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田景峰，哈明虎 著

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• Holder不等式
• 数学分析
• 泛函分析
• 实分析
• 不等式理论
• 应用数学
• 概率论
• 数值分析
• 优化理论
• 高等数学

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302454403

版次：1

商品编码：12285724

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-12-01

用纸：胶版纸

页数：215

字数：266000

编辑推荐

众所周知，H?lder不等式在现代数学的很多分支中都扮演着重要的角色，如实分析和复分析、概率论和数理统计、模糊积分、微分方程、算子理论等。著名数学家Hardy、Littlewood及Polya在其名著《不等式》中再三强调H?lder不等式“极为重要”和“到处都要用到”。近年来关于H?lder不等式的研究又有了新的重要的进展，《H?lder不等式及其应用》介绍H?lder不等式的近期的发展概况，包括H?lder不等式的新的推广、本质的改进、新的重要的性质以及它在统计学和管理学中的应用等研究成果，是一本不可多得的关于不等式的数学专著。

内容简介

H?lder不等式在数学的众多分支中扮演着重要的角色, 并且在统计学、管理学等领域也有着广泛的应用. 《H?lder不等式及其应用》的目的就是介绍Holder不等式的近期发展概况, 内容包括5章. 第1-3章介绍了H?lder不等式的推广、改进和一些性质；第4章介绍了H?lder不等式在Aczel型不等式的推广和改进中的应用；第5章给出了H?lder 不等式在统计学和管理学中的两个应用.
《H?lder不等式及其应用》的读者对象为高等院校数学及相关专业高年级本科生、研究生，也可供相关专业的教师和数学工作者参考.

作者简介

田景峰， 河北省安新县人，华北电力大学教师。主要从事解析不等式、模糊测度与积分、不确定统计学习理论、不动点理论的研究。在《Information Sciences》、《Fuzzy Optimization and Decision Making》、《Mathematical Inequalities and Applications》、《Journal of Mathematical Inequalities》等知名国际期刊上发表学术论文40余篇，其中SCI收录近30篇。荣获河北省优秀教学成果三等奖、保定市大中专院校青年教师说课比赛一等奖、华北电力大学青年教师教学基本功大赛一等奖、河北省大学生数学竞赛优秀指导教师、保定市青年科技奖等荣誉称号。哈明虎，男，河北肃宁人，教授，博士生导师，“新世纪百千万人才工程”*家级人选，省管优秀专家，享受国务院政府特殊津贴。现主要从事应用数学、信息科学与经济管理等多学科交叉的不确定性信息处理、统计预测与决策和统计学习理论等方向的研究，先后在国内外学术杂志、国际会议论文集上正式发表学术论文百余篇，其中SCI、EI检索论文70余篇；著作4部。曾主持完成国家自然科学基金2项；中国博士后科学基金1项，省级项目2项；曾主研完成国家自然科学基金2项。现主持国家自然科学基金1项，教育部科学技术研究重点项目1项，省级项目2项。先后荣获省级科研奖励一、三等奖5项，省级教学奖励一、二等奖2项，河北省思想政治工作创新奖一等奖1项。

