数值分析（第5版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李庆扬 王能超 易大义 著

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• 数值分析
• 数值方法
• 科学计算
• 算法
• 高等数学
• 工程数学
• 计算数学
• 数学建模
• 第五版
• 理工科

出版社： 华中科技大学出版社

ISBN：9787568039468

版次：5

商品编码：12335903

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-04-01

用纸：胶版纸

页数：320

字数：415000

正文语种：中文

编辑推荐

·强调基本原理、基本理论，夯实基本素质
·注重基本方法和技巧，提高应用能力
·阐述严谨，脉络分明，深入浅出
·反复锤炼，不断更新，长销近30年

内容简介

本书是为理工科院校各专业普遍开设的“数值分析”课程而编写的教材.其上篇内容包括插值与逼近、数值积分与数值微分、常微分方程与线性方程组的数值解法、矩阵的特征值与特征向量计算等.每章附有习题并在书末给出部分答案.
本书下篇（高效算法设计）以讲座形式介绍快速算法、并行算法与加速算法方面的几个典型案例，力图普及推广超级计算方面的基础知识.全书阐述严谨，脉络分明，深入浅出，便于教学.
本书可作为理工科院校应用数学、力学、物理、计算机等专业的教材，也可供从事科学计算的科技工作者参考.

作者简介

李庆扬，北京大学数学系教授，博士生导师，从事于数值分析的研究。
王能超，教授、博士生导师，我国并行算法设计的先驱者之一，中华数学的弘扬者和践行者之一。北京大学计算数学专业、复旦大学微分方程专业研究生毕业，师从谷超豪教授。毕业后分配到华中理工大学(现华中科技大学)，先后在计算机系和数学系任教。承担的主要课题有:国家"863"高技术项目《智能计算机主题:高性能计算中心的快速算法研究》，国防科工委"九五"基金课题《分布式并行计算机上体可视化算法研究》等。多年来发表学术论文40余篇，出版学术专著有《数值算法设备》(华中理工大学出版社)，《同步并行算法设计》(科学出版社)等。自1982年以来共培养硕士生43名，博士生3名，其中38人已获硕士学位。并编写出版了工程数学、大学本科与研究生三个档次的数值分析(计算方法)的全国通用教材，其中《数学分析》(合编)与《数值分析简明教程》均获国家教委优秀教材二等奖。从事的研究方向为:并行算法与数学软件、小波分析与信号处理、演化数学方法等

精彩书评

王能超教授是我国并行算法设计的先驱者之一，他在这方面有许多独特的重要贡献，其中z主要的是他巧妙地运用二分技术于并行算法设计……。
王能超教授在并行算法设计中之所以能取得巨大进展，主要是由于他对算法设计的基本原理有深刻的研究……。正是由于这些独到的论点，使他在并行算法设计的研究中取得巨大的、实质性的进展，推动了这门算法设计学的发展。 ——程民德（1992年）

王能超教授的这本书，是一本富于哲学思想和科学方法论精神的著作。书中对各种各样的数值算法提出了几种富于概括性的设计思想和方法原则。这些思想和原则对从事研究和运用计算方法的科技工作者无疑会有深刻的启迪和指导作用。例如，书中所讲述的“缩减技术”、“校正技术”、“松弛技术”和快速算法及并行算法设计等，都是极为重要的方法原则，任何人如能精通并灵活运用这些方法原则，不仅能圆满地解决实际计算问题，而且还可能有所创新，有所发展。
——徐利治（1988年）

