信息與計算科學叢書：分數階微分方程的有限差分方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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孫誌忠，高廣花 著

圖書標籤:

• 分數階微分方程
• 有限差分方法
• 數值分析
• 計算數學
• 科學計算
• 偏微分方程
• 信息與計算科學
• 數學模型
• 工程應用
• 數值方法

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030454720

版次：1

商品編碼：11770865

包裝：精裝

叢書名： 信息與計算科學叢書

開本：16開

齣版時間：2015-08-01

用紙：膠版紙

頁數：232

字數：322000

正文語種：中文

內容簡介

《分數階微分方程的有限差分方法》力求對分數階微分方程的差分方法做個簡明介紹。《分數階微分方程的有限差分方法》分為6章。第1章介紹瞭4種分數階導數的定義。第2章討論求解時間分數階慢擴散方程的有限差分方法。第3章研究時間分數階波方程的有限差分方法。第4章考慮求解空間分數階偏微分方程的有限差分方法。第5章關心求解一類時空分數階微分方程的有限差分方法。第6章介紹求解一類時間分布階微分方程的有限差分方法。

內頁插圖

目錄

第1章 分數階導數及其數值逼近
1．1 分數階導數的定義和性質
1．1．1 分數階積分
1．1．2 Crunwald-Letnikov（C-L）分數階導數
1．1．3 Riemann-Liouville（R-L）分數階導數
1．1．4 Caputo分數階導數
1．1．5 Riesz分數階導數
1．1．6 積分下限處分數階導數的性態
1．2 分數階導數的Fourier變換
1．3 分數階常微分方程
1．3．1 R-L型分數階常微分方程的求解
1．3．2 Caputo型分數階常微分方程的求解
1．4 分數階導數的數值逼近
1．4．1 R-L分數階導數的C-L逼近
1．4．2 Riesz分數階導數的中心差商逼近
1．4．3 Caputo分數階導數的L1插值逼近
1．4．4 Caputo分數階導數的Alikhanov超收斂點插值逼近
1．5 分數階常微分方程的差分方法
1．5．1 基於G-L逼近的方法
1．5．2 基於L1插值逼近的方法
1．5．3 基於Alikhanov超收斂點插值逼近的方法
1．6 補注與討論
習題1

第2章 時間分數階慢擴散方程的差分方法
2．1 一維問題基於G-L逼近的空間二階方法
2．1．1 差分格式的建立
2．1．2 差分格式的唯一可解性
2．1．3 差分格式的穩定性
2．1．4 差分格式的收斂性
2．2 一維問題基於G-L逼近的空間四階方法
2．2．1 差分格式的建立
2．2．2 差分格式的唯一可解性
2．2．3 差分格式的穩定性
2．2．4 差分格式的收斂性
2．3 一維問題基於L1插值逼近的空間二階方法
2．3．1 差分格式的建立
2．3．2 差分格式的唯一可解性
2．3．3 差分格式的穩定性
2．3．4 差分格式的收斂性
2．4 一維問題基於L1插值逼近的空間四階方法
2．4．1 差分格式的建立
2．4．2 差分格式的唯一可解性
2．4．3 差分格式的穩定性
2．4．4 差分格式的收斂性
2．5 二維問題基於G-L逼近的ADI方法
2．5．1 差分格式的建立
2．5．2 差分格式的唯一可解性
2．5．3 差分格式的穩定性
2．5．4 差分格式的收斂性
2．6 二維問題基於L1插值逼近的ADI方法
2．6．1 差分格式的建立
2．6．2 差分格式的唯一可解性
2．6．3 差分格式的穩定性
2．6．4 差分格式的收斂性
2．7 多項時間分數階慢擴散方程的差分方法
2．7．1 差分格式的建立
2．7．2 差分格式的唯一可解性
2．7．3 差分格式的穩定性
2．7．4 差分格式的收斂性
2．8 補注與討論
習題2

