微分方程数值方法（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

胡健伟，汤怀民 著

图书标签:

• 微分方程
• 数值方法
• 数学
• 计算数学
• 科学计算
• 高等教育
• 工程数学
• 算法
• 数值分析
• 模拟

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030185396

版次：2

商品编码：11559919

包装：平装

丛书名： 普通高等教育"十一五"国家级规划教材

开本：16开

出版时间：2007-03-01

用纸：胶版纸

页数：369

字数：452000

正文语种：中文

内容简介

　　《微分方程数值方法（第2版）》为普通高等教育“十一五”国家级规划教材，分为常微分方程的数值解法、偏微分方程的差分方法和有限元方法三部分，共8章。内容包括常微分方程初值问题、椭圆型方程、离散方程的数值解法、抛物型方程、双曲型方程、边值问题的变分原理与广义解、有限元方法的基本过程及其进一步的讨论。
　　《微分方程数值方法（第2版）》在不太高的起点上循序渐进，通过一些典型有效的方法阐明构造数值方法的基本思想，尽可能叙述必要的基本概念。每章都有习题和小结，书末附有部分习题答案及提示，宜于教学和自学。
　　《微分方程数值方法（第2版）》既可作为理工科本科生或研究生的教材，也可作为从事科学与工程计算的有关人员自学与进修的参考书。

内页插图

目录

第一部分 常微分方程的数值解法
第1章 常微分方程初值问题
1．1 基本概念Euler法与梯形法
1．1．1 Euler法
1．1．2 梯形法
1．2 Runge-Kutta方法及一般单步方法
1．2．1 RK方法的构造
1．2．2 单步方法的相容性与收敛性
1．2．3 单步方法整体截断误差渐近展开及其应用
1．3 线性多步方法
1．3．1 线性多步方法的构造
1．3．2 线性多步方法的应用
1．4 线性差分方程的基本知识
1．4．1 一般性质
1．4．2 常系数齐次差分方程的基本解组
1．4．3 常系数差分方程解的渐近性质
1．5 一般多步方法的收敛性
1．5．1 多步方法的收敛性
1．5．2 线性多步方法情形的进一步结果
1．6 数值稳定性
1．6．1 线性多步方法的绝对稳定性
1．6．2 绝对稳定区间的确定
1．6．3 Runge-Kutta方法的绝对稳定性
1．7 一阶方程组与刚性问题
1．7．1 一阶方程组
1．7．2 刚性问题
本章小结与补充讨论
习题

