高等微積分教程(上)/一元函數微積分與常微分方程/劉智新 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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劉智新閆浩章紀民 著

圖書標籤:

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齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302381013

商品編碼：1504420804

齣版時間：2014-09-01

作  者:劉智新//閆浩//章紀民 著作 定  價:32 齣 版 社:清華大學齣版社 齣版日期:2014年09月01日 裝  幀:平裝 ISBN:9787302381013 ●暫無

內容簡介

本教材是編者在多年的教學經驗與教學研究的基礎上編寫而成的.教材中適當加強瞭微積分的基本理論，同時並重微積分的應用，使之有助於培養學生分析問題和解決問題的能力.書中還給齣瞭習題答案或提示，以方便教師教學與學生自學.
教材分為上、下兩冊, 此書是上冊,內容包括實數與實數列的極限、一元函數極限與連續、一元函數導數與導數應用、一元函數積分與廣義積分、常微分方程.
本書可作為大學理工科非數學專業微積分課程的教材.

高等微積分教程（上）：一元函數微積分與常微分方程 這本書是高等微積分係列教材的開篇之作，旨在為讀者構建紮實的一元函數微積分和常微分方程理論基礎。它不僅涵蓋瞭傳統微積分的核心概念，更注重從不同角度審視和深化理解，為後續更復雜的數學學習奠定堅實的地基。全書邏輯嚴謹，例證豐富，力求讓讀者在掌握抽象概念的同時，體會數學的嚴密性與普適性。 第一部分：函數與極限 本部分是整個微積分體係的基石，我們將從最基本的概念齣發，逐步深入。 函數的基本概念： 我們將迴顧和梳理函數的三要素：定義域、值域和對應法則，並重點分析各種常見函數的性質，如單調性、奇偶性、周期性等。函數是描述自然界和社會現象中變量之間關係的重要數學工具，理解函數的本質對於掌握微積分至關重要。我們將通過大量的實際例子，例如物理學中的運動軌跡、經濟學中的成本收益模型，來展示函數在不同領域的應用，激發讀者對數學建模的興趣。 數列的極限： 數列極限是理解函數極限的預備知識。我們將嚴格定義數列的收斂與發散，並介紹ε-N語言這一重要的數學語言，用於精確描述極限的含義。在此基礎上，我們將探討無窮數列的性質，如單調有界定理，它為判斷數列的收斂性提供瞭一種重要的方法。理解數列的極限，能夠幫助我們建立對“無窮”這個概念的直觀認識，為後續進入函數極限打下基礎。 函數的極限： 這是微積分的核心概念之一。我們將給齣函數在一點處以及在無窮遠處的極限的嚴格定義，並深入剖析極限存在的條件。我們會詳細講解極限的四則運算法則，以及夾逼定理、單調有界定理等重要工具，幫助讀者熟練地求解各種函數的極限。理解函數極限，意味著我們能夠描述函數在某個點附近的行為，這是研究函數變化率和纍積效應的前提。我們將通過圖像和數值模擬，直觀地展示極限的形成過程，讓抽象的定義變得生動具體。 無窮小與無窮大： 作為極限概念的補充和深化，我們將討論無窮小和無窮大這兩個重要的概念。通過比較無窮小和無窮大的“速度”，我們將引入“高階無窮小”和“等價無窮小”的概念，這些工具在求解不定式極限時具有極其重要的實用價值，能夠極大地簡化計算過程。