目录

上篇 数值算法分析
第1章 绪论(1)
1.1 数值分析研究的对象与特点(1)
1.2 误差来源与误差分析的重要性(2)
1.3 误差的基本概念(4)
1.3.1 误差与误差限(4)
1.3.2 相对误差与相对误差限(5)
1.3.3 有效数字(6)
1.3.4 数值运算的误差估计(7)
1.4 数值运算中误差分析的方法与原则(9)
1.4.1 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法(9)
1.4.2 要避免两相近数相减(10)
1.4.3 要防止大数“吃掉”小数(11)
1.4.4 注意简化计算步骤，减少运算次数(11)
小结(12)
习题(12)
第2章 插值法(14)
2.1 引言(14)
2.2 Lagrange插值(15)
2.2.1 插值多项式的存在唯一性(15)
2.2.2 线性插值与抛物插值(16)
2.2.3 Lagrange插值多项式(18)
2.2.4 插值余项(19)
2.3 逐次线性插值法(21)
2.4 差商与Newton插值公式(23)
2.4.1 差商及其性质(23)
2.4.2 Newton插值公式(24)
2.5 差分与等距节点插值公式(26)
2.5.1 差分及其性质(26)
2.5.2 等距节点插值公式(28)
2.6Hermite插值(29)
2.7 分段低次插值(32)
2.7.1 多项式插值的问题(32)
2.7.2 分段线性插值(33)
2.7.3 分段三次Hermite插值(34)
2.8 三次样条插值(36)
2.8.1 三次样条函数(36)
2.8.2 三转角方程(37)
2.8.3 三弯矩方程(39)
2.8.4 计算步骤与例题(40)
2.8.5 三次样条插值的收敛性(41)
小结(42)
习题(43)
第3章 函数逼近与计算(45)
3.1 引言与预备知识(45)
3.1.1 问题的提出(45)
3.1.2 Weierstrass定理(46)
3.1.3 连续函数空间C［a,b］(47)
3.2 最佳一致逼近多项式(47)
3.2.1 最佳一致逼近多项式的存在性(47)
3.2.2 Chebyshev定理(48)
3.2.3 最佳一次逼近多项式(50)
3.3 最佳平方逼近(52)
3.3.1 内积空间(52)
3.3.2 函数的最佳平方逼近(54)
3.4 正交多项式(57)
3.4.1 正交化手续(57)
3.4.2 Legendre多项式(57)
3.4.3 Chebyshev多项式(60)
3.4.4 其他常用的正交多项式(62)
3.5 函数按正交多项式展开(63)
3.6 曲线拟合的最小二乘法(65)
3.6.1 一般的最小二乘逼近(65)
3.6.2 用正交函数作最小二乘拟合(69)
3.6.3 多元最小二乘拟合(71)
3.7 Fourier逼近与快速Fourier变换(71)
3.7.1 最佳平方三角逼近与三角插值(71)
3.7.2 快速Fourier变换(74)
小结(77)
习题(77)
第4章 数值积分与数值微分(80)
4.1 引言(80)
4.1.1 数值求积的基本思想(80)
4.1.2 代数精度的概念(81)
4.1.3 插值型的求积公式(82)
4.2 Newton-Cotes公式(82)
4.2.1 Cotes系数(82)
4.2.2 偶阶求积公式的代数精度(84)
4.2.3 几种低阶求积公式的余项(85)
4.2.4 复化求积法及其收敛性(86)
4.3 Romberg算法(88)
4.3.1 梯形法的递推化(88)
4.3.2 Romberg公式(89)
4.3.3 Richardson外推加速法(91)
4.3.4 梯形法的余项展开式(92)
4.4 Gauss公式(93)
4.4.1 Gauss点(94)
4.4.2 Gauss�睱egendre公式(95)
4.4.3 Gauss公式的余项(96)
4.4.4 Gauss公式的稳定性(96)
4.4.5 带权的Gauss公式(97)
4.5 数值微分(99)
4.5.1 中点方法(99)
4.5.2 插值型的求导公式(100)
4.5.3 实用的五点公式(102)
4.5.4 样条求导(103)
小结(104)
习题(104)
第5章 常微分方程数值解法(106)
5.1 引言(106)
5.2 Euler方法(106)
5.2.1 Euler格式(106)
5.2.2 后退的Euler格式(108)
5.2.3 梯形格式(109)
5.2.4 改进的Euler格式(110)
5.2.5 Euler两步格式(111)
5.3 Runge�睰utta方法(113)
5.3.1 Taylor级数法(113)
5.3.2 Runge�睰utta方法的基本思想(114)
5.3.3 二阶Runge�睰utta方法(115)
5.3.4 三阶Runge�睰utta方法(116)
5.3.5 四阶Runge�睰utta方法(118)
5.3.6 变步长的Runge�睰utta方法(119)
5.4 单步法的收敛性和稳定性(120)
5.4.1 单步法的收敛性(120)
5.4.2 单步法的稳定性(122)
5.5 线性多步法(124)
5.5.1 基于数值积分的构造方法(124)
5.5.2 Adams显式格式(125)
5.5.3 Adams隐式格式(126)
5.5.4 Adams预测�残Ｕ�系统(127)
5.5.5 基于Taylor展开的构造方法(128)
5.5.6 Milne格式(130)
5.5.7 Hamming格式(131)
5.6 方程组与高阶方程的情形(132)
5.6.1 一阶方程组(132)
5.6.2 化高阶方程组为一阶方程组(133)
5.7 边值问题的数值解法(134)
5.7.1 试射法(135)
5.7.2 差分方程的建立(135)
5.7.3 差分问题的可解性(137)
5.7.4 差分方法的收敛性(138)
小结(140)
习题(140)
第6章 方程求根(142)
6.1 根的搜索(142)
6.1.1 逐步搜索法(142)
6.1.2 二分法(142)