目录

第 1章 H¨older不等式的推广 1

1 1实分析中 H¨older不等式的推广 3

1 2 H¨older不等式在 Sugeno积分和伪积分中的推广 7

1 2 1关于 Sugeno积分的 H¨older不等式 7

1 2 2关于伪积分的 H¨older不等式 10

1 3 H¨older不等式的时标形式 20

1 4 PMa,b空间的 H¨older型不等式 49

1 5关于矩阵的和与乘积的 H¨older不等式形式 51

第 2章 H¨older不等式的改进 58

2 1 H¨older不等式的第一种改进 58

2 2 H¨older不等式的第二种改进 69

2 3 H¨older不等式的第三种改进 77

2 4 H¨older不等式的第四种改进 99

第 3章实分析中推广的 H¨older不等式构成的函数的单调性 124

3 1 n维 H¨older不等式构成的函数的单调性 127

3 2指数一般化的 H¨older不等式构成的函数的单调性 133

第 4章 H¨older不等式在 Acz′el型不等式的推广和改进中的应用 144

4 1在 Acz′el型不等式的第一种推广和改进中的应用 146

4 2在 Acz′el型不等式的第二种推广和改进中的应用 154

4 3在 Acz′el型不等式的第三种推广和改进中的应用 158

4 4在 Acz′el型不等式的第四种推广和改进中的应用 168

4 5在 Acz′el型不等式的第五种推广和改进中的应用 176

4 6在 Acz′el型不等式的第六种推广和改进中的应用 190

第 5章 H¨older不等式在统计学和管理学中的应用 194

5 1 H¨older不等式在统计学中的应用 194

5 2 H¨older不等式在管理学中的应用 200

参考文献 210

精彩书摘

第1章 Holder不等式的推广

自从 H¨older给出 H¨older不等式以来 ,出现了大量的关于这个不等式的推广.本章并不想把所有的结果都罗列出来 ,只想给出 H¨older不等式的最新的重要的推广 .因而本章给出的关于 H¨older不等式的推广的成果 ,并不能涵盖目前关于 H¨older不等式研究的全部成果 ,关于 H¨older不等式的其他的推广 ,读者可以参考相关文献 [34,39,44,48].
为了方便读者,首先给出本书中经常用到的一些基本的不等式.
定理 1.0.1 (Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz不等式 )设 ar,br(r =1, 2,··· ,
n)为实数,则
n2
（叫 2叫（ n叫
＼（ nb2
立arbr立a 立 . (1.1)
rrr=1 r=1 r=1
定理 1.0.2 (H¨older不等式 )如果 ar,br》 0(r =1, 2, ··· ,n), p》 q> 1, 11
p + q = 1,则
1
p
n
（ np叫（ n叫
立＼立a立bq
arbrrrr=1 r=1 r=1
1
q
,

(1.2)

如果 ar,br > 0(r =1, 2, ··· ,n), 0 反向.
相应的积分型 H¨older不等式如下面定理所述：
定理1.0.3设 f(x),g(x)》 0.如果 p》 q> 1, 1+1 =1,则
pq
1
p
. f(x)g(x)dx＼（. fp(x)dx叫 （. gq(x)dx叫
1
q
; (1.3)

1r
如果 p> 0,q < 0, 1 p +1 q = 1,则有反向不等式
pq
f(x)g(x)dx》（ fp(x)dx叫（ gq(x)dx叫 , (1.4)
1
此时要求 f(x),g(x) > 0.
……

前言/序言

前言

经典的 H¨older不等式是数学家 H¨older于 1889年给出的如下形式的不等式：
nn)1 n)1
pq

去arbr（去pr（去 bqr,
山a
r=1 r=1 r=1
其中 ar,br》 0(r =1, 2, ··· ,n), p》 q> 1, 1 p +1 q =1 (当 ar,br > 0,r =
1, 2, ··· ,n,0 众所周知， H¨older不等式在现代数学的很多分支中都扮演着重要的角色，如实分析和复分析、概率论和数理统计、模糊积分、微分方程、算子理论等 .甚至有的学者称其为“数学众多领域的基石”“深入解决问题的桥梁” .著名数学家 Hardy、Littlewood及 Polya在其名著《不等式》中再三强调 H¨older不等式“极为重要”和“到处都要用到”，这个不等式和 Minkowski不等式、算术平均与几何平均不等式构成了该名著中前 6章的主题，占了全书一半以上的篇幅 .一百多年来，出现了大量的关于这个不等式的改进、推广以及应用的文献 [37].
近期对于 H¨older不等式的研究又有了新的重要的进展，主要体现在以下几个方面：
一是 H¨older不等式在新兴数学领域的推广 .如 Wong等 [86]给出了时标理论的 H¨older不等式的 Δ积分形式, O¨zkan等 [49]给出了 H¨older不等式的 V积分形式以及。积分形式 , Yang[93]、Chen和 Chen[14]分别给出了上述结果在时标理论中的函数推广形式；刘宝碇 [27]给出了 H¨older不等式在不确定理论中的形式； Wu等 [88]给出了 H¨older不等式关于 Sugeno积分的形式， Agahi等 [3]给出了 H¨older不等式关于伪积分的形式； Falconer[16]给出了关于正则根树的 H¨older不等式等.这些新的推广不仅具有重要的理论意义和应用价值，而且很多都已成为各自领域的基石.
二是 H¨older不等式的改进 .尽管 H¨older不等式在数学的众多领域中都起着重要的作用，但是有些问题用 H¨older不等式估计时往往得不到较为精确的
刻画.例如,设 a2r = b2r.1 =1,a2r.1 = b2r =0,r =1, 2, ··· ,N, n =2N,
显然 艺narbr =0，而此时 H¨older不等式的右端却是 N，与 0相差甚远 [30]！基
r=1

