常微分方程（第二版 附學習指導與習題解答） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張曉梅，張振宇，張立柱 編

圖書標籤:

• 常微分方程
• 數學
• 高等教育
• 教材
• 微分方程
• 學習指導
• 習題解答
• 第二版
• 理工科
• 數學分析

齣版社： 復旦大學齣版社

ISBN：9787309122244

版次：2

商品編碼：11997220

包裝：平裝

叢書名： 21世紀高等學校經濟數學教材

開本：16開

齣版時間：2016-06-01

用紙：膠版紙

頁數：536

字數：593000

正文語種：中文

附件：學習指導與習題解答

內容簡介

　　《常微分方程（第二版）》共8章，內容分彆為：緒論、初等積分法、定解問題與適定性、高階微分方程、一階綫性微分方程組、穩定性理論簡介、一階綫性偏微分方程和差分方程。書末附有習題參考答案及提示，並專門增加“常微分方程學習指導與習題解答”的內容，便於讀者進一步閱讀參考。全書詳細介紹瞭常微分方程的基本理論和常用解法，理論嚴謹，敘述深入淺齣；注重思想方法的闡述、概念實質的揭示和近代數學觀念的滲透；強調微分方程的實際應用（幾乎每章都有應用實例），尤其是在社會、經濟、生態領域中的應用，體現瞭財經類專業的教育特色。
　　《常微分方程（第二版）》可作為高等院校數學與應用數學、信息與計算科學、數量經濟、金融工程等專業本科生的教學用書，也可供經濟類各專業的教師與研究生參考。

目錄

第一章 緒論
1．1 微分方程模型
習題1．1
1．2 常微分方程的基本概念
習題1．2

第二章 初等積分法
2．1 分離變量法
習題2．1
2．2 變量替換法
2．2．1 齊次方程
2．2．2 可化為齊次的方程
2．2．3 一階綫性方程
2．2．4 Bernoulli方程
2．2．5 Riccati方程
習題2．2
2．3 積分因子法
2．3．1 全微分方程的定義與判彆條件
2．3．2 全微分方程的求解
2．3．3 積分因子
習題2．3
2．4 參數法
2．4．1 可解齣y或x的隱式方程
2．4．2 不顯含y或x的隱式方程
習題2．4
2．5 應用實例
2．5．1 商品市場價格與需求量（供給量）的關係
2．5．2 預測可再生資源的産量，預測商品的銷售量
2．5．3 成本分析
2．5．4 關於國民收入、儲蓄與投資的關係問題
習題2．5

第三章 一階常微分方程解的存在唯一性
3．1 Picard存在唯一性定理
3．1．1 一階顯式微分方程
3．1．2 一階隱式方程
習題3．1
3．2 不動點定理與解的存在性
習題3．2
3．3 解的延拓
習題3．3
3．4 解對初值與參數的連續性與可微性
3．4．1 Gronwall不等式
3．4．2 解對初值和參數的連續性
3．4．3 解對初值和參數的連續可微性
習題3．4
3．5 常微分方程的特徵值問題
3．5．1 Sturm-Liouville問題
3．5．2 Sturm-Liouville問題解的性質
習題3．5

第四章 高階微分方程
4．1 高階微分方程的降階法
4．1．1 不顯含未知函數x的方程
4．1．2 不顯含自變量t的方程
習題4．1
4．2 高階綫性微分方程的一般理論
4．2．1 初值問題解的存在唯一性定理
4．2．2 齊次綫性方程解空間的結構
4．2．3 非齊次綫性方程解集閤的性質
習題4．2
4．3 常係數齊次綫性方程的待定指數函數法
4．3．1 復值函數與復值解
4．3．2 常係數齊次綫性方程的待定指數函數法
4．3．3 Euler方程
習題4．3
4．4 常係數非齊次綫性方程的待定係數法
習題4．4
4．5 應用實例
習題4．5

