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John Philip Boyd & J P... 著

圖書標籤:

• 譜方法
• 切比雪夫多項式
• 傅裏葉分析
• 數值分析
• 科學計算
• 偏微分方程
• 近似理論
• 數學軟件
• 算法
• 數值模擬

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齣版社： Dover Publications

ISBN：9780486411835

商品編碼：1130427086

包裝：平裝

外文名稱：Chebyshev and Fourier ...

齣版時間：2001-12-03

頁數：688

正文語種：英語

圖書基本信息

Chebyshev and Fourier Spectral Methods
作者： John Philip Boyd;J. P. Boyd;
ISBN13： 9780486411835
類型： 平裝(簡裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2001-12-03
齣版社： Dover Publications
頁數： 688
重量（剋）： 975
尺寸： 23.368 x 15.494 x 4.318 cm

商品簡介

Completely revised text focuses on use of spectral methods to solve boundary value, eigenvalue, and time-dependent problems, but also covers Hermite, Laguerre, rational Chebyshev, sinc, and spherical harmonic functions, as well as cardinal functions, linear eigenvalue problems, matrix-solving methods, coordinate transformations, spherical and cylindrical geometry, and more. Includes 7 appendices and over 160 text figures.

深入理解經典數值計算方法與現代算法分析 本書旨在為讀者提供一個全麵、深入的視角，探索那些在工程、物理、數學建模等領域扮演核心角色的經典數值計算方法，並著重於現代算法背後的理論基礎與計算復雜性分析。我們聚焦於一組與譜方法（Spectral Methods）並駕齊驅，但在方法論和應用場景上具有顯著差異的數學工具和離散化技術。 第一部分：有限差分方法（Finite Difference Methods）的精煉與深化 本部分將詳細闡述有限差分方法（FDM）的構建原理、誤差分析以及在處理偏微分方程（PDEs）中的實際應用。我們將從最基本的泰勒級數展開入手，係統地推導和分析一階、二階乃至更高階的中心差分、前嚮差分和後嚮差分格式。 重點內容包括： 1. 離散化誤差與收斂性分析： 深入探討局部截斷誤差（Local Truncation Error）的來源，以及如何利用馮·諾依曼穩定性分析（Von Neumann Stability Analysis）來評估時間步長和空間步長對解穩定性的影響。我們將詳細分析顯式和隱式歐拉方法、Crank-Nicolson 格式在拋物型方程（如熱傳導方程）中的具體錶現和適用範圍。 2. 高維問題的處理： 討論在二維和三維笛卡爾坐標係下，如何應用交錯網格（Staggered Grids）技術來處理導數項，特彆是對於涉及對流和擴散項的 Navier-Stokes 方程的初步離散化嘗試。 3. 非結構化網格上的拓展： 介紹如何將有限差分的概念推廣到具有不規則邊界的區域，這自然引齣瞭對麯綫坐標係下坐標變換以及網格畸變對精度影響的討論。我們將避免涉及多項式插值基函數，而是集中於如何通過坐標變換保持差分算子的物理意義。 4. 對流-擴散問題的挑戰： 專門探討高Péclet數問題中，傳統中心差分格式的振蕩現象。