奇異積分和函數的可微性（英文） [Singular Integrals and Diffferentiability Properties of Functions] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2026

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施泰恩（Stein E.M.） 著

圖書標籤:

• 奇異積分
• 實分析
• 調和分析
• 函數可微性
• 傅裏葉分析
• 辛奇積分
• 微積分
• 數學分析
• 泛函分析
• 概率論

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510035135

版次：1

商品編碼：10891446

包裝：平裝

外文名稱：Singular Integrals and Diffferentiability Properties of Functions

開本：24開

齣版時間：2011-06-01

頁數：287

正文語種：英文

內容簡介

This book is an outgrowth of a course which I gave at Orsay duringthe academic year 1 966.67 MY purpose in those lectures was to pre-sent some of the required background and at the same time clarify theessential unity that exists between several related areas of analysis.These areas are：the existence and boundedness of singular integral op-erators；the boundary behavior of harmonic functions；and differentia-bility properties of functions of several variables.AS such the commoncore of these topics may be said to represent one of the central develop-ments in n.dimensional Fourier analysis during the last twenty years，and it can be expected to have equal influence in the future.These pos.

作者簡介

作者：(美國)施泰恩(SteinE.M.)

內頁插圖

目錄

PREFACE
NOTATION
I．SOME FUNDAMENTAL NOTIONS OF REAL．VARIABLE THEORY
The maximal function
Behavior near general points of measurable sets
Decomposition in cubes of open sets in R”
An interpolation theorem for L
Further results

II．SINGULAR INTEGRALS
Review of certain aspects of harmonic analysis in R”
Singular integrals：the heart of the matter
Singular integrals：some extensions and variants of the
preceding
Singular integral operaters which commute with dilations
Vector．valued analogues
Further results

III．RIESZ TRANSFORMS，POLSSON INTEGRALS，AND SPHERICAI HARMONICS
The Riesz transforms
Poisson integrals and approximations to the identity
Higher Riesz transforms and spherical harmonics
Further results

IV．THE LITTLEWOOD．PALEY THEORY AND MULTIPLIERS
The Littlewood-Paley g-function
The functiong
Multipliers（first version）
Application of the partial sums operators
The dyadic decomposition
The Marcinkiewicz multiplier theorem
Further results

V．DIFFERENTIABlLITY PROPERTIES IN TERMS OF FUNCTION SPACES
Riesz potentials
The Sobolev spaces
BesseI potentials
The spaces of Lipschitz continuous functions
The spaces
Further results

VI．EXTENSIONS AND RESTRICTIONS
Decomposition of open sets into cubes
Extension theorems of Whitney type
Extension theorem for a domain with minimally smooth
boundary
Further results

VII．RETURN TO THE THEORY OF HARMONIC FUNCTIONS
Non-tangential convergence and Fatou'S theorem
The area integral
Application of the theory of H”spaces
Further results

VIII．DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS
Several qotions of pointwise difierentiability
The splitting of functions
A characterization 0f difrerentiability
Desymmetrization principle
Another characterization of difirerentiabiliW
Further results
APPENDICES
Some Inequalities
The Marcinkiewicz Interpolation Theorem
Some Elementary Properties of Harmonic Functions
Inequalities for Rademacher Functions
BlBLl0GRAPHY
INDEX

精彩書摘

The basic ideas of the theory of reaI variables are connected with theconcepts of sets and ftmctions，together with the processes of integrationand difirerentiation applied to them.WhiIe the essential aspects of theseideas were brought to light in the early part of our century，some of theirfurther applications were developed only more recently.It iS from thislatter perspective that we shall approach that part of the theory thatinterests US.In doing SO，we distinguish several main features： The theorem of Lebesgue about the differentiation of the integral.The study of properties related to this process iS best done in terms of a“maximal function”to which it gives rise：the basic features of the latterare expressed in terms of a“weak-type”inequality which iS characteristicof this situation. Certain covering lemmas.In general the idea iS to cover an arbitraryopen set in terms of a disioint union ofcubes or balls，chosen in a mannerdepending on the problem at hand.ORe such example iS a lemma ofWhitney，fTheorem 3）.Sometimes，however，it SHffices to cover only aportion of the set。as in the simple covering lemma，which iS used to provethe weak-type inequality mentioned above. f31 Behavior near a‘'general”point of an arbitrary set.The simplest notion here iS that of point of density.More refined properties are bestexpressed in terms of certain integrals first studied systematically by Marcinkiewicz.
（4）The splitting of functions into their large and small parts.Thisfeature which iS more of a technique than an end in itself，recurs often.ItiS especially useful in proving Linequalities，as in the first theorem ofthis chapter.That part of the proof of the first theorem iS systematizedin the Marcinkiewicz interpolation theorem discussed in§4 of this chapter and also in Appendix B.
......

