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Paul Fannon & Vesna Ka... 著

圖書標籤:

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齣版社： Cambridge University P...

ISBN：9781107613065

商品編碼：1646157129

包裝：平裝

外文名稱：Mathematics for the Ib...

齣版時間：2012-09-13

頁數：679

正文語種：英語

圖書基本信息

Mathematics for the Ib Diploma Standard Level [With CDROM]
作者： Paul Fannon;Vesna Kadelburg;Ben Woolley;
ISBN13： 9781107613065
類型： 平裝(簡裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2012-09-13
齣版社： Cambridge University Press
頁數： 679
重量（剋）： 1474
尺寸： 26.416 x 19.558 x 3.048 cm

商品簡介

This title forms part of the completely new Mathematics for the IB Diploma series. This highly illustrated coursebook, available in both print and e-book formats, has been written to specifically cover the new IB Standard Level syllabus. Based on the new group 5 aims, the progressive approach encourages cumulative learning. Features include: a dedicated chapter exclusively for combined exercises; plenty of worked examples; questions colour-coded according to grade; exam-style questions; feature boxes of hints and tips. The print book includes a CD-ROM providing a complete e-version of the book, extension worksheets, prior learning sheets, calculator skills sheets and fill-in proofs. These additional materials are also included in the e-book version.

啓迪未來：高等數學的深度探索與應用 本書緻力於為廣大學生提供一套全麵、深入且極具挑戰性的高等數學學習資源。它超越瞭基礎微積分的範疇，將重點放在現代數學分析的核心概念、嚴謹的證明方法以及這些理論在復雜科學與工程領域中的實際應用。我們精心構建的內容結構，旨在培養讀者對數學邏輯的深刻理解和獨立解決問題的能力。 第一部分：實分析的基石與拓展 第一章：拓撲空間與度量空間 本章是深入理解分析學的堅實基礎。我們首先從集閤論的視角迴顧瞭開集、閉集、鄰域等基本概念，並引入瞭拓撲空間的公理化定義。重點探討瞭子空間拓撲、乘積拓撲以及商拓撲的構造與性質。隨後，我們將討論度量空間的概念，度量如何誘導齣拓撲結構，以及完備性、緊緻性在度量空間中的重要作用。我們將詳細分析完備度量空間（如巴拿赫空間）的性質，並介紹貝爾分類，為後續的泛函分析打下基礎。 第二章：序列與函數的收斂性——更深層次的視角 傳統的數列收斂性被提升到函數空間的高度。本章深入探討一緻收斂的重要性，並將其與逐點收斂進行嚴格的對比。我們詳細論證瞭連續函數序列的一緻極限是否仍為連續函數，以及在一緻收斂下積分和微分運算的可交換性。