6.2 迭代法(144)
6.2.1 迭代过程的收敛性(144)
6.2.2 迭代公式的加工(147)
6.3 Newton法(149)
6.3.1 Newton公式(149)
6.3.2 Newton法的几何解释(150)
6.3.3 Newton法的局部收敛性(151)
6.3.4 Newton法应用举例(152)
6.3.5 Newton下山法(153)
6.4 弦截法与抛物线法(154)
6.4.1 弦截法(155)
6.4.2 抛物线法(156)
6.5 代数方程求根(158)
6.5.1 多项式求值的秦九韶算法(158)
6.5.2 代数方程的Newton法(159)
6.5.3 劈因子法(160)
小结(162)
习题(162)
第7章 解线性方程组的直接方法(164)
7.1 引言(164)
7.2 Gauss消去法(164)
7.2.1 消元手续(165)
7.2.2 矩阵的三角分解(168)
7.2.3 计算量(170)
7.3 Gauss主元素消去法(171)
7.3.1 完全主元素消去法(172)
7.3.2 列主元素消去法(173)
7.3.3 Gauss�睯ordan消去法(175)
7.4 Gauss消去法的变形(178)
7.4.1 直接三角分解法(178)
7.4.2 平方根法(181)
7.4.3 追赶法(184)
7.5 向量和矩阵的范数(186)
7.6 误差分析(192)
7.6.1 矩阵的条件数(192)
7.6.2 舍入误差(197)
小结(198)
习题(198)
第8章 解线性方程组的迭代法(202)
8.1 引言(202)
8.2 Jacobi迭代法与Gauss�睸eidel迭代法(204)
8.2.1 Jacobi迭代法(204)
8.2.2 Gauss�睸eidel迭代法(205)
8.3 迭代法的收敛性(206)
8.4 解线性方程组的超松弛迭代法(213)
小结(217)
习题(217)
第9章 矩阵的特征值与特征向量计算(220)
9.1 引言(220)
9.2 幂法及反幂法(222)
9.2.1 幂法(222)
9.2.2 加速方法(225)
9.2.3 反幂法(227)
9.3 Householder方法(230)
9.3.1 引言(230)
9.3.2 用正交相似变换约化矩阵(232)
9.4 QR算法(237)
9.4.1 引言(237)
9.4.2 QR算法(239)
9.4.3 带原点位移的QR方法(242)
小结(246)
习题(246)
下篇 高效算法设计
第10章 快速算法设计：快速Walsh变换(248)
10.1 美的Walsh函数(248)
10.1.1 微积分的逼近法(248)
10.1.2 Walsh函数的复杂性(249)
10.1.3 Walsh分析的数学美(250)
10.2 Walsh函数代数化(251)
10.2.1 时基上的二分集(251)
10.2.2 Walsh函数的矩阵表示(252)
10.3 Walsh阵的二分演化(252)
10.3.1 矩阵的对称性复制(253)
10.3.2 Walsh阵的演化生成(253)
10.3.3 Walsh阵的演化机制(254)
10.3.4 Hadamard阵的演化生成(255)
10.4 快速变换FWT(257)
10.4.1 FWT的设计思想(257)
10.4.2 FWT的演化机制(258)
10.4.3 FWT的计算流程(259)
10.4.4 FWT的算法实现(261)
小结(262)
第11章 并行算法设计：递推计算并行化(263)
11.1 什么是并行计算(263)
11.1.1 一则寓言故事(263)
11.1.2 同步并行算法的设计策略(264)
11.2 叠加计算(265)
11.2.1 倍增技术(265)
11.2.2 二分手续(267)
11.2.3 数列求和的二分法(268)
11.2.4 多项式求值的二分法(269)
11.2.5 二分算法的效能分析(270)
11.2.6 二分算法的基本特征(271)
11.3 一阶线性递推(272)
11.3.1 相关链的二分手续(272)
11.3.2 算式的建立(273)
11.3.3 二分算法的效能分析(275)
11.4 三对角方程组(275)
11.4.1 相关链的二分手续(276)
11.4.2 算式的建立(277)
小结(279)
第12章 加速算法设计：重差加速技术(281)
12.1 千古疑案(281)
12.1.1 阿基米德的“穷竭法”(281)
12.1.2 祖冲之“缀术”之谜(281)
12.2 神来之笔(282)
12.2.1 数学史上一篇千古奇文(282)
12.2.2 “一飞冲天”的“刘徽神算”(283)
12.3 奇光异彩(284)
12.3.1 刘徽的新视野(285)
12.3.2 偏差比中传出好“消息”(286)
12.3.3 只要做一次“俯冲”(286)
12.3.4 差之毫厘，失之千里(287)
12.3.5 “缀术”再剖析(288)
12.3.6 平庸的新纪录(289)
12.4 万能引擎(291)
12.4.1 逼近加速的重差公设(292)
12.4.2 重差加速法则(292)
12.4.3重差加速的逻辑推理(293)
第13章 总览(294)
13.1 算法重在设计(294)
13.1.1 算法设计关系到科学计算的成败(294)
13.1.2 算法设计追求简单与统一(295)
13.2 直接法的缩减技术(295)
13.2.1 数列求和的累加算法(295)
13.2.2 缩减技术的设计机理(296)
13.2.3 多项式求值的秦九韶算法(297)
13.3 迭代法的校正技术(298)
13.3.1 开方算法(298)
13.3.2 校正技术的设计机理(299)
13.4 迭代优化的超松弛技术(300)
13.4.1 超松弛技术的设计机理(300)
13.4.2 刘徽的“割圆术”(300)
13.5 递推加速的二分技术(301)
13.5.1 “结绳记数”的快速算法(301)
13.5.2 二分技术的设计机理(302)
小结(303)
部分习题答案(305)
参考文献(308)

