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张宇 编

图书标签:

• 线性代数
• 张宇
• 9讲
• 高等数学
• 大学教材
• 考研
• 数学基础
• 矩阵
• 向量
• 行列式

出版社： 北京理工大学出版社

ISBN：9787568216630

版次：1

商品编码：11852657

包装：平装

丛书名： 张宇考研数学系列丛书

开本：16开

出版时间：2016-01-01

用纸：胶版纸

页数：208

产品特色

编辑推荐

　　《2017张宇线性代数9讲》*面覆盖考试大纲，在基础知识点的讲解之后，给出相应的例题对知识点做具体阐述，并适当配以注释，说明考试中常考的方式和易出现的错误，*后给出习题供考生加强对知识点的理解和对做题技巧的把握。这样循序渐进，让考生对数学知识从懵懂到融会贯通。本书有原命题人参与。

内容简介

　　本书按大纲常考知识点分为9讲，每一讲又分三个模块：内容精讲、例题精解和习题精练。
　　内容精讲：作者以轻松且类似于“面对面讲课”的语言形式精讲知识点，给读者虽在看书，但仿佛在听讲课般的感受。
　　例题精解：例题选取均是作者从众多经典题目中认真筛选出来的，可谓经典中的经典．每道题目均具代表性，绝不是大量题目的简单堆砌。
　　习题精练：习题的选择更具考查目的，均尽力模拟真题的形式来设置题目，且配有详尽的解析，需要学生认真练习，加以巩固，有真正提高数学能力的价值。
　　总之，读者读过本书之后，一定能体会到编者的良苦用心，并且，对于线性代数知识点的把握以及整体水平的提高定会起到积*的作用。

作者简介

　　张宇，博士，*guo 考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨干教师”，*guo畅销书《张宇高等数学18讲》《张宇线性代数9讲》《张宇概率论与数理统计9讲》《张宇考研数学题源探析经典1000题》《张宇考研数学真题大*解》《张宇考研数学*后4套卷》等书作者，高等教育出版社《*guo硕士研究生入学统一考试数学考试大纲解析》编者之一，2007年斯洛文尼亚*球可持续发展大会受邀专家（发表15分钟主旨演讲），北京、上海、广州、西安等地*guo 考研数学辅导班*席主讲。

目录

第1 讲 行列式的基本概念与计算
内容精讲
一、行列式的定义
二、行列式的性质
三、行列式的展开定理
四、范德蒙德行列式
例题精解
习题精练
第2 讲 行列式的综合计算与应用
内容精讲
一、用行或列表示的行列式的性质
二、分块矩阵的行列式（拉普拉斯展开式）
三、克拉默法则
例题精解
习题精练
第3讲 矩阵的基本概念与运算
内容精讲
一、矩阵的定义及其基本运算
二、特殊矩阵
三、分块矩阵
四、矩阵的逆
例题精解
习题精练
第4 讲 伴随矩阵、初等矩阵与矩阵方程
内容精讲
一、伴随矩阵及其运算
二、初等变换与初等矩阵
三、等价矩阵和矩阵的等价标准形
四、矩阵的秩
例题精解
习题精练
第5 讲 向量
内容精讲
一、向量及线性相关性
二、极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩
三、向量空间
例题精解
习题精练
第6讲 线性方程组
内容精讲
一、齐次线性方程组
二、非齐次线性方程组
例题精解
习题精练
第7讲 特征值与特征向量
内容精讲
一、基本概念
二、基本性质
例题精解
习题精练
第8 讲 相似矩阵与相似对角化
内容精讲
一、矩阵的相似
二、矩阵可对角化的条件
三、实对称矩阵必可相似于对角阵
例题精解
习题精练
第9讲 二次型
内容精讲
一、二次型及其矩阵表示
二、合同变换，二次型的合同标准形、规范形
三、惯性定理
四、正定二次型及其判别
例题精解
习题精练

