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[波兰] S.Banach 著，金成桴 译

图书标签:

• 线性代数
• 泛函分析
• 算子理论
• 希尔伯特空间
• 谱理论
• 紧算子
• 自伴算子
• 正规算子
• Banach空间
• 有界算子

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030305961

版次：1

商品编码：12042627

包装：平装

丛书名： 数学名著译丛

开本：16开

出版时间：2011-04-01

用纸：胶版纸

页数：280

字数：352000

正文语种：中文

内容简介

　　《线性算子理论》是著名波兰数学家S.Banach的经典著作Theorie des Operations Lineaires的中译本，并包括A.Pelczynski和Cz.Bessaga的综合报告：Banach空间现代理论的某些方面，主要介绍Banach空间中的线性算子理论及相关问题，它是泛函分析的重要组成部分。全书共分12章，包括引言、附录和附注以及综合报告，主要内容有：距离空间、一般向量空间、Banach空间和F空间、线性算子、线性泛函与线性泛函方程、双正交序列与弱收敛序列、等距与同构理论、线性维数，以及Banach空间现代理论中的Banach空间局部性质、逼近性质与基、Banach空间类中的Hilbert空间表征等。
　　《线性算子理论》可作为数学专业泛函分析方向研究生、教师的参考书，也可供相关领域的科研工作者阅读。

内页插图

目录

译者序
前言

引言A Lebesgue-Stieltjes积分
A．1 Lebesgue积分理论中的某些定理
A．2 p次方可和函数的某些不等式
A．3 渐近收敛性
A．4 平均收敛性
A．5 Stielties积分
A．6 Lebesgue定理

引言B 距离空间中的（B）可测集和可测算子
B．7 距离空间
B．8 距离空间中的集合
B．9 距离空间中的映射

第1章 群
1．1 G空间的定义
1．2 子群的性质
1．3 加性算子和线性算子
1．4 一个奇点的凝聚定理

第2章 一般向量空间
2．1 向量空间的定义与基本性质
2．2 加性齐次泛函的扩张
2．3 应用：积分，测度，极限概念的推广

第3章 F空间
3．1 定义与预备知识
3．2 齐次算子
3．3 元素级数，线性算子的逆
3．4 连续不可微函数
3．5 偏微分方程解的连续性
3．6 无穷多个未知数的线性方程组
3．7 空间s的应用

第4章 赋范空间
第5章 Banach空间
第6章 紧算子
第7章 双正交序列
第8章 Banach空间中的线性泛函
第9章 弱收敛序列
第10章 线性泛函方程
第11章 等距，等价，同构
第12章 线性维数
附录 Banach空间中的弱收敛性
附注
名词索引
著作者索引

前言/序言

　　泛函分析创始人之一、著名波兰数学家Stefan Banach的经典名著Theorie des Operations Lineaires出版于20世纪30年代。也许由于第二次世界大战的影响，该书的法文版直到1955年才由美国的Chelsea出版公司出版，1978年出版了第二版，1987年出版了由F.Jellett翻译的英文版（荷兰North-Holland出版公司出版）。中译本主要根据原版并参考英译本翻译而成。
　　鉴于Banach时代的数学符号、术语与现代用法不尽相同，中译本尽量采用现代术语，例如全连续算子（operations totalement continues et associees）就译为紧算子，另外，由于泛函分析是一门涉及分析、拓扑与代数等的综合性学科，因此原书有些数学符号按现代数学习惯也作了更改。还有，Banach在序言中明确说明书中定理一般不给出来源，但事实上书中许多定理，特别是不属于Banach本人的大部分定理都在脚注和书后面的附注中给出来历，这是考虑到尊重原著，同时也深深感到一个数学理论的创立不易，因此，尽管英文版删掉了原书法文版中的许多脚注，中译本仍按原著把它们加上。当然，其中所引的许多古典文献很可能在国内不易找到，尤其是除了英文以外的许多其他语种的文献，这也是那个年代和这之前数学在欧洲很发达，比其他地区有着明显优势的真实反映。
　　本书主要介绍Banach空间中的线性算子理论。它的一个特点是富有启发性，通过本书的阅读，读者从中可初步领略到一个数学理论的建立过程：从总结前人的工作到提出新问题、新方法再到给出新理论，并不断提出一定质量的问题，进行及时总结和提高，但由于作者的叙述比较简练，本书对初学者可能会有些困难，好在现在已经有不少泛函分析的优秀教材，读者可结合阅读。本书附录主要介绍Banach空间中的弱收敛性，附注是对前面各章内容的说明，给出定理的来龙去脉，并提出许多富有启发性的问题，有些至今还没有完全解决，最后的表格清楚说明了同构、等距和等价这三个不变量在不同空间中的存在性，由于其中一些在本书出版之前还未解决的问题现在已经解决了，因此我们按英译本作了改动。最后一部分是A.Pelczynski和Cz.Bessaga写的综合报告“Banach空间现代理论的某些方面”，主要介绍有关理论在本书出版以后的最新进展，把它放入本书是为了让读者对Banach空间算子理论从建立到发展有个比较全面的了解。书后330多篇文献和70多篇附加文献可供研究生和有关学者参考。
　　很高兴得知科学出版社准备出版一系列优秀的数学经典名著，这对我国数学的发展无疑有很大帮助。能够为此尽一份微薄之力，我深感荣幸。但限于水平，书中错误和不妥之处在所难免，敬请读者批评指正。
　　最后，感谢科学出版社责任编辑对本书翻译出版整个过程的大力支持和帮助，也感谢我妻子何燕俐对我工作的支持与关心。