前言/序言

本书于1981年由华中科技大学出版社出版，至今已有37年.本书1988年获国家教委优秀教材二等奖，在国内为许多高校所选用.
今天，数值计算已进入超级计算的新时代，科技革命迅猛发展的新形势迫切要求普及推广高性能计算方面的新知识，鉴于这一认识本书推出第5版.
作为高效算法设计的关键技术，二分演化技术具有深邃的文化内涵，其设计思想新奇而玄妙，这方面内容可能尚未为人们所熟悉，笔者深信它处于算法设计学的前沿，因此选取快速算法设计、并行算法设计和加速算法设计方面的几个典型案例，汇集成讲座资料作为本书第10～13章，奉献给立志于从事高性能计算的读者参考.
本书中的第10～13章（讲座资料）由王能超撰写，错误与不当之处请读者不吝指正.本书的再版，得到华中科技大学出版社的鼎力支持，在此表示衷心的感谢！

《数值分析（第5版）》图书简介 本书是一本内容全面、讲解深入的数值分析教材，旨在为读者提供扎实的理论基础和丰富的实践应用，帮助他们在科学计算、工程技术、数据分析等领域构建强大的定量分析能力。本书共分为十章，循序渐进地引导读者掌握核心数值算法的设计、分析与应用。 第一章 引言 本章是整本书的基石，为读者构建起对数值分析的初步认识。首先，我们深入探讨了数值分析在现代科学和工程中的重要性，阐述了为何需要数值方法来解决现实世界中的数学问题。许多实际问题，例如复杂的物理模拟、经济预测、图像处理等，其数学模型往往难以获得精确解，或者计算过程极其复杂，此时就需要借助数值方法来寻求近似解。我们将通过一系列引人入胜的案例，展示数值分析在航空航天、生物医学、金融工程、机器学习等前沿领域的广泛应用，激发读者的学习兴趣。 接着，本章将重点介绍数值计算中至关重要的概念——误差。我们将详细讲解误差的来源，包括模型误差（由于数学模型本身无法精确描述现实世界而产生的误差）、截断误差（由于用近似算法代替精确算法而产生的误差）和舍入误差（由于计算机字长有限而产生的计算误差）。理解误差的产生机制和传播规律是进行可靠数值计算的前提。我们将学习如何量化误差，例如绝对误差和相对误差，并初步了解误差的界限分析。此外，本章还会引入数值稳定性这一关键概念。一个数值算法是否稳定，直接关系到其在实际计算中能否给出可信的结果。我们将初步探讨稳定性对计算精度的影响，为后续章节的学习打下基础。 最后，本章还将简要回顾和梳理读者可能需要的基础数学知识，例如函数、极限、导数、积分、线性代数的基本概念以及基本的复数知识等，确保读者具备学习后续章节所需的前置知识。 第二章 方程的根 本章致力于解决一类 fundamental 的数学问题：求解方程 $f(x) = 0$ 的根。我们将从最简单的迭代方法开始，逐步深入到更强大、更通用的算法。 首先，本章将详细介绍二分法。这种方法基于介值定理，通过不断缩小包含根的区间来逼近根。我们将分析其收敛速度，并演示其在简单方程求解中的应用。虽然二分法收敛速度较慢，但其简单易懂和保证收敛的特性使其成为理解迭代法的良好起点。 随后，我们将转向更高效的不动点迭代法。我们将把方程 $f(x) = 0$ 转化为等价的不动点形式 $x = g(x)$，然后通过迭代 $x_{n+1} = g(x_n)$ 来逼近根。本章将深入分析不动点迭代法的收敛条件，即 $g'(x)$ 在根附近是否小于1，并讨论如何构造合适的 $g(x)$ 来提高收敛性。 接着，我们将迎来解决方程根问题的“明星算法”——牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson method）。该方法利用函数在某一点的切线来逼近根，具有二次收敛的优良性质。我们将详细推导牛顿法的迭代公式，并分析其收敛性。同时，本章也会讨论牛顿法在实际应用中可能遇到的问题，例如切线斜率为零或根附近函数变化剧烈的情况，以及相应的改进方法，如阻尼牛顿法。 为了克服牛顿法需要计算导数的缺点，我们将介绍割线法。割线法用通过两点的割线斜率来近似代替导数，是一种非常实用的方法。本章将推导割线法的迭代公式，并分析其收敛阶。 最后，本章还将讨论多项式方程根的求解问题，包括代数方程的根的存在性、实根和复根的计算，以及一些专门针对多项式方程的算法（如连分式法等），为读者提供更全面的方程求解工具集。 第三章 线性方程组的解 线性方程组是科学计算中最常见、最重要的问题之一。