前言/序言

好的，這是一本關於經典分析學中一個核心主題的綜述性著作的簡介，該書係統梳理瞭傅裏葉分析與偏微分方程理論中的一些基礎構建塊。 --- 《調和分析基礎：捲積、函數空間與奇異算子》 導言與全書概述 本書《調和分析基礎：捲積、函數空間與奇異算子》旨在為研究人員、高級研究生以及希望深入理解現代數學分析，特彆是泛函分析與偏微分方程理論中核心工具的學者，提供一個詳盡而深入的指南。全書聚焦於調和分析的經典構架，從最基礎的捲積運算齣發，逐步過渡到處理更具挑戰性的算子，如傅裏葉積分算子和真正的奇異積分算子（盡管本書不會深入到奇異積分本身的難度，而是構建其必需的基礎）。 本書的核心論點在於，理解如何通過捲積來研究函數的平滑性、局部行為以及在高頻和低頻區域的行為，是掌握現代數學分析的關鍵。我們詳盡地闡述瞭傅裏葉變換在 $mathbb{R}^n$ 上的定義、性質及其在解決微分方程中的應用，同時構建瞭理解函數在不同尺度下行為所需的函數空間理論。 第一部分：傅裏葉變換與捲積的基石 (Foundations of Fourier Analysis and Convolution) 第一部分是全書的理論基礎，著重於定義和證明分析學傢賴以生存的工具。 第一章：$L^p$ 空間與測度論迴顧 在深入傅裏葉分析之前，本書首先對必要的測度論工具進行瞭迴顧，特彆是勒貝格積分理論。隨後，我們將焦點完全轉移到 $L^p(mathbb{R}^n)$ 空間。我們詳細討論瞭這些空間上的範數、完備性，並用嚴格的測度論語言定義瞭 Minkowski 不等式和 Fubini 定理在 $L^p$ 框架下的應用。這部分內容為後續討論函數的“平均平滑性”奠定瞭嚴格的測度論基礎。 第二章：捲積的定義、性質與應用 捲積是本書的生命綫。我們從定義 $displaystyle (f g)(x) = int_{mathbb{R}^n} f(y) g(x-y) dy$ 開始，詳細討論瞭它作為一種“平滑化”或“平均化”操作的幾何和分析意義。關鍵內容包括： 1. 交換性與結閤律：這些基本代數性質如何簡化高級運算。 2. 正則化核 (Regularizing Kernels)：我們重點分析瞭諸如高斯核（Heat Kernel）和狄拉剋核逼近（如Fejér核、Mollifiers）的性質。這些核如何將不連續函數“近似”成連續函數，是理解函數平滑性的第一步。 3. 捲積在微分方程中的作用：如何利用捲積將非齊次綫性常微分方程（ODE）轉化為求解積分方程，並最終得到解的積分錶示。 第三章：傅裏葉變換在 $L^1$ 和 $L^2$ 上的性質 本章詳細闡述瞭傅裏葉變換 $mathcal{F}$ 的定義（采用何種標準化，如 $hat{f}(xi) = int e^{-2pi i x cdot xi} f(x) dx$ 或 $hat{f}(xi) = int e^{-i x cdot xi} f(x) dx$ ，本書統一采用後者，並在後文保持一緻性），以及它如何將微分轉化為代數運算： $$mathcal{F}(partial^alpha f) (xi) = (i xi)^alpha hat{f}(xi)$$ 核心證明包括：捲積定理（ $mathcal{F}(f g) = hat{f} cdot hat{g}$ ）和微分定理。此外，我們用普朗歇爾定理（Plancherel Theorem）確立瞭傅裏葉變換在 $L^2$ 上的等距性，這是連接時間/空間域和頻率域的橋梁。 第二部分：函數空間的擴展與基本不等式 (Extending Spaces and Fundamental Inequalities) 在掌握瞭 $L^p$ 上的傅裏葉變換後，我們必須擴展到更廣泛的空間，以處理那些傅裏葉變換本身不在 $L^1$ 中的函數（例如，常數函數或增長過快的函數）。 第四章：緩增函數的空間 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$ 與 Schwartz 分布 (Tempered Distributions) 本章引入瞭Schwartz 空間 $mathcal{S}$，即那些比任何多項式衰減得更快的函數集閤。這是傅裏葉分析的理想環境，因為 $mathcal{F}$ 將 $mathcal{S}$ 映到 $mathcal{S}$ 上。 隨後，我們發展瞭緩增分布（Tempered Distributions）的理論。分布被定義為連續綫性泛函作用於 $mathcal{S}$ 空間上。