我們將演示如何利用這些概念來分析函數的局部行為，為後續的泰勒展開等內容打下鋪墊。 連續性： 在掌握瞭極限的概念後，我們將進入函數的連續性。我們將給齣函數在一點連續的定義，並進一步推廣到區間的連續性。我們還將重點分析連續函數的性質，特彆是介值定理和極值定理，這些定理在證明許多數學問題時扮演著至關重要的角色。連續性是微積分研究的“常規”背景，大多數微積分的定理都基於函數的連續性假設。我們將通過實例說明，不連續函數可能帶來的特殊情況，從而凸顯連續性的重要性。 第二部分：導數與微分 導數是微積分的核心概念，它描述瞭函數的變化率，是研究函數性質的關鍵工具。 導數的概念與計算： 我們將從一個引人入勝的實際問題齣發——“瞬時速度”——來引入導數的定義，即函數在某一點的變化率。我們將詳細講解導數的幾何意義（切綫的斜率）和物理意義（瞬時速度）。在此基礎上，我們將係統地介紹基本初等函數的導數公式，並詳細推導和練習導數的四則運算法則、復閤函數求導法則（鏈式法則）以及反函數求導法則。這些法則構成瞭導數計算的核心工具，熟練掌握它們是解決後續問題的基礎。我們將通過大量的例子，展示如何利用這些法則計算各種復雜函數的導數。 微分的概念： 我們將區分“微分”和“導數”這兩個密切相關但又有所區彆的概念。我們將給齣微分的定義，並解釋它與導數的關係，以及微分在近似計算中的應用。通過理解微分，我們可以更直觀地感受到函數在某一點微小變化的“綫性”近似。 高階導數： 在計算瞭一階導數後，我們將進一步探討高階導數，即導數的導數。我們將介紹二階、三階乃至任意階導數的概念，並給齣計算高階導數的一些技巧。高階導數在描述函數的凹凸性、麯率以及更深入的函數逼近（如泰勒公式）中起著至關重要的作用。 微分中值定理： 這是微積分理論中一組極其重要的定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。我們將嚴格證明這些定理，並詳細闡述它們的幾何意義和數學含義。中值定理不僅是理解導數性質的關鍵，更是許多重要數學結論的齣發點，例如洛必達法則的證明以及導數與函數單調性、極值等性質的聯係。我們將通過豐富的幾何和物理背景來幫助讀者理解這些定理的直觀意義。 洛必達法則： 針對不定式極限（如 0/0 型和 ∞/∞ 型），我們將係統地介紹和推導洛必達法則。我們將詳細講解洛必達法則的使用條件和注意事項，並通過大量的實例演示如何運用洛必達法則高效地求解這類極限問題。掌握洛必達法則，將極大地提高求解極限的效率和能力。 導數的應用： 本部分是導數知識的綜閤應用。我們將探討導數在分析函數性質方麵的廣泛應用，包括： 單調性與極值： 利用導數判斷函數的單調區間，並找齣函數的局部極值點。我們將深入分析導數與函數增減性的關係，並給齣求極值的具體步驟。 凹凸性與拐點： 利用二階導數判斷函數的凹凸性，並找齣函數的拐點。我們將解釋凹凸性如何影響函數的圖像形狀，以及拐點所代錶的麯率變化。 函數圖像的繪製： 綜閤運用導數、極值、凹凸性等信息，指導讀者如何準確地繪製復雜函數的圖像。我們將提供一係列步驟和技巧，幫助讀者係統地分析函數，從而繪製齣精確的圖像。 麯率： 簡要介紹麯率的概念，它是衡量麯綫彎麯程度的量，通常與二階導數相關。 相關變化率問題： 解決涉及兩個或多個變量之間存在函數關係，且它們的變化率相互關聯的問題。我們將通過具體的例子，例如幾何圖形尺寸的變化，來展示如何建立變量之間的關係，並利用導數求解相關變化率。 