格依市场情况而定。 --- 内容简介 《探寻数字世界的奥秘：离散数学基础与应用》并非一本关于微积分、线性代数或传统分析学的教材。本书聚焦于现代信息科学、计算机科学、逻辑学和工程领域不可或缺的数学分支——离散数学。它以一种严谨、清晰且富有启发性的方式，构建了理解计算思维和算法设计的理论基石。 本书旨在为高等院校的数学、计算机科学、软件工程、信息安全、人工智能乃至某些交叉学科（如现代密码学、运筹学）的学生和研究人员提供一本全面而深入的参考读物。它力求在保持数学严谨性的同时，突出离散结构的直观性和应用性。 第一部分：逻辑与证明——思维的基石 本书的开篇并非急于进入复杂的结构，而是首先巩固读者的逻辑推理能力。我们深知，精确的思考是数学学习的核心。 1. 命题逻辑与谓词逻辑： 详细阐述了命题的真值、连接词、范式（合取范式和析取范式）的构建。重点解析了蕴涵（Implication）和双条件（Biconditional）的微妙区别，这些在编程逻辑和电路设计中至关重要。随后，章节转向谓词逻辑，引入了量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的使用规则、量词的嵌套以及如何将自然语言（如程序规范或物理定律）准确地转化为一阶逻辑公式。 2. 证明的艺术： 这是本书区别于其他教材的关键部分。我们系统地介绍了主要的证明方法： 直接证明 (Direct Proof) 与 间接证明 (Indirect Proof)（包括反证法和逆否命题法）。 数学归纳法 (Mathematical Induction)：不仅限于基本的自然数归纳，还深入探讨了强归纳法 (Strong Induction) 和良序原理 (Well-Ordering Principle) 的应用，并用其证明了辗转相除法（欧几里得算法）的正确性。 构造性证明 (Constructive Proofs) 的实例，强调了算法与证明的内在联系。 第二部分：集合、关系与函数——结构的抽象描绘 本部分将抽象的概念具体化，为后续的图论和代数结构打下基础。 3. 集合论基础： 从集合的定义、子集、幂集开始，重点讲解了集合的运算（并、交、差、对称差）在韦恩图和集合代数中的表示。我们专门辟出一节讨论无限集的基数 (Cardinality of Infinite Sets)，详细解释了康托尔对角线论证（Cantor's Diagonal Argument）来证明实数集大于自然数集，并引入了可数集与不可数集的严格区分。 4. 关系与偏序： 关系是描述对象间连接的桥梁。本书对关系的自反性、对称性、反对称性和传递性进行了详尽的分析。重点放在等价关系 (Equivalence Relations) 及其划分（Partitions）的概念，这在数据分组和抽象化中极为实用。随后，深入探讨了偏序关系 (Partial Orderings)，介绍了哈斯图 (Hasse Diagrams) 的绘制方法及其在层次结构建模中的作用。 5. 函数与映射： 区分了一般函数、单射（Injectivity）、满射（Surjectivity）和双射（Bijectivity）。特别关注了逆函数的性质以及函数复合的运算。在组合数学部分，双射的概念被用来证明不同计数原理之间的等价性。 第三部分：计数——组合学的核心驱动力 计数原理是算法效率分析和概率模型构建的基石。 6. 基本计数技术： 详尽讲解了乘法原理与加法原理。随后，系统介绍了排列 (Permutations) 和组合 (Combinations)，包括带重复和不带重复的排列组合。书中通过大量的实例，如信封问题（Derangements）和抽屉原理（Pigeonhole Principle）的推广形式，展示了如何选择正确的计数模型。 7. 进阶计数方法： 深入研究了生成函数 (Generating Functions)，将其视为解决复杂递推关系的强大工具，并演示了如何用它来求解斐波那契数列的封闭形式。此外，容斥原理 (Inclusion-Exclusion Principle) 被用于解决涉及“至少一个”和“没有一个”的复杂计数问题。 第四部分：图论——连接世界的数学语言 图论是离散数学中应用最广泛的部分，本书为其分配了显著的篇幅。 8. 图的基础概念： 严格定义了图（无向图、有向图）、边、度数、路径、回路。我们使用矩阵表示法——邻接矩阵 (Adjacency Matrix) 和关联矩阵 (Incidence Matrix)——来描述图的结构，并探讨了它们在计算机数据结构中的存储和操作效率。 9. 特殊图与连通性： 探讨了欧拉路径（Eulerian Paths）、哈密顿回路（Hamiltonian Cycles）的存在性判据。重点分析了树 (Trees)，特别是无环连通图的性质，如边数与顶点数的关系。在应用方面，详细介绍了最小生成树 (Minimum Spanning Trees) 算法，如 Prim 算法和 Kruskal 算法的原理与实现逻辑。 10. 图的着色与平面图： 介绍了图着色的概念，以及四色定理的背景（虽然不深入证明）。对对偶图 (Dual Graphs) 和平面图 (Planar Graphs) 的性质进行了分析，并引入了库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）作为判断平面性的重要工具。 第五部分：代数结构与算法分析 本书的最后部分将离散结构与抽象代数和计算复杂度联系起来。 11. 数论基础： 涵盖了整除性、最大公约数、扩展欧几里得算法。重点在于模运算 (Modular Arithmetic)，包括同余关系、模逆元、中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在加密系统中的初步应用。 12. 递推关系与算法复杂度： 将组合学与算法分析结合。我们教授如何建立一阶和高阶的线性齐次递推关系。随后，使用主定理 (Master Theorem) 和替换法，分析了分治算法（如快速排序、归并排序）的渐近时间复杂度，使用 $O, Omega, Theta$ 符号精确描述算法性能。 --- 本书的特色与优势 应用导向： 每一章节的核心概念后都附有详尽的计算机科学应用案例，例如：逻辑在硬件电路设计中的作用、关系用于数据库的规范化、图论用于网络路由和社交网络分析。 严谨性与直观性的平衡： 在保证数学定义无懈可击的同时，通过大量的图示、表格和构造性例子，帮助读者建立对抽象概念的直观理解。 自我评估体系： 每节末尾设有“概念自检”小题，章末设有难度分级的综合习题集，确保读者能有效巩固所学知识。 面向未来： 讨论了离散数学在现代密码学（如 RSA 公钥加密的基础）、算法设计与分析以及形式化验证中的前沿应用。 《探寻数字世界的奥秘：离散数学基础与应用》是一本能够真正引导读者跨越传统分析学思维，进入计算世界逻辑框架的必备教材。掌握本书内容，即是掌握了理解和设计现代信息系统的底层逻辑。