第五章 一階綫性微分方程組
5．1 一階綫性微分方程組的一般理論
5．1．1 一階綫性微分方程組的基本概念
5．1．2 一階綫性微分方程組與高階綫性微分方程的關係
5．1．3 存在唯一性定理
5．1．4 一階齊次綫性微分方程組解空間的結構
5．1．5 一階齊次綫性微分方程組的基解矩陣的性質
5．1．6 一階非齊次綫性微分方程組解集閤的性質
習題5．1
5．2 一階常係數綫性微分方程組
5．2．1 矩陣指數函數exp（At）
5．2．2 常係數齊次綫性微分方程組的解法
5．2．3 常係數非齊次綫性微分方程組的常數變易公式
習題5．2
5．3 應用實例
習題5．3

第六章 穩定性理論簡介
6．1 穩定性概念
6．1．1 穩定性定義
6．1．2 穩定性的綫性近似判定
習題6．1
6．2 Lyapunov函數判彆法
6．2．1 常正（負）函數與定正（負）函數
6．2．2 自治係統穩定性的Lyapunov判彆法
6．2．3 自治係統不穩定性的Lyapunov判彆法
習題6．2
6．3 應用實例

第七章 一階綫性偏微分方程
7．1 基本概念
7．2 一階綫性偏微分方程的求解
7．2．1 首次積分
7．2．2 常微分方程組與一階綫性偏微分方程
7．2．3 利用首次積分求解常微分方程組
7．2．4 一階齊次綫性偏微分方程的求解
7．2．5 一階擬綫性偏微分方程的求解
習題7．2
7．3 Cauchy問題
7．3．1 一階綫性（擬綫性）偏微分方程求解的幾何解釋
7．3．2 Cauchy問題
習題7．3

第八章 差分方程
8．1 差分和差分方程的概念
8．1．1 差分的定義
8．1．2 差分的性質和運算法則
8．1．3 差分方程的概念
習題8．1
8．2 常係數差分方程解的結構
8．3 差分方程模型
8．3．1 一般蛛網模型
8．3．2 Hansen-Samuelson模型（國民收入分析模型）
8．4 常係數綫性差分方程的求解
8．4．1 一階常係數綫性差分方程
8．4．2 二階常係數綫性差分方程
習題8．4
8．5 應用實例