于此，给出 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的本质改进具有重要的意义，本书作者得到了 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的一系列重要的改进，这些改进不仅是本质的，而且形式上还是简洁的、精美的 .
三是关于 H¨older不等式的性质的研究又有了新的进展 .如本书作者给出了一系列推广的 H¨older不等式构成的函数的单调性 .由这些性质不仅可以得到 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的新的改进，而且还有其他的重要意义.如在 1996年，胡克利用类似的单调性解决了著名的 Opial-华罗庚型积分不等式的精确表示式问题.
四是关于 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的应用的研究又有了新的进展.
本书出版的目的就是对 H¨older不等式近期的发展进行系统的总结 .除了系统地介绍国内外学者对 H¨older不等式的研究成果外，着重叙述本书作者的一系列已公开发表或已投稿尚未公开发表的研究成果.
本书的内容安排如下：第 1章, H¨older不等式的推广，主要介绍 H¨older不等式在实分析中的推广、在 Sugeno积分和伪积分中的推广、在时标理论中的推广以及在矩阵论中的推广形式等；第 2章, H¨older不等式的改进，主要介绍 H¨older不等式及推广的 H¨older不等式的一系列的新的本质的改进；第 3章,实分析中推广的 H¨older不等式构成的函数的单调性，主要介绍 n维 H¨older不等式、指数一般化的 H¨older不等式构成的函数的单调性；第 4章, H¨older不等式在 Acz′el型不等式的推广和改进中的应用，主要介绍 H¨older不等式在实分析中对 Acz′el型不等式的多种推广和改进中的应用；第 5章, H¨older不等式在统计学和管理学中的应用，主要介绍 H¨older不等式在统计学中 k阶记录值预测上的应用和管理学中不完全市场下效用最大问题的解的应用.
本书的出版得到了国家自然科学基金 (编号：60773062; 61073121)、河北省应用基础研究计划重点基础研究项目 (编号：16964213D)、河北省自然科学基金 (编号： F2015402033)和中央高校基本科研业务费重点项目 (编号： 2015ZD29)的资助，特此致谢 .
由于作者水平有限，不妥与疏漏之处在所难免，恳请同仁及读者不吝赐教 .
田景峰哈明虎
2017年 12月