這使得我們可以為 Dirac 測度 $delta_0$ 和多項式函數賦予“傅裏葉變換”，例如 $mathcal{F}(delta_0) = 1$，以及 $mathcal{F}(x^alpha) = (-i partial_xi)^alpha delta(xi)$。這部分內容是理解所有綫性偏微分算子（包括拉普拉斯算子 $Delta$）在整個空間上解的唯一可行路徑。 第五章：Sobolev 空間 $H^s$ 與嵌入定理 Sobolev 空間是現代 PDE 理論的基石。我們將 Sobolev 範數 $Vert f Vert_{H^s}$ 定義為基於傅裏葉係數的範數： $$Vert f Vert_{H^s}^2 = int_{mathbb{R}^n} (1 + |xi|^2)^s |hat{f}(xi)|^2 dxi$$ 通過這個定義，我們能夠清晰地量化函數的“平滑度”。 1. Sobolev 不等式：建立瞭 $H^s$ 範數與 $L^p$ 範數之間的關係。 2. 嵌入定理 (Sobolev Embedding Theorems)：精確判斷一個函數在 $H^s$ 空間中時，它在哪個 $L^p$ 空間中是連續的或有界可積的。這直接決定瞭一個解是否“足夠好”以滿足原始方程的要求。 第三部分：基礎算子理論與邊界行為 (Foundations of Operator Theory) 本部分應用前述理論來研究一類重要的積分算子，為更復雜的奇異積分算子（如 Calderón-Zygmund 算子）做準備。 第六章：傅裏葉乘子 (Fourier Multipliers) 傅裏葉乘子 $M$ 是一個作用於函數 $f$ 的算子，定義為 $mathcal{F}^{-1} (Phi cdot hat{f})$，其中 $Phi$ 是一個依賴於頻率變量 $xi$ 的函數，稱為乘子函數。 我們研究瞭哪些乘子函數 $Phi(xi)$ 可以保證 $M$ 是一個有界算子，特彆是作用於 $L^p$ 空間上。關鍵結果包括： 1. Hörmander 乘子定理的簡單形式：對於 $Phi(xi)$ 僅依賴於 $|xi|$ 的情況，我們給齣瞭 $Phi$ 必須滿足的關於其梯度和高階導數的衰減或振蕩條件，以確保算子在 $L^p$ 上有界。 2. 應用：對數導數與平滑化：如何使用乘子來構造一個作用於 $L^2$ 上的單位矩陣（在頻率域上），以及如何利用它們來研究函數在微小尺度上的局部性質。 第七章：引嚮邊界行為：捲積積分算子的初步分析 在結束本書之前，我們簡要探討瞭形如 $Tf(x) = int K(x, y) f(y) dy$ 的積分算子，其中核 $K(x, y)$ 依賴於兩個變量。我們重點關注 $K$ 具有平移不變性（即 $K(x, y) = k(x-y)$）的情況，這自然導迴捲積。 更進一步，我們考察瞭粗糙核 (Rough Kernels) 的情況。雖然本書不會深入到 Calderón-Zygmund 理論中的 $L log L$ 邊界，但會通過一個簡單的示例（如 1D 的 Hilbert 變換的核 $frac{1}{pi(x-y)}$）展示，當核在原點 $x=y$ 處具有奇點（即不滿足 $L^1$ 可積性）時，為什麼需要引入分布和更精細的技巧來定義其有界性。 結語 本書《調和分析基礎：捲積、函數空間與奇異算子》為讀者提供瞭一套堅實的工具箱，用以分析綫性算子在函數空間上的作用。通過對傅裏葉分析、函數空間理論和乘子算子的深入剖析，本書成功地在經典分析的嚴謹性和處理現代微分方程的實用性之間架起瞭一座橋梁。它為讀者進入更高級的主題，如真正的奇異積分理論、非綫性 PDE 或更復雜的幾何分析奠定瞭不可或缺的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名，尤其是“奇異積分”這個詞，立刻就吸引瞭我。這讓我聯想到在數學分析中那些不那麼“規矩”的積分形式，比如柯西主值積分，或者在積分區域內存在奇點的積分。這些積分常常在物理學、工程學以及更高級的數學分支中扮演重要角色，但它們的處理方式往往需要超越標準的黎曼積分定義。而“函數的可微性”又是分析學中的一個核心概念，它描述瞭函數在局部行為的平滑程度。將這兩個概念並列，我很好奇作者將如何把它們巧妙地聯係起來。這本書是否會探討在什麼條件下，帶有奇異性的積分算子能夠保持函數的某些可微性？或者，反過來，函數的“奇異”可微性（例如，導數在某些點上趨於無窮，或者導數本身也是奇異的）又會如何影響我們理解和計算相關的奇異積分？這種跨越性的結閤，聽起來就非常吸引人，預示著對數學分析中一些更深層、更微妙問題的探討。我希望這本書能為我提供一種新的視角，去理解那些在傳統框架下難以處理的數學對象，並可能從中獲得解決實際問題的靈感。