纯粹数学的深度探索：拓扑、几何与代数交织的宏伟画卷 本书并非聚焦于线性算子理论的特定领域，而是带领读者进入一个更为广阔的数学世界，一个由拓扑空间的内在结构、微分几何的精妙曲率，以及抽象代数中群、环、域的深刻联系所构建的宏伟殿堂。我们的目标是勾勒出当代纯粹数学中几个核心分支的独立发展脉络与内在联系，为读者提供一个理解现代数学基础的坚实视角，而不涉及算子理论的具体分析框架。 第一部分：广延拓扑学的疆界与极限 本部分将深入探讨拓扑学作为“橡胶片几何”的本质，着重于那些不依赖于度量或范数的结构性质。我们将从集合论的基础出发，稳步构建点集拓扑的核心概念。 1. 拓扑空间的构造与完备性： 我们首先详细考察拓扑空间的定义，强调开集族所赋予的结构威力。继而，我们将转向对拓扑空间内在紧凑性和连通性的深入剖析。紧致性不再被视为欧几里得空间中的简单“有界闭集”的推论，而是以其更本质的定义——任何开复盖都存在有限子复盖——来审视，并将其应用于函数空间（如紧生成空间）的讨论中。 连通性的研究将超越简单的路径连通，重点讨论局部连通性、半连通性，以及这些性质如何决定了特定拓扑空间的性质，例如局部紧致空间与簇（Cluster）的关系。 2. 完备性与收敛： 我们将在度量空间的一般化背景下，对完备性进行细致的探讨。这不是关于算子迭代收敛的讨论，而是关于序列和滤子（Filters）在拓扑空间中收敛行为的本质研究。Cauchy序列的概念被提升到更抽象的层面，引入完备化（Completion）的过程，展示如何将任意度量空间嵌入到一个完备空间中，而不损害其原有的拓扑结构。我们将详细阐述Baire范畴定理的意义，它揭示了完备度量空间（或更一般地，完备的豪斯多夫拓扑空间）的“巨大”性质，即非空开集稠密于自身。 3. 纤维丛与同调群的先声： 在拓扑学的进阶部分，我们将触及代数拓扑的雏形，但将重点放在对纤维丛（Fiber Bundles）的几何直观描述上。我们将讨论向量丛、主丛的概念，以及如何通过截面（Sections）来理解这些丛的结构。这部分内容是为了奠定对空间“洞”的直观认识，为后续的几何章节做好铺垫，特别是关于基本群（Fundamental Group）的计算，展示如何用代数对象（群）来区分拓扑空间。 第二部分：微分几何的曲率与流形结构 本部分将从拓扑空间的性质中跳脱出来，引入光滑结构和张量分析，进入研究具有局部欧几里得结构的微分流形的世界。这里的核心是考察空间如何在局部具有线性结构的同时，其整体却表现出非线性的几何特性，即曲率。 1. 流形的构造与切空间： 我们将详细定义微分流形（Differentiable Manifolds）的概念，强调图集（Atlas）和转移函数（Transition Maps）的光滑性要求。关键在于理解如何在一个非线性空间上定义微分运算。由此，切空间（Tangent Space）被确立为局部线性化工具，是理解流形上向量场和一阶微分的基础。我们将对比向量场在不同坐标系下的表示变化，强调协变性与逆变性。 