前言/序言

　　大学所学、考研所考的线性代数大致可分为三个部分。一是基础部分，包括行列式与矩阵；二是主题部分，包括向量组与方程组；三是应用部分，包括特征值与二次型。其知识的经典性与数学试题的命制规律性均较易把握。
　　本书将数学考试大纲科学地分为9讲，全面阐述了所有考点与命题点，读者若能认真研习本书内容，吃透每一知识点，定能在线性代数的学习与复习中取得成功。
　　在2016年的考研中，本书再续佳绩：不仅在考点上与试题吻合，命题思路也完全一致，举例说来，读者可对比2016考研数学中的两道大题（共22分），分别对应着本书习题6。14与习题8。9。这令作者感到欣慰。
　　在2017版《张宇线性代数9讲》中，我们增加了一些重要内容（包括知识点讲解与例题分析），订正了上一版的瑕疵，期待献给读者一本更好的资料。
　　最后，我谨代表作者团队，再次感谢各位编辑老师的辛苦工作，感谢邝金武同志的大力支持，感谢全国考生的厚爱。希望本书能够继续帮助考研复习和立志提高大学数学学习能力的读者实现目标。
　　张宇
　　2016年1月于北京

《数学之基石：线性代数深度解析》 引言 数学，作为描述世界、揭示规律的普适语言，其分支众多，而线性代数无疑是其中最核心、最具影响力的组成部分之一。它不仅是高等数学、物理学、工程学、计算机科学、经济学等诸多学科的理论基础，更在现代数据科学、人工智能等新兴领域扮演着不可或缺的角色。理解和掌握线性代数，如同掌握了一把解锁更广阔知识领域的钥匙。 本书旨在为读者提供一套系统、深入、富有启发性的线性代数学习体验。我们并非简单罗列定义与定理，而是力求通过清晰的逻辑脉络、丰富的几何直观、以及贴近实际应用的案例，帮助读者建立起对线性代数概念的深刻理解，并培养其解决实际问题的能力。本书内容涵盖了线性代数的经典理论，并在此基础上，引导读者探索其在现代科学技术中的前沿应用。 第一章：向量与空间——万物之源 本章将从最基础的“向量”概念入手，描绘出线性代数宏大的图景。我们将探讨向量的定义、运算（加法、数乘）及其几何意义，理解向量是如何在二维、三维乃至更高维度的空间中进行表示和理解的。 向量的引入与表示：从物理学中的力、速度等具象概念，到抽象的数学对象，向量的定义将娓娓道来。我们将学习向量的坐标表示法，以及如何在不同维度空间中进行可视化。 向量空间的概念：进一步抽象，我们将引入“向量空间”这一核心概念。通过对一组满足特定性质（如加法封闭性、数乘封闭性等）的向量集合的研究，读者将初步领略到数学的严谨与抽象之美。我们将讨论常见的向量空间，如 $mathbb{R}^n$、多项式空间等。 线性组合与张成：向量之间的关系，通过“线性组合”得以精确描述。一个向量是否能由一组已知向量通过线性组合得到？“张成”的概念将为我们解答这个问题。我们将学习如何判断一组向量是否能够张成某个空间，以及“张成空间”的维度。 线性无关与基：当一组向量中，没有任何一个向量能被其他向量通过线性组合表示时，它们就被称为“线性无关”。线性无关组与张成空间的概念紧密相连，并引出了“基”这一重要概念。基是张成空间的最小生成集，它能够唯一地表示空间中的任何一个向量。理解基的概念，是理解向量空间维度和坐标系转换的基础。 坐标系与维数：我们将深入探讨不同基下的向量坐标表示，以及坐标系之间的转换。不同基下的向量表示虽然形式不同，但其所代表的几何对象和内在属性是不变的。本章也将通过直观的例子，帮助读者理解向量空间的“维数”这一抽象概念。 第二章：矩阵——数学的变换之舞 矩阵，作为线性代数的核心表达工具，是连接向量与空间、描述线性变换的关键。