高中數學競賽課程講座 初等代數 浙江大學齣版社 奧數奧賽培優教材 詳細講解基本概念基本 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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圖書標籤:

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齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308118514

商品編碼：25893903012

叢書名： 高中數學競賽課程講座 初等代數

開本：16開

齣版時間：2013-08-01

 

基本信息

書名:初等代數(高中數學競賽課程講座)

：48.00元

齣版社：浙江大學齣版社

齣版日期：2013年9月1日

ISBN：9787308118514

字數：525 000

頁碼：409

版次：第1版

裝幀：平裝

開本：16

 

編輯推薦

按照高中數學競賽大綱要求，詳細講解瞭初等代數的基本概念、基本知識和基本的解題方法、解題技能，旨在提高學生的解決問題和分析問題的能力。

內容提要

中等數學編輯部主編的《初等代數(高中數學競賽課程講座)》收集瞭近十年來發錶在《中等數學》雜誌上初等代數的文章。內容包括集閤、函數、數列、三角、不等式、排列組閤等，按照高中數學競賽大綱要求，詳細講解瞭初等代數的基本概念、基本知識和基本的解題方法、解題技能，旨在提高學生的解決問題和分析問題的能力。

目錄

一、集閤
數學競賽中的集閤問題
二、函數及性質
(一)運用函數單調性解競賽題
(二)用單調函數一個性質解競賽題
(三)與二次函數性質有關的競賽題
(四)抽象函數問題的解法
三、值問題
(一)求雙層復閤值的解題策略
(二)復閤值問題的解法
(三)集閤中元素個數的值問題
(四)多元函數值問題解法舉例
(五)整值問題
(六)數學競賽中的條件值問題
(七)解分式值問題的代換策略
(八)輪換對稱式值求法
(九)多元對稱式逆嚮值求法
(十)多元對稱式“非常規值”的探討
四、不動點原理
用不動點法解函數、數列等相關問題
五、數列及應用
(一)分組數列及其應用
(二)數列的凸性及其應用
六、遞推數列
(一)從構造數列遞推計算到牛頓等冪和公式
(二)遞推方法
(三)含無理遞推式的數列問題化歸策略
(四)求含無理遞推式數列通項的換元技巧
(五)非綫性遞歸數列化歸為綫性遞歸數列的常見技巧
(六)構造輔助數列用遞推法(式)解題
七、數列與不等式
(一)用加強命題法證明數列不等式
(二)利用分拆與閤項證明數列不等式問題
八、三角函數及應用
(一)用三角代換解代數問題
(二)用三角代換解競賽題
(三)三角形中的不等關係
(四)利用三角函數證明平麵幾何題
九、不等式解法
(一)分式不等式的解題策略
(二)含值競賽題的求解策略
(三)含有參數的不等式問題
(四)數學競賽中的解不等式問題
十、不等式證明方法
(一)巧引參數證明不等式
(二)用∞/∑/k=0a1qk=a1/1-q (︱q︱<1)解一類競賽題
(三)解法是怎樣找到的
(四)數學奧林匹剋中的不等式問題
(五)用換元法證明不等式
(六)巧用齊次化與非齊次化的思想解不等式賽題
(七)構造配對式證明不等式
(八)應用阿貝爾變換解競賽題
(九)用函數的凸凹性證明不等式
(十)一類分式不等式的一種統一證法
(十一)一些不等式賽題的證明方法
十一、不等式特殊證法
(一)競賽中不等式證明的一些典型方法
(二)用導數限定法證明不等式
(三)利用切綫方程證明不等式
(四)兩種拆分方法在解不等式問題中的應用
十二、條件不等式證法
(一)例談含“abc=1”的條件不等式的證明
(二)條件為ab+bc+ca=l的一類不等式的證明
十三、重要不等式應用
(一)嵌入不等式——數學競賽命題的一個寶藏
(二)從幾何角度證明代數不等式
(三)用schur分拆方法證明不等式競賽題
(四)幾個重要不等式與不等式的證明
(五)柯西不等式的證明與應用
(六)應用切比雪夫不等式解題
十四、復數與多項式
(一)復數域上的方程
(二)應用一元三次方程韋達定理解題
(三)淺談應用多項式的拉格朗日插值公式解題
十五、構造法
(一)構造法在解數學競賽題中的運用
(二)構造函數解題
十六、局部調整與反證法
(一)解數學競賽題的局部調整策略
(二)解題方法的進退與互化
(三)反證法中的“特殊化”
(四)反證法在數學競賽中的應用

 

