具體描述
基本信息
書名:不等式探秘
定價：28.0元
售價：21.8元
作者:彭翕成
齣版社：湖南科技齣版社
齣版日期：2015-11-01
ISBN：9787535786715
字數：
版次：1
裝幀：平裝
開本：32開
編輯推薦
● 叢書主編 張景中院士
一、用科普的筆法來寫，語言讀來風趣幽默；
二、聯係生活，用大量生活案例來類比不等式的種種性質；
三、數形結閤，注重幾何直觀；
四、注重解題思路與方法的滲透，強調啓發性；
五、重視基礎性和通性通法，淡化特殊技巧。
內容提要
本書分為兩部分，部分共14章，介紹瞭十餘個中學生所熟悉的不等式，每個不等式基本上都按“課堂掠影”“精彩故事”“不等式介紹”“趣味案例”“案例分析”“不等式證明”“不等式應用”“思維點撥”八個模塊展開，力圖使讀者對每個不等式都有較為全麵係統的認識。第二部分收錄瞭7篇文章，有理論闡述，亦有案例分析，力求講清不等式證明中的一些基本問題和基本處理方法，現身說法揭秘一些不等式的證明過程。
本書注重基礎，趣味性強，同時深入數學本質。除瞭收集整理一些不等式的試題和趣味案例外，更多的是作者原創。作者站在教師的角度，思考如何給彆人講授，以期不等式初學者盡快入門，適閤高中以上文化程度的學生、教師、不等式愛好者參考使用。
目錄
作者介紹
彭翕成，工作於華中師範大學。多次參與國傢重大課題的研究並獲奬；參與編寫湘教版數學教材、《十萬個為什麼》等。
曾在《數學通訊》、《中學數學》、《中學生數理化》、《新高考》、《科技導報》等刊物開設專欄，其中被《中學數學》評價為“數學教育領域年輕一輩的代錶性人物”。著作十餘部，主要有《數學哲學》、《繞來繞去的嚮量法》、《仁者無敵麵積法》、《動態幾何教程》、《數學教育技術》、《課本上學不到的數學》、《師從張景中》、《嚮量、復數與質點》等。
熱衷於數學科普寫作，由淺入深，娓娓道來，又能平中見奇，展現給人新的視角，其博文在網絡上影響甚大，讀者眾多。
楊春波、程漢波，華中師範大學2009級本科畢業生，現分彆工作於鄭州外國語學校和廣州市第二中學。主要研究方嚮有數學解題，數學教育等，近年來在《中等數學》、《數學通訊》、《數學教學》、《中學數學教學參考》等刊物上獨立或閤作發錶論文30餘篇，並擁有自己的數學“美麗背後的火熱思考”
文摘
【課堂掠影】
叮鈴鈴——
一陣上課鈴聲響過，隻見數學彭老師健步走進教室，不緊不慢地在黑闆上寫下這樣的兩個分數：
和 。
彭老師笑著對大傢說：不用計算器，誰能比比這兩個數誰大誰小？
彭老師那略帶挑戰性的口吻一下子激起瞭同學們的興趣，大傢都拿起瞭筆，開始在紙上寫寫算算。
但觀其錶象，就知不易。用作差法稍稍一試就等價於判斷下麵這個式子的符號：
，
這可都是十億之多的數字相乘，該怎麼比較它們的大小呢？用計算器也不一定算得齣啊！
同學們銳氣大減，一個個眉頭緊鎖，不知如何是好。
彭老師見狀，說：大傢看到一個問題時，先不要著急動手，而要看看、瞧瞧，仔細把題目打量一番，這叫觀察，是解題的步；那我們看看這兩個分數在形式上有什麼特徵或者是有什麼聯係呢？
經彭老師這麼一啓發，大傢就炸開瞭鍋，開始暢所欲言瞭。
“個分數的分子和分母的各位數字是連續的，第二個分數的分子和分母開始時也是連續的。”
“這兩個數都是真分數！”
“個分數的分子比第二個分數的分子大，分母也比第二個分數的大！”
“不僅比第二個分數的大，個分數的分子、分母還分彆等於第二個分數的分子、分母都加1。”
……
對於學生們的迴答，彭老師都點頭錶示贊許。
“好，我們來總結一下。”彭老師一開口，教室裏立刻安靜瞭下來。大傢都目不轉睛地盯著彭老師，要瞧瞧彭老師怎麼揭開這道題的神秘麵紗。
“如果我們記 ， ，並且約定 ， ，那麼 和 的大小關係是——”
“ ！”
“ 和 可以用 ， 錶示嗎？”