第3章 時間分數階波方程的差分方法
3．1 一維問題的空間二階方法
3．1．1 差分格式的建立
3．1．2 差分格式的唯一可解性
3．1．3 差分格式的穩定性
3．1．4 差分格式的收斂性
3．2 一維問題的空間四階方法
3．2．1 差分格式的建立
3．2．2 差分格式的唯一可解性
3．2．3 差分格式的穩定性
3．2．4 差分格式的收斂性
3．3 二維問題的ADI方法
3．3．1 差分格式的建立
3．3．2 差分格式的唯一可解性
3．3．3 差分格式的穩定性
3．3．4 差分格式的收斂性
3．4 二維問題的緊ADI方法
3．4．1 差分格式的建立
3．4．2 差分格式的唯一可解性
3．4．3 差分格式的穩定性
3．4．4 差分格式的收斂性
3．5 多項時間分數階波方程的差分方法
3．5．1 差分格式的建立
3．5．2 差分格式的唯一可解性
3．5．3 差分格式的穩定性
3．5．4 差分格式的收斂性
3．6 補注與討論
習題3

第4章 空間分數階微分方程的差分方法
4．1 一維問題基於位移G-L逼近的一階方法
4．1．1 差分格式的建立
4．1．2 差分格式的唯一可解性
4．1．3 差分格式的穩定性
4．1．4 差分格式的收斂性
4．2 一維問題基於加權位移G-L逼近的二階方法
4．2．1 差分格式的建立
4．2．2 差分格式的唯一可解性
4．2．3 差分格式的穩定性
4．2．4 差分格式的收斂性
4．3 一維問題基於加權位移G-L逼近的四階方法
4．3．1 差分格式的建立
4．3．2 差分格式的唯一可解性
4．3．3 差分格式的穩定性
4．3．4 差分格式的收斂性
4．4 二維問題基於加權位移G-L逼近的四階ADI方法
4．4．1 差分格式的建立
4．4．2 三個引理
4．4．3 差分格式的唯一可解性
4．4．4 差分格式的穩定性
4．4．5 差分格式的收斂性
4．5 補注與討論
習題4

第5章 時空分數階微分方程的差分方法
5．1 一維問題的空間二階方法
5．1．1 差分格式的建立
5．1．2 差分格式的唯一可解性
5．1．3 兩個引理
5．1．4 差分格式的穩定性
5．1．5 差分格式的收斂性
5．2 一維問題的空間四階方法
5．2．1 差分格式的建立
5．2．2 差分格式的唯一可解性
5．2．3 差分格式的穩定性
5．2．4 差分格式的收斂性
5．3 二維問題的空間二階方法
5．3．1 差分格式的建立
5．3．2 差分格式的唯一可解性
5．3．3 差分格式的穩定性
5．3．4 差分格式的收斂性
5．4 二維問題的空間四階方法
5．4．1 差分格式的建立
5．4．2 差分格式的唯一可解性
5．4．3 差分格式的穩定性
5．4．4 差分格式的收斂性
5．5 補注與討論
習題5

第6章 時間分布階慢擴散方程的差分方法
6．1 一維問題空間和分布階二階方法
6．1．1 差分格式的建立
6．1．2 差分格式的唯一可解性
6．1．3 兩個引理
6．1．4 差分格式的穩定性
6．1．5 差分格式的收斂性
6．2 一維問題空間和分布階四階方法
6．2．1 差分格式的建立
6．2．2 差分格式的唯一可解性
6．2．3 差分格式的穩定性
6．2．4 差分格式的收斂性
6．3 二維問題空間和分布階二階方法
6．3．1 差分格式的建立
6．3．2 差分格式的唯一可解性
6．3．3 差分格式的穩定性
6．3．4 差分格式的收斂性
6．4 二維問題空間和分布階四階方法
6．4．1 差分格式的建立
6．4．2 差分格式的唯一可解性
6．4．3 差分格式的穩定性
6．4．4 差分格式的收斂性
6．5 二維問題空間和分布階二階ADI方法
6．5．1 差分格式的建立
6．5．2 差分格式的唯一可解性
6．5．3 差分格式的穩定性
6．5．4 差分格式的收斂性
6．6 二維問題空間和分布階四階ADI方法
6．6．1 差分格式的建立
6．6．2 差分格式的唯一可解性
6．6．3 差分格式的穩定性
……
參考文獻
索引
《信息與計算科學叢書》已齣版書目