本章将系统介绍矩阵的定义、运算以及其背后蕴含的几何意义。 矩阵的定义与类型：我们将学习矩阵的行、列、阶等基本概念，并介绍零矩阵、单位矩阵、对称矩阵、对角矩阵等常见矩阵类型。 矩阵运算：矩阵的加法、数乘、乘法是其最基本的运算。矩阵乘法的“不满足交换律”将是我们重点关注的特性，并探讨其几何解释。此外，我们还将介绍矩阵的转置、迹等运算。 初等行变换与矩阵秩：通过一系列“初等行变换”，我们可以将矩阵化为简化的形式，从而揭示矩阵的内在结构。“矩阵秩”的概念，将与初等行变换紧密联系，它反映了矩阵所代表的线性变换的“有效维度”，是判断线性方程组解的存在性和唯一性的重要依据。 逆矩阵与伴随矩阵：对于某些特殊的方阵，存在一个“逆矩阵”，它在矩阵乘法中扮演着类似倒数的角色。我们将学习如何计算逆矩阵，并理解逆矩阵的几何意义——它代表了原矩阵所描述的线性变换的反向变换。伴随矩阵也将被介绍，作为计算逆矩阵的一种方法。 分块矩阵：当矩阵规模较大时，可以将其划分为若干个子矩阵，即“分块矩阵”。分块矩阵的运算能够简化复杂矩阵的计算，并在许多实际问题中得到应用，例如求解大型线性方程组。 第三章：线性方程组——解开方程的奥秘 线性方程组是线性代数中最直接的应用之一。本章将从多个角度，深入解析线性方程组的解法、解的存在性及唯一性问题。 线性方程组的表示：我们将学习如何使用矩阵和向量来简洁地表示一个线性方程组，如 $Ax = b$ 的形式。 高斯消元法：这是求解线性方程组最基本也是最重要的算法。我们将详细介绍高斯消元法的步骤，包括行变换、回代等，并理解其几何意义——通过一系列变换，将方程组的几何表示（超平面交点）转化为易于求解的形式。 解的存在性与唯一性：根据系数矩阵的秩与增广矩阵的秩的关系，我们可以判断线性方程组是否存在解，以及解是唯一还是有无穷多组。我们将通过“自由变量”和“参数方程”来描述无穷多解的情况。 齐次线性方程组：当常数项为零时，称为齐次线性方程组。齐次线性方程组总有零向量解，我们将探讨其非零解的存在性条件，以及解空间（零空间）的概念。 克拉默法则：对于某些特定情况下的线性方程组，克拉默法则提供了一种使用行列式求解的方法。我们将介绍克拉默法则的原理，并讨论其适用范围和局限性。 第四章：行列式——空间体积的度量 行列式是方阵的一个重要性质，它不仅在求解线性方程组中扮演角色，更深刻地反映了矩阵所代表的线性变换对空间体积的影响。 行列式的定义与计算：我们将从二阶、三阶行列式的计算出发，逐步推广到 n 阶行列式的定义，包括代数余子式和代数和的概念。 行列式的性质：我们将系统介绍行列式的各种重要性质，如行变换对行列式的影响、行列式的乘法性质等。这些性质能够极大地简化行列式的计算。 行列式与线性方程组：我们将再次审视行列式与线性方程组解的存在性、唯一性的关系，特别是克拉默法则的推导。 行列式与几何意义：本章的重点之一是理解行列式的几何意义。我们将会看到，方阵的行列式的绝对值，代表了该矩阵所描述的线性变换对单位体积（或面积）的伸缩因子。例如，二维空间中，行列式的绝对值表示了线性变换将单位正方形映射成的平行四边形的面积。 行列式与可逆性：行列式的值与矩阵的可逆性直接相关。非零行列式的方阵是可逆的，而零行列式的方阵是不可逆的。 第五章：特征值与特征向量——探索系统的内在属性 特征值与特征向量是线性代数中最具深度和应用价值的概念之一。它们揭示了线性变换在特定方向上的“伸缩”行为，是理解系统动态、数据降维等问题的关键。 特征值与特征向量的定义：我们将通过 $Av = lambda v$ 的方程，精确定义特征值 $lambda$ 和对应的特征向量 $v$。