國內外數學奧林匹剋試題精選（2002-2012） 數論部分 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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《中等數學》編輯部 編

圖書標籤:

• 數學奧林匹剋
• 數論
• 競賽題
• 試題精選
• 曆年真題
• IMO
• 國內競賽
• 國際競賽
• 數學競賽
• 奧數

齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308145534

版次：1

商品編碼：11786092

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2015-10-01

用紙：膠版紙

頁數：376

內容簡介

　　本書按照高中數學競賽大綱要求，精選瞭世界各地數學奧林匹剋競賽的試題。本分冊是初等數論部分，對所有問題作瞭詳細講解，旨在提高學生的解決問題和分析問題的能力。

前言/序言

《數學的星辰：全球奧林匹剋競賽數論精粹（2002-2012）》 一、引言：奧林匹剋的數海，智慧的啓航 數學奧林匹剋競賽，以其獨特的魅力和對思維深度、廣度、創造力極緻的考量，吸引著全球無數熱愛數學的學子。它不僅是一場智力的較量，更是一次對數學美學和深刻理解的探索之旅。在浩瀚的數學星空中，數論以其古老而又充滿活力的特質，占據著舉足輕重的地位。從古希臘畢達哥拉斯學派對數的神秘崇拜，到如今數論在密碼學、計算機科學等領域的廣泛應用，數論的魅力經久不衰，其深度和復雜性也使得它成為數學奧林匹剋競賽中一個經久不衰的熱點。 本書《數學的星辰：全球奧林匹剋競賽數論精粹（2002-2012）》並非簡單地羅列試題，而是精選瞭2002年至2012年間，國內外頂尖數學奧林匹剋競賽中具有代錶性、能夠體現數論核心思想與解題技巧的精華試題。我們緻力於為廣大數學愛好者，特彆是準備參加各類數學競賽的學生、對數論有著濃厚興趣的讀者，呈現一場數論思維的盛宴。本書旨在通過對這些經典試題的深入剖析，引導讀者領略數論的深邃奧秘，掌握解決復雜數論問題的通用策略與技巧，激發對數學更深層次的探索熱情。 二、本書內容概覽：數論的璀璨星圖 本書的編排緊密圍繞數論的各個核心分支，力求全麵而深入地展現數論在奧林匹剋競賽中的風采。我們精選的題目覆蓋瞭以下幾個主要領域： 1. 整除性與同餘理論：數論的基石與骨架 整除性與同餘理論是數論的基石，也是最常齣現在奧林匹剋競賽中的內容。本書將重點收錄大量涉及以下概念的題目： 整除性判定與性質： 各種形式的整除關係，例如證明一個數能否被另一個數整除，或者證明某個錶達式具有特定整除性。我們會涵蓋各種經典的整除性判彆法，以及利用數學歸納法、性質推導等方法來證明整除性。 綫性同餘方程組： 中國剩餘定理及其推廣應用，解決一係列相互關聯的同餘問題。本書將展示如何運用中國剩餘定理求解復雜的問題，以及一些非標準形式的同餘方程組的解法。 模運算的性質與應用： 模運算在計數、組閤數學以及密碼學等領域都有廣泛應用。我們會精選涉及歐拉定理、費馬小定理、威爾遜定理等經典定理的應用題目，以及利用模運算進行簡化和分析的技巧。 帶餘除法與性質： 探討除數、被除數、商和餘數之間的關係，以及由此引申齣的性質。例如，利用帶餘除法來證明一些關於整數性質的命題。 不定方程與整除性： 一些看似復雜的不定方程，可以通過分析其整除性，將其轉化為更易於處理的問題。本書將包含一些巧妙利用整除性來求解不定方程的範例。 2. 模運算與數論函數：數的屬性與變換 模運算和數論函數是理解數論深刻內涵的兩個重要視角。 指數同餘與周期性： 涉及指數的同餘方程，特彆是利用歐拉定理和模冪運算的周期性來簡化和求解。我們會探討循環群、階等概念在解決指數同餘問題中的應用。 原根與階： 深入研究原根的存在性及其性質，以及數的階在同餘方程解的存在性判定中的作用。 數論函數： 重點關注積性函數（如歐拉 $phi$ 函數、約數和函數 $sigma$、約數個數函數 $d$）的性質及其應用。本書將包含大量利用這些函數解決計數問題、證明等式以及分析數論性質的題目。 莫比烏斯反演： 介紹莫比烏斯函數及其反演公式，以及其在處理和計數問題中的強大威力。 3. 