前言/序言

信息與計算科學叢書：分數階微分方程的有限差分方法 引言 在現代科學與工程的眾多領域，從材料科學、生物醫學到信號處理和控製理論，分數階微積分（Fractional Calculus）作為一種強大的數學工具，正扮演著越來越重要的角色。與傳統整數階微積分相比，分數階微積分能夠更精確地描述具有記憶效應、非局域性和奇異性的復雜係統行為，從而為分析和解決這些係統中的問題提供瞭更細緻和普適的視角。然而，分數階微分方程（Fractional Differential Equations, FDEs）的解析解往往難以獲得，這使得數值解法成為研究和應用的關鍵。在眾多數值方法中，有限差分方法（Finite Difference Method, FDM）因其概念直觀、實現相對簡便且在特定問題上具有良好的精度和效率，一直受到研究者的青睞。 本書《信息與計算科學叢書：分數階微分方程的有限差分方法》旨在為讀者係統地介紹和深入探討分數階微分方程的有限差分數值求解方法。我們希望通過本書，能夠為從事相關領域研究的學者、工程師以及對這一前沿計算方法感興趣的廣大學子提供一套全麵、深入且具有實踐指導意義的學習資源。本書將重點關注如何將經典的有限差分思想應用於各類分數階算子，並在此基礎上構建求解分數階微分方程的數值格式，分析其穩定性和收斂性，並探討實際應用中的挑戰與策略。 本書內容概述 本書內容設計循序漸進，從基礎概念的引入到復雜問題的求解，力求為讀者構建一個紮實的知識體係。 第一部分：分數階微積分基礎迴顧與有限差分法的引入 在深入探討分數階微分方程的有限差分方法之前，有必要對分數階微積分的核心概念以及有限差分法的基本原理進行簡要迴顧。 分數階微積分的曆史與發展： 追溯分數階微積分的起源，介紹其發展曆程中的重要裏程碑和關鍵人物。 分數階積分的定義： 詳細闡述幾種常用的分數階積分定義，如Riemann-Liouville定義、Caputo定義、Grünwald-Letnikov定義等。深入理解不同定義的數學形式及其物理意義，特彆是在描述連續介質和非局域現象方麵的優勢。 分數階微分的定義： 基於分數階積分的定義，推導相應的分數階微分定義，並討論其與整數階微分在性質上的異同。 分數階微積分的性質： 介紹分數階微積分的一些基本性質，如綫性性質、積分的連續性和可微性等，為後續數值方法的推導奠定基礎。 有限差分法的基本思想： 迴顧有限差分法在求解常微分方程和偏微分方程中的基本思想，包括如何用差商逼近導數，以及網格劃分、時間步長等基本概念。 第二部分：格林納維奇-古特裏（Grünwald-Letnikov）定義下的有限差分方法 Grünwald-Letnikov定義是一種直接將整數階差分推廣到分數階的定義，其形式直觀，易於轉化為有限差分格式，是早期研究分數階微分方程數值解的重要方法之一。 Grünwald-Letnikov分數階微分的定義與性質： 詳細介紹Grünwald-Letnikov分數階微分的公式，並通過算例說明其計算方式。 基於Grünwald-Letnikov定義的有限差分近似： 推導使用Grünwald-Letnikov定義求解分數階導數（包括左側和右側導數）的有限差分格式。重點分析其近似誤差和截斷誤差。 時間分數階微分方程的有限差分法： Caputo型時間分數階微分方程： 重點介紹Caputo型定義在物理模型中的重要性，以及如何基於Grünwald-Letnikov定義近似Caputo型分數階導數。 全離散化格式的構建： 針對不同類型的時間分數階微分方程（如常係數、變係數、非綫性），推導相應的全離散化有限差分格式。 穩定性與收斂性分析： 對構建的有限差分格式進行嚴格的數學分析，包括馮·諾依曼（von Neumann）方法或能量方法進行穩定性分析，以及利用截斷誤差分析和不等式技巧進行收斂性分析。 空間分數階微分方程的有限差分法： 對稱分數階導數的近似： 介紹對稱分數階導數在描述空間非局域性中的應用，並推導其有限差分近似。 基於網格點的差分格式： 討論如何處理空間離散化中的邊界條件和非局域性特徵。 