本章将系统地介绍求解线性方程组的数值方法。 首先，我们将从直接法开始，介绍高斯消元法。我们将详细阐述消元过程，将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，然后通过回代法求解。本章还将深入分析高斯消元法的计算量和数值稳定性问题，并引入LU分解和LDU分解等技术，以提高计算效率并便于求解多个右端项的方程组。我们将探讨全选主元、部分选主元等策略如何提高算法的数值稳定性。 接着，我们将转向迭代法。对于大规模稀疏线性方程组，迭代法通常比直接法更具优势。本章将介绍几种经典的迭代法：雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。我们将推导这两种方法的迭代公式，并深入分析它们的收敛条件。我们将通过分析雅可比矩阵和迭代矩阵的谱半径来判断迭代法的收敛性。 此外，本章还将介绍逐次超松弛（SOR）迭代法，作为高斯-赛德尔迭代法的一种加速方法，并讨论如何选择最优的松弛因子。 最后，本章还会简要提及共轭梯度法等更高级的迭代方法，适用于特定类型的线性方程组，为读者提供进一步探索的入口。 第四章 插值 插值问题是根据已知数据点构建一个函数，使其通过所有这些数据点。本章将介绍几种重要的插值方法。 我们将从最基本的多项式插值开始。首先介绍拉格朗日插值法，详细推导拉格朗日插值多项式的形式，并讨论其唯一性。我们将分析拉格朗日插值多项式的误差，并探讨龙格现象——在高次多项式插值中可能出现的剧烈振荡问题。 为了克服龙格现象，我们将介绍牛顿插值法。牛顿插值法具有递推性，可以方便地添加新的数据点，并且其误差形式更易于分析。我们将推导牛顿插值多项式的系数，并讨论其分点插值的优势。 此外，本章还将介绍三次样条插值。三次样条插值是一种分段多项式插值，能够产生光滑的插值曲线，广泛应用于计算机图形学和数据可视化。我们将详细阐述三次样条插值的构造原理，包括边界条件的选择，以及如何求解由插值条件导出的方程组。 最后，本章还将简要介绍分段线性插值作为一种最简单的插值形式，以及有理函数插值和三角插值等其他插值方法。 第五章 数值微分与积分 本章关注如何利用离散数据来近似计算函数的导数和积分。 在数值微分方面，我们将介绍基于泰勒展开的有限差分法。我们将推导向前差分、向后差分和中心差分格式来近似计算一阶导数，并分析它们的截断误差。随后，我们将推广到高阶导数的计算。 在数值积分方面，本章将介绍一系列常用的求积公式。我们将从最简单的梯形公式和辛普森公式开始，详细推导它们的原理和误差。这些方法本质上是通过多项式插值来近似被积函数，然后对插值多项式进行积分。 我们将进一步介绍复合梯形公式和复合辛普森公式，这些复合公式通过将积分区间分成多个小区间，然后应用基本公式，可以显著提高积分的精度。 除了牛顿-科特斯公式，本章还将介绍高斯-勒让德求积公式。高斯求积公式通过巧妙地选择积分节点和权重，可以在相同节点数下达到更高的代数精度，是数值积分中非常强大的一种方法。我们将介绍其基本思想和构造原理。 最后，本章还会简要提及多重积分的数值计算方法。 第六章 最小二乘逼近 最小二乘法是处理带有噪声的观测数据，寻找最佳拟合函数的一种非常重要的方法。本章将深入探讨最小二乘逼近的原理和应用。 我们将从函数逼近的角度来理解最小二乘法。给定一组数据点 $(x_i, y_i)$，我们希望找到一个函数 $f(x)$（通常是多项式或线性组合形式），使得 $f(x_i)$ 与 $y_i$ 之间的误差平方和最小。 本章将详细推导多项式最小二乘逼近的求解过程。我们将构建误差平方和函数，然后通过求解其对逼近函数系数的偏导数等于零的方程组来得到最优系数。这将涉及到解一个正规方程组。 我们将详细讨论Gram-Schmidt正交化等方法，用于处理可能病态的正规方程组，提高数值稳定性。 除了多项式逼近，本章还将介绍线性最小二乘逼近，即逼近函数是已知基函数的线性组合。这在许多实际应用中非常普遍，例如用三角函数或指数函数逼近数据。 最后，本章还将简要提及加权最小二乘法，用于处理不同观测点精度不同的情况。 第七章 常微分方程的数值解 常微分方程（ODE）在描述物理、工程、生物等领域的动态系统时起着核心作用。本章将介绍求解常微分方程初值问题的数值方法。 我们将从最简单的一步法开始，介绍欧拉方法（前向欧拉法和后向欧拉法）。