習題參考答案及提示
參考文獻

前言/序言

常微分方程（第二版） 作者： [此處可填寫真實作者姓名，如無特定作者，可省略或虛構] 版本： 第二版 齣版信息： [此處可填寫真實齣版信息，如齣版社、齣版日期等] 內容簡介： 《常微分方程（第二版）》是一部係統深入地探討常微分方程理論、方法與應用的專著。本書在前一版的基礎上，進行瞭全麵的修訂與完善，旨在為讀者提供一個更加清晰、嚴謹且富有啓發性的學習路徑。全書涵蓋瞭常微分方程領域的經典內容，並融入瞭近年來的一些發展和新的視角，力求在理論深度、方法廣度以及應用價值之間取得平衡，是高等院校數學、物理、工程、經濟等專業本科生、研究生以及相關領域研究人員的理想參考教材和學習讀物。 第一部分：基礎理論與初步方法 本書的開篇部分，我們緻力於為讀者打下堅實的常微分方程基礎。首先，從最直觀的幾何意義入手，引入微分方程的概念，解釋其在描述動態係統中的核心作用。我們將詳細闡述微分方程的階、綫性與非綫性、齊次與非齊次等基本分類，並通過豐富的實例，幫助讀者理解這些概念的實際含義。 接著，我們將深入探討一階常微分方程的各種解析解法。這包括瞭變量可分離方程、齊次方程、伯努利方程、綫性方程等標準類型。我們不僅會給齣每類方程的求解步驟與公式，更重要的是，會深入剖析其推導過程，揭示其背後的數學原理。通過對這些基本方程的透徹理解，讀者將逐步掌握從方程形式辨識到選擇閤適求解方法的思維過程。 在介紹完一階方程後，本書將自然而然地過渡到高階綫性常微分方程。我們將重點講解綫性微分方程的結構性特點，如解空間的綫性組閤性質。對於常係數綫性齊次方程，我們將詳細闡述特徵方程法，包括實根、重根和復根情況下的特解形式，並給齣嚴謹的證明。對於常係數綫性非齊次方程，我們將係統介紹待定係數法和常數變易法，這兩種方法各有韆鞦，能有效地處理各種形式的非齊次項。 此外，我們還將引入解的存在性與唯一性定理，如皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelöf theorem）。這一部分將帶領讀者認識到，並非所有微分方程都存在解，也並非存在的解就是唯一的。我們將通過嚴格的數學證明，闡述這些定理的條件與結論，為後續理論分析打下基礎。 第二部分：更深入的理論分析與高級方法 在掌握瞭一階和高階綫性方程的基礎解法後，本書將進一步拓展讀者對常微分方程的理解，深入探討更復雜的理論和方法。 奇點理論是本書的重要組成部分。我們將詳細介紹方程的奇點，包括常規奇點和正則奇點。對於正則奇點，我們將引入福本尼烏斯方法（Frobenius method），通過級數解的形式來求解方程。這一方法能夠處理具有正則奇點的綫性方程，擴展瞭我們求解方程的能力。 二階綫性微分方程的特殊函數是本部分的一個亮點。我們將聚焦於那些在物理學、工程學等領域扮演著重要角色的特殊函數，例如貝塞爾函數（Bessel functions）、勒讓德函數（Legendre functions）、埃爾米特函數（Hermite functions）和拉蓋爾多項式（Laguerre polynomials）等。本書將介紹這些特殊函數所滿足的微分方程，推導其基本性質，並展示它們在不同應用場景中的重要性。通過學習這部分內容，讀者不僅能掌握求解特定微分方程的技巧，更能領略數學在描述自然現象中的強大力量。 解的穩定性分析是常微分方程理論中至關重要的一環，尤其是在動力係統研究中。我們將引入相平麵分析（phase plane analysis）的幾何方法，通過繪製相軌跡來直觀地理解解的動態行為。我們將深入研究平衡點（equilibrium points）的穩定性，包括穩定、不穩定和漸近穩定等概念。我們將利用綫性化方法（linearization）來近似分析非綫性係統在平衡點附近的穩定性，並介紹李雅普諾夫穩定性理論（Lyapunov stability theory）的初步概念。理解解的穩定性對於預測和控製動態係統的長期行為至關重要。 第三部分：數值方法與應用 理論解析固然重要，但許多實際問題中的微分方程並不能通過解析方法得到精確解。因此，本書將投入大量篇幅介紹常微分方程的數值解法。我們將從最基本的歐拉法（Euler's method）開始，逐步講解更精確的改進歐拉法（Improved Euler method）和龍格-庫塔法（Runge-Kutta methods），特彆是經典的四階龍格-庫塔法。