評分☆☆☆☆☆

看到“奇異積分”和“函數的可微性”這兩個詞組放在一起，我的腦海裏立刻浮現齣那些在數學分析的“前沿陣地”上進行的探索。想象一下，傳統的積分和可微性理論就像是一片風平浪靜的湖麵，而“奇異”則像是湖底暗流湧動、甚至齣現鏇渦的地方。作者很可能是在研究這些“不那麼尋常”的數學對象，比如那些在奇點附近行為復雜的積分，或者那些雖然處處連續但卻處處不可微的“怪異”函數，亦或是那些在某些點上雖然存在導數但其行為又錶現齣某種“奇異”特性的函數。這不禁讓我好奇，這本書是否會深入探討柯西主值積分、分布論中的積分，或者與傅裏葉分析、希爾伯特變換等密切相關的奇異積分算子？同時，“可微性”的討論，很可能也會超越我們熟知的“處處可微”或“分段可微”的範疇，去觸及一些更精細的、與函數性質相關的判定定理。我感覺這本書很有可能是一本能夠拓寬我視野、挑戰我認知邊界的著作，讓我對數學分析的深刻性有更一步的體會。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計給我留下瞭深刻的第一印象。那種深邃的藍色調，搭配著銀色的、仿佛在躍動著的數學公式，營造齣一種既神秘又充滿智慧的氛圍。我猜想，書中的內容一定也是如同這封麵一般，蘊含著令人著迷的數學奧秘。尤其是在“奇異積分”這個詞上，它本身就帶有一種不尋常的、挑戰常規的意味，讓我忍不住去想象作者是如何處理那些在傳統積分理論中可能齣現的“病態”情況的。而“函數的可微性”則指嚮瞭分析學中一個非常核心且基礎的領域。我很好奇，這本書是否會將這兩個看似獨立的概念巧妙地聯係起來，揭示它們之間更深層次的數學本質？我期待著它能帶領我進入一個全新的數學視角，去理解那些看似“奇異”的現象背後，隱藏著怎樣嚴謹而優美的數學結構。這本書的厚度也恰到好處，既不會讓人望而卻步，又能支撐起一個相對深入的探討。總而言之，在尚未翻開書頁之前，這本書已經憑藉其視覺語言，成功地激發瞭我對它內在內容的強烈好奇心和期待。

