普通高等院校十二五規劃教材：數值計算方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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蔡鎖章，楊明，雷英傑 著

圖書標籤:

• 數值計算
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• 理工科
• 數學
• 算法
• 計算機
• 科學計算
• 十二五規劃

齣版社： 國防工業齣版社

ISBN：9787118077476

版次：1

商品編碼：10959640

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2011-12-01

頁數：244

正文語種：中文

編輯推薦

《普通高等院校十二五規劃教材：數值計算方法》是為理工科院校開設數值計算方法的課程而編寫的教材。學習本書需具備高等數學、綫性代數和算法語言等方麵的知識。本書將介紹數值計算方法的基本概念、方法和理論，著重介紹科學、工程計算中的常用算法，包括誤差理論、方程的近似解法、綫性方程組解法、特徵值和特徵嚮量求法、插值法和麯綫擬閤、數值微分和數值積分、常微分方程的數值解法、偏微分方程的數值解法等。每章習題中都有該章主要算法的編程上機題，完成這些習題有助於真正掌握這些算法。

內容簡介

《普通高等院校十二五規劃教材：數值計算方法》在高等理工科院校的高等數學和綫性代數知識的基礎上，介紹數值計算方法的基本概念、方法和理論，著重介紹工程計算中的常用算法，包括誤差理論、方程的近似解法、綫性方程組解法、特徵值和特徵嚮量的求法、插值法和麯綫擬閤、數值微分與數值積分、常微分方程數值解法、偏微分方程數值解法等。各章配有適量習題，並附有習題答案。《普通高等院校十二五規劃教材：數值計算方法》可作為高等工科院校數值計算方法的教材，也可供工程技術人員自學參考。

目錄

第1章 誤差分析與數值計算
1.1 引言
1.1.1 誤差的來源
1.1.2 誤差理論在數值計算中的作用
1.2 絕對誤差與相對誤差、有效數字
1.2.1 絕對誤差與相對誤差
1.2.2 有效數字
1.3 近似數的簡單算術運算
1.3.1 近似數的加法
1.3.2 近似數的乘法
1.3.3 近似數的除法
1.3.4 近似數的冪和根
1.3.5 近似數的對數
1.3.6 近似數的減法
1.4 數值計算中誤差分析的若乾原則
習題1

第2章 非綫性方程（組l的近似解法-
2.1 引言
2.2 根的隔離
2.2 1根的隔離
2.2.2 代數方程實根的上下界
2.2.3 代數方程實根的個數
2.3 對分法
2.4 迭代法
2.4 l迭代法
2.4.2 收斂定理
2.4.3 迭代法收斂速度
2.4.4 加速收斂技術
25牛頓迭代法
2.5.1 牛頓迭代公式
2.5.2 牛頓迭代法的收斂性
25.3 牛頓法中初始值的選取
2.6 弦截法
2.7 用牛頓法解方程組
習題2

第3章 綫性方程組的解法
3.1 引言
3.2 高斯消去法
3.2.1 順序高斯消去法
3.2.2 主元消去法
3.3 矩陣的Lu分解
3.3.1 矩陣的LU分解
33.2 矩陣A的Lu分解求法
3.4 對稱矩陣的LDLT分解
3.4.1 對稱矩陣的矩陣分解形式
3.4.2 對稱矩陣LDLT分解的計算公式
3.4 3對稱帶形矩陣LDLT分解的帶寬性質
34.4 解對稱正定綫性方程組的矩陣分解法
3.5 綫性方程組解的可靠性
3.5.1 誤差嚮量和嚮量範數
3.5.2 殘嚮量
3.5.3 誤差的代數錶徵
35.4 病態綫性方程組
3.5.5 關於病態方程組的求解問題
36簡單迭代法
3.6.1 迭代法簡介
3.6.2 迭代過程的收斂性
3.7 雅可比迭代法與高斯一塞得爾迭代法
3.7.1 雅可比迭代法
3.7.2 高斯-塞得爾迭代法
3.7.3 雅可比迭代法和高斯一塞得爾迭代法的收斂性
3.8 解綫性方程組的超鬆弛法
習題3

第4章 矩陣特徵值與特徵嚮量的計算
4.1 引言
4.2 冪法與反冪法
4.2.1 冪法
4.2.2 反冪法
4.3 雅可比方法
4.3.1 預備知識
4.3.2 雅可比方法
習題4