好的，這是為您量身定製的、不包含您所提供圖書內容的圖書簡介，旨在詳細介紹一本聚焦於高中數學競賽中初等代數領域的其他優秀教材的特點。 --- 專題突破：高中數學競賽精選——初等代數專題解析與高階思維訓練 本書導語： 數學競賽，尤其是高中階段的奧林匹剋競賽，是檢驗學生數學素養、邏輯推理能力和創新思維的絕佳平颱。在眾多競賽模塊中，初等代數以其深厚的理論基礎和靈活的解題技巧，成為區分高水平選手的關鍵領域。本書並非對基礎概念的全麵梳理，而是立足於現有紮實基礎之上，直擊競賽的“痛點”與“難點”，旨在為有誌於衝擊省級乃至國傢級數學競賽的學生提供一套係統、深入、富有挑戰性的進階學習方案。我們假定讀者已對高中數學的常規知識點（如函數、三角、數列基礎）有清晰的認知，本書將重點聚焦於那些在競賽中反復齣現、對思維深度要求極高的初等代數分支。 核心內容與結構： 本書圍繞“精深、實用、高效”的原則設計內容體係，共劃分為八大核心專題，每一個專題都包含瞭理論的提煉、典型例題的深度剖析以及大量變式訓練。 第一部分：數論的代數化應用與整除性原理的深入挖掘 本部分將超越小學和初中階段對整除性的初步認識，深入探討丟番圖方程在初等代數競賽中的應用模型。我們將詳細分析如何利用模運算（Modular Arithmetic）的性質來判斷方程的解的存在性，尤其關注二次同餘在求解特定類型丟番圖方程時的威力。內容涵蓋費馬小定理（Fermat's Little Theorem）和歐拉定理（Euler's Totient Theorem）的實際應用，並輔以大量涉及最大公約數與最小公倍數的高級性質，如貝祖等式（Bézout's Identity）在不定方程組中的巧妙轉化。重點解析如“求滿足特定條件的最小正整數解”這類構造性問題。 第二部分：代數式變形的藝術——不等式理論的高級運用 不等式是初等代數競賽的靈魂之一。本書不著重於基本不等式（AM-GM, Cauchy-Schwarz）的證明，而是將其作為工具，著重講解柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）在多維空間和非標準形式下的構造性應用。我們將詳細闡述魏登霍費爾不等式（Wierdstad-Hoeffding Inequality）的初等形式及其在涉及對稱式或輪換式中的應用。此外，針對柯西-施瓦茨不等式在代數錶達式極值問題中的“黑箱”應用技巧，提供反嚮推導和邊界條件分析的方法論。尤其深入探討 Schur 不等式的三階、四階形式及其在證明根式或分數錶達式有界性時的爆發力。 第三部分：多項式方程與代數基礎理論的融閤 本章著重於代數方程的根與係數的關係（Vieta's Formulas）在競賽中的深度擴展。我們將解析如何利用 Vieta 定理構造反嚮證明或設計特殊輔助多項式來簡化復雜方程組。深入研究多項式的有理根定理、根的分布性，以及如何運用函數的單調性來確定高次多項式的實根個數。特彆關注對偶多項式（Reciprocal Polynomials）的性質及其在求解特定對稱方程中的快速解法。此外，本書將引入卡爾達諾公式的初等代數思想啓示，用於分析三次方程的根的性質，而非直接求解。 第四部分：函數方程的係統性解法與不動點分析 對於函數方程，本書提供一套結構化的解題框架，區彆於傳統的“試值法”。我們係統梳理柯西函數方程在有界性、連續性約束下的唯一解。重點講解迭代法與不動點的概念，如何通過構造函數序列來判斷解的收斂性或確定特定形式函數方程的解。內容包括如何利用函數的奇偶性、周期性和單調性來剝離未知項，並詳細解析如何將三角函數或指數函數融入代數函數方程的求解過程。 第五部分：初等代數中的組閤思想——鴿籠原理與容斥原理的代數載體 雖然組閤數學是一個獨立領域，但初等代數中常常藉用其思想來處理整數問題。本部分聚焦於如何將鴿籠原理（Pigeonhole Principle）應用於證明關於整數序列或多項式取值的存在性。例如，證明存在無窮多組滿足特定條件的整數對。同時，詳細解析容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）在處理“至少”或“沒有”型代數約束問題時的精確建模過程。 第六部分：數域擴張與二次互反律的啓示 本部分將觸及初等代數嚮更深層次代數結構過渡的邊緣。我們將探討有理數域上的二次域擴張對簡單代數式求根的影響，重點介紹二次互反律的初等思想在判斷特定方程是否有整數解時的啓發作用。雖然不深入環論，但會解析如何通過“平方剩餘”的概念來快速排除無解情況。 第七部分：代數錶達式的構造性證明與反演技巧 本章專注於競賽中常見的“證明某錶達式為完全平方數”或“某分數可以化簡”這類問題。我們將重點教授配方法的高級應用，特彆是拉格朗日四平方和定理在代數錶達式分解中的直覺引導。同時，深入講解萬能代換法（如三角代換、指數代換）在處理復雜根式錶達式或含有絕對值的代數式時的流程化處理。 第八部分：曆年經典競賽真題精選與解題策略 本書最後一部分精選瞭近十年全國及國際知名數學競賽中涉及初等代數的壓軸題，並提供“多角度解析”：一個從最常規方法入手，一個從競賽思維（如對稱性、特殊值法）入手，力求讓讀者理解解題路徑的構建過程，而非僅僅記憶結論。 本書特色總結： 麵嚮高階： 摒棄基礎概念重復講解，直擊奧賽核心考點。 思維導嚮： 強調解題思路的邏輯鏈條構建，而非繁瑣的計算。 專題深入： 針對數論、不等式、多項式等核心闆塊進行飽和式訓練。 本書是為那些已經掌握瞭高中代數基礎，渴望在數學競賽中取得突破的勤奮學子量身定製的進階“武器庫”。 ---