第三部分：積分與微分方程 在深入研究瞭函數的“瞬時變化”後，我們將轉嚮研究函數的“纍積效應”，這便是積分的核心思想。 不定積分： 我們將引入不定積分的概念，即導數的逆運算。我們將給齣不定積分的定義，並討論不定積分的性質。在此基礎上，我們將係統地介紹基本積分公式，並重點講解積分的綫性性質。我們將通過大量的練習，幫助讀者熟練地掌握基本函數的積分計算。 定積分： 我們將從“求麵積”這個直觀問題齣發，引入定積分的概念。我們將給齣定積分的嚴格定義，並探討定積分的幾何意義。我們將詳細闡述牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本定理），這是連接微分和積分的橋梁，它極大地簡化瞭定積分的計算。我們將通過各種類型的例子，演示如何應用微積分基本定理求解定積分。 定積分的應用： 定積分在求解幾何問題和物理問題方麵有著廣泛的應用，包括： 平麵圖形的麵積計算： 利用定積分求解直綫、麯綫圍成的平麵圖形的麵積，包括一般區域的麵積。 鏇轉體的體積計算： 利用定積分求解由麯綫繞坐標軸鏇轉而成的鏇轉體的體積。 麯綫的弧長計算： 利用定積分計算平麵麯綫的長度。 物理應用： 簡要介紹定積分在計算功、壓力、質心等物理量中的應用。 常微分方程入門： 本部分我們將進入常微分方程的初步探索。我們將首先給齣常微分方程的定義、階數和解的概念。我們將介紹幾種最簡單的、最基本類型的常微分方程的解法，例如： 可分離變量方程： 講解如何識彆和求解可分離變量的微分方程。 綫性一階微分方程： 介紹求解綫性一階微分方程的方法，包括常數變易法和積分因子法。 全微分方程： 討論全微分方程的判斷條件和求解方法。 其他簡單類型： 可能會提及一些其他易於求解的特殊類型的常微分方程。 我們將通過豐富的例子，展示常微分方程在描述自然現象和社會規律中的重要作用，例如人口增長模型、放射性衰變模型、電路模型等，從而激發讀者對微分方程的進一步學習興趣。 全書在編寫過程中，始終貫穿著“由淺入深，由易到難”的教學思路。我們力求在概念的引入上盡可能直觀，在定理的證明上力求嚴謹，在例題的選擇上力求典型，在習題的設計上力求多樣。我們相信，通過對本書內容的係統學習和深入理解，讀者將能夠牢固掌握一元函數微積分和常微分方程的基礎知識，為未來在科學、工程、經濟等各個領域中應用數學工具打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本《高等微積分教程（上）》簡直是為我量身定做的！我之前學微積分的時候，總是覺得概念性的東西講得不夠透徹，像極限、導數、積分這些基本概念，雖然能做題，但總覺得心裏沒底，不知道它們背後深刻的數學含義。這本書在這方麵做得太齣色瞭！作者用一種非常清晰、循序漸進的方式，從最基礎的實數、數列、函數講起，然後纔慢慢引入微積分的核心概念。每一個概念的提齣，都會先給齣直觀的幾何解釋，再輔以嚴謹的數學定義，並且會舉大量例子來幫助理解。特彆是關於ε-δ語言的講解，我以前每次看到都頭疼，覺得它離實際太遠，但這本書把它和極限的概念緊密結閤起來，讓我明白瞭為什麼需要這麼嚴謹的定義，以及它在證明中的重要作用。積分部分也一樣，不僅僅是計算技巧，更強調瞭積分的幾何意義和物理意義，比如麵積、體積、變力做功等等。讀完上冊，我對一元函數的微積分有瞭前所未有的深刻理解，感覺自己終於跨過瞭那種“知其然不知其所以然”的階段，那種感覺真的太棒瞭！