第二部分 偏微分方程的差分方法
第2章 椭圆型方程
2．1 两点边值问题的差分格式
2．1．1 用差商代替导数的方法
2．1．2 积分插值法
2．1．3 边界条件的处理
2．2 二阶椭圆型方程边值问题的差分格式
2．2．1 区域的矩形网格剖分
2．2．2 矩形区域上的差分格式
2．2．3 矩形区域上边界条件的处理
2．2．4 非矩形区域上的差分格式与边界条件的处理
2．3 用积分插值法构造差分格式
2．3．1 偏微分方程的积分形式
2．3．2 用积分插值法构造内点的差分格式
2．3．3 用积分插值法构造边界点的差分格式
2．4 极值原理与差分格式的收敛性
2．4．1 线性椭圆型差分方程的一般形式
2．4．2 极值原理及差分格式之解的先验估计
2．4．3 五点格式的稳定性与收敛性
2．5 能量估计与差分格式的收敛性
2．5．1 记号，若干差分公式与不等式
2．5．2 差分算子的特征值与特征函数
2．5．3 两点边值问题差分格式之解的先验估计与收敛性
2．5．4 二阶椭圆型方程边值问题差分格式之解的先验估计及收敛性
本章小结与补充讨论
习题
第3章 离散方程的数值解法
3．1 交替方向迭代法
3．1．1 模型问题
3．1．2 Peaeeman-Rachford迭代格式
3．1．3 PR迭代格式中迭代参数的选择
3．1．4 其他交替方向迭代格式
3．2 预处理共轭梯度法
3．2．1 共轭梯度法的主要步骤与性质
3．2．2 预处理共轭梯度法的步骤及预优矩阵的构造
3．3 多重网格法
3．3．1 一维模型问题与古典迭代的光滑效应
3．3．2 二重网格法
3．3．3 多重网格法
本章小结与补充讨论
习题
第4章 抛物型方程
4．1 一维抛物型方程初边值问题的差分格式
4．1．1 常系数热传导方程的古典格式
4．1．2 变系数方程的差分格式
4．2 差分格式的稳定性与收敛性
4．2．1 差分格式的稳定性
4．2．2 差分格式的相容性与收敛性
4．3 稳定性研究中的矩阵方法
4．3．1 矩阵方法的一般讨论
4．3．2 常系数热传导方程古典格式的稳定性
4．4 稳定性研究中的分离变量法
4．4．1 分离变量法的一般讨论
4．4．2 对多个空间变量情形的应用
4．4．3 对三层格式的应用
4．5 差分格式的单侧逼近性质及其应用
4．6 交替方向隐格式及相关的格式
4．6．1 PR格式
4．6．2 Douglas格式
4．6．3 非齐次边界条件情形下过渡层边值的取法
4．6．4 局部一维格式与预测-校正格式
本章小结与补充讨论
习题
第5章 双曲型方程
5．1 一阶线性双曲型方程的差分格式
5．1．1 一阶常系数方程初值问题
5．1．2 一阶常系数方程初边值问题
5．1．3 一阶变系数方程的差分格式
5．2 一阶常系数线性双曲型方程组的差分格式
5．3 二阶线性双曲型方程的差分格式
5．3．1 一维常系数波动方程
5．3．2 一维变系数波动方程
5．3．3 二维波动方程
水5．4 交替方向隐格式
本章小结与补充讨论
习题

第三部分 偏微分方程的有限元方法
第6章 边值问题的变分原理与广义解
6．1 古典变分法的一些概念
6．1．1 泛函的极值与Eulcr方程
6．1．2 自然边界条件
6．1．3 多个自变量的情形
6．1．4 自然边界条件（续）
6．2 边值问题的变分原理
6．2．1 边值问题与最小位能原理
6．2．2 虚功原理
6．2．3 边值问题与变分问题的关系
6．2．4 内边界条件
6．3 Sobolev空间与边值问题的广义解
6．3．1 广义导数
6．3．2 Sobolev空间和边值问题的广义解
6．3．3 广义解的存在性和唯一性
6．4 变分近似法
6．4．1 Ritz方法
6．4．2 Galerkin方法
6．4．3 投影定理
本章小结与补充讨论
习题
第7章 有限元方法的基本过程
7．1 两点边值问题的有限元方法
7．1．1 用Ritz方法建立有限元方程
7．1．2 用Galerkin方法建立有限元方程
7．2 二维边值问题的有限元方法
7．2．1 三角剖分与分片插值
7．2．2 单元分析与总体合成
7．2．3 积分的计算
7．2．4 本质边界条件的处理
7．2．5 有限元方程的求解
7．2．6 有限元方法的一般过程
本章小结与补充讨论
习题
第8章 有限元方法的几个问题
8．1 形状函数与有限元空间
8．1．1 引言
8．1．2 一维高次元的形状函数
8．1．3 一维Hcrmite型的形状函数
8．1．4 二维矩形单元的形状函数
8．1．5 二维三角形单元的形状函数
8．1．6 等参数单元
8．1．7 三维情形
8．1．8 单元形状函数小结
8．2 收敛性与误差估计
8．2．1 引言
8．2．2 Sobolev空间中的插值理论
8．2．3 有限元方法的收敛性与误差估计
8．3 抛物型方程的有限元方法
8．3．1 引言
8．3．2 线性抛物型方程的广义解
8．3．3 半离散的有限元方程
8．3．4 全离散的有限元方程
本章小结与补充讨论
习题

