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John Philip Boyd & J P... 著

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出版社： Dover Publications

ISBN：9780486411835

商品编码：1130427086

包装：平装

外文名称：Chebyshev and Fourier ...

出版时间：2001-12-03

页数：688

正文语种：英语

图书基本信息

Chebyshev and Fourier Spectral Methods
作者： John Philip Boyd;J. P. Boyd;
ISBN13： 9780486411835
类型： 平装(简装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2001-12-03
出版社： Dover Publications
页数： 688
重量（克）： 975
尺寸： 23.368 x 15.494 x 4.318 cm

商品简介

Completely revised text focuses on use of spectral methods to solve boundary value, eigenvalue, and time-dependent problems, but also covers Hermite, Laguerre, rational Chebyshev, sinc, and spherical harmonic functions, as well as cardinal functions, linear eigenvalue problems, matrix-solving methods, coordinate transformations, spherical and cylindrical geometry, and more. Includes 7 appendices and over 160 text figures.

深入理解经典数值计算方法与现代算法分析 本书旨在为读者提供一个全面、深入的视角，探索那些在工程、物理、数学建模等领域扮演核心角色的经典数值计算方法，并着重于现代算法背后的理论基础与计算复杂性分析。我们聚焦于一组与谱方法（Spectral Methods）并驾齐驱，但在方法论和应用场景上具有显著差异的数学工具和离散化技术。 第一部分：有限差分方法（Finite Difference Methods）的精炼与深化 本部分将详细阐述有限差分方法（FDM）的构建原理、误差分析以及在处理偏微分方程（PDEs）中的实际应用。我们将从最基本的泰勒级数展开入手，系统地推导和分析一阶、二阶乃至更高阶的中心差分、前向差分和后向差分格式。 重点内容包括： 1. 离散化误差与收敛性分析： 深入探讨局部截断误差（Local Truncation Error）的来源，以及如何利用冯·诺依曼稳定性分析（Von Neumann Stability Analysis）来评估时间步长和空间步长对解稳定性的影响。我们将详细分析显式和隐式欧拉方法、Crank-Nicolson 格式在抛物型方程（如热传导方程）中的具体表现和适用范围。 2. 高维问题的处理： 讨论在二维和三维笛卡尔坐标系下，如何应用交错网格（Staggered Grids）技术来处理导数项，特别是对于涉及对流和扩散项的 Navier-Stokes 方程的初步离散化尝试。 3. 非结构化网格上的拓展： 介绍如何将有限差分的概念推广到具有不规则边界的区域，这自然引出了对曲线坐标系下坐标变换以及网格畸变对精度影响的讨论。我们将避免涉及多项式插值基函数，而是集中于如何通过坐标变换保持差分算子的物理意义。 4. 对流-扩散问题的挑战： 专门探讨高Péclet数问题中，传统中心差分格式的振荡现象。我们将介绍人工粘性（Artificial Viscosity）的概念及其局限性，并讨论迎风格式（Upwind Schemes）作为解决对流主导问题的经典方案，分析其带来的数值耗散问题。 第二部分：有限体积法（Finite Volume Methods）的几何基础与守恒律 本部分将完全聚焦于有限体积法（FVM），强调其在流体力学和传输现象中的核心优势——即严格的局部守恒性。FVM 的核心在于积分形式的守恒律，而非点值的导数近似。 关键讨论点包括： 1. 控制体积的构造与通量计算： 详细阐述如何为任意几何形状（多边形或多面体）的控制体积构建界面上的通量。