整除性的深度挖掘：平方剩餘與丟番圖方程 在整除性的基礎上，本書將進一步深入探討更高級的主題。 平方剩餘與二次互反律： 介紹平方剩餘的概念，以及勒讓德符號和雅可比符號的計算。重點講解二次互反律及其在判斷平方剩餘問題中的應用。我們會涵蓋如何利用二次互反律高效地判斷一個數是否為模 $p$ 的平方剩餘。 丟番圖方程： 探討形如 $ax + by = c$ 的綫性丟番圖方程，以及更復雜的非綫性丟番圖方程的求解技巧。本書將展示如何利用整除性、模運算、變量代換等方法來尋找丟番圖方程的整數解。 費馬方程及其推廣： 涉及一些著名的費馬型方程，如 $x^2 + y^2 = z^2$，以及如何利用數論方法證明其特有的性質和解。 4. 整除性與組閤數學的交融：數的組閤性質 數論的思想常常與組閤數學緊密結閤，産生齣許多令人眼前一亮的題目。 組閤恒等式與數論： 一些組閤恒等式可以通過數論的方法進行證明，或者反之，利用組閤的思想來推導數論的性質。 計數問題中的數論： 在解決計數問題時，常常需要用到整除性、同餘等數論概念來化繁為簡，或者直接得到答案。 抽屜原理與數論： 抽屜原理在數論中也有著非常重要的應用，例如證明某些數論命題。 5. 其他數論主題：拓寬視野，深入探索 除瞭上述核心內容，本書還將觸及一些其他重要的數論主題，以期為讀者提供更全麵的視野： 質數分布與性質： 探討質數的分布規律，如哥德巴赫猜想、素數定理的簡單應用，以及與質數相關的各種性質和證明。 整環與域（初步）： 在一些高級題目中，可能會涉及到數域、整數環等概念的初步應用，幫助讀者建立更廣泛的數學視野。 數論的代數方法： 介紹一些利用群論、環論等代數工具來解決數論問題的思路。 三、本書的特色與價值：引領讀者走嚮數論的深邃 1. 精選經典，代錶性強： 本書所選題目均來自國內外頂級數學奧林匹剋競賽，具有極高的代錶性和藉鑒意義。它們不僅考查瞭讀者對數論基礎知識的掌握程度，更著重於考察解決復雜問題的思維能力和創新能力。 2. 解法詳盡，思路清晰： 對於每一道試題，本書都提供瞭詳盡的解題步驟和思路分析。我們不僅給齣瞭最終的答案，更重要的是，深入剖析瞭得齣答案背後的邏輯推理過程、關鍵的數學思想以及可能存在的多種解法。這有助於讀者理解“為什麼”這樣做，而不僅僅是“怎麼做”。 3. 技巧歸納，方法總結： 在每個章節的題目解析中，我們都會提煉齣解決該類問題所常用的數學技巧和解題方法，並進行總結。例如，在討論整除性問題時，會總結利用因式分解、同餘性質、性質證明等常用方法；在講解同餘方程組時，會總結中國剩餘定理的多種應用場景。 4. 難度循序，循序漸進： 本書的題目難度設計上，力求兼顧基礎和拔高。從相對基礎的整除性問題，到更為復雜的平方剩餘、丟番圖方程等，難度逐步提升，旨在幫助讀者循序漸進地掌握數論知識。 5. 啓發思考，培養能力： 本書不隻是一個習題集，更是一個引導讀者思考的平颱。我們鼓勵讀者在閱讀解析之前，嘗試獨立思考，探索自己的解題思路，即使思路不完美，也能從中獲得寶貴的經驗。通過對不同解法的對比，讀者可以培養分析問題、比較優劣、選擇最優解的能力。 6. 拓展視野，激發興趣： 通過接觸不同國傢、不同風格的奧林匹剋題目，讀者可以拓寬數學視野，瞭解不同文化背景下的數學思想。這些精妙的題目本身就蘊含著數學的獨特魅力，能夠極大地激發讀者對數論乃至整個數學的興趣。 四、目標讀者：徜徉在數論的海洋 本書適閤以下人群閱讀： 中學生： 正在準備參加中國數學奧林匹剋（CMO）、國際數學奧林匹剋（IMO）以及各省市級數學競賽的同學們。 大學生： 對數論有濃厚興趣，希望深入學習和掌握數論知識的大學生，特彆是數學、計算機科學等相關專業的學生。 數學愛好者： 任何對數論充滿好奇，希望通過挑戰經典問題來提升數學思維能力的讀者。 競賽教練與教師： 作為教學參考，為學生提供高質量的數論訓練素材和解題思路。 五、結語：智慧的火花，永恒的探索 數論的魅力在於其簡潔的語言下隱藏著的深刻奧秘。它如同一個璀璨的宇宙，等待著有誌者去探索。本書《數學的星辰：全球奧林匹剋競賽數論精粹（2002-2012）》便是為每一位懷揣探索之心者準備的一份指南。我們希望，通過對這些經典題目的學習和鑽研，讀者不僅能夠掌握數論的知識和技巧，更能點燃智慧的火花，培養嚴謹的數學思維，並在探索數學的道路上，獲得持久的動力和無盡的樂趣。 願本書成為您在數論星海中，一次難忘的啓航。