“可以！ ， 。”同學們幾乎是異口同聲。
“那麼 和 誰大誰小？”
同學們恍然大悟，又開始奮筆疾書瞭。
不一會兒，就聽到好多同學那興奮的呼喊—— 大！ 大！
“誰來說說這是為什麼呢？”
“我來，我來”，一位男生搶著站瞭起來，“老師，作差就可以瞭， 通分整理得到的後結果是 ，因為 ，所以這個式子是正的，則 ”。
“很好！請坐。趁熱打鐵，利用剛纔的思路，大傢能快速比較齣 與 的大小嗎？”
這兩個分數真像是一對孿生兄弟，分子分母全是1，並且在 的分子、分母上分彆“加”1就是 瞭！但該怎麼用數學語言來錶達呢？
學生的思維是廣闊的，過瞭一會兒，這道小題也被同學們識破瞭：
。
“太妙瞭！通過這兩個例子，大傢有什麼收獲？”
“遇題先觀察，不要盲目地去計算。”
“那遇事呢？”
【精彩故事】
男孩喜歡上瞭女孩。
他嚮她錶白，女孩的爸媽不同意。
原因很簡單：女孩比男孩整整大一歲。
一天，男孩、女孩約好時間和地點，兩人偷偷見麵瞭。
女孩點瞭一杯咖啡，嘗瞭嘗說：“這咖啡太苦瞭。人們都說愛情是甜美的，我怎麼品嘗不齣愛的滋味。”
男孩說：“彆著急，加點糖試試吧！”
女孩問：“為什麼加糖會變甜呢？”
男孩沉默不語。
男孩喊來服務員，又點瞭一杯咖啡，並叮囑多放點糖。
咖啡端來瞭，男孩往女孩的杯子裏倒瞭一些，搖瞭搖，讓女孩再嘗嘗。
“還苦嗎？”男孩問。
“現在好多瞭！”女孩說著露齣瞭一絲微笑。
男孩望著女孩，深情地說：“我1個月大時，你13個月，你是我的13倍；我2個月大時，你14個月，你是我的7倍；我1歲大時，你2歲，你是我的兩倍。隻要你願意和我永遠在一起，我們總在慢慢接近……”
女孩感動得熱淚盈眶，兩人的手緊緊地握在瞭一起。
多麼可愛的男孩，不僅懂愛情，還懂數學。男孩和女孩的故事讀來讓人不禁潸然淚下。下麵還是對男孩的“錶白”做一簡要分析：設男孩的年齡為 （這裏我們以月為單位），女孩的年齡為 ，則 。當 時， ， ；一個月後， 與 都增加瞭1， ， ，則 ；又過瞭十個月， 與 又增加瞭10， ， ，則 。於是 ，即隨著歲月的推移， 會越來越小，也即男孩與女孩的年齡在不斷地接近。
仔細品味男孩的後一句話，發現這其中還蘊含著極限的思想：不論開始的時候 比 大多少，隻要你願意和我在一起，那麼經過足夠長的時間，我們的年齡差，相比於我們一起走過的風風雨雨，又算得瞭什麼呢？終會變得微乎其微，可以忽略不計，用數學的語言說來就是 。
那為什會有 ，這其中的數學原理又是什麼呢？
今天給大傢介紹的主角——“糖水不等式”終於要登場瞭。
【不等式介紹】
剋糖水中有 剋糖（ ），則糖的質量與糖水質量的比為 。若再添加 剋糖（ ），則糖的質量與糖水質量的比為 。生活常識告訴我們：添加的糖完全溶解之後，糖水會變甜，則 。於是提煉齣一個不等式：
若 ， ，則 ，（1）
這便是“糖水不等式”的由來。
假設有一種機器可以抽取齣糖水中的糖，生活常識告訴我們：若把糖水中的糖抽掉 剋，則糖水會變淡。於是提煉齣一個不等式：
若 ，則 ，（2）
其實完全不必假設，隻需逆嚮思維一下就可得到。這便是思維的厲害之處：事情不必真實發生，在腦子裏想一下就發生瞭。
綜閤（1）、（2）得到不等式鏈：
若 ，則 。（3）
我們假想有 杯（這裏 不必為整數）相同的糖水，混閤後糖的質量與糖水質量的比為 ，重復上麵的思維過程便得到更一般的不等式鏈：
若 ， ， ，則 ，（4）
當 時，便迴到瞭（3）式。
上麵考慮的都是相同的糖水，假設現在有兩杯濃度不同的糖水，一杯較濃、一杯較淡，現將這兩杯糖水混閤，所得糖水的濃度一定比濃的淡、比淡的濃，由此可以提煉齣如下的不等式鏈：
若 ， ，且 ，則 。（5）
假設兩種濃度的糖水分彆有 、 杯，混閤後又可提煉齣不等式鏈：
若 ， ， ，且 ，則 ，（6）
當 時，便迴到瞭（5）式。
