幺半群、作用和范畴 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

[爱沙尼亚] M.吉尔普，[德] U.诺尔 著

图书标签:

• 幺半群
• 作用
• 范畴
• 代数
• 数学
• 抽象代数
• 群论
• 拓扑
• 函子
• 理论

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787519214722

版次：1

商品编码：12085170

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-12-01

用纸：胶版纸

内容简介

　　这本书的第一部分为学习幺半群、作用、变形、一致和非交换类别的学生提供了一个相对独立和宽泛的角度。同时这本书也给出了半群理论，自动机，标准语言和其他半群的应用的背景。幺半群圈积，作用和范畴在第二部分有详细的介绍。该书的第二部分主要集中在幺半群的同调分类结果，其中包括Morita类型理论在等值性和二象性和幺半群的同调特性。

现代代数基础：群、环与域的探索 导言 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的现代代数基础。代数结构的研究是数学科学的核心，它深刻地揭示了数、形乃至抽象概念之间的内在联系。本书将重点放在代数结构中最基本、最重要的三个组成部分：群（Groups）、环（Rings）和域（Fields）。通过严谨的定义、丰富的实例和精选的习题，我们引导读者从直观理解逐步深入到抽象证明，从而掌握现代代数的核心思想和工具。 第一部分：群论——对称性的语言 群论是研究对称性和变换的数学语言。它不仅在纯数学领域，如拓扑学和数论中扮演关键角色，而且在物理学（粒子物理、晶体学）和计算机科学（密码学、编码理论）中也具有不可替代的应用价值。 第一章：代数结构与二元运算 本章首先引入代数结构的基本概念，包括集合与映射。随后，详细阐述二元运算的定义、性质（结合律、交换律）以及封闭性要求。我们引入了代数系统的概念，为后续的群结构奠定基础。 第二章：群的严格定义与基本性质 群的公理体系——封闭性、结合律、单位元、逆元——将被严格阐述。我们将证明单位元和逆元的存在性和唯一性。随后，我们将探究群中的一些基本代数恒等式，例如 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$。 第三章：子群与陪集 子群的概念是理解大群结构的关键。本章定义了子群的判定准则，并探讨了子群与原群之间的关系。接着，我们将深入研究陪集（左陪集与右陪集）的概念。陪集的划分性将自然地引向拉格朗日定理的证明。 第四章：拉格朗日定理及其推论 拉格朗日定理（群的阶整除其任何子群的阶）是有限群论中最深刻和最有用的结果之一。我们将提供清晰的证明，并探讨其重要推论，例如：任何素数阶群都是循环群，以及群中任意元素的阶整除群的阶。 第五章：正规子群与商群 为了构造“更小”但仍保留结构信息的群，我们需要正规子群（或称不变子群）。本章详细定义了正规子群的充要条件（左陪集等于右陪集），并在此基础上构造了商群（Factor Group），也被称为剩余类群。商群的构造是代数结构分解的关键步骤。 第六章：同态与同构 同态（Homomorphism）是保持代数结构之间关系的映射。我们将研究同态的基本性质，如像（Image）和核（Kernel）。核作为原群的一个正规子群，是度量同态“失败”程度的量度。同构（Isomorphism）则表明两个群在结构上是完全等价的。本章的高潮是第一同构定理（或称基本同构定理），它建立了商群与同态像之间的本质联系。 第七章：群的应用——置换群与循环群 本章侧重于具体实例。首先，我们将深入研究置换群（Symmetric Group $S_n$ 和交错群 $A_n$），理解排列的乘法和循环分解。接着，我们将彻底分析循环群的性质，证明所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 第二部分：环论——运算的扩展 环是代数结构从一个运算扩展到两个运算（加法和乘法）的自然步骤。它提供了研究整数、多项式等代数对象结构的框架。 第八章：环的定义与基本性质 环（Ring）被定义为一个带有两个二元运算的代数结构，满足加法构成阿贝尔群，乘法满足结合律，且乘法对加法满足分配律。我们将区分交换环与非交换环，以及带单位元的环。 第九章：子环与理想 与群中的子群类似，子环（Subring）是环的子集，它本身也是一个环。本章的核心是理想（Ideal）的概念。理想是环中类似于正规子群的特殊子集，它是保证乘法运算在结构分解中保持一致性的关键。 第十章：环同态与商环 环同态要求映射同时保持加法和乘法结构。与群论类似，我们定义了环的核（Kernel）作为零元素的原像，并证明了环的核必定是一个理想。基于理想，我们构造了商环（Factor Ring），这是对环进行分解的代数工具。第二同构定理将在这里得到阐述。 第十一章：特殊类型的环 本章介绍了几种重要的环结构： 1. 整环（Integral Domains）：满足交换律、有单位元且无零因子（即 $ab=0 implies a=0$ 或 $b=0$）的环。 2. 域（Fields）：其中所有非零元素都存在乘法逆元的环。域是算术操作可以完全进行的代数环境。 第三部分：域与多项式——算术的推广 域是代数结构中“最完美”的一种，它允许进行所有的基本算术运算。多项式环是研究代数方程和代数数论的基石。 第十二章：域的基本性质与例子 我们将详细分析 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$ 作为域的性质。特别地，我们将探究特征（Characteristic）的概念，即区分素数域（如 $mathbb{Z}_p$）与零特征域的关键。 第十三章：多项式环 $F[x]$ 对于一个域 $F$，我们研究多项式环 $F[x]$。本章将证明 $F[x]$ 具备欧几里得整环的结构，它满足除法算法（即存在商和余数）。 第十四章：整环的结构 本章深入探讨了具有特殊性质的整环： 1. 主理想整环 (PID)：其中每个理想都是主理想（由单个元素生成）。 2. 唯一因子域 (UFD)：其中每个非零、非单位元素都可以唯一地分解为不可约元素的乘积（类似于整数的唯一素因数分解）。 我们将证明 $F[x]$ 是一个 PID，进而也是一个 UFD。同时，我们也会讨论 $mathbb{Z}$ 作为一个 PID 的地位。 第十五章：数域与扩域（选讲） 本章作为对前述结构的延伸，简要介绍如何从一个基础域 $F$ 构造出包含更丰富元素的扩域 $E$。我们将引入代数元和超越元，并简要讨论有限域的存在性与结构，为读者未来深入学习伽罗瓦理论奠定初步概念基础。 结论 本书通过对群、环、域这三大支柱的系统学习，为读者构建了现代代数的完整认知框架。掌握这些结构不仅是数学进阶学习的必要条件，也是理解科学世界中对称性、结构分解和抽象运算的强大思维工具。 --- 读者对象： 具备微积分基础的数学专业本科生、物理和计算机科学中需要深入理解代数背景的研究人员与学生。 本书特色： 强调概念的几何或算术直观意义，并辅以详尽的证明和经典的例子。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就吸引了我。简约的配色，搭配上“幺半群、作用和范畴”这样既抽象又富有数学韵味的标题，立刻勾起了我的好奇心。我一直对数学的抽象概念着迷，尤其是那些能够连接不同数学分支的理论。虽然我还没有深入阅读，但光是这个名字，就让我联想到数学中那些优雅而强大的结构，比如群论、代数拓扑，甚至可能与更现代的计算机科学理论有所关联。我期待这本书能够带领我探索数学世界的深层联系，揭示看似毫不相干的概念背后隐藏的统一性。也许它会用一种我从未想过的方式，将我熟悉的数学知识串联起来，打开新的视野。我希望它能提供清晰的讲解，即使是对于我这样非专业人士来说，也能感受到其中的精妙之处。这种对未知数学领域的好奇，驱使我迫不及待地想要翻开它，去领略它所蕴含的智慧。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学中的“结构”和“关系”有着浓厚的兴趣，尤其是那些能够抽象地描述系统行为的理论。当我在书架上看到《幺半群、作用和范畴》时，我的第一反应是，这或许是一本能够深入探讨这些主题的著作。标题中的“幺半群”暗示着一种基础的代数结构，而“作用”和“范畴”则进一步指向了更广泛的数学框架。我猜测这本书可能会涉及一些离散数学、抽象代数，甚至函数式编程中的概念。我希望它能以一种循序渐进的方式，将这些相对独立的数学概念有机地结合起来，展示它们在解决实际问题中的应用，或者在构建更宏大数学理论中的作用。我期待它能提供一些具体的例子和图示，帮助我理解那些高度抽象的定义和定理。如果这本书能够帮助我建立起对这些数学工具的直观认识，那将是非常宝贵的。