我們將介紹人工粘性（Artificial Viscosity）的概念及其局限性，並討論迎風格式（Upwind Schemes）作為解決對流主導問題的經典方案，分析其帶來的數值耗散問題。 第二部分：有限體積法（Finite Volume Methods）的幾何基礎與守恒律 本部分將完全聚焦於有限體積法（FVM），強調其在流體力學和傳輸現象中的核心優勢——即嚴格的局部守恒性。FVM 的核心在於積分形式的守恒律，而非點值的導數近似。 關鍵討論點包括： 1. 控製體積的構造與通量計算： 詳細闡述如何為任意幾何形狀（多邊形或多麵體）的控製體積構建界麵上的通量。我們將深入分析界麵上的數值通量計算，這涉及對黎曼求解器（Riemann Solvers）的介紹，例如 Lax-Friedrichs, Roe, HLL 格式，用以精確處理激波和接觸間斷。 2. 高分辨率格式： 鑒於通量限製器（Flux Limiters）在保持解光滑區域高精度和抑製間斷點附近非物理振蕩方麵的關鍵作用，本章將詳盡解析諸如 Minmod, Superbee 等限製器函數的構造，以及它們如何與高階空間重建（如MUSCL方案）結閤，以實現高分辨率而不犧牲穩定性。 3. 時間離散化與隱式處理： 探討 FVM 在處理非綫性和強耦閤係統時的挑戰，以及如何在隱式時間推進中處理大規模綫性係統的求解。我們將側重於代數解耦技術，而非基於全局基函數的構造。 4. 離散化在稀疏係統中的應用： 考察 FVM 如何在處理稀疏矩陣係統，如在多孔介質流動（Darcy's Law）中的自然適配性，以及如何確保在離散化過程中能量和質量的精確平衡。 第三部分：綫性代數與迭代求解器的性能分析 在處理大型離散係統時，直接求解器往往因計算量過大而不可行。因此，本部分將集中於迭代求解方法的理論基礎、收斂速度評估和實際性能調優。 我們將涵蓋以下內容： 1. 經典迭代方法： 詳細分析雅可比（Jacobi）、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）以及 SOR（Successive Over-Relaxation）方法的收斂條件、迭代矩陣的譜半徑分析。重點討論 SOR 方法中最優鬆弛參數 $omega$ 的確定。 2. Krylov 子空間方法： 深入探討 GMRES, BiCGSTAB, 及其對稱正定（SPD）情況下的共軛梯度法（CG）。我們將分析 Krylov 子空間方法的本質——即它們如何將求解問題轉化為在一個不斷增大的子空間上尋找最優近似解。這裏的分析將嚴格依賴於矩陣的結構和條件數，而非基函數的正交性。 3. 預處理器技術（Preconditioning）： 預處理是加速迭代求解的關鍵。我們將係統地介紹幾種主流的預處理技術，包括： 代數預處理器：如逆（Inverse）和近似逆（Incomplete LU, ILU）分解。 幾何預處理器：如多重網格方法（MultiGrid Methods）的基礎概念，側重於粗化（Coarsening）、平滑（Smoothing）和修正（Correction）的迭代循環結構，而不深入到特定基函數的選擇。 4. 並行化考慮： 討論如何設計這些迭代求解器以適應現代並行計算架構，特彆是數據依賴性分析和通信開銷的最小化策略。 第四部分：不確定性量化與模型校準 現代科學計算越來越需要量化模型輸入和計算結果中的不確定性。本部分將探討一套不同於基於高維積分或正交多項式展開的，用於處理隨機性和不確定性的方法。 主要議題： 1. 隨機微分方程（SDEs）的數值解法： 介紹歐拉-丸山法和 Milstein 方法等，用於求解具有噪聲項的動力學係統。重點在於如何準確地模擬布朗運動的路徑依賴特性。 2. 參數估計與數據同化： 介紹卡爾曼濾波（Kalman Filtering）及其擴展形式（EKF, UKF）在實時係統狀態估計和模型參數校準中的應用。我們將側重於其基於狀態空間錶示的遞推性質，而非基於最小二乘或整體優化框架的解法。 3. 計算成本與效率： 探討在處理大量隨機樣本時，如何利用高效的綫性代數求解器（如第三部分所述）來控製濛特卡洛模擬（Monte Carlo Simulations）的計算負擔，並介紹方差縮減技術。 全書結構緊湊，理論推導嚴謹，側重於算法背後的核心數值穩定性和計算效率考量，為工程師和研究人員提供一套強大的、專注於離散化和求解技術而非函數逼近理論的工具箱。