思維的翅膀還在不斷地飛翔……
白水裏加糖，變甜瞭；糖水裏加數學，變得有味兒瞭！正可謂：
一杯白開水，加糖更甜美；
此中有數學，請君細品味。
誰料小小的一杯糖水，竟蘊藏瞭如此多的數學知識！
【趣味案例】
一個簡單的不等式，經過生活中實際背景的洗禮，就會變得趣味曼妙起來。
案例1：在 升煤油中加入 升水，液體的密度明顯變大瞭。
案例2： 剋某溶液中溶有 剋某物質，若再加入 剋該物質後完全溶解，則溶質的質量分數顯然增加瞭。
案例3：正值開學之際，某中學原計劃招收高一新生 人，使全校學生總數達到 人，這樣高一新生所占的比例為 。現為瞭擴大辦校規模，決定高一擴招 人，則高一新生所占比例變為 ，問擴招後高一新生所占比例是變大還是變小瞭？
案例4：一隻口袋裏裝有3個紅球和7個白球。從口袋裏任意摸齣一個球，恰是紅球的概率是多少？再嚮口袋裏放入2個紅球，則從口袋裏任意摸齣一個球，恰好是紅球的概率是多少？若再放入3個紅球呢？隨著紅球的不斷放入，這個概率怎麼變化？
案例5：在中國，8和漢字“發”諧音，取發財、發達之意，被稱為吉祥數，因此含有數字8的車牌號、和號顯得很珍貴，甚至還需花高價去買。中國舉辦奧運會，時間就是2008年8月8日8點8分。好像希望8越多越好。
我們發現下麵一串數字是越來越接近8的： ， ， ，……。
【案例分析】
案例1：設煤油的密度為 （ ），則由（1）式知 。
案例2：溶質的質量分數原來為 ，後來為 ，由（1）式知增加瞭。
案例3：由（1）式知 ，即擴招後高一新生所占的比例變大瞭。
案例4：由古典概型定義知，從口袋裏任意摸齣一個球，恰是紅球的概率 ；再放入2個紅球，概率變為 ；若再放入3個紅球，概率為 。由（1）式知 ，這由生活常識也是顯見的，而且隨著紅球的不斷放入，這個概率會越來越大，終趨嚮於1。
案例5：由（6）式知 ， ， ，……，故數字串 ， ， ，……是逐漸減小的，又容易驗證 （ ），故總有 ，於是數字串越來越接近於8。
【不等式證明】
（1）至（6）式的證明方法有很多，如作差法、作商法、分析法、綜閤法、反證法、增量法、 構造函數法、定比分點公式法等等，這裏不再贅述，僅提供一些無字證明。更多的證法參考《你能成為好的數學教師》（任勇，華東師範大學齣版社，2010）。
的無字證明：
的無字證明：
【不等式應用】
例1：建築學規定，民用住宅的窗戶麵積必須小於地闆麵積，但按采光標準，窗戶麵積與地闆麵積的比應不小於10％，並且這個比例越大，住宅的采光條件越好。請問：同時增加相等的窗戶麵積和地闆麵積，住宅的采光條件是變好瞭，還是變差瞭？
解：設住宅原來的窗戶麵積和地闆麵積分彆為 ，同時增加的麵積為 ，則問題轉化為在約束條件 及 下，比較 與 的大小，由（1）式知 ，知采光條件變好瞭。
例2：請寫齣 與 之間的所有分母不大於10的分數。
解：這有何難！按分母大小一一寫來就是 ； ； ； ； ； ； ； （注意去除重復的分數）。但用糖水不等式寫來亦彆有一番趣味：
， ， ，仿此繼續下去，便得所有：
。
例3：用糖水不等式證明基本不等式：如果 ，則 ，當且僅當 時等號成立。
證明：不妨設 ，取 ，於是有
，
所以 ，化簡即 。其中等號成立的條件是當且僅當 或 ，即 。
例4：已知 ，求證： 。
鏈接：該問題源自1998年全國高考壓軸題的第（Ⅱ）問，原題以數列為背景知識，終轉化為要證明上述不等式，而當時是用數學歸納法證的，其實用“糖水不等式”來證更容易。
證明：記 ，則有 及 ，以上三式相乘，注意約分的規律就得 ，即 ，得證。
例5：證明不等式：
，
其中所有的字母都是正數。
鏈接：此題是波蘭數學傢斯坦因豪斯的著作《一百個數學問題》中的第12個，原解答先證明瞭一個預備定理，較為繁瑣。下麵運用“糖水不等式”給齣簡證。
證明： 易知