第5章 插值與擬閤
5.1 引言
5.2 插值多項式的存在性和唯一性、綫性插值與拋物插值
5.2.1 代數插值問題
5.2.2 插值多項式的存在性和唯一性
5.2.3 綫性插值與拋物插值
5.3 拉格朗日插值多項式
5.3.1 插值基函數
5.3.2 拉格朗日插值公式
5.3.3 插值餘項與誤差估計
5.4 均差插值公式
5.4.1 均差的定義、均差錶及性質
5.4.2 均差插值公式
5.5 差分、等距節點插值多項式
5.5.1 差分的定義、性質及差分袁
5.5.2 等距節點插值公式
5.6 埃爾米特插值
5.6.1 構造基函數的方法
5.6.2 構造均差袁的方法
5.7 分段低次插值
5.7.1 龍格現象
5.7.2 分段綫性插值
5.7.3 分段三次埃爾米特插值
58三次樣條函數
5.8.1 三次樣條函數的定義
5.8.2 用節點處的二階導數錶示的三次樣條插值函數
5.8.3 用節點處的一階導數錶示的三次樣條插值函數
5.8.4 三次樣條插值函數的誤差估計
5.8.5 追趕法
5.9 麯綫擬閤的最小二乘法
5.9.1 問題的提齣
5.9.2 最小二乘法錶述
5.9.3 最小平方逼近多項式的存在唯一性
5.9.4 觀察數據的修勻
習題5

第6章 數值積分和數值微分
6.1 引言
6.2 牛頓一柯特斯型數值積分公式
6.2.1 牛頓一柯特斯求積公式的導齣
6.2.2 插值型求積公式的代數精度
6.2.3 梯形公式和辛普生公式的餘項
63復閤求積公式
6.3.1 牛頓一柯特斯公式的收斂性和數值穩定性
6.3.2 復閤梯形公式與復閤辛普生公式
6.3.3 步長的自、動選擇
6.4 龍貝格求積公式
6.4.1 復閤梯形公式的遞推公式
6.4.2 龍貝格求積算法
6.4.3 計算步驟及數值例子
6.5 高斯求積公式
6.5.1 高斯積分問題的提齣
6.5.2 高斯求積公式
6.5.3 勒讓德多項式的性質
6.5.4 高斯-勒讓德求積公式
6.5.5 高斯-勒讓德求積公式的餘項
6.6 二重積分的數值積分法
6.6.1 矩形域上的二重積分
66.2 一般區域上的=重積分
6.7 數值微分
6.7.1 均差公式
6.7.2 插值型求導公式
6.7.3 三次樣奈求導
習題6

第7章 常微分方程的數值解法
7.1 引言
7.2 歐拉摺綫法與改進的歐拉法
7.2.1 歐拉（Euler）摺綫法
7.2.2 初值問題的等價問題與改進的歐拉法
7.2.3 公式的截斷誤差
7.2.4 預報一校正公式
7.3 龍格一庫塔方法
7.3.1 泰勒級數法
7.3.2 龍格一庫塔方法的基本思想
7.3.3 龍格一庫塔公式的推導
7.3.4 步長的自動選擇
7.4 綫性多步法
7.4.1 綫性多步方法
7.4.2 阿達姆斯外推法
7.4.3 阿達姆斯內插法
7.4.4 隱格式迭代、預報一校正公式
7.4.5 阿這姆斯預報一校正法的改進
7.4.6 利用泰勒展開方法構造綫性多步公式
7.5 算法的穩定性與收斂性
7.5.1 穩定性
7.5.2 收斂性
7.6 微分方程組和高階微分方程的解法
7.6.1 一階方程組
7.6.2 高階微分方程的初值問題
習題7

第8章 偏微分方程數值解法
8.1 引言
8.2 常微分方程邊值問題的差分方法
8.2.1 差分方程的建立
8.2.2 差分方程解的存在唯一性、對邊值問題解的收斂性、誤差估計
8.2.3 差分方程組的解法
8.2.4 關於一般二階常微分方程第3邊值問題
8.3 化二階橢圓型方程邊值問題為差分方程
8.3.1 微分方程的差分逼近
8.3.2 邊值條件的近似處理
8.4 橢圓差分方程組的迭代解法
8.4.1 差分方程的迭代解法
8.4.2 迭代法的收斂性
8.5 拋物型方程的顯式差分格式及其收斂性
8.5.1 顯式差分格式的建立
8.5.2 差分格式I的收斂性
8.6 拋物型方程顯式差分格式的穩定性
8.6.1 差分格式的穩定性問題
8.6.2 □-圖方法
8.6.3 穩定性的定義及顯式差分格式的穩定性
8.7 拋物型方程的隱式差分格式
8.7.1 簡單隱式格式
8.7.2 六點差分格式
8.8 雙麯型方程的差分解法
8.8.1 微分方程的差分逼近
8.8.2 初始條件和邊值條件的差分近似
8.8.3 差分解的收斂性和差分格式的穩定性
習題8
習題答案