探索数学的基石：Holder 不等式及其在严谨推理中的力量 数学，这门以逻辑严谨和抽象思维著称的学科，其宏伟殿堂的搭建离不开无数精巧的工具和深刻的洞察。在众多数学工具中，Holder 不等式以其普遍性和强大性，扮演着至关重要的角色。它不仅仅是一个独立的数学结论，更是理解和构建复杂数学理论的基石，为解决各种实际问题提供了强有力的支持。 Holder 不等式，顾名思义，是以其发现者 Otto Hölder 的名字命名的。它揭示了在特定条件下，两个序列（或函数）的“乘积和”与其各自“幂和”之间的深刻联系。具体来说，对于任意 $p > 1$ 和 $q > 1$，且 $frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1$，Holder 不等式断言： $$ left| sum_{i=1}^n a_i b_i ight| le left( sum_{i=1}^n |a_i|^p ight)^{1/p} left( sum_{i=1}^n |b_i|^q ight)^{1/q} $$ 对于更一般的情况，若 $f$ 和 $g$ 是定义在测度空间 $(X, mathcal{M}, mu)$ 上的可测函数，且 $p, q > 1$ 满足 $frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1$，则有： $$ int_X |f(x)g(x)| , dmu(x) le left( int_X |f(x)|^p , dmu(x) ight)^{1/p} left( int_X |g(x)|^q , dmu(x) ight)^{1/q} $$ 这个看似简单的数学表达式，实则蕴含着深刻的几何直觉和代数结构。它将两个向量（或函数）的内积（或积分）的上界与它们各自的范数（或 $L^p$ 范数）联系起来，这在数学分析、概率论、线性代数以及更广泛的科学领域都具有广泛而深远的影响。 Holder 不等式的精髓与优雅 Holder 不等式的魅力不仅在于其形式的简洁，更在于其证明过程中的巧妙构思以及其所揭示的数学内在美。其证明通常依赖于 Young 不等式，这是一个也以其简洁和普适性而闻名不等式： $$ xy le frac{x^p}{p} + frac{y^q}{q}, quad ext{对于 } x, y ge 0, p > 1, q > 1, frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1 $$ 通过对 Young 不等式的巧妙应用和变换，可以将上述求和形式的 Holder 不等式推导出来。而将离散形式推广到积分形式，则需要引入测度论的强大工具，进一步体现了数学理论的统一性和深刻性。 Holder 不等式的关键在于其对变量的指数 $p$ 和 $q$ 的配对要求：$frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1$。这种“共轭”关系使得不等式在不同指数下能够表现出令人惊叹的灵活性和普适性。当 $p=2$ 时，Holder 不等式退化为著名的 Cauchy-Schwarz 不等式，这是 Holder 不等式最常见和直观的一种特例。Cauchy-Schwarz 不等式在几何上描述了向量点积的上限，其形式为： $$ left( sum_{i=1}^n a_i b_i ight)^2 le left( sum_{i=1}^n a_i^2 ight) left( sum_{i=1}^n b_i^2 ight) $$ 这表明，即使不直接提及 Holder 不等式，许多人其实已经在不知不觉中应用其思想。而 Holder 不等式则将这一思想延伸到了更广泛的 $L^p$ 空间，为研究函数和序列的性质提供了更加强大的分析工具。 Holder 不等式在严谨推理中的力量 Holder 不等式强大的力量体现在其广泛的应用，尤其是在需要进行严谨数学证明和分析的场景。以下是其在不同领域中的一些关键作用： 1. 数学分析中的范数理论和收敛性证明： 在数学分析中，$L^p$ 空间是一个核心概念，它研究的是那些 $p$ 次幂可积的函数。Holder 不等式是连接不同 $L^p$ 空间（例如 $L^p$ 和 $L^q$ 空间）的桥梁。在证明函数序列的收敛性时，Holder 不等式经常被用来估计积分的差值，从而判断收敛的类型（如依范数收敛、依测度收敛等）。例如，在研究希尔伯特空间（$L^2$ 空间）的性质时，Holder 不等式（即 Cauchy-Schwarz 不等式）的地位尤为重要。 2. 概率论与随机过程： 在概率论中，随机变量的期望和方差的计算常常需要 Holder 不等式。例如，在证明切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）的推广形式，或者在研究大数定律和中心极限定理的收敛速度时，Holder 不等式都能发挥关键作用。对于随机变量的矩，Holder 不等式提供了一种估计其上界的方法，例如： $$ E[|XY|] le (E[|X|^p])^{1/p} (E[|Y|^q])^{1/q} $$ 这个结论在估计随机变量乘积的期望时非常有用。 3. 泛函分析与算子理论： 泛函分析是现代数学的重要分支，研究的是函数空间上的线性算子。Holder 不等式是理解和构造有界线性算子（bounded linear operator）的重要工具。例如，在定义和研究卷积运算、积分算子等时，Holder 不等式能够用来估计算子作用在函数上的范数，从而判断算子的有界性。算子范数的定义本身就与 Holder 不等式紧密相关： $$ |T| = sup_{f eq 0} frac{|Tf|_Y}{|f|_X} $$ 而 Holder 不等式则为计算这个范数提供了具体的工具。 4. 调和分析与偏微分方程： 在调和分析领域，Holder 不等式是证明各种嵌入定理（embedding theorems）的基础，例如 Sobolev 嵌入定理，它描述了函数在不同 Sobolev 空间之间的关系。在偏微分方程的研究中，Holder 不等式被广泛应用于估计方程解的范数，判断解的存在性、唯一性和光滑性。例如，在研究椭圆型或抛物型偏微分方程的弱解时，Holder 不等式是证明解的 $L^p$ 范数有界性的关键。 5. 信息论与统计学： 在信息论中，Holder 不等式可以用来分析熵、互信息等信息度量。在统计学中，它被用于推导各种统计估计量的性质，以及证明统计推断的可靠性。例如，在研究最大似然估计量的收敛性时，Holder 不等式可以提供必要的工具。 6. 数值分析与近似理论： 在数值分析中，Holder 不等式可以用来分析数值算法的误差界限，评估近似方法的精度。例如，在研究多项式插值、数值积分或求解微分方程的数值方法时，Holder 不等式有助于理解算法的稳定性和收敛性。 Holder 不等式背后的数学哲学 Holder 不等式不仅仅是一个计算工具，它更体现了一种深刻的数学哲学：普遍性与特例的统一，以及结构性与度量的联系。 普遍性与特例的统一： Holder 不等式将 Cauchy-Schwarz 不等式（$p=2$）等特例包含其中，并将其推广到更广泛的 $L^p$ 空间，展现了数学理论从具体到抽象，从特殊到一般的强大能力。它告诉我们，很多看似独立的数学结论，可能都源自于同一个更深层次的原理。 结构性与度量的联系： Holder 不等式将向量（或函数）的“形状”或“结构”（通过其 $p$ 次幂的求和或积分来体现）与它们之间的“相互作用”（通过乘积的求和或积分来体现）联系起来。这种结构与度量之间的联系，是许多数学领域的核心议题。 Holder 不等式的深刻性还在于它揭示了不同“维度”下的度量如何相互影响。通过改变指数 $p$，我们可以从不同的角度审视数据或函数的“大小”和“分布”，而 Holder 不等式则确保了这些不同视角下的度量之间存在着稳定且可控的关系。 结语 Holder 不等式，作为数学分析中一颗璀璨的明珠，以其优雅的形式和强大的普适性，成为构建严谨数学推理的基石。它不仅仅是一个代数上的工具，更是理解函数空间、概率分布、算子行为等一系列核心数学概念的钥匙。无论是在理论研究的殿堂，还是在解决实际问题的过程中，Holder 不等式都以其独有的力量，为我们提供了深刻的洞察和可靠的保证。掌握 Holder 不等式及其应用，就是掌握了通往数学更深层奥秘的一扇重要窗口。