理解这个方程的含义，即向量 $v$ 在经过线性变换 $A$ 的作用后，方向不变，只发生长度的伸缩。 求解特征值与特征向量：我们将学习如何通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来获得特征值，然后代入 $(A - lambda I)v = 0$ 来求解对应的特征向量。 特征值与特征向量的性质：我们将探讨不同情况下（如对称矩阵、对角矩阵）特征值和特征向量的性质，以及它们之间的关系。 特征值与特征向量的几何意义：特征向量指示了线性变换作用下方向不变的轴，而特征值则表示了沿着这些轴的伸缩比例。 对角化：如果一个矩阵能够通过相似变换转化为对角矩阵，那么它就被称为“可对角化的”。对角化过程与矩阵的特征值和特征向量密切相关，它将复杂的矩阵运算转化为简单的对角矩阵运算，极大地简化了问题。本章将深入探讨对角化的条件和方法。 第六章：向量空间与子空间——结构的延伸 本章将进一步拓展向量空间的理论，引入子空间的概念，并探讨向量空间之间的线性映射。 向量空间的基与维数回顾：我们将对第一章中介绍的基与维数概念进行巩固和深化，理解向量空间的结构。 子空间的定义与性质：一个向量空间的子集，如果自身也构成一个向量空间，则被称为“子空间”。我们将学习如何判断一个集合是否为子空间，并介绍重要的子空间，如零空间、列空间、行空间。 子空间的基与维数：我们将探讨子空间的基和维数，以及它们与原向量空间的关系。 子空间的交与和：我们还将研究两个子空间的交集与并集的性质，以及“直和”这一重要概念。 线性映射：从一个向量空间到另一个向量空间的映射，如果保持向量的加法和数乘运算，则称为“线性映射”。我们将学习线性映射的性质，如核（零空间）与像（列空间）的概念，以及维度公式。 第七章：内积空间——度量与角度的引入 本章将为向量空间引入“内积”的概念，从而能够度量向量的长度、距离，以及向量之间的角度，使得几何直观更加丰富。 内积的定义与性质：我们将学习内积的定义，以及其满足的性质，如线性性、对称性、正定性等。 范数与距离：通过内积，我们可以定义向量的范数（长度）和两个向量之间的距离，从而将度量概念引入抽象的向量空间。 正交与正交基：当两个向量的内积为零时，它们被认为是“正交”的。正交向量组在许多算法中具有重要作用。我们将介绍“正交基”和“标准正交基”，以及如何通过施密特正交化方法构造正交基。 正交补：一个向量空间中，与子空间中所有向量都正交的向量所构成的集合，称为该子空间的“正交补”。正交补的概念在投影、最小二乘法等问题中至关重要。 投影定理：我们将学习如何在内积空间中将一个向量投影到子空间上，以及投影定理的意义，它提供了求解最佳近似解的方法。 第八章：正交相似与谱定理——矩阵的终极分解 本章将聚焦于与内积空间密切相关的矩阵性质，特别是对称矩阵的特殊分解，这在许多科学和工程领域都有着极其重要的应用。 正交矩阵：一个方阵，如果其转置等于其逆矩阵（即 $Q^T Q = I$），则称为“正交矩阵”。正交矩阵代表了保持长度和角度的线性变换，如旋转和反射。 正交相似：如果两个矩阵 $A$ 和 $B$ 存在一个正交矩阵 $P$，使得 $B = P^T A P$，则称它们“正交相似”。 谱定理：这是本章的核心内容。谱定理表明，任何实对称矩阵都可以通过一个正交矩阵进行正交相似对角化。也就是说，实对称矩阵的特征向量总是可以构成一个正交基，并且其对应的特征值为实数。 特征值分解（EVD）：对于实对称矩阵，谱定理允许我们将其分解为 $A = Q Lambda Q^T$，其中 $Q$ 是由特征向量构成的正交矩阵，$Lambda$ 是由特征值构成的对角矩阵。