部分习题答案及提示
参考文献
附录

前言/序言

　　本书第一版自1999年初问世以来已经过去八年了，在此期间，我国的高等教育得到前所未有的巨大发展，高等学校的专业设置和培养目标也作了很大调整，除了数学类的专业，很多理工类专业在本科或者研究生阶段都开设了微分方程数值解法方面的课程。因此，在本书被列入普通高等教育“十一五”国家级规划教材目录后，为适应广大的读者面，在修订过程中仍然设法保持原先的风格，在不太高的起点上循序渐进，介绍实用的数值方法，
　　根据本书第一版的使用情况，修订中首先删除了一些过于繁杂的内容，如对流扩散问题的特征差分法、变系数抛物型方程差分格式的能量方法等；某些部分则在章节标题前加了星号，表示不是最基本的内容，其次，对微分方程离散后所建立的代数方程组，为强调一些当代数值求解方法的重要性，将有关内容单独列成一章，以引起读者注意。此外，还修改了部分习题，使不同难度的习题都有适当的数量；在书末新增了习题答案及提示，以便于自学；修订了文字，使之更为通顺易读；更新了参考文献，使读者了解最新的出版物，全书仍然分为三部分，每一部分保持相对的独立性。因此，本书可以作为一门课程或者多门课程的教材使用。
　　本书问世以来，广大的读者通过各种途径向我们提出了很多意见和建议。虽然这次修订中作者做了仔细校阅和检查，但仍然会有缺点甚至错误，希望读者能对本书提出批评和意见，我们将感激不尽，科学出版社的编辑对本书的出版给予了积极的支持，孙文昌教授和黄惠茹、廖清清两位同学为排版付出了辛勤的劳动，谨此向他们表示衷心的感谢。