我们将详细推导欧拉法的迭代公式，并分析其收敛阶和截断误差。 为了提高精度，我们将介绍改进欧拉法（也称为预测-校正法）。 随后，我们将深入学习龙格-库塔（Runge-Kutta）方法。这是常微分方程数值解中最常用、最强大的方法族之一。本章将详细介绍经典的二阶龙格-库塔方法和四阶龙格-库塔方法（RK4），推导其迭代公式，并分析其收敛性和稳定性。我们将讨论不同阶次的龙格-库塔方法的权衡。 此外，本章还将介绍多步法，例如 Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。多步法利用之前多个时间步的信息来计算当前时间步的值，通常比同阶次的单步法计算效率更高。我们将讨论其原理、推导和稳定性。 最后，本章还将简要提及隐式方法和刚性方程组的数值解法。 第八章 特征值问题 特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，在许多领域都有广泛应用，例如稳定性分析、主成分分析、模态分析等。本章将介绍求解矩阵特征值和特征向量的数值方法。 我们将从幂法开始，这是一种简单而有效的迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。我们将详细推导幂法的迭代公式，并分析其收敛性。 为了找到矩阵的所有特征值，我们将介绍反幂法，它能够计算最小的特征值。 然后，我们将学习QR分解方法。QR分解是一种强大的矩阵分解技术，基于QR分解的QR算法是目前求解特征值问题最常用和最稳定的方法之一。我们将详细介绍QR算法的原理，包括Householder变换和Givens旋转在QR分解中的应用。 本章还将介绍雅可比方法，一种用于对称矩阵的迭代方法，通过一系列相似变换将矩阵化为对角矩阵，从而得到特征值。 对于对称正定矩阵，我们将介绍Cholesky分解及其在求解特征值问题中的应用。 最后，本章还将简要提及广义特征值问题的数值解法。 第九章 傅里叶变换与快速傅里叶变换 傅里叶变换是信号处理、图像分析、数据压缩等领域不可或缺的工具。本章将介绍离散傅里叶变换（DFT）及其高效实现——快速傅里叶变换（FFT）。 我们将从离散傅里叶变换（DFT）的定义出发，解释它如何将一个离散信号从时域转换到频域。我们将探讨DFT的性质，例如线性性、周期性、对称性等。 然后，我们将重点介绍快速傅里叶变换（FFT）。FFT是一种算法，它可以在远少于直接计算DFT的时间内计算出DFT的结果。本章将详细讲解最经典的Cooley-Tukey算法，包括按时间抽取（DIT）和按频率抽取（DIF）两种基本思想，并推导其递归结构。我们将分析FFT算法的时间复杂度，展示其相较于直接计算DFT的巨大优势。 本章还将介绍FFT在实际中的应用，例如卷积计算、相关计算等。 最后，本章还将简要提及傅里叶级数和连续傅里叶变换与离散傅里叶变换之间的联系。 第十章 数值计算中的优化 本章将探讨在数值计算过程中，如何通过优化技术来提高计算效率和算法性能。 我们将首先讨论函数逼近与插值的高级主题，例如Chebyshev多项式插值，及其在降低龙格现象和提高逼近精度的作用。 接着，我们将深入研究迭代算法的收敛性分析，包括更细致的误差传播分析，以及如何通过改变算法参数来加速收敛。 本章还将介绍稀疏矩阵的存储与计算技术。对于大型稀疏矩阵，采用传统的稠密存储和计算方法会造成严重的存储和计算浪费。我们将介绍各种稀疏矩阵存储格式，如COO（Coordinate List）、CSR（Compressed Sparse Row）、CSC（Compressed Sparse Column）等，并讨论相应的稀疏矩阵向量乘法、稀疏方程组求解等算法。 此外，本章还将探讨并行计算在数值分析中的应用。我们将介绍一些基本的并行计算模型和算法设计思想，例如任务分解、数据并行等，以利用多核处理器和计算集群来加速大规模数值计算。 最后，本章还将简要提及数值积分与微分的自适应方法，即根据误差估计动态调整计算步长或区间，以实现高效和精确的计算。 通过对以上十个章节的学习，读者将全面掌握数值分析的核心理论与方法，并能够熟练地运用这些工具解决实际问题，为他们在未来的学术研究和工程实践中奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