2. 张量分析与微分形式： 本节着重于在流形上构造更复杂的几何对象——张量场。我们将深入研究微分形式（Differential Forms），从0形式（函数）到p形式，并探讨它们如何通过楔积（Wedge Product）构建起一个代数结构。外微分（Exterior Differentiation，$d$算子）的定义及其满足的$d^2=0$这一深刻性质，将作为贯穿始终的主线。这并非关于算子积分的理论，而是关于微分形式代数结构的内在一致性。 3. 曲率的度量： 在黎曼几何的框架下，我们将探讨如何度量流形的“弯曲”程度。我们将引入联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔联络，它是在保证度量兼容性和无挠性的约束下唯一确定的。基于此，我们将定义黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor），并阐述其几何意义：平行移动一个向量在闭合曲线上回到原点时所产生的旋转。我们将分析里奇张量和标量曲率，这些是描述流形整体几何特性的关键不变量。 第三部分：抽象代数的坚实基石 本部分将完全脱离几何和分析的范畴，专注于代数结构的内在规律，这些结构为所有现代数学分支提供了必要的语言和推理工具。 1. 环论与域的扩张： 我们将从环的定义出发，研究其各种子结构，如理想（Ideals）和商环（Quotient Rings）。重点将放在主理想整环（PID）和唯一分解整环（UFD）的性质上，讨论它们在代数数论中的重要性。随后，我们将进入域扩张（Field Extensions）的领域，探讨如何通过添加代数元来构造新的域。伽罗瓦理论的基石——伽罗瓦群（Galois Group）——将被引入，用以研究多项式方程的可解性，特别是阐明五次及以上多项式方程一般不可由根式求解的深层代数原因。 2. 模论基础： 在抽象代数中，模（Modules）被视为推广了向量空间的构想，其中标量域被替换为更一般的环。我们将详细考察自由模、挠模，以及投射模和内射模的定义及其性质。本节的核心目标是理解结构定理（Structure Theorems）如何描述特定类型的模（如有限生成模）的结构，这为后续在更抽象的代数环境中处理“线性”关系提供了通用框架。 3. 同调代数概述： 我们将简要介绍同调代数（Homological Algebra）的思想——使用链复形（Chain Complexes）和边界算子来研究代数结构中的“洞”或“缺失”。这并非关于特定函数空间的算子理论，而是关于如何用短正合序列（Short Exact Sequences）来计算派生函子（Derived Functors），如Ext和Tor群，它们是衡量特定代数结构偏离理想性质程度的代数不变量。 本书旨在提供对数学核心领域的独立、深入的审视，强调拓扑的抽象结构、几何的局部与整体关系，以及代数的普适语言，为读者构建一个多维度的纯粹数学知识体系。

