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伊莱亚斯M斯坦恩 著 著

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店铺： 义博图书专营店

出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111552970

商品编码：13157841612

复分析+实分析 普林斯顿分析译丛书 微积分和线性代数知识大全书籍

区域包邮 著

YL7167  9787111552970 9787111552963

复分析

EliasM.Stein、RamiShakarchi所著的《复分析》由在国际上享有盛誉普林斯大林顿大学教授Stein等撰写而成，是一部为数学及相关专业大学二年级和三年级学生编写的教材，理论与实践并重。为了便于非数学专业的学生学习，全书内容简明、易懂,读者只需掌握微积分和线性代数知识。本书已被哈佛大学和加利福尼亚理工学院选为教材。

第１ 章 复分析预备知识  １

１ 复数和复平面   １

１. １ 基本性质   １

１. ２ 收敛性   ３

１. ３ 复平面中的集合   ４

２ 定义在复平面上的函数   ５

２. １ 连续函数   ５

２. ２ 全纯函数   ６

２. ３ 幂级数   １０

３ 沿曲线的积分   １３

４ 练习   １７

第２ 章 柯西定理及其应用   ２３

１ Ｇｏｕｒｓａｔ 定理   ２４

２ 局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理   ２６

３ 一些积分估值   ２９

４ 柯西积分公式   ３２

５ 应用   ３７

５. １ Ｍｏｒｅｒａ 定理   ３７

５. ２ 全纯函数列   ３７

５. ３ 按照积分定义全纯函数   ３９

５. ４ Ｓｃｈｗａｒｚ 反射原理   ４０

５. ５ Ｒｕｎｇｅ 近似定理  ４２

６ 练习   ４４

７ 问题   ４７

第３ 章 亚纯函数和对数   ５０

１ 零点和极点   ５１

２ 留数公式   ５４

２. １ 例子   ５５

３ 奇异性与亚纯函数   ５８

４ 辐角原理与应用   ６２

５ 同伦和单连通区域   ６５

６ 复对数   ６８

７ 傅里叶级数和调和函数   ７０

８ 练习   ７２

９ 问题   ７５

第４ 章 傅里叶变换   ７８

１ Ｆ 类  ７９

２ 作用在 Ｆ 类上的傅里叶变换   ８０

３ Ｐａｌｅｙ.Ｗｉｅｎｅｒ 定理   ８５

４ 练习   ９０

５ 问题   ９４

第５ 章 整函数  ９６

１ Ｊｅｎｓｅｎ 公式  ９７

２ 有限阶函数   ９９

３ 无穷乘积   １０１

３. １ 一般性   １０１

３. ２ 例子 正弦函数的乘积公式   １０２

４ Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ 无穷乘积   １０４

５ Ｈａｄａｍａｒｄ 因子分解定理  １０６

６ 练习   １１０

７ 问题   １１３

第６ 章 Ｇａｍｍａ 函数和 Ｚｅｔａ 函数   １１５

１ Ｇａｍｍａ 函数  １１５

１. １ 解析延拓   １１６

１. ２ Γ 函数的性质   １１８

２ Ｚｅｔａ 函数   １２２

２. １ 泛函方程和解析延拓   １２２

３ 练习   １２７

４ 问题   １３１..........

实分析

该书是调和分析大师stein的力作，长期被普林斯顿、哈佛等众多名校作为教材使用。总体分为测度、积分以及希尔伯特空间三部分。通过傅立叶级数的完备化、连续函数的极限、曲线的长度、微分与积分等问题说明经典微积分的局限性；进而指出解决以上问题的关键在于某种测度的存在性问题。而勒贝格测度就是这样的测度。以此为基础建立实分析理论。用统一、联系的观点看待现代分析，把现代分析的不同分支领域视为高度相互联系而非分离的学科。通过这些联系可以使读者在整体上对现代分析这一学科有更好的理解。对基本概念和基本方法的来龙去脉、后续应用、主要思想的阐述非常详尽、透彻。特别强调了抽象概念的引入是为了解决直观、鲜明的重要问题而非一味追求概念的推广、深化。书中主要篇幅在于对基本概念和基本方法的说明。而几乎没有复杂的推导计算。这与一些定义-定理-证明的“标准”教科书写法截然不同。该书的适用面很广。虽然该书包含了许多现代的内容，但是起点却不高。只要掌握初等微积分、线性代数的基本内容即可学习此书。因此适用于数学、物理、工程金融的本科、硕士学生。对相关专业的研究人员也有重要的参考价值。