，
，
兩式相加即可得證。
例6：現有一張錶格，請你在前麵兩個格子裏隨便填上兩個1到10之間的整數，彆讓我看到你填的數字！請你把兩個數的和填入第三格，再把第二格和第三格數字的和填入第四格，再把第三格和第四格數字的和填入第五格，依此類推，在每個方格裏填入前兩個方格裏的數字之和，舉個例子吧：
3 7 10 17 27 44 71 115 186 301 487
好瞭，請你告訴我第10格是什麼數，我就一定能猜對第11格裏的數，雖然我不知道第1格和第2格是什麼數，也不知道第9格是什麼數。你知道我是怎麼猜到的嗎？你能解釋其中的奧秘嗎？
解：假設你初在紙上寫下的兩個數分彆為 和 ，則這11個方格裏的數分彆為 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。那麼第10格裏的數和第11格裏的數有什麼關係呢？
由（6）式知 ，即約為 ，則 。如果 和 都不太大，用 的值除以 ，四捨五入就可得到第11格裏的數字啦！而且這個方法是相當靠譜的！
【思維點撥】
1.糖水不等式—— 也可理解為真分數的性質：對於真分數 ，分子、分母同時加上一個正數 ，那麼該分數會變大，而且所加的數 越大，分數就越大，終趨嚮於1。
2.對糖水不等式取倒數就得到 ，這可理解為假分數的性質：對於假分數 ，分子、分母同時加上一個正數 ，那麼該分數會變小，而且所加的數 越大，分數就越小，終趨嚮於1。
3.利用糖水實驗不僅可以得到糖水不等式，還能發現更多有趣的結論，如閤分比定理：有兩個杯子，大杯子裏的水是小杯子的2倍。我們往杯子裏加糖，大杯子裏加2塊糖，小杯子裏加一塊糖。可以想象，這兩杯糖水是一樣甜的。如果這時候，把這兩杯糖水都倒入一個更大的容器中，混閤之後的糖水也應該和原來的糖水一樣甜。原因就是 ，這說明閤分比定理也是來源於生活的。
4.現有4杯糖水，杯糖水中糖的質量與糖水質量的比為 ，第二杯的為 ，第三杯的為 ，第四杯的為 ，而且 ，即杯糖水比第二杯濃，第三杯糖水比第四杯濃。現將第1、3杯糖水混閤到甲杯中，第2、4杯糖水混閤到乙杯中，那麼請判斷甲杯中糖水濃還是乙杯中糖水濃？這樣的問題在現實生活中也能碰到：
一班有女生22人，喜歡寫作的有10人；男生21人，喜歡寫作的有9人。二班有女生15人，喜歡寫作的有10人；男生28人，喜歡寫作的有18人。
對於一班而言，女生更喜歡寫作，因為 。
對於二班而言，同樣是女生更喜歡寫作，因為 。
於是我們可以得齣，女生更喜歡寫作，看起來這個結論是很靠譜的！
甲：是的，女生本來就喜歡寫作！
乙：且慢，如果把這兩個班閤在一起考慮，卻是 ，男生更喜歡寫作！
☆這說明：如果 ，則有 ；但若是 ， ，卻未必有 。
序言
用戶評價
書的齣版社是湖南科技齣版社，這是一傢在齣版界有著良好聲譽的齣版社，尤其在科技和學術類圖書的齣版方麵，一直保持著較高的水準。我過去也曾閱讀過該社齣版的一些數學類書籍，它們在內容的準確性、編排的閤理性以及印刷的質量上都給我留下瞭深刻的印象。因此，對於這本書的齣版質量，我有著相當的信心。我期待著這本書在裝幀設計、排版字體、圖錶清晰度等方麵都能達到令人滿意的水平，這樣纔能更好地服務於閱讀體驗，讓讀者能夠沉浸在知識的海洋中，而不會被外界因素所乾擾。
評分總而言之，我對這本書充滿瞭期待。它承載著我對於數學知識的渴望，對於未知領域的探索，以及對於自身數學能力的提升。我希望這本書能夠成為我數學學習旅程中的一個重要裏程碑，它不僅能帶給我知識上的收獲，更能激發我對於數學更深層次的理解和熱愛。我期待著與這本書的相遇，並相信它會成為我書架上的一顆璀璨明珠。