評分☆☆☆☆☆

我一直對數學分析中的一些“邊界情況”和“反常例子”特彆感興趣，那些突破常規、挑戰直覺的數學對象，往往蘊藏著最深刻的數學洞察。這本書的書名，特彆是“奇異積分”這四個字，立刻抓住瞭我的注意力。它預示著作者可能要探討的是那些不遵循標準積分定義的積分，比如柯西主值積分，或者在積分區域上具有奇點的積分。這些積分在物理學、工程學等領域有著廣泛的應用，理解它們對於解決實際問題至關重要。而“函數的可微性”又是分析學中的一個基石概念，它關乎函數的局部綫性化性質，也與很多高級的數學理論緊密相連，比如微分方程、復變函數等等。我非常好奇，這本書將如何把這兩個概念融為一體？它會探討在什麼條件下，帶有奇異性的積分運算能夠保持函數的某種可微性？或者，反之，函數的奇異可微性又會如何影響我們理解奇異積分？這種跨越式的結閤，聽起來就極具挑戰性和吸引力，似乎能夠提供一種全新的理解分析學的方法，讓我對那些“毛茸茸”的、在細節處行為詭異的函數和積分産生更深刻的認識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的題目，起得真是非常“有分量”。“奇異積分”這個詞本身就帶著一股子學術的嚴謹和一點點神秘感，讓我聯想到那些在數學界被精心研究過的、不那麼“乖巧”的積分形式。比如，那些在積分區間內存在奇點，或者積分過程本身就需要特殊處理的積分。這很容易讓人聯想到在物理學或者工程學中遇到的那些復雜的場分布或者信號處理問題，背後往往隱藏著對這類積分的深入理解。而“函數的可微性”，更是分析學中的核心概念，它描述瞭函數在某一點附近變化率的穩定性，是微積分的基石。將這兩者並列在一起，我立刻産生瞭一個強烈的疑問：作者究竟想探討的是什麼樣的聯係？是奇異積分對函數可微性帶來的影響，還是函數在某些“奇異”情況下的可微性如何幫助我們理解奇異積分？這種結閤，聽起來像是在探索分析學中一些最前沿、最微妙的課題，可能會揭示一些傳統教科書裏不會詳細介紹的數學細節和技巧。我非常期待能在這本書中找到答案，學習到一些處理復雜數學問題的全新視角和工具。

評分☆☆☆☆☆

年少的時候，身體和見識阻礙瞭內心急於擴張的好奇。傳奇故事因而成瞭急需品：關於俠客，關於女鬼，還有關於愛情。張美麗的故事在學校大受歡迎，因為她的故事三者兼有。

評分☆☆☆☆☆

大傢之作，數學專著書難得買的還算可以接受，好書，物超所值！

評分☆☆☆☆☆

很經典的書！

評分☆☆☆☆☆

還沒看呢 買瞭一堆數學書！！

評分☆☆☆☆☆

本套叢書是數學大師給本科生們寫的分析學係列教材。第一作者E. M. Stein是一位調和分析大師，他是1999年沃爾夫奬獲得者，同時，他也是一位卓越的教師。他的學生，和學生的學生，加起來超過兩百多人，其中有兩位已經獲得瞭菲爾茲奬，2006年的菲爾茲奬獲奬者之一即為他的學生陶哲軒。 　　這套教材在Princeton大學使用，同時其它學校，比如UCLA等名校也在本科生教學中使用。其教學目的是，用統一的、聯係的觀點來把現代分析的核心內容教給本科生們，力圖使本科生的分析學課程能接上現代數學研究的脈絡。這套書共有四本，依次是： 　　傅立葉分析； 　　復分析； 　　實分析； 　　泛函分析。 　　這些課程僅僅假定讀者讀過大一微積分和綫性代數，所以可看作是本科生高年級（大二到大三共四個學期）的必修課程，每學期一門。 　　非常值得注意的是，作者把傅裏葉分析作為學完大一微積分後的第一門高級分析課。同時，在後續課程中，螺鏇式上升，將其貫穿下去。我本人是極為贊同這種做法的。一則，現代數學中傅裏葉分析無處不在，既在純數學，如數論的各個方麵都有深入的應用，又在應用數學中是絕對的基礎工具。二則，傅裏葉分析不光有用，其本身的內容，可以說，就能夠把數學中的幾大主要思想都體現齣來。這樣，學生們先學這門課，對數學就能有鮮活的瞭解，既知道它的用處，又能夠“連續”地欣賞到數學中的各種大思想、大美妙。接下來，是學同樣集理論優美和深刻應用於一體的復分析。學完這兩門課，學生已經有瞭相當多的例子和感覺，既懂得其用又懂得其妙。這樣，再學後麵比較抽象的實分析和泛函分析時，就自然得多，動機也充分得多。 　　這種教法目前在國內還很欠缺，也缺乏相應的教材。這主要是因為我們的教育體製還存在一些問題，比如數學係研究生的入學考試，以往最關鍵的是初試，但初試隻考數學分析和高等代數，也就是本科生低年級的課程。長此以往，中國的大多數本科生，隻用功在這兩門低年級課程上，而在高年級的後續課程，以及現代數學的眼界上就有很大的欠缺。這樣，勢必導緻他們在研究生階段後勁不足，需要補的東西過多，因而疲於奔命。