评分☆☆☆☆☆

在阅读这本书的过程中，我被其中详实且富有启发性的证明过程深深吸引。作者并没有采用那种“一笔带过”的证明方式，而是对每一个关键步骤都进行了细致的解释和推导。例如，在证明Holder不等式的一个重要特例时，他引入了 Jensen 不等式，并巧妙地将其与其他分析工具相结合，最终得到了简洁而优美的证明。这种细致的讲解方式对于我这样一名正在深入学习数学分析的学生来说，简直是福音。我经常会遇到一些证明思路模糊不清的难题，而这本书的作者似乎总能预见到读者可能遇到的困难，并提前给出清晰的指引。我尤其欣赏作者在解释证明过程中对一些数学概念的反复强调和梳理，这帮助我巩固了基础知识，同时也加深了对Holder不等式的理解。有时候，一个看起来简单的证明，背后可能蕴含着深刻的数学思想，这本书的作者正是善于挖掘这些思想，并将其清晰地呈现给读者，让我感觉自己不仅仅是在学习一个不等式，更是在学习一种解决数学问题的思维方式。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开这本书的第一页，一股严谨的学术气息扑面而来。作者在开篇就花了相当大的篇幅来铺垫Holder不等式的历史背景和发展脉络，这让我感到非常欣慰。很多数学书籍往往直接跳到定理和证明，让人觉得枯燥乏味，而这本书的作者显然深知“磨刀不误砍柴工”的道理。他对Holder不等式在数学史上的地位，以及它与其他重要不等式（比如Cauchy-Schwarz不等式）的关系进行了细致的梳理，这不仅增加了阅读的趣味性，更帮助我从更宏观的角度理解Holder不等式的意义。特别是关于Holder不等式早期证明方法的演变，以及后来发展出的各种推广形式，这些内容都让我耳目一新。我一直在思考，为什么这个不等式如此强大，能在如此多的领域得到应用，这本书的开篇似乎为我揭示了答案——它源于深刻的数学直觉，并随着数学的发展不断被提炼和完善。我尤其对作者如何将这些历史性的洞见转化为现代数学工具感到好奇，并期待接下来的章节能详细阐述这一点。