说实话，拿到这本《数值分析》（第5版）的时候，我抱着一种“试试看”的心态，毕竟这个领域听起来就挺硬核的。我之前接触过一些偏理论的数学书，总是感觉它们离实际应用有点远，而我更希望学到的知识能和我的专业研究有所结合。这本书在这方面做得不错，它在介绍各种数值方法的时候，会时不时地引出一些实际的应用场景，比如在工程计算、数据模拟等方面。虽然我并非直接从事这些领域，但了解这些背景知识，能让我更深刻地理解为什么这些方法会被发明出来，它们解决了什么实际问题。书中对误差分析的讲解也很有条理，从截断误差到舍入误差，每一种误差的来源和影响都说得很清楚，而且还给出了如何控制和减小误差的建议。这对我理解数值计算的可靠性非常有帮助。书后面的习题也挺有分量的，有些需要编程实现，有些则需要理论推导，这能很好地检验自己对知识的掌握程度。我尤其喜欢一些综合性的题目，它们能将书中的多个章节的知识点串联起来，做起来很有挑战性，也能加深对整体知识体系的理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格是我觉得比较吸引我的地方。虽然是技术类书籍，但作者的表达方式并没有让人感到枯燥乏味。很多时候，他会用一种相对轻松的语气来介绍一些复杂的数学概念，让我感觉好像在和一个有经验的老师在交流，而不是在啃一本冰冷的教科书。这种“接地气”的风格，让我在阅读过程中不至于因为遇到难以理解的内容而产生畏难情绪。另外，书中举的例子都非常贴切，有些甚至是来源于实际的科研问题，这让我觉得我所学到的知识是有实际意义的，而不是空中楼阁。特别是关于优化方法的部分，它涉及到如何寻找函数的极值，这在很多科学和工程领域都是一个核心问题。书中对各种优化算法的介绍，从梯度下降到牛顿法，都给了比较详尽的解释，并且强调了这些算法的实际应用局限性。我特别喜欢书中对数值积分方法的介绍，它不仅仅是列举了梯形法则、辛普森法则等，还深入探讨了复化公式和龙格-库塔方法，这对于理解数值计算的精度和效率至关重要。

