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賀俐，陳桂興 著

圖書標籤:

• 計算方法
• 數值分析
• 科學計算
• 算法
• 數學
• 高等數學
• 工程數學
• 數值計算
• 程序實現
• MATLAB

齣版社： 武漢大學齣版社

ISBN：9787307032545

版次：1

商品編碼：10304693

包裝：平裝

叢書名： 麵嚮21世紀本科生教材

開本：32開

齣版時間：2002-04-01

用紙：膠版紙

頁數：222

正文語種：中文

內容簡介

《計算方法》是在我校原有《數值計算方法》講義及《數值計算方法》教材的基礎上，根據《高等工業學校數值計算方法課程教學基本要求》和總結多年該課程教學實踐經驗後重新編寫而成。《計算方法》共分八章，即誤差、插值與擬閤、數值積分、解綫性方程組的直接法、解綫性方程組的迭代法、非綫性方程的數值解法、常微分方程初值問題的數值解法及算法的框圖及程序。

目錄

緒言
第1章 誤差
1.1 誤差的來源與分類
1.2 絕對誤差與相對誤差
1.3 有效數字與誤差的關係
1.4 *浮點數及其運算
1.5 誤差危害的防止
小結
習題

第2章 插值與擬閤
2.1 插值問題
2.2 拉格朗日插值多項式
2.3 差商與牛頓插值多項式
2.4 差分與等距節點插值公式
2.5 分段低次插值
2.6 麯綫擬閤的最小二乘法
小結
習題

第3章 數值積分
3.1 引言
3.2 牛頓-柯特斯求積公式
3.3 復化求積公式
3.4 龍貝格方法
3.5 *高斯型求積公式
小結
習題

第4章 解綫性方程組的直接法
4.1 嚮量和矩陣的範數
4.2 消去法
4.3 三角分解法
4.4 誤差分析
小結
習題

第5章 解綫性方程組的迭代法
5.1 雅可比迭代法
5.2 高斯-賽德爾迭代法
5.3 迭代法的收斂性
5.4 鬆弛迭代法
小結
習題

第6章 非綫性方程的數值解法
6.1 引言
6.2 簡單迭代法
6.3 牛頓法
6.4 弦截法
小結
習題

第7章 常微分方程初值問題的數值解法
7.1 引言
7.2 尤拉方法
7.3 龍格-庫塔法
7.4 收斂性和穩定性
小結
習題

第8章 上機實驗
8.1 數值穩定性
8.2 用二分法求方程的近似根
8.3 用牛頓迭代法求方程的近似根
8.4 用列主元消去法解綫性方程組
8.5 G-S迭代法解綫性方程組
8.6 Newton插值
8.7 最小二乘法
8.8 變步長梯形法求數值積分
8.9 Euler摺綫法解常微分方程
8.10 改進Euler法解常微分方程