穩定性與收斂性分析： 分析空間分數階微分方程有限差分法的穩定性和收斂性。 時空分數階微分方程的有限差分法： 聯閤時間和空間的分數階導數，介紹其有限差分法的構建與分析。 第三部分：Caputo分數階微分方程的有限差分方法 Caputo定義在描述具有初始條件的分數階微分方程時更為方便，其導數定義與物理初始條件直接相關。因此，針對Caputo定義開發高效的數值方法至關重要。 Caputo分數階微分的性質與計算： 梳理Caputo分數階微分的數學性質，以及其與Grünwald-Letnikov定義的關係。 Caputo型時間分數階微分方程的數值求解： 精確處理時間非局域性： 重點討論如何在數值格式中精確或高精度地處理時間分數階導數的捲積性質，以及纍積效應。 L1和L2格式： 詳細介紹基於梯形求積公式和高階求積公式發展齣的L1和L2等格式，分析其精度和計算效率。 隱式和顯式格式： 探討不同類型時間步進格式的優缺點，以及如何選擇閤適的格式以保證穩定性和效率。 實際算例與結果分析： 通過具體的Caputo型分數階微分方程模型（如分數階擴散方程、分數階波動方程）進行數值模擬，展示算法的有效性，並對結果進行深入分析。 Caputo型空間分數階微分方程的數值求解： 介紹如何將Caputo定義應用於空間分數階微分算子，並推導相應的有限差分格式。 第四部分：其他分數階微分算子的有限差分方法 除瞭Grünwald-Letnikov和Caputo定義，還有一些其他分數階微分算子在特定問題中也具有重要的應用。 Riemann-Liouville定義下的有限差分方法： 探討基於Riemann-Liouville定義推導有限差分格式的難點與解決方案。 廣義分數階微積分的有限差分方法： 簡要介紹更廣義的分數階微積分框架，以及如何將其數值化。 第五部分：分數階微分方程有限差分法的應用與進階 在掌握瞭基礎的有限差分方法後，本書將進一步探討其在具體問題中的應用，以及一些更高級的數值技術。 實際應用中的挑戰與策略： 高維問題： 討論如何處理高維分數階微分方程的有限差分求解。 非綫性問題： 介紹求解非綫性分數階微分方程的數值技巧，如迭代方法、Newton方法等。 復雜邊界條件： 討論如何處理分數階微分方程中的非標準邊界條件。 不規則區域： 簡要提及在不規則區域上求解分數階微分方程的有限差分方法。 精度提升與加速技術： 高階精度格式： 介紹如何構建更高階的有限差分格式，以提高計算精度。 多網格法與迭代求解： 討論如何將多網格法和高效的迭代求解器應用於求解大型稀疏綫性係統，以加速計算。 與其他數值方法的比較： 簡要比較有限差分法與其他求解分數階微分方程的數值方法（如有限元法、譜方法）的優缺點。 軟件實現與案例研究： 編程語言與庫： 推薦常用的編程語言（如Python, MATLAB, C++）和相關的科學計算庫，指導讀者如何實現算法。 典型應用案例： 通過具體的工程和科學問題，如分數階粘彈性材料力學、分數階電化學模型、分數階生物擴散模型等，詳細展示有限差分方法的應用過程，並對模擬結果進行物理解釋。 結語 本書的寫作宗旨是力求清晰、嚴謹，並兼顧理論與實踐。我們希望通過對分數階微分方程有限差分法的係統梳理和深入講解，幫助讀者建立對這一強大數值工具的全麵認識，掌握其核心思想和技術，並能夠將其應用於解決自己研究和工作中的實際問題。分數階微積分及其數值方法是計算科學領域一個充滿活力的研究方嚮，本書的齣版旨在為該領域的進一步發展貢獻力量，並激發更多研究者和工程師的興趣。 目標讀者 本書適閤以下讀者： 信息與計算科學、應用數學、物理學、工程學等相關專業的本科高年級學生和研究生。 從事分數階微積分理論研究、數值方法開發及相關領域應用研究的科研人員。 在材料科學、生物醫學、信號處理、控製工程等領域需要處理分數階微分方程的工程師和技術人員。 對分數階微積分和數值計算有濃厚興趣的讀者。 本書假定讀者具備一定的微積分、綫性代數和基礎數值分析知識。對於分數階微積分的概念，本書將進行必要的鋪墊和迴顧，但讀者若能提前瞭解一些基本概念，將有助於更順暢地閱讀。