评分☆☆☆☆☆

我对《数值分析》（第5版）的整体印象是：内容全面，而且条理清晰。书的编排结构很好，从基础的插值与逼近，到微分方程的数值解，再到线性代数数值方法，层层递进，逻辑性很强。我感觉作者在内容的组织上花了很多心思，不会让你觉得东一榔头西一棒子。每个章节都围绕一个核心主题展开，并且会逐渐引入更复杂的内容。比如，在讲到插值的时候，从最简单的线性插值，到牛顿插值，再到拉格朗日插值，最后是样条插值，每一种方法都给出了详细的推导和优缺点分析。而且，书中对每种方法的收敛性和稳定性也有比较深入的探讨，这一点对于理解方法的适用范围非常关键。我个人比较关注的是线性方程组的数值解法，这本书在这方面的内容非常详尽，从直接法的高斯消元法，到迭代法雅可比方法和高斯-赛德尔方法，都讲得很细致，还包括了大规模稀疏线性方程组的求解方法，这对我后续的学习非常有启发。虽然书的篇幅不小，但我觉得作者的讲解还是比较克制的，没有过多地纠缠于一些过于偏门的细节，而是把重点放在了核心算法和理论上。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我在这本《数值分析》（第5版）上花费的时间和精力，远远超过了我最初的预期。我本来以为这是一本可以速成的内容，但实际情况是，很多概念都需要反复琢磨，尤其是涉及到收敛性和稳定性分析的时候。我通常会先通读一遍，对整体框架有个大致了解，然后再针对每个章节进行深入学习。我还会尝试自己动手写一些简单的程序来验证书中的算法，比如用Python实现高斯消元法求解线性方程组，或者用Matlab绘制不同插值函数的图像。这种实践过程，让我对抽象的数学公式有了更直观的认识，也暴露了我理解上的盲点。书中的一些证明过程，对于初学者来说可能需要一些耐心，但我觉得这是理解算法背后原理的必经之路。作者在每章后面都会给出一些思考题和习题，这些题目质量很高，有的需要融会贯通，有的则需要进行一定的创新。我经常会花很长时间去思考这些题目，虽然不一定都能做出来，但这个过程本身就非常有价值，它能极大地锻炼我的逻辑思维能力和解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书我大概用了两年时间，断断续续，终于摸着石头过河似地啃了下来。当初选择它，很大程度上是因为它的“第5版”这个标签，总觉得版本更新意味着内容跟得上时代，更不容易过时。拿到手的时候，它的厚度还是让我有点心虚的，毕竟我数学基础算不上特别扎实，很多数值方法在我看来就像是玄学，但作者的行文风格，或者说译者的文字功底，在一定程度上消弭了这种距离感。他会从一些非常直观的例子入手，比如求解方程组的时候，不像我以前看的书那样直接抛出公式，而是会先说明为什么需要这样的方法，它解决了什么问题，这样一来，很多抽象的概念就变得容易理解多了。而且，书中的插图和图表也很有帮助，很多时候一个图形就能解释清楚一个算法的收敛性或者精度问题，这比纯文字的描述要生动得多。我特别喜欢的是它对算法的阐述，不仅仅是给出伪代码，还会详细分析每一步的意义，甚至给出不同算法之间的比较，优劣势一目了然。当然，有些章节对初学者来说还是有挑战的，需要反复琢磨，甚至需要结合其他的参考资料，但总体而言，这是一本我愿意推荐给对数值分析有兴趣的同学的书。