引言 

1傅里叶级数：完备化 

2连续函数的极限 

3曲线的长度 

4微分与积分 

5测度问题 

第1章测度论 

1预备知识 

2外测度 

3可测集与勒贝格测度 

4可测函数 

4 1定义与基本性质 

4 2用简单函数或阶梯函数逼近

4 3李特尔伍德三大原理 

5+    Brunn-Minkowski不等式 

6习题 

7问题 

第2章积分理论 

1勒贝格积分：基本性质与收敛定理

2可积函数空间F 

3  Fubini定理 

3 1定理的叙述与证明 

3 2  Fubi¨ni定理的应用 

4+  傅里叶反演公式 

5习题 

6问题 

第3章微分与积分 

1积分的微分 

1 1  哈代一李特尔伍德极大函数 

1 2勒贝格微分定理 

2好的核与恒同逼近 

第4章希尔伯特空间简介

第5章希尔伯特空间：几个例子

第6章抽象测度和积分理论

1 3延拓定理 

2测度空间上的积分 

3例子 

3 1乘积测度和一般的Fubi¨ni定理 

3 2极坐标的积分公式 

33R上的博雷尔测度和勒贝格一靳蒂尔切斯积分

4测度的绝对连续性 

4 1带号测度 

4 2绝对连续性 

5+遍历定理 

5 1平均遍历定理 

5 2极大遍历定理 

5 3逐点遍历定理 

5 4遍历保测变换 

6+附录：谱定理 

6 1定理的叙述 

6 2正算子 

6 3定理的证明 

6 4谱 

7习题 

8问题 

第7章豪斯多夫测度和分形 

1豪斯多夫测度 

2豪斯多夫维数 

2 1例子 

2 2自相似 

3空间填充曲线 

3 1  四次区间和二进正方形 

3 2二进对应 

3 3佩亚诺映射的构造 

4'  Besicovitch集和正则性 

4 1拉东变换 

4 2当d≥3时集合的正则性 

4 3 Besicovitch集有维数2 

4 4 Besicovitch集的构造 

5习题 

6问题 

注记和参考 

符号索引 

参考文献 

现代数学的基石：解析函数与实数世界 本书旨在为读者提供对现代数学中两个核心分支——复分析和实分析——的深入理解。这两个领域不仅构成了微积分和线性代数等基础学科的严谨数学基础，更是物理学、工程学、计算机科学以及经济学等众多学科不可或缺的工具。本书将带领读者从基础概念出发，逐步探索这两个领域的核心理论、重要定理及其广泛应用，培养严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。 第一部分：复分析——揭示复数世界的奥秘 复分析研究的是定义在复数域上的函数。复数，即形如 $a + bi$（其中 $a$ 和 $b$ 为实数，$i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$）的数，不仅在代数上极大地丰富了数的概念，更在几何和分析上展现出独特的魅力。 我们将从复数的几何表示入手，理解复数平面上点的加法、减法、乘法和除法操作，以及模长、辐角和共轭等基本概念。随后，我们将引入复变函数的概念，并着重研究复变函数的解析性（Holomorphicity）。解析函数是复分析的核心，它们的性质远比实变函数丰富和优越。我们将详细介绍柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations），这是判断一个复变函数是否为解析函数的充要条件。 学习完解析函数的概念，我们将深入探讨柯西积分定理（Cauchy Integral Theorem）和柯西积分公式（Cauchy Integral Formula）。这两个定理是复分析的灵魂，它们揭示了解析函数在闭合曲线上的积分特性，并能用来计算函数值、导数值，甚至函数的泰勒展开。我们将通过大量的例子来理解这两个定理的强大威力，它们能够极大地简化对函数性质的研究。 接着，我们将学习孤立奇点（Isolated Singularities）的概念，包括可去奇点、极点和本质奇点。针对这些奇点，我们将介绍留数定理（Residue Theorem）。留数定理是计算复积分的有力工具，更是解决许多实积分问题和工程问题（如信号处理、控制理论）的关键。我们将学习如何计算留数，并将其应用于计算各种类型的定积分，特别是那些使用实数积分方法难以解决的积分。 本书还会介绍解析延拓（Analytic Continuation）的概念，它允许我们将一个函数从其初始定义域扩展到更大的域，同时保持其解析性。