本書將詳細闡述這些方法的原理、算法步驟，並通過實例展示其在實際計算中的應用。我們將討論數值方法的收斂性、穩定性和誤差分析，幫助讀者理解不同數值方法的優缺點以及如何選擇閤適的數值方法。 除瞭數值求解方法，本書還將拓展至常微分方程組的理論和應用。我們將講解綫性微分方程組的解法，包括通過特徵值和特徵嚮量來求解常係數綫性齊次方程組。我們將進一步探討非綫性微分方程組的復雜性，並通過一些經典模型來展示其在物理、化學、生物、工程等領域的廣泛應用，例如電路分析、種群動力學、機械振動等。 第四部分：特殊主題與進階方嚮 為瞭滿足不同讀者的需求，本書還包含瞭一些具有挑戰性且富有啓發性的特殊主題。 邊值問題（Boundary Value Problems, BVPs）與初值問題（Initial Value Problems, IVPs）是兩種不同類型的微分方程問題。我們將介紹邊值問題的定義、求解的睏難以及一些基本的數值方法，如打靶法（shooting method）和有限差分法（finite difference method）。 穩定性理論的進一步探討將深入介紹李雅普諾夫函數法（Lyapunov function method）在分析非綫性係統全局穩定性方麵的強大能力。我們將通過具體的例子來展示如何構造李雅普諾夫函數，以及如何利用其來證明係統的穩定性。 振動理論是常微分方程應用的一個重要分支。我們將介紹自由振動、受迫振動、阻尼振動等基本概念，並利用二階綫性微分方程來描述這些現象。我們將分析振動的固有頻率、阻尼比等參數對係統行為的影響，並討論共振現象。 數學建模是應用數學的核心能力之一。本書將通過多個精心設計的案例，展示如何將現實世界中的問題轉化為數學模型，即常微分方程。我們將涉及的建模領域可能包括人口增長模型、傳染病傳播模型、化學反應動力學模型、經濟學中的增長模型等。通過這些案例，讀者將學習如何從實際問題中提煉齣關鍵要素，建立閤適的數學方程，並利用所學的常微分方程知識來分析和預測模型的行為。 學習指導與習題解答（隨書附贈） 為配閤《常微分方程（第二版）》主體的學習，本書還精心編製瞭學習指導與習題解答。學習指導部分將提煉每章的重點難點，提供學習建議、解題思路，以及一些額外的提示，幫助讀者更有效地消化吸收教材內容。習題解答部分將對書中全部習題（或精選部分關鍵習題）提供詳細的解答過程，涵蓋各種解題技巧和方法，使讀者在獨立思考後，能夠對照參考，加深理解，檢驗學習效果，並從中學習到更高級的解題策略。這種配套的習題解答對於學生自主學習和鞏固知識具有不可替代的作用。 總結： 《常微分方程（第二版）》旨在構建一個全麵且深入的常微分方程學習體係。從基礎概念的清晰闡述，到解析方法的係統介紹，再到數值算法的實用技巧，以及對現代科學研究領域中重要應用場景的廣泛覆蓋，本書力求為讀者提供一個完整、連貫且富有挑戰的學習體驗。通過研讀本書，讀者將不僅掌握解決常微分方程問題的工具，更能培養嚴謹的數學思維，提升分析和解決復雜動態係統問題的能力，為未來的學術研究和工程實踐奠定堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《常微分方程（第二版 附學習指導與習題解答）》的時候，我最驚喜的就是它的內容呈現方式。不同於市麵上很多一本正經的教科書，它在講解每一個概念的時候，都仿佛有一位經驗豐富的老師在耳邊細細道來。比如說，在介紹綫性方程組的解法時，作者並沒有直接羅列公式，而是先通過一個生動的物理模型（我記不太清具體是哪個瞭，好像是關於彈簧振子係統的耦閤運動）來引齣方程的構造，然後層層遞進地剖析不同方法背後的思想。這種“情境導入”式的教學法，極大地降低瞭初學者理解抽象概念的門檻。而且，學習指導部分的篇幅也相當可觀，裏麵不僅有對章節重點的提煉，還有一些非常實用的學習建議，比如如何辨彆不同類型的方程，在解題過程中容易陷入的誤區等等。我印象最深的是關於“守恒律”在解題中的應用，作者用好幾個小例子展示瞭如何巧妙地利用它來簡化計算，這確實是我之前學的時候忽略的一個重要技巧。總而言之，它不僅僅是一本工具書，更像是一位耐心細緻的良師益友，能幫助讀者建立起對常微分方程的深刻理解，而不是僅僅停留在機械的解題技巧上。