这种分解具有极其重要的理论和应用价值。 谱的应用：我们将初步探讨特征值分解在主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）等数据分析技术中的作用，以及它在解决动力学系统、信号处理等问题中的威力。 第九章：应用领域——线性代数的现代舞台 本章将带领读者走出纯粹的理论，见证线性代数在现代科学技术中的广泛应用，体会其作为“万能工具”的强大生命力。 机器学习与人工智能： 数据表示与降维：向量和矩阵是表示高维数据的基本工具。主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）等降维技术，严重依赖于特征值与特征向量的计算，它们能够有效地提取数据中的关键信息，减少计算复杂度。 线性回归与支持向量机（SVM）：这些经典的机器学习模型，其核心算法都涉及到大量的矩阵运算和线性方程组的求解。 神经网络：深度学习中的神经网络，本质上是由一层层的线性变换（权重矩阵的乘法）和非线性激活函数组成的。对这些线性变换的理解，是理解神经网络工作原理的基础。 计算机图形学： 几何变换：三维空间的旋转、平移、缩放等基本几何变换，都可以通过矩阵来表示和实现。 投影：将三维场景投影到二维屏幕上的过程，也涉及到矩阵运算。 数值分析： 求解大型线性方程组：在科学计算中，经常需要求解规模巨大的线性方程组，各种迭代法和分解法都建立在线性代数理论之上。 数值稳定性：理解矩阵的条件数、特征值分布等，对于评估数值算法的稳定性和精度至关重要。 经济学与运筹学： 投入产出分析：用矩阵来描述经济系统中各部门之间的投入与产出关系。 线性规划：在满足一系列线性约束条件下，求解线性目标函数的最优值，是线性代数在优化问题中的典型应用。 信号处理与图像处理： 傅里叶变换：虽然不直接是线性代数，但其离散形式（DFT）与矩阵运算密切相关，并且在信号的频谱分析中发挥着核心作用。 图像压缩与去噪：SVD等技术在图像压缩、特征提取和噪声去除方面得到了广泛应用。 结语 线性代数以其简洁的语言和强大的表达能力，贯穿于现代科学与技术的诸多领域。本书力求从概念的深度、逻辑的严谨、以及应用的广度，为读者构建一个完整的线性代数知识体系。希望通过本书的学习，您不仅能够掌握线性代数的理论知识，更能培养出运用其解决实际问题的能力，为进一步探索更广阔的科学世界打下坚实的基础。学习的道路永无止境，线性代数仅仅是数学王国中一颗璀璨的明珠，而理解和掌握它，将为您开启更多令人兴奋的探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我之前对线性代数一直感到很吃力，觉得它充满了各种符号和公式，很难抓住重点。《2017张宇线性代数9讲》这本书，从书名就能看出它的内容是经过精心设计的，以“9讲”为单位，应该能够将复杂的知识点化繁为简。我个人比较喜欢有条理的学习方式，希望这本书能够提供一个清晰的学习路径，让我一步步地掌握线性代数的精髓。我最关心的是，这本书的讲解是否足够生动形象，能否用更直观的方式来解释那些抽象的数学概念，比如矩阵的运算、行列式的几何意义等等。如果能够配以一些图示或者更贴近实际的例子，相信会大大降低学习的门槛。我还注意到，这本书的出版年份是2017年，考虑到数学知识的相对稳定性，这个版本应该依然是具有很强的参考价值的。我希望通过这本书的学习，能够彻底摆脱对线性代数的恐惧感，并且能够自信地应对考试中的相关题目。

