数和数列 [Numbers and Sequences] epub pdf mobi txt 电子书 下载 2024

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内容简介

　　《数和数列》共分21讲，由浅人深，系统介绍了数、数列和初等数论的知识及数论学家的故事，讨论了中学生需要掌握的复数、数学归纳法、等差数列、等比数列、组合数与二项式定理，参加数学竞赛需要掌握的取整函数与抽屉原理、数的整除与一次不定方程、算术基本定理及其应用、中国剩余定理、Fermat小定理与Wilson定理、Euler函数与Euler定理等内容，系统地介绍了Fibonacci数、Bernoulli数、Fermat数、Mersenne数和Lucas数列等经典的数和数列，并讲述二次互反律、两平方和定理和四平方和定理等初等数论经典内容，最后一讲“数论史话”描述了从Fermat到Kummer的数论发展史和数论学家的故事。
　　《数和数列》是初等数论的入门读物，适合高中生、大学生、数学爱好者、数学教师与数论工作者阅读。

作者简介

　　孙智宏，男，1965年出生，淮阴师范学院数学科学学院教授，曾获全国师范院校曾宪梓教师奖（1999）、全国优秀教师（2007）等荣誉称号，主要研究领域为数论、图论与组合数学，在国际核心刊物（SCI）发表论文58篇，2004年起担任美国数学会（AMS）会员，2009年与2013年两次获国家自然科学基金面上项目资助。

内页插图

目录

前言
第1讲 数的扩张
1．1 数和数学的起源
1．2 复数与四元数
1．3 典型例题
习题

第2讲 数学归纳法
2．1 第一数学归纳法
2．2 第二数学归纳法
2．3 联立归纳法
习题

第3讲 等差数列
3．1 阶乘与求和记号
3．2 等差数列性质
3．3 典型例题
习题

第4讲 等比数列
4．1 等比数列概念及性质
4．2 典型例题
习题

第5讲 数的整除与一次不定方程
5．1 整除性质
5．2 辗转相除法
5．3 一次不定方程
习题

第6讲 素数
6．1 素数概念
6．2 素数无穷多的证明
6．3 素数判别
6．4 素数难题
习题

第7讲 算术基本定理及其应用
7．1 算术基本定理
7．2 最大公因子与最小公倍数
7．3 除数函数d（n）与因子和函数σ（n）
7．4 完全数
习题

第8讲 取整函数与抽屉原理
8．1 取整函数性质
8．2 阶乘中素数指数计算
8．3 抽屉原理
习题

第9讲 同余性质与同余方程
9．1 同余概念及性质
9．2 同余方程
9．3 分数同余
习题

第10讲 中国剩余定理
习题

第11讲 组合数与二项式定理
11．1 组合数概念及性质
11．2 二项式定理
11．3 组合恒等式
11．4 Lucas定理
习题

第12讲 Fermat小定理与Wilson定理
12．1 Fermat小定理
12．2 Wilson定理
习题

第13讲 Euler函数、Euler定理与素数原根
13．1 完全剩余系与简化剩余系
13．2 Euler函数
13．3 Euler定理
13．4 素数的原根
习题

第14讲 二次剩余的Euler判别条件
14．1 二次剩余概念
14．2 Euler-判别条件
习题

第15讲 二次互反律
15．1 Legendre符号
15．2 二次互反律及其证明
15．3 Jacobi符号
习题

第16讲 两平方和定理
习题

第17讲 四平方和定理
习题

第18讲 Fibonacci数
18．1 Fibonacci数的恒等式与Lucas定理
18．2 Fibonacci数的同余性质
18．3 Fibonacci数的应用
习题

第19讲 Bernoulli数
19．1 Bernoulli数和Bernoulli多项式的基本性质
19．2 Bernoulli幂和公式
19．3 Bernoulli数的同余式
19．4 Bernoulli数的其他经典结果
习题

第20讲 Lucas数列、Fermat数与Mersenne数
20．1 Lucas数列的恒等式
20．2 Lucas数列的同余性质、Fermat数与Mersenne数
习题

第21讲 数论史话——从Fermat到Kummer
21．1 Fermat
21．2 Euler
21．3 Lagrange和二元二次型
21．4 Legendre
21．5 Gauss和四次互反律
21．6 Eisenstein和三次互反律
21．7 Dirichlet，Jacobi和有理互反律
21．8 Riemann和Riemann猜想
21．9 Lucas
21．10 Kummer和Fermat大定理
参考文献
索引

前言/序言

　　数和数列的性质是数学的基础内容，高考题、数学竞赛题和数论问题都有各种类型和各种难度的整数或数列问题，本书是为中学生、大学生及数学爱好者写的讲解数和数列基础知识及解题技巧的著作，也可作为初等数论的教科书或数论的入门著作，亦可用于高考指导和初等数学竞赛辅导，本书从较低的起点开始，由浅入深，讨论了中学生需要掌握的复数、数学归纳法、等差数列、等比数列、组合数与二项式定理，参加数学竞赛的学生需要掌握的取整函数与抽屉原理、数的整除与一次不定方程、算术基本定理及其应用、同余性质与同余方程、Fermat小定理与Wilson定理、Euler函数与Euler定理、Fibonacci数。前18讲的其余部分为初等数论经典内容，包括素数原根、中国剩余定理、二次互反律、两平方和定理、四平方和定理；在第19讲和第20讲中，作者用独创的方式系统地介绍了Bernoulli数、Bernoulli多项式、Lucas数列、Fermat数和Mersenne数，其中包含了作者的一些研究成果。
　　本书特别注意介绍有关定理的历史背景与最新进展，收集了各种类型的相关例题和习题，有些例题和习题是作者所编，根据作者对数的感悟、研究成果和对数论史的了解，补充了许多其他书中见不到的命题、证明和习题，其中个别习题难度较大，作者力图使本书趣味可读，富有特色，便于自学，包含经典内容、经典例子，采用Erdos所说的“天书”中的最短证明，既讲解数学思想，又充分展示数学之美。为了激发读者对数论的兴趣和对数学的热爱，最后一讲“数论史话”介绍了从Fermat到Kummer的数论发展史和数论学家的故事。
　　为了照顾读者和便于教学之用，本书各有侧重，不可能面面俱到，所论述的题材也没有过分深入。书末附有17篇参考文献，既是作者写书时参考所用，又可供读者深入学习参考。

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证明叙述简洁。

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