《方程的奥秘：求解与探索》 在物理、工程、经济、生物乃至社会科学的广阔图景中，有无数现象的演化和相互作用都遵循着精妙的数学规律。这些规律往往以我们称之为“方程”的形式被描述，而当方程中涉及到未知函数的导数时，它们就演变成了“微分方程”。微分方程是刻画动态世界最强有力的语言之一，从行星的轨迹到流体的流动，从疾病的传播到金融市场的波动，无一不闪烁着微分方程的身影。然而，现实世界的复杂性常常使得精确解析地求解这些方程变得困难重重，甚至不可能。正是在这样的背景下，我们引入了“方程的奥秘：求解与探索”这一主题，旨在揭示如何运用数学工具和计算思维，深入理解和分析那些难以精确解析的微分方程。 本书并非直接呈现某一特定领域的数学理论，而是聚焦于一种普遍适用的方法论——数值求解。它是一门艺术，更是一门科学，它赋予我们一把钥匙，去开启那些隐藏在复杂数学模型背后的现实世界的秘密。我们将带领读者穿越数字的海洋，探索如何将抽象的微分方程转化为一系列可计算的步骤，从而在计算机上获得逼近真实世界行为的近似解。 第一部分：数值方法的基石——理解离散化与逼近 任何数值方法的第一步，都是将连续的数学问题转化为离散的计算问题。在微分方程的语境下，这意味着我们需要将自变量（通常是时间或空间）以及函数本身在无限的连续域上进行“采样”，将其映射到一系列离散的点上。这个过程，我们称之为离散化。 想象一下，我们要描述一个物体随时间运动的轨迹。在连续的世界里，物体的速度和位置是时刻变化的。但在数值方法中，我们不再关注每一个瞬间，而是选择一系列“快照”，比如每隔一秒钟记录一次物体的状态。这就像用一连串的图像来模拟电影的播放，每一帧都是一个离散的状态。 本书将首先介绍几种最基本的离散化技术，例如有限差分法。它利用函数的导数可以通过相邻点上的函数值之差来近似的原理，将微分方程中的导数项替换为差分项。我们会详细探讨不同阶数的差分格式（例如向前差分、向后差分、中心差分），分析它们的精度和稳定性。我们会理解，差分阶数越高，近似的精度往往越高，但同时也可能引入更多的计算复杂性。 除了差分法，我们还将触及泰勒展开在数值方法中的核心作用。泰勒展开是一种强大的数学工具，可以将一个在某一点附近无限可导的函数展开成一系列多项式项。在数值方法中，我们常常截断泰勒展开，利用有限项来近似函数本身或其导数。理解泰勒展开，对于分析数值方法的截断误差至关重要，它能够告诉我们，当我们用有限步长的离散化来近似连续过程时，会引入多大的误差。 第二部分：探索一阶微分方程的数值解法 一阶微分方程在描述简单动态系统时扮演着重要角色，例如指数增长/衰减模型，或者初速度已知情况下的运动。它们通常形式为 $y' = f(x, y)$。虽然有些简单的一阶方程可以解析求解，但大多数情况下，数值方法是唯一的选择。 我们将从最直观的方法开始——欧拉方法。欧拉方法是数值解法中最简单的形式，它基于局部线性逼近。假设我们知道函数在某个点 $(x_n, y_n)$ 的值，以及在该点的导数 $y'(x_n) = f(x_n, y_n)$，我们可以将函数在下一小步 $x_{n+1} = x_n + h$ 处的值近似为 $y_{n+1} = y_n + h cdot f(x_n, y_n)$。欧拉方法易于理解和实现，但其精度通常较低，尤其是在步长 $h$ 较大时。我们将深入分析欧拉方法的局部截断误差和全局截断误差，并讨论如何通过减小步长来提高精度，但同时也要权衡计算成本的增加。 在此基础上，我们将介绍改进的欧拉方法，例如改进欧拉法（也称为霍恩法）和斜率修正法（Midpoint Method）。这些方法通过在每一步计算过程中，对导数进行更精细的估计，从而显著提高了精度。例如，改进欧拉法会先用欧拉法估计一个“预测值”，然后利用这个预测值在末端点的导数来修正初始点的斜率，最终得到一个更准确的下一时刻的值。 再进一步，我们将深入研究一类非常重要的数值方法——龙格-库塔（Runge-Kutta）方法。龙格-库塔方法通过在一个步长内，对函数在多个中间点上的导数进行加权平均，来实现更高的精度。我们将详细介绍二阶、三阶以及最常用的四阶龙格-库塔方法。四阶龙格-库塔方法（RK4）因其在精度和计算量之间的良好平衡，在科学计算领域得到广泛应用。我们将剖析RK4的计算公式，并理解它是如何巧妙地通过多次评估函数 $f(x, y)$ 来逼近真实函数曲线的。 第三部分：多步法与高阶微分方程的挑战 除了上述的单步法，我们还将介绍多步法。多步法的基本思想是，在计算下一个点的值时，不仅利用当前点的信息，还利用之前若干个点的信息。这样做的好处是，在达到相同精度的情况下，多步法通常需要更少的函数评估次数，从而提高计算效率。 我们将介绍预测-修正框架下的多步法，例如亚当斯-巴什福斯（Adams-Bashforth）方法（前向外插法）和亚当斯-姆尔顿（Adams-Moulton）方法（后向内插法）。亚当斯-巴什福斯方法使用前几个点的信息来“预测”当前点的值，而亚当斯-姆尔顿方法则使用当前点的信息（通常是预测值）来“修正”当前点的值，从而获得更精确的结果。这些方法在数值稳定性方面有着更深入的研究。 此外，本书还将探讨如何处理高阶微分方程。高阶微分方程可以直接求解，也可以通过变量代换转化为一组耦合的一阶微分方程组，然后用一阶微分方程的数值方法来求解。例如，一个二阶微分方程 $y'' = g(x, y, y')$ 可以通过令 $u = y'$，从而转化为两个一阶方程组：$y' = u$ 和 $u' = g(x, y, u)$。