我们将深入分析界面上的数值通量计算，这涉及对黎曼求解器（Riemann Solvers）的介绍，例如 Lax-Friedrichs, Roe, HLL 格式，用以精确处理激波和接触间断。 2. 高分辨率格式： 鉴于通量限制器（Flux Limiters）在保持解光滑区域高精度和抑制间断点附近非物理振荡方面的关键作用，本章将详尽解析诸如 Minmod, Superbee 等限制器函数的构造，以及它们如何与高阶空间重建（如MUSCL方案）结合，以实现高分辨率而不牺牲稳定性。 3. 时间离散化与隐式处理： 探讨 FVM 在处理非线性和强耦合系统时的挑战，以及如何在隐式时间推进中处理大规模线性系统的求解。我们将侧重于代数解耦技术，而非基于全局基函数的构造。 4. 离散化在稀疏系统中的应用： 考察 FVM 如何在处理稀疏矩阵系统，如在多孔介质流动（Darcy's Law）中的自然适配性，以及如何确保在离散化过程中能量和质量的精确平衡。 第三部分：线性代数与迭代求解器的性能分析 在处理大型离散系统时，直接求解器往往因计算量过大而不可行。因此，本部分将集中于迭代求解方法的理论基础、收敛速度评估和实际性能调优。 我们将涵盖以下内容： 1. 经典迭代方法： 详细分析雅可比（Jacobi）、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）以及 SOR（Successive Over-Relaxation）方法的收敛条件、迭代矩阵的谱半径分析。重点讨论 SOR 方法中最优松弛参数 $omega$ 的确定。 2. Krylov 子空间方法： 深入探讨 GMRES, BiCGSTAB, 及其对称正定（SPD）情况下的共轭梯度法（CG）。我们将分析 Krylov 子空间方法的本质——即它们如何将求解问题转化为在一个不断增大的子空间上寻找最优近似解。这里的分析将严格依赖于矩阵的结构和条件数，而非基函数的正交性。 3. 预处理器技术（Preconditioning）： 预处理是加速迭代求解的关键。我们将系统地介绍几种主流的预处理技术，包括： 代数预处理器：如逆（Inverse）和近似逆（Incomplete LU, ILU）分解。 几何预处理器：如多重网格方法（MultiGrid Methods）的基础概念，侧重于粗化（Coarsening）、平滑（Smoothing）和修正（Correction）的迭代循环结构，而不深入到特定基函数的选择。 4. 并行化考虑： 讨论如何设计这些迭代求解器以适应现代并行计算架构，特别是数据依赖性分析和通信开销的最小化策略。 第四部分：不确定性量化与模型校准 现代科学计算越来越需要量化模型输入和计算结果中的不确定性。本部分将探讨一套不同于基于高维积分或正交多项式展开的，用于处理随机性和不确定性的方法。 主要议题： 1. 随机微分方程（SDEs）的数值解法： 介绍欧拉-丸山法和 Milstein 方法等，用于求解具有噪声项的动力学系统。重点在于如何准确地模拟布朗运动的路径依赖特性。 2. 参数估计与数据同化： 介绍卡尔曼滤波（Kalman Filtering）及其扩展形式（EKF, UKF）在实时系统状态估计和模型参数校准中的应用。我们将侧重于其基于状态空间表示的递推性质，而非基于最小二乘或整体优化框架的解法。 3. 计算成本与效率： 探讨在处理大量随机样本时，如何利用高效的线性代数求解器（如第三部分所述）来控制蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulations）的计算负担，并介绍方差缩减技术。 全书结构紧凑，理论推导严谨，侧重于算法背后的核心数值稳定性和计算效率考量，为工程师和研究人员提供一套强大的、专注于离散化和求解技术而非函数逼近理论的工具箱。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名听起来就很硬核，直击数学和计算领域的核心。《Chebyshev and Fourier Spectral Methods》这个标题本身就预示着它将深入探讨那些在处理偏微分方程、信号处理和数值模拟中至关重要的谱方法。我猜想，这本书会详尽地阐述切比雪夫多项式和傅里叶级数在构造高质量插值和求解微分方程方面的理论基础和实际应用。它很可能不仅仅是介绍这些方法的“是什么”，而是会深入挖掘“为什么它们有效”，比如它们的收敛速度、误差估计，以及如何处理非光滑解的问题。对于那些希望从传统的有限差分或有限元方法转向更高精度谱方法的读者来说，这本书无疑是一份宝贵的指南。我期待看到它如何系统地构建起从理论推导到具体算法实现的桥梁，尤其是关于如何高效地进行谱系数的计算和逆变换的章节，这通常是实现高性能计算的关键瓶颈。