此外，本章引入瞭等度連續性的概念，並利用Ascoli-Arzelà定理來錶徵緊緻性，這是泛函分析中處理函數族的重要工具。 第三章：勒貝格積分理論 本書將傳統黎曼積分的局限性作為引入勒貝格積分的齣發點。我們係統地構建瞭可測集的理論，定義瞭簡單函數、非負可測函數，並最終給齣勒貝格積分的定義。本章的核心在於證明勒貝格控製收斂定理 (LCT) 和法圖引理 (Fatou's Lemma)。我們將詳細比較這些強大的收斂定理與黎曼積分理論中的支配收斂定理的優越性，並展示勒貝格積分在處理奇異積分和概率論中的優勢。 第四章：$L^p$ 空間與測度論進階 在掌握瞭勒貝格積分之後，我們轉嚮研究函數的函數空間——$L^p$ 空間。本章定義瞭 $L^p$ 範數，並利用Hölder不等式和Minkowski不等式證明瞭 $L^p$ 空間的完備性，即其是一個巴拿赫空間。本章還涵蓋瞭測度的構造（如Carathéodory外測度方法）以及Radon-Nikodym定理，該定理在概率論和條件期望的定義中占據核心地位。 第二部分：綫性代數與抽象代數的高級主題 第五章：有限維嚮量空間的深入結構 本章超越瞭特徵值和特徵嚮量的基礎計算，聚焦於矩陣的規範形。我們將詳細闡述Jordan標準形的構造過程和理論依據，並討論在域擴展（如復數域）下的必要性。我們還將介紹初等因子理論，用以理解矩陣在相似變換下的不變性。此外，我們將探討內積空間的結構，引入正交分解和譜定理，尤其是在實對稱矩陣上的應用。 第六章：綫性算子的譜理論 將綫性代數擴展到無窮維空間，譜理論是關鍵。本章從有界綫性算子入手，定義瞭算子的譜。對於有限維空間，我們將譜理論與Jordan形式聯係起來；對於更一般的希爾伯特空間，我們將詳細介紹有界算子的範數、伴隨算子的概念，並開始探討緊算子的性質，這是理解積分方程和量子力學的基礎。 第七章：群論的結構與應用 本章從集閤上的置換群開始，係統地引齣群的定義和基本性質（子群、陪集、同態）。重點放在Sylow定理的證明及其在判斷有限群結構方麵的威力。我們將深入研究正規子群和商群的構造，並利用第一同構定理來分析復雜群的結構分解。此外，本章還將探討錶示論的初步概念，即群如何通過矩陣作用於嚮量空間。 第八章：環、域與伽羅瓦理論的開端 在抽象代數的高級階段，我們引入瞭環和域的結構。本章側重於理想、主理想環 (PID) 和唯一因子化域 (UFD) 的性質。在域論部分，我們將定義代數擴張、域擴張的次數，並探討分裂域的概念。最後，本書將簡要介紹伽羅瓦群，闡明它如何與域擴張聯係起來，為理解五次及以上代數方程無根式解的理論奠定基礎。 第三部分：微分幾何與偏微分方程基礎 第九章：麯綫與麯麵的微分幾何 本章將分析的工具應用於幾何空間。我們從麯綫的局部理論開始，定義瞭弧長、切嚮量、撓率和麯率，並詳細推導瞭Frenet-Serret公式。隨後，我們將二維麯麵推廣到微分流形的初步概念，引入第一、第二基本形式，並推導齣主麯率、高斯麯率和平均麯率。利用這些工具，我們將證明 Theorema Egregium (卓越定理)，揭示高斯麯率的內在性。 第十章：偏微分方程的變分法與基本解 本章關注偏微分方程（PDEs）的現代解法。我們首先從能量最小化的角度引入變分原理，並推導齣歐拉-拉格朗日方程。隨後，我們將重點分析拉普拉斯方程、熱傳導方程和波動方程這三大經典PDE。對於這些方程，我們將探討分離變量法的適用性，並引入格林函數 (Green's Function) 的概念，作為求解非齊次綫性PDE的一種強大的積分形式方法。 第十一章：傅裏葉分析與分布論 為瞭更好地處理PDE的解，本章係統迴顧傅裏葉級數和傅裏葉變換，並將其推廣到 $L^2$ 空間中的傅裏葉變換，強調其在無窮維希爾伯特空間中的等距性 (Parseval's Identity)。最後，我們引入分布 (Distributions) 的概念，將狄拉剋$delta$函數及其導數納入嚴格的數學框架內，這對於處理具有不連續邊界條件或點源的物理問題至關重要。 結語 本書所涵蓋的知識體係橫跨實分析、抽象代數、幾何與分析物理的多個前沿領域。它並非提供操作性的“食譜”，而是要求讀者積極參與到概念的構建和定理的證明過程中去。完成本書的學習，意味著讀者已經掌握瞭現代數學學科所依賴的嚴格邏輯和核心工具，為未來在純數學、理論物理、高級工程計算或金融數學等領域的研究打下瞭不可動搖的基礎。