前言/序言

深入淺齣：現代科學計算與算法設計 （本書並非《普通高等院校十二五規劃教材：數值計算方法》，而是專注於構建現代科學計算的理論基石、算法創新與工程實踐的深度探討。） --- 本書導言：跨越理論與應用的橋梁 在信息技術飛速發展的今天，無論是前沿的物理模擬、復雜的金融風險評估，還是高效的工程設計優化，都離不開強大而可靠的計算工具。然而，計算機的“計算”並非總是精確的，它依賴於對現實世界問題的數學抽象、算法的巧妙構建以及對有限精度運算的深刻理解。本書旨在為讀者提供一個全麵、深入且極具實踐指導意義的現代科學計算框架，其核心關注點在於理解計算的本質、掌握核心算法的內在機製，並能夠針對實際問題設計齣魯棒、高效的求解策略。 本書的編寫理念是：理論的深度決定瞭應用的高度，而實踐的廣度則檢驗瞭理論的有效性。 我們將避開傳統教材中可能齣現的純粹公式堆砌，轉而強調算法背後的數學原理、收斂性的嚴格證明，以及在實際工程環境（如並行計算、大規模數據處理）中的適應性。 第一部分：計算的基石——誤差分析與綫性代數求解的再審視 本部分著重於建立讀者對“計算的可靠性”的認知基礎。 1. 浮點運算的精微世界與誤差的量化 我們首先深入探討計算機如何錶示實數。IEEE 754 標準下的浮點數精度、捨入誤差的傳播機製，以及如何量化和控製纍積誤差，是進行任何科學計算的先決條件。讀者將學習如何使用後驗誤差分析和前嚮誤差分析工具，評估算法的“病態性”（Conditioning）和“穩定性”（Stability）。我們將詳細分析不穩定的運算組閤（例如兩個極接近的量相減），並介紹如何通過重組錶達式或使用高精度算法來規避這些陷阱。 2. 現代綫性代數求解的優化與加速 綫性方程組 $Ax=b$ 依然是科學計算的核心。本書不再停留於高斯消元法的基礎介紹，而是側重於矩陣的分解技術在結構化問題中的應用。我們將重點剖析： 稀疏矩陣的存儲與迭代求解器： 針對韆萬級甚至億級自由度的工程問題（如有限元分析），直接求解法因內存和計算量巨大而不可行。本書將詳述 Krylov 子空間方法（如 GMRES, BiCGSTAB）的理論基礎、收斂速度的度量，以及如何構造高效的預處理子（Preconditioners），如代數多重網格法（AMG）或不完全LU分解（ILU），以實現數萬倍的加速。 特徵值問題的優化計算： 對於大型、非對稱矩陣，我們將深入探討 Lanczos 算法和 Arnoldi 迭代，及其在求解結構動力學或量子化學問題中的實際應用。 第二部分：非綫性世界的徵服者——優化與非綫性方程組 本部分聚焦於處理復雜、非綫性的數學模型，這是工程和經濟學中最常見的挑戰。 3. 根的確定性與概率性搜索 對於單變量非綫性方程 $f(x)=0$，我們將係統比較區間收斂法（如二分法、容斥法）的可靠性與開放區間法（如牛頓法、割綫法）的快速性。重點在於牛頓法的局部收斂性證明、阻尼牛頓法的應用，以及如何處理導數缺失或難以計算的情況。 對於多變量非綫性係統 $F(mathbf{x})=0$，我們將從梯度下降法的基本思想齣發，過渡到更高級的擬牛頓法（BFGS, DFP），並探討信任域（Trust Region）方法在確保全局收斂性方麵的優越性。 4. 約束優化理論與現代算法 優化問題（最小化或最大化目標函數，同時滿足約束條件）是建模的核心。本書將係統介紹： KKT 條件的深入解讀： 它們不僅是理論判據，更是構建有效算法的指南。 內點法（Interior Point Methods）的幾何意義與實踐： 特彆是對於大規模綫性規劃和二次規劃，內點法已成為工業界的首選。我們將剖析其障礙函數（Barrier Function）的構造與求解序列二次規劃子問題的過程。 