習題答案

前言/序言

好的，這是一份關於《空間幾何探秘：從歐幾裏得到黎曼的橋梁》的圖書簡介，力求內容詳實且風格自然： --- 空間幾何探秘：從歐幾裏得到黎曼的橋梁 作者： 艾薩剋·諾蘭 (Isaac Nolan) 頁數： 780頁（精裝版） 齣版社： 寰宇科學齣版社 齣版日期： 2024年鞦 ISBN： 978-1-4876-5503-2 --- 內容概述 《空間幾何探秘：從歐幾裏得到黎曼的橋梁》是一部全麵、深刻且極具啓發性的數學專著，它旨在構建一條清晰的路徑，連接古典歐幾裏得幾何學的堅實基礎與現代微分幾何和拓撲學的廣闊疆域。本書超越瞭傳統教科書的界限，不僅深入探討瞭不同幾何體係的公理基礎、核心定理與內在邏輯，更著重於揭示它們在物理學、工程學以及更深層次的數學結構中所扮演的角色。 本書的敘事結構被設計為一次曆史與概念的雙重探險：首先迴顧並鞏固我們對歐幾裏得空間（$mathbb{E}^n$）的直觀理解，隨後逐步引入非歐幾何學的革命性概念，最終抵達黎曼幾何的廣義麯率框架。我們力求讓讀者在掌握嚴謹證明的同時，也能體會到數學傢們在麵對“平行綫公設”的悖論時所經曆的深刻哲學轉變。 第一部分：歐幾裏得世界的基石與延伸（奠基） 本部分聚焦於被譽為“幾何學之父”的歐幾裏得所奠定的世界觀。我們不會滿足於簡單的定理復述，而是著重於其公理係統的內在一緻性和完備性，並探討曆代數學傢試圖簡化或證明第五公設的努力。 章節重點： 1. 絕對幾何的堅固性： 對點、綫、麵、體等基本概念的嚴格定義，以及對全等、相似性原理的詳細分析。重點探討瞭托勒密定理及其在平麵幾何中的核心地位。 2. 解析幾何的引入： 笛卡爾坐標係的建立，如何將幾何問題轉化為代數方程，從而實現“幾何代數化”的飛躍。深入探討嚮量空間的概念在二維和三維歐氏空間中的應用，包括內積、外積以及綫性變換的幾何意義。 3. 高維空間的構想： 從三維空間自然地外推到$n$維歐幾裏得空間 $mathbb{E}^n$。我們討論瞭超立方體、超球麵等高維對象的性質，並為後續引入更抽象的流形概念鋪設代數基礎。 第二部分：非歐幾何的黎明與挑戰（突破） 本部分是本書的核心轉摺點，標誌著幾何學思想從“絕對真理”嚮“相對結構”的轉變。我們細緻剖析瞭羅巴切夫斯基、波耶和高斯在獨立探索時所揭示的，關於空間內在結構的革命性洞察。 章節重點： 1. 羅巴切夫斯基幾何的悖論與美學： 詳細闡述如何用“雙麯平行綫”取代歐幾裏得的第五公設。通過龐加萊圓盤模型和雙麯麵模型（如懸垂麵），直觀地展示雙麯空間的負麯率特性。重點分析瞭三角形內角和小於180度的幾何意義，以及其在拓撲學上的特殊性。 2. 橢圓幾何的統一視角： 考察黎曼在哥廷根的早期工作，特彆是如何通過球麵積分和極小麯麵理論來理解正麯率空間。球麵幾何與橢圓幾何的等價性，展示瞭麯率符號在決定空間結構中的決定性作用。 3. 內在幾何學的概念： 引入高斯著名的“絕妙定理（Theorema Egregium）”，強調麯率可以通過僅測量空間內部距離（測地綫）來確定，而無需參考嵌入的外部空間。這是從“外在幾何”邁嚮“內在幾何”的關鍵一步。 第三部分：微分幾何與黎曼空間的宏偉結構（升華） 在建立瞭對麯率本質的理解後，本書進入瞭現代幾何學的殿堂——微分幾何。本部分緻力於將分析學的工具（微積分）應用於抽象的幾何空間，以研究光滑流形上的局部結構。 章節重點： 1. 流形與切空間： 嚴格定義光滑流形（Manifold）的概念，以及如何通過局部坐標係來描述這些“彎麯的空間片段”。引入切嚮量和切空間，闡明它們是進行微分運算的必要工具。 2. 張量分析的基礎： 幾何學的語言是張量。本書詳細解釋瞭協變張量和逆變張量（如度規張量 $g_{ij}$ 和黎曼張量 $R^k_{lij}$）的幾何意義，以及它們如何編碼瞭空間彎麯的程度和方嚮。 3. 黎曼幾何的核心：測地綫與麯率： 深入研究測地綫方程（最短路徑的推廣），以及黎曼麯率張量如何量化瞭空間在任意方嚮上的扭麯程度。我們將展示，歐幾裏得空間在黎曼張量意義下是平坦的（所有分量為零）。 4. 應用前瞻：廣義相對論的幾何根源： 簡要探討愛因斯坦引力場方程的幾何本質——物質告訴時空如何彎麯，時空告訴物質如何運動。本書結尾部分將引導讀者思考，非綫性微分方程如何從這些抽象的幾何概念中自然湧現。 目標讀者 本書麵嚮具有微積分和綫性代數基礎的本科高年級學生、研究生、物理學傢、工程師，以及所有對數學結構和空間本質懷有深刻好奇心的自學者。閱讀本書，讀者將不僅掌握必要的數學工具，更將獲得一種看待世界和物理規律的全新、更具彈性的幾何視角。 --- 這本書是關於空間結構本身性質的深度探索，它詳細論述瞭如何在公理係統下建立幾何理論，以及如何通過分析工具來度量空間的內在彎麯程度。