我们将展示这种转化过程，并讨论其在数值求解中的优势和潜在问题。 第四部分：稳定性、精度与收敛性——评估数值方法的优劣 引入数值方法，我们必须关注其稳定性、精度和收敛性。 稳定性：一个数值方法在计算过程中，是否会将微小的误差逐级放大，最终导致结果的严重失真。不稳定的方法即使理论上精度很高，在实际计算中也可能毫无意义。我们将介绍截断误差（由离散化引起）和舍入误差（由计算机有限的精度引起），以及它们如何相互作用并影响方法的稳定性。我们会学习分析方法的局部稳定性和全局稳定性。 精度：数值方法能够多好地逼近微分方程的真实解。精度通常由阶数来衡量，阶数越高，在相同的步长下，误差下降得越快。我们将深入分析不同数值方法的截断误差项，理解它们的局部截断误差（在一步计算中引入的误差）和全局截断误差（经过多步累积的总误差）。 收敛性：当步长 $h$ 趋于零时，数值解是否趋于真实解。一个稳定的方法，只要其截断误差能趋于零，就能够保证收敛性。我们将基于皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelöf Theorem）来理解局部解的存在唯一性，并探讨在数值求解中，如何通过分析误差传播来论证方法的收敛性。 第五部分：实际应用与进阶探索 本书的最后部分，我们将结合实际例子，展示如何将所学的数值方法应用于解决实际问题。我们会涉及一些经典的物理模型，例如弹簧-质量系统、阻尼振动、受迫振动，以及简单的热传导和扩散过程。通过这些例子，读者可以亲身体验如何将现实世界的物理规律转化为微分方程，进而选择合适的数值方法进行求解，并对计算结果进行分析和解释。 此外，我们还将简要介绍一些更高级的数值方法和概念，例如： 隐式方法：与显式方法（如欧拉法、RK4）不同，隐式方法在计算下一时刻的值时，需要求解一个包含未知数的方程。虽然实现起来更复杂，但隐式方法通常在处理刚性微分方程（stiff equations）时表现出更好的稳定性和效率。 自适应步长控制：为了在保证精度的同时，最大限度地提高计算效率，自适应步长控制技术会根据每一步计算的误差，动态地调整步长的大小。当误差较大时，步长会减小；当误差较小时，步长会增大。 边界值问题（Boundary Value Problems）：与初值问题（Initial Value Problems）不同，边界值问题需要在方程定义域的多个点上指定函数或其导数的值。求解边界值问题通常需要采用与初值问题不同的数值策略，例如打靶法（shooting method）或有限差分法。 “方程的奥秘：求解与探索”不仅仅是一本介绍数值方法的教材，它更是一扇通往理解动态世界和科学计算的大门。通过掌握这些数值方法，读者将能够： 赋予抽象模型以生命：将理论的数学模型转化为计算机上可模拟的动态过程。 量化复杂现象：为那些无法解析求解的现实问题提供量化的答案。 增强科学洞察力：通过观察和分析数值解的行为，深入理解问题的内在规律。 掌握强大的计算工具：为进一步学习更高级的数值分析、科学计算以及相关领域的专业知识打下坚实基础。 我们鼓励读者在学习理论的同时，积极动手实践，利用编程语言（如Python、MATLAB等）实现这些数值方法，并通过可视化工具来观察数值解的演化。只有在实践中不断探索，才能真正掌握微分方程数值方法的精髓，并用它来揭示更多关于我们周围世界的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的第一印象是，它不仅仅是一本教科书，更像是一本“工具书”。从目录上看，它涵盖了从基础概念到各种实际应用的广泛内容。我注意到书中可能涉及到了多种类型的微分方程，包括常微分方程和偏微分方程，以及它们的数值解法。这让我觉得这本书的适用范围非常广，能够满足不同专业背景的读者的需求。我尤其对书中可能包含的关于算法比较和选择的章节很感兴趣，因为在实际应用中，选择最适合特定问题的数值方法往往是关键。我对书中可能提供的伪代码或者程序实现示例也充满期待，这能够帮助我将理论知识转化为实际可操作的代码。我对书中对误差分析和稳定性分析的侧重也感到欣慰，因为这两点是确保数值计算结果可靠性的基石。这本书的出现，无疑为我在学习和应用微分方程数值方法方面提供了极大的便利，让我看到了解决复杂数学问题的曙光。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我一种“久旱逢甘霖”的感觉。我一直在寻找一本能够系统性地介绍微分方程数值解法的教材，市面上虽然有不少选择，但要么过于理论化，要么过于碎片化。而《微分方程数值方法（第2版）》在我粗略浏览之后，似乎恰好填补了这一空白。作者在序言中强调了理论与实践相结合的重要性，并且提到了会包含大量的算例和习题，这对于我这种希望将理论知识转化为实际操作能力的学习者来说，简直是福音。我注意到书中可能涉及到的误差分析部分，这对于理解数值方法的精度和可靠性至关重要。虽然我现在还没有深入阅读，但可以预见，这部分内容将是理解算法优劣的关键。我对书中可能讲解的稳定性分析也充满了好奇，毕竟在数值计算中，稳定性往往是决定能否得到有意义结果的首要因素。这本书的编排似乎也很合理，从基础概念到高级算法，循序渐进，这让我对学习过程充满了信心。我期待着这本书能成为我解决实际问题路上的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