啓發式優化方法簡介： 在全局最優難以求得時，粒子群優化（PSO）和模擬退火（SA）等方法如何提供高質量的近似解，並討論其適用邊界。 第三部分：連續世界的離散化——微分方程的數值解法 本部分是科學計算應用最廣泛的領域，涵蓋瞭從流體力學到電磁學的所有物理過程。 5. 常微分方程（ODE）的穩定積分 我們將嚴格區分顯式方法（如 Runge-Kutta 係列）和隱式方法（如嚮後歐拉法、Crank-Nicolson 方法）。核心討論點在於穩定性區域（Stability Regions） 的概念，理解為何對於剛性（Stiff）係統，必須采用隱式方法，即使它們計算代價更高。我們將介紹 ODE 求解器（如 MATLAB 中的 `ode45`, `ode15s`）背後的技術選擇邏輯。 6. 偏微分方程（PDE）的網格化與求解策略 本書不會全麵鋪陳有限差分、有限元和有限體積法的全部細節，而是著重於選擇閤適離散化方法的決策標準，以及離散化後産生的代數問題。 有限差分法： 側重於如何通過高階差分格式（如中心差分到緊緻格式）提高精度，同時保持數值穩定。 有限元方法（FEM）的抽象介紹： 強調其在處理復雜幾何域和變分原理轉化中的優勢，重點講解形函數（Shape Functions）的選擇對精度和計算成本的影響。 時間推進的挑戰： 對於瞬態問題，我們將探討如何平衡時間步長的選擇，以滿足 CFL 條件或保證精度要求。 第四部分：麵嚮未來的計算——並行化與高性能實現 現代科學計算的瓶頸已從算法本身轉移到如何利用多核處理器和分布式集群。 7. 算法的並行化思維 本部分將指導讀者如何將串行算法轉化為並行算法。我們將介紹數據並行（如嚮量化指令）和任務並行的基本概念。重點分析矩陣乘法、迭代求解器預處理以及傅裏葉變換在現代 CPU/GPU 架構上的優化技巧。理解內存層次結構（Cache Coherence）對算法性能的決定性影響，是實現高性能計算的關鍵。 總結與展望 本書的最終目標是培養讀者“算法工程師”的思維模式：麵對一個實際問題，能夠迅速識彆其潛在的數學結構（綫性/非綫性、常微分/偏微分），選擇最閤適的數值方法，評估其誤差和收斂性，並將其高效地實現在現代計算平颱上。我們強調的不是某一個特定公式的記憶，而是計算科學的通用設計哲學。通過本書的學習，讀者將能夠自信地駕馭從理論建模到高性能求解的整個科學計算流程。 --- 目標讀者： 計算機科學、應用數學、物理學、工程力學、航空航天、生物醫學工程等領域的高年級本科生、研究生以及需要進行復雜數值模擬的研發工程師。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《數值計算方法》，感覺它像是打開瞭一個數字世界的鑰匙。翻開目錄，首先吸引我的是那章關於“方程求根”的內容，裏麵詳細講解瞭二分法、牛頓法、割綫法等多種方法。讀著讀著，我仿佛看到瞭自己曾經在解一道復雜的數學題時，如何一步步逼近真實答案的模樣。作者用非常清晰的語言，配閤大量的圖示和例子，把抽象的算法變得生動起來。特彆是牛頓法，我一直覺得它就像是一個聰明的嚮導，總能以最快的速度找到目標。書裏對收斂條件的分析也相當到位，這讓我理解瞭為什麼有些方法快，有些方法慢，也讓我明白瞭在實際應用中，選擇閤適的方法是多麼重要。而且，它不僅僅是理論的堆砌，還穿插瞭許多僞代碼，這對於我這樣想動手實踐的讀者來說，簡直是雪中送炭。我嘗試著按照書中的僞代碼，用Python實現瞭一個簡單的二分法求解器，運行結果和書本上的例子完美契閤，那種成就感無法言喻。這本書的優點在於，它並沒有因為是教材而變得枯燥乏味，反而充滿瞭探索的樂趣，讓我對數值計算這個領域産生瞭濃厚的興趣，並且開始思考如何在我的實際項目中使用這些方法來提高效率。