評分☆☆☆☆☆

總而言之，《信息與計算科學叢書：分數階微分方程的有限差分方法》是一部極具價值的學術著作。它不僅為我打開瞭分數階微積分計算科學領域的大門，更點燃瞭我深入探索這個迷人世界的熱情。我強烈推薦這本書給任何對分數階微分方程的數值計算方法感興趣的讀者，無論是學生、研究人員還是工程師，相信這本書都將成為您寶貴的參考書。

評分☆☆☆☆☆

隨著閱讀的深入，我逐漸意識到，這本書並非僅僅是關於“如何計算”，更是在“理解計算背後的科學”。作者在講解有限差分方法時，非常注重從數學的本質齣發，闡述為什麼特定的離散化方法能夠有效地逼近連續方程的解。對於那些對於誤差分析和穩定性理論感到頭疼的讀者來說，這本書無疑是雪中送炭。書中對局部截斷誤差和全局截斷誤差的分析，以及對Von Neumann穩定性分析等內容的詳細講解，都為我理解數值方法的可靠性提供瞭堅實的基礎。我特彆欣賞書中對於不同離散化方法的優缺點進行的比較分析，這有助於我根據實際問題選擇最閤適的方法，避免盲目套用。

評分☆☆☆☆☆

這本《信息與計算科學叢書：分數階微分方程的有限差分方法》在我手中已經有一段時間瞭，每次翻閱都能帶來新的啓發，仿佛進入瞭一個由精妙數學構建的深邃世界。我並非這個領域的資深研究者，更多的是一名對計算科學充滿好奇的學習者，而這本書恰恰滿足瞭我跨越概念鴻溝的需求。從它誕生的那一刻起，我就預感到它將成為我工具箱裏不可或缺的一員。書中對分數階微分方程的介紹，並非枯燥的理論堆砌，而是循序漸進地引導讀者理解其核心思想，從經典的整數階微分方程齣發，巧妙地引入瞭分數階的抽象概念，並清晰地闡述瞭其在現實世界中的廣泛應用，例如在材料科學、生物醫學信號處理、以及金融建模等領域，這讓原本顯得遙不可及的數學工具立刻變得鮮活而有意義。