評分☆☆☆☆☆

我一直在尋找一本能夠係統梳理高精度數值方法理論框架的教材。這本書的名字《Chebyshev and Fourier Spectral Methods》聽起來就非常權威，暗示著它將對這兩個核心譜方法進行全方位的覆蓋。我推測，書中必定會用大量的篇幅來論述如何利用離散正交變換（如快速傅裏葉變換FFT和快速切比雪夫變換FCT）來實現矩陣嚮量乘法的效率最大化，這是譜方法的計算優勢得以體現的關鍵。此外，關於處理非周期性邊界條件，以及如何使用僞譜法（pseudospectral methods）來簡化非綫性問題的求解，應該是不可或缺的章節。我特彆關注的是，作者是否會探討這些方法在處理色散和耗散誤差方麵的細膩差異，因為這直接決定瞭長期時間積分模擬的穩定性與準確性。一本好的譜方法書籍，必須能夠讓讀者清晰地理解數值網格的選擇如何影響整體的計算性能。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數值分析有著長期研究興趣的人，我常常在尋找那種既有深刻數學洞察力，又具備工程實用價值的著作。這本書的書名激發瞭我對它內容結構的極大好奇心。我設想，它的開篇可能不會僅僅停留在基礎的傅裏葉級數的介紹上，而是會迅速過渡到切比雪夫展開在處理邊界值問題上的獨特優勢。也許書中會有一部分專門用來比較這兩種方法在處理不同類型區域（例如矩形區域與球形區域）時的適用性。更重要的是，我希望它能提供大量的、經過精心選擇的例子，展示如何將這些抽象的數學工具應用於實際的物理係統，比如流體力學中的湍流模擬或者波動方程的求解。如果這本書能夠清晰地解釋譜方法在麵對“代數收斂”與“指數收斂”之間的分野時，它們各自展現齣的能力和局限性，那將是非常有價值的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名聽起來就很硬核，直擊數學和計算領域的核心。《Chebyshev and Fourier Spectral Methods》這個標題本身就預示著它將深入探討那些在處理偏微分方程、信號處理和數值模擬中至關重要的譜方法。我猜想，這本書會詳盡地闡述切比雪夫多項式和傅裏葉級數在構造高質量插值和求解微分方程方麵的理論基礎和實際應用。它很可能不僅僅是介紹這些方法的“是什麼”，而是會深入挖掘“為什麼它們有效”，比如它們的收斂速度、誤差估計，以及如何處理非光滑解的問題。對於那些希望從傳統的有限差分或有限元方法轉嚮更高精度譜方法的讀者來說，這本書無疑是一份寶貴的指南。我期待看到它如何係統地構建起從理論推導到具體算法實現的橋梁，尤其是關於如何高效地進行譜係數的計算和逆變換的章節，這通常是實現高性能計算的關鍵瓶頸。

評分☆☆☆☆☆

讀完一些關於有限體積法的書籍後，我對那些能夠提供幾乎無誤差插值的高精度技術非常著迷。這本書的題目，直指切比雪夫和傅裏葉展開，我立刻聯想到這是通往“精確”解的一條路徑。我猜測這本書的內容會非常側重於插值的理論，比如關於如何選擇閤適的節點（如勒讓德-切比雪夫節點）以最小化龍伯插值誤差的深刻討論。我不禁想象其中是否有專門討論“譜方法在頻域的優勢”的章節，闡明為什麼在光滑函數上，它們能超越任何有限差分方案的代數收斂速度。也許書中會通過對比傳統的有限差分算子與譜方法對應的僞微分算子，來揭示後者的內在優越性。如果它還能涵蓋如何將這些方法擴展到高維問題，比如使用張量積技術，那麼這本書的價值將得到指數級的提升。

評分☆☆☆☆☆

對於一個剛剛接觸現代計算數學的研究生來說，一本專注於譜方法的專著是開啓高性能計算大門的鑰匙。這本書的名字《Chebyshev and Fourier Spectral Methods》給我一種非常嚴謹、注重細節的印象。我期待它能提供清晰的算法步驟，而不是僅僅停留在公式的羅列上。比如，關於如何具體實現基於切比雪夫網格的牛頓迭代法，或者如何將傅裏葉譜方法與時間積分方案（如龍格-庫塔法）結閤起來形成可靠的僞譜時間步進方法，這些實踐層麵的內容至關重要。我希望書中能夠通過實際的算例展示，說明在哪些尺度和復雜性下，譜方法的計算開銷（尤其是預處理和離散化成本）如何被其優異的收斂速度所抵消，從而在工程實踐中取得勝利。這本書如果能做到理論的深度與工程的廣度完美結閤，那它就稱得上是一部經典之作。