这一概念在数学的许多分支中都扮演着重要角色。我们还将触及共形映射（Conformal Mapping），这是一种保持角度的变换，在流体力学、热传导和电场分布等问题中有着广泛的应用。 第二部分：实分析——探寻实数世界的精细结构 实分析是对实数系统及其函数的性质进行严谨研究的学科。它建立在微积分的基础上，但将其提升到了一个全新的抽象和严谨的层次。实分析是理解现代数学分析方法的核心，也是进行更高级数学学习的基础。 我们将从集合论（Set Theory）的基础知识出发，回顾实数集合的完备性（Completeness Axiom），这是理解实数序列和函数极限的关键。随后，我们将深入探讨序列（Sequences）和级数（Series）的收敛性。我们会学习各种收敛判别法，如比值判别法、根值判别法、比较判别法等，并重点研究幂级数（Power Series）的收敛半径和收敛域，以及它们的泰勒级数和麦克劳林级数展开，这些都是近似计算函数值和求解微分方程的重要手段。 连续性（Continuity）是实分析中的另一个核心概念。我们将从 $epsilon-delta$ 定义出发，严格理解函数的连续性，并研究连续函数的性质，如介值定理（Intermediate Value Theorem）和最值定理（Extreme Value Theorem）。 微分（Differentiation）部分，我们将回顾导数的定义，并在此基础上深入研究高阶导数、微分中值定理（Mean Value Theorem）及其各种形式，如罗尔定理（Rolle's Theorem）和拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）。我们将学习如何利用微分来分析函数的单调性、凹凸性、极值点，以及绘制函数图像。 积分（Integration）部分，我们将从黎曼积分（Riemann Integration）的定义出发，理解定积分的几何意义和计算方法。在此基础上，我们将引入勒贝格积分（Lebesgue Integration）的概念。勒贝格积分是实分析中的一个重大发展，它能够处理比黎曼积分更广泛的函数类，并且具有更优越的收敛性质。我们将讨论勒贝格测度（Lebesgue Measure）和勒贝格积分的基本思想，理解它在概率论、泛函分析等领域中的重要性。 我们还将探讨函数序列和函数项级数的一致收敛（Uniform Convergence）。一致收敛比逐点收敛（Pointwise Convergence）具有更强的性质，它允许我们在求极限和积分时交换运算顺序，从而大大简化了对函数序列和级数性质的研究。 第三部分：联结与应用 复分析和实分析并非孤立的学科，它们之间存在着深刻的联系，并且共同为其他科学领域提供了强大的数学工具。本书将通过一系列章节，将这两个领域的知识融会贯通，并展示它们在实际问题中的应用。 例如，许多看似复杂的实积分，可以通过引入复变函数并利用复分析中的留数定理来巧妙求解。反之，实分析中的一些概念和工具，如测度论，也为理解和发展更高级的复分析理论提供了基础。 本书的附录部分还将提供对微积分和线性代数中一些关键概念的复习和补充。虽然本书的重点在于复分析和实分析，但对这些基础知识的扎实掌握是理解和深入学习本书内容的必要前提。我们将简要回顾极限、连续性、导数、积分、向量、矩阵、线性方程组等核心概念，确保读者能够顺利过渡到更高级的数学分析。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 扎实掌握复数运算、复变函数及其解析性。 深入理解柯西积分定理、柯西积分公式和留数定理，并能熟练运用它们解决问题。 理解复分析在求解实积分、信号处理等领域的应用。 准确理解实数序列、级数、函数极限和连续性的严谨定义。 熟练运用微分和积分的各种工具分析函数性质。 初步接触勒贝格积分和一致收敛等现代实分析概念。 建立严谨的数学证明能力和分析解决问题的能力。 为进一步学习高等数学、理论物理、工程科学等领域打下坚实的基础。 本书适合数学专业本科生、研究生，以及对现代数学分析有浓厚兴趣的工程技术人员、研究学者和高级爱好者。我们力求以清晰的逻辑、严谨的论证和丰富的例证，带领读者一同领略现代数学的深邃与魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书真的让我眼前一亮，虽然我之前对数学分析类书籍总有一种“望而生畏”的感觉，但这本《包邮 复分析+实分析 普林斯顿分析译丛书 微积分和线性代数知识大全书籍伊莱亚斯M斯坦》却给我带来了前所未有的学习动力。