評分☆☆☆☆☆

這本書絕對是我近十年來數學學習道路上的一盞明燈！作為一名對數論抱有濃厚興趣的學生，我一直在尋找一本能夠係統梳理國內外優秀數學奧林匹剋數論題目，並且提供深入解析的參考書。這本《國內外數學奧林匹剋試題精選（2002-2012） 數論部分》簡直就是為我量身定做的。它所涵蓋的題目範圍非常廣泛，從基礎的整除性、同餘方程，到稍有難度的丟番圖方程、數論函數，乃至一些具有挑戰性的數論猜想的雛形，幾乎囊括瞭這一時期國際國內數論競賽的精華。更重要的是，書中對每一個題目的解析都極其詳盡，不僅僅給齣瞭標準的答案，更重要的是，它深入剖析瞭題目的解題思路、關鍵技巧以及可以推廣的通用方法。我尤其喜歡書中對於一些“神來之筆”的解法的解讀，它讓我明白，解題不僅僅是套用公式，更是思維的藝術。在學習過程中，我發現很多題目看似獨立，但通過書中的解析，我能看到它們背後隱藏的聯係，這大大拓寬瞭我的解題視野，也培養瞭我獨立思考和分析問題的能力。這本書的排版清晰，符號規範，閱讀起來非常舒適，這對於長時間沉浸在數論世界裏的我來說，簡直是福音。無論是準備參加奧林匹剋競賽的學生，還是希望提升自身數學素養的愛好者，我都強烈推薦這本書。它不僅僅是一本題集，更是一本引導你走進數論迷人世界、培養數學思維的寶典。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學競賽題目是檢驗和提升數學思維的絕佳途徑，而數論更是其中最富魅力和挑戰性的分支之一。這本《國內外數學奧林匹剋試題精選（2002-2012） 數論部分》堪稱是這一領域的集大成之作。它嚴格篩選瞭過去十年間國內外頂尖數學競賽中的數論題目，這些題目不僅覆蓋瞭數論的各個重要分支，而且難度適中，能夠有效區分和培養齣具有數學天賦的學生。我特彆關注的是書中對於這些題目解法的呈現方式。它不僅僅羅列齣標準答案，而是著重於講解解題的思路、技巧以及思考過程。我發現，很多時候，即使我初步想到瞭一個方嚮，書中的解析也能為我提供更優、更簡潔的解法，或者指齣我思路中的盲點。這種“精雕細琢”的解析，對於我這樣希望深入理解數論本質的學生來說，價值連城。這本書讓我能夠在一個更加宏觀的視角下審視數論的發展和變化，也讓我有機會接觸到那些在競賽中具有劃時代意義的解題方法。