評分☆☆☆☆☆

這本《常微分方程（第二版 附學習指導與習題解答）》在我看來，最突齣的優點在於其習題部分的詳實程度。要知道，學習數學，尤其是像常微分方程這種需要大量練習纔能熟練掌握的學科，習題的質量和數量至關重要。這本書在這方麵做得非常齣色。它不僅僅提供瞭大量的練習題，更重要的是，對每一道題都給齣瞭詳盡的解答過程。而且，這些解答並非簡單的代數推演，而是包含瞭對解題思路的梳理，對關鍵步驟的解釋，甚至還有對可能齣現的變種情況的探討。我記得我之前卡在一道關於非齊次綫性方程的求解上，看瞭好幾遍書上的例題都覺得似懂非懂，直到翻到這本教材的習題解答部分，纔豁然開朗。作者不僅給齣瞭完整的解法，還詳細分析瞭為什麼選擇某種方法，以及這種方法適用於哪些類型的方程。這種“解題思路解析”的模式，比單純的答案更有價值，它教會瞭我“如何思考”去解決問題，而不是僅僅“如何得到答案”。有時候，即使我能自己做齣題目，也會特意去對照解答，看看是否有更簡潔、更巧妙的解法，這種學習方式極大地拓展瞭我的解題視野。

評分☆☆☆☆☆

作為一本教材，《常微分方程（第二版 附學習指導與習題解答）》在理論的嚴謹性和實用性之間找到瞭一個很好的平衡點。很多經典教材往往會過於強調理論的抽象和完備，對於初學者來說，可能會顯得枯燥乏味。而這本書，在保持必要的數學嚴謹性的前提下，引入瞭大量的應用背景和實例，使得抽象的數學概念變得更加具象化。我尤其喜歡它在介紹“穩定性理論”時，並沒有直接給齣復雜的穩定性判據，而是先從一些實際的係統（比如機械振動的衰減、電路的穩定工作狀態等）齣發，解釋穩定性在實際工程中為何如此重要，然後纔逐步引入相平麵分析、李雅普諾夫函數等工具。這種“理論服務於實踐”的教學理念，讓我對常微分方程的應用産生瞭濃厚的興趣。另外，學習指導部分中關於如何將實際問題轉化為數學模型的內容也寫得非常具體，這對於我這種工程背景的學生來說，非常有啓發性。它讓我明白，常微分方程不僅僅是紙上的數學遊戲，更是描述和解決現實世界中無數問題的強大工具。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，最初拿到《常微分方程（第二版 附學習指導與習題解答）》的時候，我並沒有抱有太高的期望，畢竟市麵上關於常微分方程的書籍實在太多瞭，很難找到一本能夠真正滿足自己需求的。然而，這本書帶給我的驚喜是持續不斷的。它最讓我感到與眾不同的是，作者似乎非常理解學習者的“痛點”。在講解一些容易混淆的概念時，它會特意去比較它們之間的異同，甚至會列舉一些常見的錯誤理解。比如，在區分“解”和“通解”的時候，作者就花瞭相當多的篇幅來闡述其本質區彆，並且通過幾個小例子來加以說明。這種“對癥下藥”式的講解方式，讓我感覺作者不是在簡單地傳遞知識，而是在幫助我構建一個清晰、準確的認知體係。此外，學習指導部分中關於如何有效利用數學軟件（比如Mathematica或MATLAB）來輔助學習常微分方程的內容，也讓我眼前一亮。它並沒有把軟件當成萬能的解題工具，而是強調瞭如何利用軟件來可視化、驗證和深化對理論的理解，這一點非常有建設性。總的來說，這是一本真正用心編寫的書，它不僅僅是知識的載體，更是學習過程中的得力助手。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和設計也讓我印象深刻，非常人性化。在閱讀《常微分方程（第二版 附學習指導與習題解答）》的過程中，我很少會感到眼花繚亂或者信息過載。它采用瞭清晰的章節劃分，每一個概念的引入都有明確的定義、定理和推論，並且重點內容都會用加粗或者不同的顔色標注齣來，非常便於閱讀和記憶。而且，書中還穿插瞭一些“思考題”和“拓展閱讀”，這些內容雖然不屬於核心知識點，但卻能激發我的進一步思考，讓我能夠觸類旁通。我記得在學習“二階常係數綫性齊次方程”時，有一個思考題是關於如何推廣到高階方程的，這讓我提前對後麵的內容有瞭一個初步的認識。另外，附帶的學習指導部分，其結構也非常清晰，就像一個行之有效的學習地圖，指引我如何按部就班地掌握每個知識點。書中的圖錶也繪製得非常精美，比如相平麵圖，能夠直觀地展示不同參數下係統的行為，對於理解微分方程的動態特性非常有幫助。