评分☆☆☆☆☆

我通常不太喜欢那些过于晦涩难懂的学术著作，但这一本却让我破了例。它的语言风格非常具有个人色彩，带着一种老派欧洲知识分子的优雅和一丝不苟的傲慢。全书的组织结构宛如一座精美的巴洛克式建筑，从宏大的基本公理出发，层层递进，最终在对无限维张量积的讨论中达到高潮。最让我惊喜的是作者对“谱理论”的阐述。他引入了一种全新的基于“信息熵”的视角来定义算子的谱半径，这与传统的基于范数或测度的定义形成了鲜明的对比。这种跨学科的融合，使得原本沉闷的代数结构突然焕发出了鲜活的生命力。在阅读过程中，我时常会因为某个精妙的论证而停下来，在笔记本上画出辅助的示意图，试图将那种纯粹的数学美感具象化。这本书最大的贡献，可能在于它为解决某些长期悬而未决的问题提供了一种全新的“工具箱”。它不是一本速成手册，而是一份需要长期研磨、反复品味的珍贵文献，它对读者的智力要求很高，但回报也异常丰厚。

评分☆☆☆☆☆

坦白地说，这本书的阅读体验是既令人振奋又充满挫败感的。它并非那种可以让你读完一章就能轻松应对考试的工具书。它更像是一份邀请函，邀请你进入一个由作者精心搭建的思维迷宫。迷宫的墙壁由精密的逻辑构建而成，你必须依靠自己的逻辑推理能力才能找到出口。我尝试将其中的几个关键定理应用于我正在进行的一个关于随机过程收敛性的研究中，结果发现，原有方法的局限性立刻暴露无遗。作者对于“不动点理论”的重新诠释，尤其是在处理非凸、非光滑函数空间时的推广，展现出一种近乎“颠覆性”的洞察力。书中的数学推导部分，其严密性达到了令人窒息的程度，许多复杂的证明被巧妙地简化，但这种“简化”背后的代价是读者需要对背后的基础理论有极其牢固的掌握。我特别注意到作者在脚注中引用了几位鲜为人知的上世纪中叶的数学家的工作，这表明作者的研究视野非常开阔，绝非局限于主流的几个学派。这本书的价值在于它能强迫你重新思考那些你以为已经“搞懂了”的基本概念，让你的知识结构进行一次自发的重构。

评分☆☆☆☆☆

这部新作甫一问世，便在学术界激起了不小的波澜，尤其对于那些常年浸淫于纯数学殿堂的老一辈学者而言，其带来的思想冲击无疑是巨大的。我花了整整一个周末的时间，沉浸在这本看似深奥实则暗藏玄机的著作之中。最让我印象深刻的是作者对“拓扑结构与代数结构交汇点”的独到见解。他并没有简单地沿用陈旧的框架去套用和解释已有的定理，而是大胆地引入了一种源自非交换几何的新视角来审视紧致算子空间的行为。行文风格极其严谨，充满了数学家特有的冷静与克制，但字里行间又流露出对现有理论体系的深刻反思。特别是关于希尔伯特空间中嵌入定理的章节，作者通过构造一系列巧妙的度量函数，竟能将一个原本被认为“病态”的无限维空间局部化处理，这种处理方式不仅极大地拓宽了传统泛函分析的边界，更像是为我们推开了一扇通往更高维度几何构造的侧门。书中大量的图示，与其说是辅助理解，不如说是构建了一种全新的视觉语言，去捕捉那些难以言喻的数学直觉。读完第一部分，我不得不暂时合上书本，花了好几天时间去消化这种被重塑的认知框架，那种感觉就像是毕生所学的知识被轻轻地拨动了一下，然后以一种更精妙、更具生命力的方式重新排列组合。

评分☆☆☆☆☆

读完此书后，我感觉自己仿佛经历了一次长途的、精神上的远征。这本书的叙事节奏非常独特，它不像教科书那样追求线性的知识灌输，更像是一部由多个相互关联的哲学命题串联起来的散文集。作者似乎并不急于给出最终的结论，而是更热衷于描绘问题本身的复杂性与多面性。比如在讨论“有界性”这一核心概念时，他并没有直接给出定义，而是花了大量篇幅去追溯“有界”概念在不同公理体系下的演变轨迹，从早期的欧几里得几何到后来的勒贝格积分框架，再到量子力学中的算符对易关系，这种历史的纵深感让人在阅读过程中不断地进行自我审视和知识溯源。文字的密度极高，几乎没有冗余的词汇，每一个标点符号似乎都承载着某种特定的逻辑指向。对于初学者来说，这无疑是一道高耸的壁垒，因为你必须带着问题去阅读，而不是被动地接受答案。我尤其欣赏其中关于“非自伴随算子”的部分，作者用了一种近乎诗意的语言，描述了这些“不稳定”的数学实体如何恰当地映射了物理世界中的耗散现象。这不仅仅是一本专业书籍，更像是一场关于数学本质的深度对话。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的震撼，更偏向于一种审美体验，而非单纯的知识获取。它的排版设计本身就是一件艺术品，对公式的布局、定理的强调，都透露出出版方对内容尊重到了极致的程度。尤其值得称道的是，作者在处理算子在矩阵表示下的不确定性问题时，引入了一种基于“模糊集合”的理论框架，这在传统的泛函分析领域是极其罕见的尝试。这种处理方式极大地丰富了对不完全信息下数学模型的刻画能力。我发现，书中对于不同数学分支之间的“类比”和“映射”的论述尤其精彩，比如将数论中的丢番图方程与线性代数中的特征向量分解进行类比，虽然看似跳跃，但深究其背后的结构同构性时，令人拍案叫绝。读这本书就像是与一位思想深邃的前辈进行了一场长时间的、高强度的思想交锋，他不断地提出挑战性的观点，引导你去探索现有知识体系的薄弱环节。对于那些真正热爱数学本质的人来说，这绝对是一本不可多得的启迪之作。