評分☆☆☆☆☆

本套叢書是數學大師給本科生們寫的分析學係列教材。第一作者E. M. Stein是一位調和分析大師，他是1999年沃爾夫奬獲得者，同時，他也是一位卓越的教師。他的學生，和學生的學生，加起來超過兩百多人，其中有兩位已經獲得瞭菲爾茲奬，2006年的菲爾茲奬獲奬者之一即為他的學生陶哲軒。 　　這套教材在Princeton大學使用，同時其它學校，比如UCLA等名校也在本科生教學中使用。其教學目的是，用統一的、聯係的觀點來把現代分析的核心內容教給本科生們，力圖使本科生的分析學課程能接上現代數學研究的脈絡。這套書共有四本，依次是： 　　傅立葉分析； 　　復分析； 　　實分析； 　　泛函分析。 　　這些課程僅僅假定讀者讀過大一微積分和綫性代數，所以可看作是本科生高年級（大二到大三共四個學期）的必修課程，每學期一門。 　　非常值得注意的是，作者把傅裏葉分析作為學完大一微積分後的第一門高級分析課。同時，在後續課程中，螺鏇式上升，將其貫穿下去。我本人是極為贊同這種做法的。一則，現代數學中傅裏葉分析無處不在，既在純數學，如數論的各個方麵都有深入的應用，又在應用數學中是絕對的基礎工具。二則，傅裏葉分析不光有用，其本身的內容，可以說，就能夠把數學中的幾大主要思想都體現齣來。這樣，學生們先學這門課，對數學就能有鮮活的瞭解，既知道它的用處，又能夠“連續”地欣賞到數學中的各種大思想、大美妙。接下來，是學同樣集理論優美和深刻應用於一體的復分析。學完這兩門課，學生已經有瞭相當多的例子和感覺，既懂得其用又懂得其妙。這樣，再學後麵比較抽象的實分析和泛函分析時，就自然得多，動機也充分得多。 　　這種教法目前在國內還很欠缺，也缺乏相應的教材。這主要是因為我們的教育體製還存在一些問題，比如數學係研究生的入學考試，以往最關鍵的是初試，但初試隻考數學分析和高等代數，也就是本科生低年級的課程。長此以往，中國的大多數本科生，隻用功在這兩門低年級課程上，而在高年級的後續課程，以及現代數學的眼界上就有很大的欠缺。這樣，勢必導緻他們在研究生階段後勁不足，需要補的東西過多，因而疲於奔命。

評分☆☆☆☆☆

這個書不錯，但雙十一等瞭10天，快遞太慢瞭，跟京東客戶投訴一點用處也沒

評分☆☆☆☆☆

好書，數學專業，尤其是搞分析的應該看看。

評分☆☆☆☆☆

幸虧有張美麗。張美麗作為一個淪陷的標誌，牢牢地立在欲望的懸崖邊，被反復強化、反復講述。關於她的細節，成瞭這個小鎮用來教育孩子的最好典型：不準和外地人講話，不要和男同學私下見麵，不能靠近那種漂染頭發的發廊……說完不準，大人們會用這樣的話收尾：要不你就會像張美麗那樣，名聲臭遍整個小鎮。