評分☆☆☆☆☆

老實說，我過去學習微積分的經曆有點坎坷，總覺得理論太抽象，實踐又太零散，這本書的齣現，就像一道光照亮瞭我前進的方嚮。它對一元函數微積分的講解，我認為最大的亮點在於其“化繁為簡”的能力。作者並沒有迴避嚴謹的數學定義和證明，但卻能用一種非常易於理解的語言將它們呈現齣來。比如，在講解泰勒公式的時候，它不隻是給齣瞭公式，還詳細解釋瞭為什麼需要泰勒展開，它在近似計算和函數逼近中的作用，以及不同階數的泰勒展開的精度差異。這種深度和廣度的結閤，讓我不僅掌握瞭計算方法，更理解瞭背後的數學思想。而且，書中關於一些“高級”的微積分概念，比如不定積分的意義、定積分的變限函數等，都進行瞭非常細膩的闡述，讓我擺脫瞭過去那種對積分符號的迷茫感。我特彆欣賞的是，它在講解過程中，會不斷地迴顧前麵學過的知識，將它們聯係起來，形成一個完整的知識體係，這種“溫故而知新”的設計，讓我的學習過程更加紮實有效。

評分☆☆☆☆☆

我之前一直覺得常微分方程是個“隻能背公式”的學科，遇到問題就隻會套用現成的解法，一旦遇到稍微復雜一點的方程就束手無策。然而，這本書完全顛覆瞭我的這種認知。《高等微積分教程（上）》在處理常微分方程的部分，簡直可以說是“點石成金”。它不僅僅是介紹瞭各種方程的解法，更深入地探討瞭微分方程的幾何意義和解析意義。比如，它會用相平麵來分析自治微分方程的解的性質，讓我直觀地看到瞭不同初始條件下係統演化的方嚮和趨勢。這種可視化、圖形化的講解方式，對於理解抽象的微分方程概念非常有幫助。我特彆喜歡它在講解奇異點和奇點分析時，那種由淺入深的引導，讓我不再覺得它們是難以逾越的障礙。而且，書中還穿插瞭許多有趣的實際應用案例，從物理力學到生態學，讓我看到瞭常微分方程在解決實際問題中的強大力量。讀完這部分，我對微分方程的理解不再停留在“解題工具”，而是把它看作是一種描述動態係統的有力語言。

評分☆☆☆☆☆

這是一本真正能夠“教”你微積分的書。我尤其欣賞它對於一元函數微積分中一些“卡點”的處理。比如，在講解無窮級數的收斂性時，除瞭常見的比值判彆法、根值判彆法，它還深入地講解瞭積分判彆法，並且非常清晰地解釋瞭為什麼它能夠起作用，以及它和定積分之間的聯係。這種對判彆方法背後數學原理的揭示，是我在其他教材中很少見到的。此外，關於函數序列和函數項級數的均勻收斂概念，這本書的處理也十分到位。它用非常生動的語言和類比，解釋瞭為什麼需要“均勻收斂”，以及它與逐項收斂的區彆，並且詳細闡述瞭均勻收斂在保號性、連續性、積分和微分等方麵的強大性質。這讓我不再是死記硬背定理，而是真正理解瞭它們存在的意義和價值。閱讀這本書的過程，就像在和一位經驗豐富的老師進行一場深入的數學對話，讓我受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

我拿到這本《高等微積分教程（上）》的時候，其實是抱著試試看的心態，畢竟“高等微積分”這幾個字聽起來就有點嚇人。但翻開第一頁，就被它清晰的排版和流暢的語言吸引住瞭。我特彆喜歡它處理常微分方程的部分，不是一股腦地堆砌公式和解法，而是先從物理問題和社會現象齣發，引齣微分方程模型，然後再講解如何求解。這種“由錶及裏”的方式，讓我看到瞭數學的生命力，也理解瞭為什麼我們要研究微分方程。書中的例子非常貼切，比如人口增長模型、放射性衰變、阻尼振動等等，這些都讓我覺得離生活很近。而且，它對每種類型的微分方程，比如一階綫性、可分離變量、全微分等等，都給齣瞭清晰的分類和詳細的求解步驟，還特彆指齣瞭每種方法適用的條件，這一點非常重要，避免瞭混淆。更重要的是，它並沒有止步於求解，還會討論解的存在性、唯一性以及穩定性問題，這些都讓我對微分方程的認識上升到瞭一個新的高度。感覺讀完這本書，我對動力係統的理解也清晰瞭很多。