开篇就深入浅出地介绍了复变函数的基本概念，那些看似抽象的柯西积分定理、留数定理，在作者的笔下变得生动形象，配合着丰富的例题和图示，我仿佛能看到数学的内在逻辑在眼前展开。实分析的部分同样精彩，从测度论的基础讲起，一步步构建起 Lebesgue 积分的理论框架，这对于我理解概率论和泛函分析都打下了坚实的基础。书中对许多经典问题的探讨，比如傅里叶级数的一致收敛性，都写得非常透彻，让我豁然开朗。而且，作者伊莱亚斯 M. 斯坦的叙述风格十分严谨又不失趣味，让人在阅读过程中丝毫不会感到枯燥。我尤其喜欢其中关于解析延拓的章节，它巧妙地将局部性质推广到全局，展现了数学的强大力量。这本书绝对是我数学学习道路上的一笔宝贵财富，强烈推荐给所有想要深入理解数学分析的同学们。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学有着浓厚的兴趣，尤其是那些能够展现数学之美的分支。这次偶然间看到了《包邮 复分析+实分析 普林斯顿分析译丛书 微积分和线性代数知识大全书籍伊莱亚斯M斯坦》这本书，简直就像发现了新大陆！作者伊莱亚斯 M. 斯坦的文字功底非常深厚，他能够将一些非常抽象的概念，描绘得如此生动形象，让我仿佛置身于数学的世界之中。复分析的部分，关于解析函数的性质，以及复积分的计算，都写得非常精彩。我尤其喜欢书中关于映射和几何的讨论，它让我在学习理论的同时，也能够领略到数学的几何美感。实分析的部分，从测度论到积分，再到函数空间，每一个环节都衔接得天衣无缝。这本书的逻辑性极强，读起来就像是在读一本精彩的故事书，引人入胜。对于任何热爱数学，渴望探索数学奥秘的朋友，这本书绝对是你不容错过的选择。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对“普林斯顿分析译丛”系列一直抱有很高的期待，而《包邮 复分析+实分析 普林斯顿分析译丛书 微积分和线性代数知识大全书籍伊莱亚斯M斯坦》这本书更是没有辜负我的期望。作者伊莱亚斯 M. 斯坦的功力可见一斑，他将复变函数和实变函数这两个庞大的学科体系，梳理得井井有条。复分析部分，从黎曼球面到复积分，再到共形映射，每一个概念的引入都逻辑严密，层层递进。我尤其喜欢他对解析函数的讨论，以及由此引申出的各种应用，比如在物理学和工程学中的体现。实分析部分，从集合论的基础出发，逐步深入到测度、可测函数和积分，整个过程清晰而流畅。书中关于函数空间和积分变换的介绍，更是让我看到了数学分析在更广泛领域的应用前景。这本书的深度和广度都令人惊叹，对于任何想要在数学领域有所建树的研究者来说，都是一本不可或缺的参考书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的印刷质量真的没话说，纸张和排版都很舒服，拿到手就感觉是一本“有分量”的书。内容方面，我之前一直觉得复分析和实分析是两个相对独立的领域，但这本书巧妙地将它们融合在一起，从微积分和线性代数的基础知识出发，逐步引向更深入的数学分析。作者伊莱亚斯 M. 斯坦的讲解方式非常细腻，他会充分考虑到读者的接受能力，每一个复杂的概念都会用最浅显易懂的方式来解释。我特别欣赏书中关于傅里叶分析的章节，它将复数和积分的概念完美结合，展现了数学的强大统一性。而且，书中还包含了很多有趣的习题，这些习题不仅能帮助我巩固知识，还能激发我的思考。这本书就像一座宝库，每一次翻阅都能发现新的惊喜。对于那些希望系统学习数学分析，并且对数学充满热情的朋友，我强烈推荐这本书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，简直就是为我这类数学“小白”量身定制的！以前学微积分和线性代数的时候，总感觉知识点零散，缺乏系统性，到了复分析和实分析更是抓瞎。但《包邮 复分析+实分析 普林斯顿分析译丛书 微积分和线性代数知识大全书籍伊莱亚斯M斯坦》这本书，就像一位经验丰富的向导，带领我一步步穿越数学的丛林。它不仅仅是知识的堆砌，更重要的是，它教会了我如何去思考，如何去证明。书中对每个定理的推导都详细到了极致，每一个细节都经过了周密的考量，让人不由自主地被这种严谨的逻辑所折服。我尤其喜欢其中关于调和函数和调和分析的介绍，它将几何直观与代数计算巧妙结合，让我对函数的性质有了更深刻的理解。而且，书中还穿插了许多历史上著名数学家解决问题的思路，这让我感觉不只是在学习知识，更是在与数学的伟大灵魂对话。对于那些对数学充满好奇，但又不知如何下手的朋友，这本书绝对是你的不二之选。