评分☆☆☆☆☆

读完一些关于有限体积法的书籍后，我对那些能够提供几乎无误差插值的高精度技术非常着迷。这本书的题目，直指切比雪夫和傅里叶展开，我立刻联想到这是通往“精确”解的一条路径。我猜测这本书的内容会非常侧重于插值的理论，比如关于如何选择合适的节点（如勒让德-切比雪夫节点）以最小化龙伯插值误差的深刻讨论。我不禁想象其中是否有专门讨论“谱方法在频域的优势”的章节，阐明为什么在光滑函数上，它们能超越任何有限差分方案的代数收敛速度。也许书中会通过对比传统的有限差分算子与谱方法对应的伪微分算子，来揭示后者的内在优越性。如果它还能涵盖如何将这些方法扩展到高维问题，比如使用张量积技术，那么这本书的价值将得到指数级的提升。

评分☆☆☆☆☆

我一直在寻找一本能够系统梳理高精度数值方法理论框架的教材。这本书的名字《Chebyshev and Fourier Spectral Methods》听起来就非常权威，暗示着它将对这两个核心谱方法进行全方位的覆盖。我推测，书中必定会用大量的篇幅来论述如何利用离散正交变换（如快速傅里叶变换FFT和快速切比雪夫变换FCT）来实现矩阵向量乘法的效率最大化，这是谱方法的计算优势得以体现的关键。此外，关于处理非周期性边界条件，以及如何使用伪谱法（pseudospectral methods）来简化非线性问题的求解，应该是不可或缺的章节。我特别关注的是，作者是否会探讨这些方法在处理色散和耗散误差方面的细腻差异，因为这直接决定了长期时间积分模拟的稳定性与准确性。一本好的谱方法书籍，必须能够让读者清晰地理解数值网格的选择如何影响整体的计算性能。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数值分析有着长期研究兴趣的人，我常常在寻找那种既有深刻数学洞察力，又具备工程实用价值的著作。这本书的书名激发了我对它内容结构的极大好奇心。我设想，它的开篇可能不会仅仅停留在基础的傅里叶级数的介绍上，而是会迅速过渡到切比雪夫展开在处理边界值问题上的独特优势。也许书中会有一部分专门用来比较这两种方法在处理不同类型区域（例如矩形区域与球形区域）时的适用性。更重要的是，我希望它能提供大量的、经过精心选择的例子，展示如何将这些抽象的数学工具应用于实际的物理系统，比如流体力学中的湍流模拟或者波动方程的求解。如果这本书能够清晰地解释谱方法在面对“代数收敛”与“指数收敛”之间的分野时，它们各自展现出的能力和局限性，那将是非常有价值的。

评分☆☆☆☆☆

对于一个刚刚接触现代计算数学的研究生来说，一本专注于谱方法的专著是开启高性能计算大门的钥匙。这本书的名字《Chebyshev and Fourier Spectral Methods》给我一种非常严谨、注重细节的印象。我期待它能提供清晰的算法步骤，而不是仅仅停留在公式的罗列上。比如，关于如何具体实现基于切比雪夫网格的牛顿迭代法，或者如何将傅里叶谱方法与时间积分方案（如龙格-库塔法）结合起来形成可靠的伪谱时间步进方法，这些实践层面的内容至关重要。我希望书中能够通过实际的算例展示，说明在哪些尺度和复杂性下，谱方法的计算开销（尤其是预处理和离散化成本）如何被其优异的收敛速度所抵消，从而在工程实践中取得胜利。这本书如果能做到理论的深度与工程的广度完美结合，那它就称得上是一部经典之作。