評分☆☆☆☆☆

在閱讀過程中，我發現書中對算法的實現細節也進行瞭細緻的講解。無論是時間方嚮的離散化，還是空間方嚮的離散化，書中都給齣瞭清晰的步驟和相應的數值技巧。例如，在處理時間分數階導數時，如何高效地計算那些隨著時間步長纍積的捲積積分，書中給齣瞭幾種優化的策略，這對於提高計算效率至關重要。對於我來說，掌握這些實現技巧，意味著我能夠將書中的理論知識轉化為實際可行的計算程序，從而真正地應用到我的研究或項目當中。

評分☆☆☆☆☆

從排版和裝幀上看，這本書也做得非常齣色。紙張的質量上乘，印刷清晰，即使長時間翻閱，也不會感到疲勞。書中大量的公式和圖錶都得到瞭很好的呈現，這一點對於理解復雜的數學內容至關重要。我尤其喜歡書中對關鍵概念和公式的突齣顯示，這使得我在迴顧時能夠快速定位到重要的信息。

評分☆☆☆☆☆

本書最讓我印象深刻的是其對有限差分方法的深入探討。我一直對數值計算的嚴謹性抱有敬畏之心，而有限差分方法正是連接理論模型與實際計算的橋梁。作者團隊在這本書中，不僅詳細講解瞭各種經典的有限差分格式，如顯式、隱式和Crank-Nicolson方法，還針對分數階微分方程的特殊性，提齣瞭許多創新性的離散化策略。例如，對於 Caputo 分數階導數，書中詳細推導瞭基於 Grünwald-Letnikov 公式的多步公式，並對其精度和穩定性進行瞭深入分析。這部分內容對我來說是極具挑戰性的，但作者通過大量的圖示和算例，將抽象的數學推導變得直觀易懂，我甚至會反復閱讀其中的公式推導過程，嘗試自己動手演算，以期更深刻地理解其背後的數學邏輯。

評分☆☆☆☆☆

當然，作為一本技術性很強的書籍，它對讀者的數學基礎有一定的要求。我曾遇到過一些概念，例如在處理高階分數階導數時，需要對一些更復雜的數學工具有所瞭解。不過，本書作者也深知這一點，所以在一些關鍵概念的引入上，都力求簡潔明瞭，並提供瞭大量的參考文獻，方便讀者進行更深入的探索。對於像我這樣的初學者，有時候會感到信息量巨大，需要花費大量時間去消化吸收。但是，每次剋服一個難點，都會帶來巨大的成就感，也讓我對分數階微分方程和有限差分方法的理解更加透徹。

評分☆☆☆☆☆

盡管我還沒有完全掌握書中的所有內容，但我已經能夠感受到它對我思維方式的深刻影響。我開始更加關注問題背後的數學結構，更加善於利用數值方法來解決復雜的計算挑戰。這本書讓我明白，即使是抽象的數學概念，隻要掌握瞭恰當的工具和方法，就能夠被用來解決現實世界中的實際問題，這是一種令人振奮的啓示。

評分☆☆☆☆☆

我認為，這本書的齣版對於推動分數階微積分在計算科學領域的應用具有裏程碑式的意義。它填補瞭許多現有教材在這一領域的空白，為廣大研究人員和工程師提供瞭一個係統、全麵、深入的學習平颱。我曾嘗試閱讀過一些零散的期刊文章，但始終覺得缺乏一個整體性的框架，而這本書正好彌補瞭這一點，它將分散的知識點有機地整閤在一起，形成瞭一個完整的知識體係。

評分☆☆☆☆☆

這本書還有一個顯著的特點是其理論聯係實際的緊密性。書中不僅僅停留在理論推導，而是通過大量的工程和科學應用案例，生動地展示瞭分數階微分方程在解決實際問題中的強大威力。我尤其對其中關於“記憶效應”的討論印象深刻，分數階導數能夠巧妙地捕捉到係統過去的狀態對當前行為的影響，這在許多物理和工程係統中是至關重要的。書中提供的代碼示例，雖然我還需要進一步學習和實踐，但它們無疑為我提供瞭一個很好的起點，讓我能夠親手實現書中的算法，並進行驗證。

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