评分☆☆☆☆☆

作为一名正准备考研的学生，我对各类辅导资料的要求可谓是极其严苛，因为时间宝贵，容不得半点浪费。《高等数学学习辅导（第2版）》在我看来，就是那种能够带来实实在在提升的“硬核”资料。我尤其看重它在梳理考点和预测题型方面的能力。这本书在每个章节的开头，都会有一个清晰的“本章考点导航”，非常精准地指出了该章节在历年考研中出现频率较高的知识点和题型。这让我能够迅速把握重点，事半功倍。而且，在章节的最后，还会有一部分“模拟题精选”或者“真题解析”之类的内容，这些题目往往紧扣最新的考试大纲，并且在难度和题型上都与考试高度相似。我经常会用这些题目来检验自己的学习成果，并且通过解析来查漏补缺。这本书在解析真题的时候，不仅给出了标准答案，还详细分析了各种解题思路和技巧，甚至还会点评一些常见的错误解法，这种深度解析对于我这种需要冲刺高分的学生来说，简直是太有价值了。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本《高等数学学习辅导（第2版）》在练习题的设计上真的太用心了。我一直觉得，学数学光看书是不够的，关键在于多做题、多思考。但市面上很多辅导书，要么题目太少，要么质量参差不齐，有时候做了半天发现题目根本没有代表性，白费力气。这本辅导书则完全不一样，它的题量非常充足，而且题目类型非常丰富，涵盖了高等数学中几乎所有重要的知识点和题型。从基础的概念辨析题，到各种综合运用题，再到一些有一定难度的拔高题，应有尽有。更重要的是，它的题目质量很高，很多题目都非常有代表性，能够很好地检验我对知识的掌握程度。特别是那些“错题集锦”和“易错点分析”的部分，简直是为我量身定制的！我经常会把一些做错的题目归纳到一起，然后对照书里的分析，找到自己思维上的盲点。这本书在讲解解题思路方面做得非常出色，它不是简单地给出答案，而是详细分析了每一步的思考过程，为什么这么做，背后的原理是什么，这样我就能真正理解题目背后的逻辑，而不是死记硬背。