评分☆☆☆☆☆

总而言之，这本《Holder不等式及其应用》是一本集理论深度与实践广度于一体的优秀著作。作者的讲解清晰流畅，逻辑严谨，既有对Holder不等式核心思想的深刻剖析，又不乏对其在各个领域应用前景的全面展示。我特别喜欢书中对每一个数学概念的准确定义和对每一个证明步骤的细致推导，这让我能够扎实地掌握Holder不等式及其相关理论。同时，书中丰富的应用实例，涵盖了概率论、泛函分析、甚至是一些工程技术领域，让我看到了Holder不等式在解决实际问题中的巨大潜力。对于有志于深入理解数学分析、概率统计、或者正在进行相关领域研究的读者来说，这本书无疑是一本不可多得的宝藏。它不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的导师，引导读者一步步领略Holder不等式的魅力，并掌握运用它的方法。我强烈推荐给所有对这个主题感兴趣的读者。

评分☆☆☆☆☆

这本书的应用部分是我最为看重的地方，而它也的确没有让我失望。作者在这一部分展示了Holder不等式如何在不同的数学分支中大放异彩，从抽象的泛函分析到具体的概率论，再到一些工程领域的应用，都有涉及。我尤其对书中关于“Lp空间”的讨论印象深刻。Holder不等式在Lp空间中的表现，以及如何利用它来证明某些空间上的重要性质，这些内容对于我理解函数空间的结构和性质非常有帮助。书中列举的案例也相当具有代表性，例如，如何利用Holder不等式来估计某些积分的界，或者如何证明随机变量收敛性的相关定理。这些例子不仅展示了Holder不等式的强大威力，更教会了我如何根据具体问题选择合适的不等式形式，并将其转化为有效的求解工具。我甚至从中看到了将Holder不等式应用于我正在研究的信号处理问题的可能性，这对我来说无疑是巨大的鼓舞。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字让我一开始就产生了极大的兴趣，"Holder不等式及其应用"——光是这个标题就足够吸引那些对数学，特别是分析学有一定追求的读者了。我一直在寻找一本能够深入浅出地讲解Holder不等式，并展示其广泛应用的书籍，因为我知道这个不等式在概率论、积分方程、泛函分析等众多领域都有着举足轻重的地位。市面上关于不等式的书籍不少，但很多要么过于理论化，要么应用部分过于零散，难以形成体系。我希望这本书能够填补这个空白，用清晰的逻辑和丰富的例子，带领读者一步步理解Holder不等式的精髓，并学会如何灵活运用它来解决实际问题。例如，在概率论中，Holder不等式常常用来处理随机变量的乘积的期望，而我的研究恰好涉及这类问题，所以这本书的出现对我来说简直是雪中送炭。我非常期待它能提供一些我从未想到过的视角和技巧，让我能够更有效地分析和证明与随机变量期望相关的定理。同时，我也希望书中的应用部分能够覆盖到一些前沿的研究方向，这样我不仅能巩固基础，还能从中获得新的研究灵感。