评分☆☆☆☆☆

说实话，看到“幺半群、作用和范畴”这个书名，我的第一反应是有点退缩的。这些词汇听起来就充满了专业性和抽象性，让我担心自己是否能够理解。然而，随着我观察这本书摆放的位置，它似乎被放在一个集合了许多关于理论计算机科学和数学基础的区域。这让我产生了一些联想：也许这本书并非仅仅是纯粹的数学理论探讨，而是将这些数学概念应用于某个特定领域，比如形式语言、类型论，或者是更偏向逻辑学和计算理论的交叉学科。我推测，它可能在用一种严谨而又富有启发性的方式，阐述某些计算模型或者软件设计的底层原理。我希望它能用相对易懂的语言，解释这些核心概念，并展示它们在实际应用中的威力，哪怕只是理论上的应用。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，我第一时间被它的书名吸引。 “幺半群、作用和范畴”——这些词语组合在一起，就如同一个精心设计的谜语，让我立刻想要去探寻其中的奥秘。它让我联想到那些隐藏在表面现象之下的深刻规律，以及数学家们如何通过抽象化的手段来捕捉和描述这些规律。我预测这本书可能涉及到的内容会比较硬核，但同时也充满了智慧的闪光。我期望它能够帮助我理解数学世界中那些看似离散的概念是如何被统一在一个更宏大的框架之下的。这本书或许会挑战我已有的认知，迫使我跳出舒适区，去拥抱那些更抽象、更具普适性的数学思想。我期待它能成为我探索数学深层结构的“指路明灯”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名《幺半群、作用和范畴》让我感到一种奇特的吸引力。它不像那些常见的数学科普读物那样，直接用“趣味数学”或者“数学家的故事”来吸引读者，而是直接抛出了几个听起来相当专业的术语。我猜想，这或许是一本面向那些对数学有一定基础，并且对更深层次的抽象结构感兴趣的读者的书籍。我希望它能够深入浅出地讲解这些概念，或许会从最基本的定义入手，逐步构建起一个越来越复杂的数学体系。我期待它能够帮助我理解这些概念的内在逻辑和相互联系，而不是仅仅停留在表面。如果它能提供一些有趣的思考题或者挑战，那就更好了，这样我可以在阅读之余，还能动动脑筋，加深理解。