评分☆☆☆☆☆

刚收到这本《2017张宇线性代数9讲》，迫不及待翻开了。封面设计简约大气，纸张触感也相当不错，厚实而有质感，这对于长期阅读的人来说，无疑是一个加分项。我一直对线性代数这个科目充满敬畏，感觉它既是数学的基石，又像是一座难以逾越的高山，充满了抽象的概念和复杂的计算。尤其是在准备一些重要的考试时，线性代数往往是拉开差距的关键。我听说张宇老师在数学领域非常有名，讲解风格独树一帜，很多学生都受益匪浅。所以，当看到这本书时，我抱着极大的期待，希望它能成为我攻克线性代数难关的得力助手。我特别留意了目录结构，看起来非常清晰，从最基础的概念出发，逐步深入，理论讲解与例题解析相结合，这种循序渐进的方式，对于我这种基础不是特别牢固的学生来说，非常友好。我期待书中能够清晰地解释那些让我头疼的向量空间、线性变换、特征值和特征向量等核心概念，希望通过这本书的学习，能够真正理解它们背后的数学思想，而不是死记硬背公式。

评分☆☆☆☆☆

我最近在备考研究生，线性代数是必考科目之一，所以一直在寻找一本高质量的学习资料。《2017张宇线性代数9讲》这本书，在考研圈子里可以说是鼎鼎有名了。拿到手后，第一感觉就是这本书的内容编排非常合理。它不像有些教材那样干巴巴地罗列定理和证明，而是通过“9讲”这种相对集中的形式，将线性代数的知识体系化，并且强调了知识点之间的内在联系。我尤其看重的是，这本书是否能够帮助我理解抽象概念的几何意义和实际应用。线性代数在很多领域都有广泛的应用，比如计算机图形学、数据科学、机器学习等等，如果能将理论与实际联系起来，学习起来会更有动力。我翻阅了一下，发现书中有很多例题，而且例题的难度和深度都控制得很好，既有基础的巩固，也有拔高的训练，这对于巩固课堂知识、提升解题能力非常有帮助。我希望这本书能够引导我建立起完整的线性代数知识框架，并且在解题时能够游刃有余，真正做到融会贯通。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习数学，尤其是像线性代数这样抽象的学科，找到一本好的教材至关重要。《2017张宇线性代数9讲》这本书，我早有耳闻，很多学长学姐都推荐过。拿到书后，我首先关注的是它的内容逻辑性。我希望它能够循序渐进，从最基础的概念讲起，逐步引导读者深入理解线性代数的核心思想。我特别期待书中在讲解定理和证明的时候，能够提供一些通俗易懂的解释，或者给出一些直观的几何解释，而不是单纯地罗列公式。毕竟，死记硬背公式是学不好数学的。我还会关注书中例题的设置，好的例题应该能够覆盖各种题型，并且具有一定的代表性，能够帮助读者巩固知识、提升解题技巧。我希望通过这本书的学习，不仅能够掌握线性代数的知识点，更重要的是能够培养出解决问题的数学思维能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

在学习线性代数过程中，我一直都在寻找一本能够帮助我真正理解概念、掌握方法的书籍，而不是仅仅停留在公式的层面。《2017张宇线性代数9讲》这本书，在我看来，非常有潜力成为我的首选。从书名来看，“9讲”的结构化设计，预示着内容会比较系统和紧凑，能够帮助我高效地梳理知识脉络。我个人对那些能够将抽象概念“具象化”的讲解方式非常感兴趣，希望这本书能够在这方面做得出色，比如通过形象的比喻或者易于理解的图示来解释向量空间、线性映射等概念。另外，我非常看重例题的讲解质量，希望例题能够不仅展示解题过程，更重要的是能够揭示解题思路和技巧，以及不同知识点之间的联系。如果这本书能够做到这一点，相信它将大大提升我的学习效率和对线性代数的掌握程度，让我不再觉得它是一个难以理解的“天书”。

评分☆☆☆☆☆

不错，很适合我，希望考研顺利，加油

评分☆☆☆☆☆

摔碎叫叫看见就斤斤计较空间的确是牛奶牛奶牛奶的确

评分☆☆☆☆☆

听说张宇的比较好用，给小弟买本试试

评分☆☆☆☆☆

我觉的很不错，你们可以买上试试，毕竟也没多少钱！

评分☆☆☆☆☆

以前不知道写评价可以得京豆，浪费了很多京豆，现在知道了京豆的用处，可以抵现，就不会忘记评价了，把这段话留下来，随时可以评价，走到哪评价到哪，既方便又可以得京豆哦！京东自己的快递还是很快的，而且东西质量也有保障，是正品哦！以后买东西就在京东啦！

评分☆☆☆☆☆

考研必备书籍，考研党有想买的不要错过

评分☆☆☆☆☆

18+9+9对数学一二很有帮助。讲得很好，喜欢张宇老师

评分☆☆☆☆☆

挺不错的，为京东的服务点赞

评分☆☆☆☆☆

张宇的书配上视频，特别适合快速复习。以前就很喜欢。