評分☆☆☆☆☆

這本書的魅力在於它的係統性和深入性，讓我從一個初學者的視角，對數值計算的整個體係有瞭更全麵的認識。在“綫性方程組的解法”這一章，我被高斯消元法、LU分解、雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法等一係列方法深深吸引。特彆是高斯消元法，書中對其原理和操作步驟的分解非常細緻，從最基本的思想，到如何處理對角元素為主元，再到如何進行迴代求解，每一步都解釋得清清楚楚。讓我印象深刻的是，作者還對比瞭直接法和迭代法的優劣，以及它們各自適用的場景，這讓我不再是盲目地選擇方法，而是能夠根據問題的規模和特點做齣更明智的決策。書中對於矩陣的性質，比如對稱正定性等，如何影響迭代法的收斂性，也進行瞭深入的探討，這讓我理解瞭數值計算背後更深層次的數學原理。我尤其喜歡作者在講解迭代法時，所提齣的“收斂判據”，這不僅是理論上的要求，更是實際操作中的指導，讓我知道何時可以停止迭代，以達到預期的精度。這本書的例題非常豐富，覆蓋瞭從簡單到復雜的各種情況，這為我鞏固知識、理解算法提供瞭極大的幫助。

評分☆☆☆☆☆

這本《數值計算方法》帶給我的，不僅僅是知識的傳遞，更是一種思維方式的啓發。在學習“插值與逼近”的章節時，我被拉格朗日插值、牛頓插值以及樣條插值等方法所震撼。特彆是樣條插值，它能夠平滑地連接各個數據點，並且在局部具有良好的性質，這在圖形學、數據可視化等領域有著廣泛的應用。書中對不同插值方法的比較分析，讓我認識到“最優”的插值方法往往取決於具體的應用需求，沒有絕對的好壞，隻有適不適閤。我特彆喜歡書中關於“最佳平方逼近”的講解，它提供瞭一種在不完全擬閤所有數據點的情況下，找到一條最能代錶整體趨勢的麯綫的方法。這讓我想到瞭在數據分析中，我們常常需要從大量噪聲中提取有用的信息，而這種逼近思想恰恰能派上用場。書中的圖示非常直觀，讓我能夠清晰地看到不同插值多項式的形狀，以及它們與原始數據點之間的關係。這本書讓我明白，數值計算並不僅僅是枯燥的公式推導，它更是一種將現實世界的問題抽象化、數學化，然後用計算的手段去解決的藝術。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，數學的強大之處在於它能解決現實世界的問題，而這本書正是將這種理念發揮得淋灕盡緻。在“數值積分與微分”的章節，我被辛普森公式、梯形公式以及龍格-庫塔方法等深深吸引。讓我眼前一亮的是，書中對這些方法的推導過程非常詳盡，從泰勒展開到誤差分析，每一步都清晰明瞭。這不僅僅是告訴我“怎麼做”，更是讓我理解瞭“為什麼這麼做”。書中關於常微分方程初值問題的數值解法，例如歐拉法、改進歐拉法以及四階龍格-庫塔法，都給齣瞭非常生動的例子，讓我能夠直觀地感受到不同方法的精度差異和計算復雜度。我特彆欣賞作者在講解這些方法時，所強調的“截斷誤差”和“捨入誤差”，這讓我對數值計算的精度問題有瞭更深刻的認識，也讓我明白瞭在實際應用中，如何權衡精度和效率。這本書讓我不再害怕那些復雜的微分方程，而是能夠自信地運用這些數值方法去求解它們，這對於我日後的學習和研究無疑是巨大的幫助。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我最大的感受是，它不僅僅是一本教材，更像是一本“思想的啓濛書”。在“矩陣的特徵值與特徵嚮量”這一章節，我被冪法、反冪法以及QR算法等方法所深深吸引。書中對這些算法的原理闡述非常到位，配閤著清晰的算法流程圖，讓我能夠很容易地理解算法的每一步。特彆讓我印象深刻的是，作者在講解特徵值問題時，引入瞭許多實際應用的例子，例如結構振動分析、主成分分析等，這讓我看到瞭數值計算在科學研究和工程實踐中的巨大價值。書中對算法收斂性的討論也相當深入，讓我能夠理解為什麼某些算法在特定條件下收斂得更快，而另一些則可能陷入睏境。我尤其欣賞作者在講解QR算法時，所展示的矩陣分解與迭代的思想，這讓我對算法的設計有瞭更深的理解。這本書不僅僅教授我計算的方法，更重要的是，它培養瞭我一種用數學和計算的思維去分析和解決問題的能力，讓我對未來的學習和工作充滿瞭信心。