初步翻阅《微分方程数值方法（第2版）》，我感受到了作者深厚的学术功底和严谨的治学态度。书中的概念介绍清晰明了，即使是一些看似晦涩的数学原理，在作者的阐释下也变得易于理解。我特别欣赏书中对一些经典数值方法的介绍，例如亚当斯-巴什福斯方法和改进欧拉方法，作者似乎不仅仅是罗列公式，而是深入剖析了它们的推导过程和内在逻辑，这对于理解算法的“为什么”至关重要。我注意到书中可能还包含了关于有限差分法和有限元法等更高级的数值技术，这些都是我在本科阶段接触过但尚未深入掌握的领域。这本书的出现，为我提供了一个系统梳理和深入学习这些前沿技术的好机会。我期待着书中能够提供丰富的图示和可视化例子，这有助于我更直观地理解算法的运行过程和结果。我相信，通过这本书的学习，我能够更好地掌握如何选择合适的数值方法来解决不同类型的微分方程问题，并对数值解的精度和稳定性有更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书就像是一张精美的藏宝图，虽然我还没真正开始深入挖掘，但仅仅是翻阅目录和前言，就足以让我感受到其中蕴含的宝藏。作者在开篇就清晰地勾勒出了数值方法在解决微分方程问题中的重要性和广泛应用，这让我对即将展开的学习充满了期待。书中提到的各种离散化技术、稳定性分析和收敛性判别，虽然我暂时还无法完全理解其深层含义，但字里行间透露出的严谨性和系统性，已经让我对其专业性有了初步的认识。我尤其对书中提到的一些具体算法，例如欧拉方法、龙格-库塔方法等产生了浓厚的兴趣。虽然目前我对这些算法的原理和实现细节还知之甚少，但从书名和目录的排布来看，我相信作者会循序渐进地引导我们一步步掌握这些强大的工具，并理解它们在不同场景下的适用性和优缺点。这本书的出现，无疑为我学习微分方程的数值解法提供了一个坚实的基础和明确的方向。我期待着通过这本书，能够将抽象的数学理论转化为解决实际工程和科学问题的利器，真正理解“数值”二字背后的力量。

评分☆☆☆☆☆

当我拿到《微分方程数值方法（第2版）》这本书时，首先吸引我的是其整洁的排版和清晰的逻辑结构。作者在引言部分就明确了本书的学习目标和预备知识，这让我在开始阅读之前就能做到心中有数。我注意到书中对不同数值方法的分类和介绍非常系统，从基础的向前欧拉法到更复杂的隐式方法，作者似乎都进行了细致的讲解。我尤其期待书中关于边界值问题的数值解法部分的论述，因为在很多实际工程问题中，求解边界值问题是不可避免的。我对书中对算法收敛性的讨论也充满了兴趣，理解算法的收敛性是评估其性能和可靠性的重要标准。我希望这本书能够通过丰富的实例，让我更好地理解抽象的数学概念在实际问题中的应用。这本书的出现，为我深入理解微分方程的数值解法提供了一个绝佳的平台，让我对接下来的学习充满了信心和期待。