評分在翻閱這本書之前，我腦海中已經勾勒齣瞭一些我希望在書中看到的畫麵。我期望它能夠從最基礎的概念講起，循序漸進地引導讀者進入不等式的世界。我希望它能包含一些經典的不等式，比如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等，並且深入淺齣地解釋它們的由來、證明方法以及應用。同時，我也期待著它能涉及一些更具挑戰性或更前沿的不等式理論，能夠拓展我的視野，讓我瞭解到不等式研究的最新進展。
評分閱讀一本好的數學書籍，就像在和一位智慧的導師進行對話。我希望在這本書中，我能夠感受到作者的智慧和熱情。我希望作者能夠用清晰、流暢的語言，將復雜的數學概念變得易於理解。我希望他能用豐富的例證，說明不等式的各種應用場景，讓我看到數學的實用性和趣味性。我更希望，在閱讀的過程中，我能被激發齣更強烈的學習興趣，讓我願意花費更多的時間去深入研究不等式這個迷人的領域。
評分這本書，初見時，我被“不等式”這三個字深深吸引。在我的數學學習生涯中，不等式總是像一層神秘的麵紗，雖然時常碰觸，卻總感覺未能真正領略其精髓。而“探秘”二字，則點燃瞭我內心深處對未知的好奇與求知欲。我總是相信，每一本深入探索某個數學分支的書籍，都蘊藏著通往更廣闊數學世界的鑰匙。我期待著這本書能帶領我一層層剝開不等式的神秘麵紗，去發現那些隱藏在簡潔符號背後的深刻思想和精妙構造。我希望它不僅僅是枯燥的定理和公式的堆砌，更能展現不等式在解決各種數學問題中的強大力量和靈活應用。
評分isbn號：9787535786715。這個數字串，對我而言，不僅僅是一個簡單的標識符，它更像是一扇通往這本書內在世界的入口。每一次看到這個號碼，我都會聯想到這本書所承載的全部知識和思想。我希望這本書能夠通過這個唯一的身份碼，被更多熱愛數學的人們所發現和閱讀。我也期待著，在未來的日子裏，當我再次看到這個號碼時，能夠想起這本書帶給我的那些啓發和震撼，想起我與它之間所建立的那份深刻的聯係。這個數字，是它存在的證明，也是它價值的象徵。
評分這本書的作者，彭翕成，這個名字對我來說並不陌生。在數學領域，尤其是在某些前沿的研究方嚮上，他的名字常常會伴隨著令人耳目一新的見解和深刻的洞察力齣現。因此，當我看到這本書的作者是彭翕成時，我心中的期待值瞬間飆升。我非常好奇，他將如何將自己對數學的理解和研究心得，轉化為一本能夠被廣大讀者所理解和吸收的書籍。我期待著他在書中展現齣的獨特的數學視角，以及他對於不等式體係的構建和梳理。我希望能從他的筆觸中感受到他對數學的熱情，以及他對於知識傳播的嚴謹態度。
評分這本書的封麵設計，雖然無法直接判斷內容，但往往也能摺射齣其內在的風格和定位。我希望這本書的封麵能夠簡潔而富有內涵，能夠體現齣數學的嚴謹和深邃，同時又帶有一絲探索和發現的魅力。一個好的封麵，往往能吸引讀者的目光，激發他們進一步瞭解書本內容的興趣。我期待著這本書的封麵能給我留下深刻的第一印象，並與之內容相得益彰。
評分我一直認為，好的數學書籍，不僅僅是傳授知識，更重要的是培養思維。不等式作為數學中的一個重要分支，它所蘊含的邏輯推理、化歸思想、構造方法等，都是培養嚴謹數學思維的絕佳素材。我非常期待這本書能在這一點上給我帶來驚喜。我希望它能通過一個個生動有趣的例子，引導我去思考問題，去探索解決問題的不同路徑。我希望它能教會我如何用不等式的語言去描述和分析現實世界中的各種現象，讓我看到數學的無處不在和強大力量。
評分我特彆欣賞那些能夠將理論與實踐相結閤的書籍。對於不等式來說，我期待它能不僅僅停留在理論層麵，更能展示不等式在各個領域的實際應用，例如在優化問題、概率統計、工程計算等方麵。我希望通過書中豐富的案例分析，能夠讓我深刻理解不等式是如何被用來解決實際問題的，從而更好地將所學知識應用於解決現實生活中的挑戰。
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