评分☆☆☆☆☆

这本书最大的亮点在于它对数学思想方法的深入剖析。我一直觉得，学好高等数学不仅仅是掌握公式和定理，更重要的是理解其背后的数学思想和推理过程。这本《高等数学学习辅导（第2版）》在这方面做得尤为突出。作者并没有满足于讲解“怎么做”，而是花了很多篇幅去解释“为什么这么做”，以及这些数学概念是如何发展演变而来的。比如，在讲解积分的时候，它不仅仅停留在黎曼和的概念上，还会追溯到积分的几何意义，以及它如何解决面积、体积等问题，并且还会介绍一些更高级的积分思想。这样的讲解方式，让我对高等数学的理解不再停留在表面，而是能够触及到更深层次的数学本质。我感觉自己就像在和作者一起探索数学的奥秘，而不是被动地接受知识。这种学习方式不仅让我对高等数学产生了浓厚的兴趣，也培养了我独立思考和解决问题的能力。很多时候，即使遇到新的题目，我也能凭借着对数学思想的理解，找到切入点，而不是束手无策。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是我复习高等数学的救星！之前上课的时候，有些概念总是模模糊糊的，习题课也跟不上老师的节奏，感觉脑子里一团乱麻。拿到这本《高等数学学习辅导（第2版）》之后，我简直是如获至宝。它不是那种枯燥乏味的教科书，而是特别有针对性地梳理了每一个知识点，用通俗易懂的语言解释那些一开始看起来像天书一样的公式和定理。举个例子，函数极限那一章，我以前总是记不住各种ε-δ定义，感觉特别抽象。这本书里，作者用了很多形象的比喻，比如“两个人靠得越近，他们的年龄差就越小”，一下子就把极限的概念给具象化了，让我豁然开朗。而且，它在每个小节后面都配了大量的例题，这些例题不是那种简单的代入公式，而是从不同角度、不同难度层层递进，讲解得也非常细致，每一个步骤都写得清清楚楚，甚至连一些容易出错的地方都提了出来。我做题的时候，遇到不会的，翻到对应的例题，基本上都能找到解题思路，然后照着思路再去练其他题目，效果特别明显。感觉这本书就像一个经验丰富的老教授，耐心地把所有可能遇到的坑都给我指出来了，让我少走了很多弯路。

评分☆☆☆☆☆

读完这本《高等数学学习辅导（第2版）》，我最大的感受就是它极大地增强了我学习数学的信心。以前我对高等数学总是抱着一种敬畏甚至有些畏惧的心态，觉得它太抽象、太难了。但是这本书就像一个经验丰富的引路人，一步一步地带着我，把那些曾经让我头疼的概念变得清晰明了，把那些复杂的计算变得井井有条。它不是那种一上来就抛出大量艰深理论的书，而是循序渐进，先从最基础的定义和定理讲起，然后用大量易于理解的例子来支撑，再逐步深入到更复杂的内容。特别是对于那些需要一定逻辑推理和空间想象力的题目，书中的图示和解析都非常到位，能够帮助我建立起清晰的解题框架。我记得有一次，我为了一道关于微分方程的题目纠结了很久，翻看了很多资料都不得其解。最后，我在这本书的相应章节找到了类似题目的详细讲解，作者从方程的类型、解题方法、到特殊情况的分析，都分析得非常透彻，我看完之后茅塞顿开，不仅解决了那道题，还对整个微分方程的理论有了更深的认识。这种“豁然开朗”的体验，在这本书中出现的频率非常高。

评分☆☆☆☆☆

好书

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习学

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不错

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好书

评分☆☆☆☆☆

书很好，讲解的很详细，前面还有知识整理，题目也很好，适合复习的时候看看

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

不错啊书很好很给力

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