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和裝幀，雖然不如一些商業暢銷書那樣追求視覺衝擊力，但它散發著一種經久耐看的質感。大量的數學符號、公式推導過程被清晰地組織在版麵上，很少齣現因為排版混亂而導緻閱讀卡頓的情況。特彆是它對於例題和習題的選取，非常有針對性。它似乎深諳奧賽命題的“套路”，總能巧妙地將看似不相關的知識點串聯起來，形成一個完整的考察體係。舉例來說，某個關於函數奇偶性的章節後麵，緊接著的習題就可能涉及到數列求和與積分的初步思想的結閤，這種跨領域的融閤性訓練，是普通教科書難以企及的。通過這本書的訓練，我發現自己處理綜閤性試題時的信心倍增，因為它教會瞭我如何在混亂中尋找秩序，如何在看似無解的難題中識彆齣隱藏的代數結構。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計挺有意思的，簡約而不失專業感，那種略帶復古的字體搭配深色背景，讓人一眼就能感受到它蘊含的學術氣息。我當初選擇它，很大程度上是被“初等代數”這幾個字吸引的，畢竟在高中階段，代數的基礎紮實與否，直接決定瞭你在後期麵對復雜問題時的應變能力。我印象最深的是它對那些看似基礎卻極易被忽略的定理的剖析，比如數係擴充的邏輯推導，作者沒有直接丟齣結論，而是用瞭大量的篇幅來構建前置知識體係，仿佛在帶領讀者重新經曆數學傢的思考過程。這種“追本溯源”式的講解，對於那些習慣瞭死記硬背公式的學生來說，絕對是一種顛覆性的體驗。它不會告訴你“這樣做”就對瞭，而是會告訴你“為什麼”要這樣做，這種深層次的理解，是刷再多題也無法獲得的。特彆是對於競賽層次的數學，對概念的精確掌握和靈活運用纔是王道，這本書在這方麵做得尤為齣色，它就像一位耐心且嚴謹的引路人，確保你每一步都走得踏實。

評分☆☆☆☆☆

說實話，這本書的深度對於普通高一學生來說，可能需要一些適應期。我剛開始翻閱時，感覺就像是直接跳到瞭大學數學預備課程的某個章節。它對一些高級技巧的引入非常自然，毫不拖泥帶水，比如對多項式根的性質分析，它直接引用瞭伽羅瓦理論中的一些初步思想進行滲透，雖然沒有深入，但足以讓有心人感受到數學美學的宏大。我欣賞它敢於挑戰讀者的知識儲備，而不是一味地迎閤“快餐式”學習的潮流。這種“嚴謹到近乎苛刻”的寫作態度，反而培養瞭一種非常寶貴的學習習慣：遇到不明白的地方，必須停下來，迴溯前置概念，直到完全理解為止。這種自我修正和深度探究的過程，遠比單純地記住一堆公式有效得多，它讓“會做”變成瞭“真懂”。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，這本書的閱讀體驗是相當硬核的，它不像市麵上很多教輔資料那樣，用花哨的圖錶和簡化到近乎膚淺的語言來迎閤讀者。恰恰相反，它保持瞭一種非常純粹的學術風格，對每一個數學定義和命題的闡述都力求滴水不漏，邏輯鏈條緊密得讓人幾乎找不到可以跳躍思考的空間。對於那種渴望深入挖掘數學本質的“學霸”型讀者而言，這簡直是寶藏。我記得有一次我被一道關於不等式選講的題目卡住瞭，翻遍瞭手頭的其他資料都不得要領，最後偶然翻到這本書中關於“基本不等式”的拓展章節，作者竟然從排序不等式和柯西-施瓦茨不等式的角度進行瞭多維度的探討，瞬間打通瞭我思路中的所有堵塞點。這種層層遞進、不斷拓寬視野的敘事方式，極大地提高瞭我的數學思維的深度和廣度，它不是在教你解題技巧，而是在雕刻你的數學直覺。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的最大收獲，是它重塑瞭我對“基礎”二字的理解。過去，我以為基礎就是課本上的那些基礎公式和定理。但讀完這本書後，我纔明白，真正的基礎是隱藏在這些公式背後的原理和證明邏輯。它沒有浪費篇幅在那些已經被無數資料重復過的簡單練習上，而是將重點放在瞭“變式”和“深化”上。比如，它對“因式分解”這一看似簡單的操作，探討瞭從復數域到更高維度的推廣可能性，這種廣闊的視野，極大地拓寬瞭我對代數工具箱的認識。這本書更像是一本工具書和一本哲學思考錄的結閤體，它不僅僅傳授知識，更是在培養一種麵對未知數學問題的內在勇氣和探索精神，它要求讀者以一種近乎數學傢的嚴密和浪漫去對待每一條公式的誕生。