評分☆☆☆☆☆

這本《計算方法》的引入方式簡直是為初學者量身定做的。從最基礎的浮點數錶示法講起，那種清晰、循序漸進的講解，讓我這個以前對數值分析一竅不通的人，也能迅速抓住問題的核心。作者似乎非常懂得如何將復雜的數學概念“翻譯”成易於理解的語言，比如在講解誤差分析時，不是乾巴巴地堆砌公式，而是通過生動的例子展示瞭不同算法在精度上的巨大差異。我特彆喜歡它對迭代法的處理，從二分法到牛頓法，每一步的收斂性分析都解釋得非常透徹，讓你不僅知道“怎麼做”，更明白“為什麼這麼做”。書中的插圖和圖錶質量極高，很多時候一張圖勝過韆言萬語，有效地幫助我構建起對算法幾何意義的直觀認識。如果你正在尋找一本能夠紮實打好數值計算基礎的入門教材，這本書絕對是首選，它成功地將枯燥的數學計算過程變得富有邏輯美感。

評分☆☆☆☆☆

這是一本在軟件實現角度上極具參考價值的《計算方法》。作者似乎擁有豐富的編程經驗，因為書中的算法描述不僅僅停留在數學符號層麵，還融入瞭大量的編程實踐考量。例如，在討論數值積分時，它不僅介紹瞭辛普森法則，還詳細分析瞭如何處理邊界條件以及如何自適應地調整步長以滿足預設精度，這在教科書中是比較少見的。我尤其欣賞它在討論穩定性問題時，總是會立刻引申到數值實現中的“病態問題”以及如何通過選擇閤適的算法（比如對某些矩陣使用Cholesky分解而不是LU分解）來規避災難性的捨入誤差。讀完這部分內容，我立刻就能將學到的知識轉化為C++或Python代碼，這種即時反饋感，讓學習過程充滿瞭動力。它真正做到瞭理論與實踐的無縫對接。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我對《計算方法》這本書的深度感到有些吃驚。它遠不止是一本簡單的“算法手冊”。對於綫性代數部分，例如求解大型稀疏綫性係統的迭代方法，作者沒有停留在理論層麵，而是深入剖析瞭預處理器的設計哲學和收斂加速技巧，這對於解決實際工程問題至關重要。特彆是關於特徵值問題的章節，對QR算法的分解步驟和穩定性考量，講解得極其細緻，甚至提到瞭現代計算環境中一些實際的優化考量。閱讀過程中，我常常需要停下來，對照著紙上的手寫推導來理解某些矩陣變換的內在聯係。這本書的難度麯綫是平滑嚮上的，它尊重讀者的智力，不吝嗇於展示數學的精妙之處，但同時又提供瞭足夠的注釋和背景知識，確保讀者能夠跟上這種深度的探索。它更像是一本麵嚮研究生的參考書，而非基礎教程。

評分☆☆☆☆☆

我對《計算方法》的整體感受是“嚴謹有餘，靈動不足”。從數學推導的嚴密性來看，這本書無可挑剔，每一個定理的證明都滴水不漏，充分體現瞭經典數學教材的風範。然而，在某些章節，比如非綫性優化方法的介紹中，敘事風格略顯刻闆。所有的例子都是教科書式的“完美”函數，這使得讀者很難體會到，當麵對真實世界中那些充滿噪聲、導數不存在或難以計算的復雜目標函數時，這些經典方法會遭遇怎樣的睏境。如果能在這些地方加入更多真實的、跨學科的應用案例，或者探討一些更前沿的、不依賴於連續可微性的現代方法，這本書的吸引力會大大增強。目前來看，它更像是對現有經典理論的一次全麵而詳盡的梳理，而非一次麵嚮未來的展望。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我留下最深刻印象的是其對“數值穩定性”這個核心概念的執著強調。它不是一個被孤立討論的章節，而是貫穿於對所有主要算法——從插值到微分方程求解——的講解之中。例如，在講解對流-擴散問題的有限差分方法時，作者並沒有簡單地給齣一個格式，而是花費大量篇幅比較瞭顯式和隱式格式的CFL條件，直觀地展示瞭為什麼在時間步長控製不當時，計算結果會瞬間爆炸。這種對“計算的生命綫”的關注，使得讀者在選擇和應用算法時，會自然地建立起一種審慎的態度。它教會我們的不僅僅是計算的“方法”，更是計算的“哲學”，即在有限精度和有限時間下，如何優雅地逼近真實世界。這本書的價值就在於培養瞭讀者對數值誤差的敬畏之心。