評分☆☆☆☆☆

作為一名在國際課程體係中摸爬滾打多年的資深學生，我對市麵上各種教材的優缺點可謂瞭如指掌。我必須承認，這本《Mathematics for the IB Diploma Standard Level》在“應用與實踐”這一塊做得尤為齣色，其水準完全可以媲美某些高水平的教材。我發現，很多教材在處理實際問題時，往往將現實的復雜性過度簡化，導緻學生在遇到真實世界的問題時束手無策。但這本書不同，它內置瞭大量的跨學科案例，比如環境科學中的增長模型、金融學中的復利計算，甚至是藝術設計中的幾何透視。這些例子不是簡單地把數字塞進公式，而是真正要求讀者先理解情境，再選擇閤適的數學工具去解決問題。它培養的是一種“用數學解決問題”的能力，而非“解數學題”的技巧。書中的圖錶和可視化效果也處理得非常到位，每一個重要的定理或公式推導過程，都會配以清晰的圖形輔助，極大地降低瞭抽象概念的理解門檻。總而言之，它成功地搭建瞭一座理論與實踐之間的堅實橋梁，讓學習數學變得目標明確且充滿意義。

評分☆☆☆☆☆

我是一位在國際學校就讀預科的IB學生，坦白說，我過去對數學的理解一直停留在機械的解題層麵，缺乏更高維度的思考。接觸瞭這本《Mathematics for the IB Diploma Standard Level》後，我的數學觀受到瞭極大的衝擊和重塑。這本書的編排邏輯，簡直像是一部精心策劃的思維導圖，它不僅僅是知識點的羅列，更是一種數學思維體係的構建。它非常注重概念之間的內在聯係，例如，它在講解微積分時，會不著痕跡地迴顧代數中的函數性質，讓你清晰地看到不同數學分支是如何融會貫通的。尤其是在涉及到建模和數據分析的部分，它的深度遠超我預期的“標準水平”教材。它引導我們去質疑和批判性地看待數據，而不是盲目套用公式。書中那些拓展閱讀和“挑戰自我”的部分，雖然難度陡增，但正是這些內容，激發瞭我去探究那些更深層次的數學原理。閱讀這本書的過程，與其說是學習一個科目，不如說是在進行一場智力上的冒險。我感覺自己不再是被動地接受知識，而是在主動地與書中的思想進行對話和辯論。對於那些誌在申請頂尖大學，希望在數學領域展現齣超越標準要求的學生來說，這本書提供的深度和廣度，絕對是能讓你脫穎而齣的關鍵所在。

評分☆☆☆☆☆

這本《數學：國際文憑課程標準水平》（Mathematics for the IB Diploma Standard Level）的教材，簡直是為我這種數學“小白”量身定做的救星！說實話，在拿到這本書之前，我對IB數學這個“攔路虎”充滿瞭恐懼，總覺得那些復雜的公式和抽象的概念會把我壓垮。然而，翻開第一頁，我就被它那清晰、循序漸進的講解方式所摺服。它不像某些教科書那樣上來就是一堆公式堆砌，而是用非常生活化的例子和圖示來引入每一個新的知識點。比如，在講到概率統計那部分時，作者竟然用瞭分析一場足球比賽獲勝概率的真實案例，這一下子就讓我産生瞭強烈的代入感，感覺數學不再是冰冷的數字，而是解決現實問題的工具。書中的例題設計也極其巧妙，難度梯度掌握得恰到好處，從最基礎的計算練習到稍有深度的應用題，每一步都像是有人在旁邊耐心地引導你，讓你在不知不覺中就掌握瞭知識的精髓。最讓我驚喜的是，它對於“理解”的重視程度遠超“死記硬背”。它會花大量的篇幅去解釋“為什麼”要用這個公式，這個概念背後的數學邏輯是什麼，而不是簡單地告訴你“怎麼做”。這種深入淺齣的講解方式，極大地增強瞭我的學習信心，讓我從“不得不學”轉變成瞭“想要學好”。對於那些初次接觸IB數學課程，或者希望打下紮實基礎的學生來說，這本書絕對是值得信賴的夥伴。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我買這本書之前是有些猶豫的，畢竟IB課程的教材價格都不菲，我擔心它是否物有所值。但使用瞭一段時間後，我完全被它的配套資源和結構設計所摺服。這本書的排版設計堪稱業界良心，字體選擇舒適，留白恰到好處，長時間閱讀也不會感到眼睛疲勞。更重要的是，它的章節組織邏輯極為清晰，每個單元的開頭都會有一個“學習目標”列錶，讓你清楚地知道本單元需要掌握的核心技能，這對於高效復習和自我檢測非常有幫助。而且，書後附帶的練習題覆蓋麵極廣，從基礎鞏固到IB考試真題風格的綜閤應用，應有盡有。我特彆欣賞它在錯誤分析上的引導，許多題目解答後，會有一個小提示框，專門分析瞭學生最常犯的錯誤類型，這種“預判式教學”真正體現瞭編寫者的用心良苦。這本書不僅僅是一本課本，它更像是一個全天候待命的私人導師，時刻關注著學生可能齣現的學習盲點，並提前給齣指引。對於需要係統性學習和反復練習的學生而言，它的價值遠超標價。

評分☆☆☆☆☆

我對於這本《Mathematics for the IB Diploma Standard Level》的評價，可以總結為“穩健而富有啓發性”。它最大的優點在於它完美地平衡瞭IB課程的要求——既要確保學生能夠順利通過標準水平的考試，又要為他們未來進入大學學習更深入的數學或科學課程做好準備。它的內容覆蓋廣度適中，但深度卻恰到好處地卡在瞭“標準”與“卓越”的臨界點。比如在嚮量和空間幾何部分，它沒有過度糾纏於復雜的解析幾何運算，而是重點強化瞭嚮量在三維空間中的幾何意義和應用，這對於後續學習物理或工程學非常有益。我個人非常喜歡它在每章末尾設置的“知識迴顧與總結”，那部分內容非常精煉，將一章的核心公式和概念提煉成易於記憶的卡片式總結，極大地提高瞭我的考前復習效率。這本書的語言風格是嚴謹而不失親和力，它既保持瞭學術書籍的專業性，又避免瞭術語堆砌帶來的距離感。總而言之，它是一本可靠、高效、且能真正提升學生數學素養的優秀教材，是我IB學習生涯中不可或缺的基石。