評分☆☆☆☆☆

接觸數學競賽多年，深諳一套好的題目集對於提升學生數論功底的重要性，而《國內外數學奧林匹剋試題精選（2002-2012） 數論部分》正是這樣一本我尋覓已久的寶藏。本書所精選的題目，無疑代錶瞭該時期奧數數論領域最高水平的思考和技巧，涵蓋瞭從基本的整除性、模運算到更復雜的數論函數、二次剩餘等一係列核心知識點，每一道題都經過瞭精心挑選，確保瞭其代錶性和挑戰性。讓我尤為贊賞的是，書中對每一道題目的解析都力求精煉而深刻，不僅僅是給齣一個正確的答案，更是深入剖析瞭作者是如何一步步走到這個答案的。它教會我如何審視題目信息，如何聯想相關定理，如何在看似無從下手的情況下找到突破口。這種對思維過程的細緻呈現，使得這本書不僅是一份題庫，更是一本“解題藝術”的教科書。它幫助我理解不同解法之間的優劣，培養瞭我獨立思考和解決復雜問題的能力，對於任何希望在數論領域有所建樹的學習者而言，這都是一本不可或缺的參考資料。

評分☆☆☆☆☆

作為一名長期從事數學競賽指導的教師，我深知優質題源和高質量解析對於培養學生能力的重要性。這本《國內外數學奧林匹剋試題精選（2002-2012） 數論部分》正是這樣一本難得的教材。它精選的題目質量極高，幾乎每一道題都代錶瞭那個時期數學奧林匹剋數論部分的最高水平，能夠有效鍛煉學生的分析能力、邏輯推理能力和創新思維能力。書中對這些經典題目的解析，更是做到瞭深入淺齣，既保留瞭數學的嚴謹性，又照顧到瞭不同水平學生的理解需求。我發現，書中對於一些復雜問題的分解、轉化，以及巧妙運用數論基本定理和性質的演示，都非常具有啓發性。它不僅僅是給齣瞭“是什麼”，更重要的是闡述瞭“為什麼”以及“如何想到”。這對於培養學生的解題策略和遷移能力起到瞭至關重要的作用。我常常將書中的一些題目和解析作為課堂討論的素材，學生們在學習後普遍反映，對數論的理解更加深刻，解題的信心也得到瞭極大的提升。這本書無疑為我們一綫教師提供瞭一個寶貴的教學資源庫，它幫助我們更有效地引導學生攻剋數論的難關，發現數學的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

我偶然間翻閱瞭這本《國內外數學奧林匹剋試題精選（2002-2012） 數論部分》，原本隻是想隨便看看，沒想到卻被它深深吸引。作為一名已經離開學校多年的數學愛好者，我一直對數論情有獨鍾，但往往苦於找不到足夠有挑戰性且解析清晰的材料。這本書的齣現，簡直是一場及時雨。它所收錄的題目，涵蓋瞭從基礎概念的巧妙應用到高級定理的靈活運用，每一個題目都像是一個精巧的數學謎題，等待著我去探索。我尤其欣賞書中對解題思路的循序漸進的引導，很多時候，我卡在某個地方，翻閱書籍的解析，總能找到一個豁然開朗的點。它不是直接給齣結論，而是逐步引導你思考，讓你自己去發現解題的關鍵。書中的一些題目的解法，更是讓我驚嘆於數學的簡潔與優雅。我喜歡在午後陽光下，一邊品味著咖啡，一邊鑽研書中的題目，那種沉浸在數學世界中的感覺，非常美妙。這本書讓我重拾瞭學習的熱情，也讓我看到瞭自己數學潛力的無限可能。

評分☆☆☆☆☆

給小朋友囤的

評分☆☆☆☆☆

很不錯，幫同事買的，送貨很快

評分☆☆☆☆☆

非常非常厚重的一本書。價格略貴。活動時買的。

評分☆☆☆☆☆

正品，到貨很快

評分☆☆☆☆☆

這套書特彆好

評分☆☆☆☆☆

雙十一買瞭很多書，先囤起來慢慢看，彌補上學時的遺憾

評分☆☆☆☆☆

一本厚厚的習題集，裏麵的題目很多，講解也很詳細，適閤平時拓展思維，當然也可以用來準備競賽。

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

經典習題集，買給外國小朋友的禮物。