幺半群、作用和範疇 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[愛沙尼亞] M.吉爾普，[德] U.諾爾 著

圖書標籤:

• 幺半群
• 作用
• 範疇
• 代數
• 數學
• 抽象代數
• 群論
• 拓撲
• 函子
• 理論

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787519214722

版次：1

商品編碼：12085170

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2016-12-01

用紙：膠版紙

內容簡介

　　這本書的第一部分為學習幺半群、作用、變形、一緻和非交換類彆的學生提供瞭一個相對獨立和寬泛的角度。同時這本書也給齣瞭半群理論，自動機，標準語言和其他半群的應用的背景。幺半群圈積，作用和範疇在第二部分有詳細的介紹。該書的第二部分主要集中在幺半群的同調分類結果，其中包括Morita類型理論在等值性和二象性和幺半群的同調特性。

現代代數基礎：群、環與域的探索 導言 本書旨在為讀者提供一個堅實而全麵的現代代數基礎。代數結構的研究是數學科學的核心，它深刻地揭示瞭數、形乃至抽象概念之間的內在聯係。本書將重點放在代數結構中最基本、最重要的三個組成部分：群（Groups）、環（Rings）和域（Fields）。通過嚴謹的定義、豐富的實例和精選的習題，我們引導讀者從直觀理解逐步深入到抽象證明，從而掌握現代代數的核心思想和工具。 第一部分：群論——對稱性的語言 群論是研究對稱性和變換的數學語言。它不僅在純數學領域，如拓撲學和數論中扮演關鍵角色，而且在物理學（粒子物理、晶體學）和計算機科學（密碼學、編碼理論）中也具有不可替代的應用價值。 第一章：代數結構與二元運算 本章首先引入代數結構的基本概念，包括集閤與映射。隨後，詳細闡述二元運算的定義、性質（結閤律、交換律）以及封閉性要求。我們引入瞭代數係統的概念，為後續的群結構奠定基礎。 第二章：群的嚴格定義與基本性質 群的公理體係——封閉性、結閤律、單位元、逆元——將被嚴格闡述。我們將證明單位元和逆元的存在性和唯一性。隨後，我們將探究群中的一些基本代數恒等式，例如 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$。 第三章：子群與陪集 子群的概念是理解大群結構的關鍵。本章定義瞭子群的判定準則，並探討瞭子群與原群之間的關係。接著，我們將深入研究陪集（左陪集與右陪集）的概念。陪集的劃分性將自然地引嚮拉格朗日定理的證明。 第四章：拉格朗日定理及其推論 拉格朗日定理（群的階整除其任何子群的階）是有限群論中最深刻和最有用的結果之一。我們將提供清晰的證明，並探討其重要推論，例如：任何素數階群都是循環群，以及群中任意元素的階整除群的階。 第五章：正規子群與商群 為瞭構造“更小”但仍保留結構信息的群，我們需要正規子群（或稱不變子群）。本章詳細定義瞭正規子群的充要條件（左陪集等於右陪集），並在此基礎上構造瞭商群（Factor Group），也被稱為剩餘類群。商群的構造是代數結構分解的關鍵步驟。 第六章：同態與同構 同態（Homomorphism）是保持代數結構之間關係的映射。我們將研究同態的基本性質，如像（Image）和核（Kernel）。核作為原群的一個正規子群，是度量同態“失敗”程度的量度。同構（Isomorphism）則錶明兩個群在結構上是完全等價的。本章的高潮是第一同構定理（或稱基本同構定理），它建立瞭商群與同態像之間的本質聯係。 第七章：群的應用——置換群與循環群 本章側重於具體實例。首先，我們將深入研究置換群（Symmetric Group $S_n$ 和交錯群 $A_n$），理解排列的乘法和循環分解。接著，我們將徹底分析循環群的性質，證明所有循環群都同構於 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 第二部分：環論——運算的擴展 環是代數結構從一個運算擴展到兩個運算（加法和乘法）的自然步驟。它提供瞭研究整數、多項式等代數對象結構的框架。 第八章：環的定義與基本性質 環（Ring）被定義為一個帶有兩個二元運算的代數結構，滿足加法構成阿貝爾群，乘法滿足結閤律，且乘法對加法滿足分配律。我們將區分交換環與非交換環，以及帶單位元的環。 第九章：子環與理想 與群中的子群類似，子環（Subring）是環的子集，它本身也是一個環。本章的核心是理想（Ideal）的概念。理想是環中類似於正規子群的特殊子集，它是保證乘法運算在結構分解中保持一緻性的關鍵。 第十章：環同態與商環 環同態要求映射同時保持加法和乘法結構。與群論類似，我們定義瞭環的核（Kernel）作為零元素的原像，並證明瞭環的核必定是一個理想。基於理想，我們構造瞭商環（Factor Ring），這是對環進行分解的代數工具。第二同構定理將在這裏得到闡述。 第十一章：特殊類型的環 本章介紹瞭幾種重要的環結構： 1. 整環（Integral Domains）：滿足交換律、有單位元且無零因子（即 $ab=0 implies a=0$ 或 $b=0$）的環。 2. 域（Fields）：其中所有非零元素都存在乘法逆元的環。域是算術操作可以完全進行的代數環境。 第三部分：域與多項式——算術的推廣 域是代數結構中“最完美”的一種，它允許進行所有的基本算術運算。多項式環是研究代數方程和代數數論的基石。 第十二章：域的基本性質與例子 我們將詳細分析 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$ 作為域的性質。特彆地，我們將探究特徵（Characteristic）的概念，即區分素數域（如 $mathbb{Z}_p$）與零特徵域的關鍵。 第十三章：多項式環 $F[x]$ 對於一個域 $F$，我們研究多項式環 $F[x]$。本章將證明 $F[x]$ 具備歐幾裏得整環的結構，它滿足除法算法（即存在商和餘數）。 第十四章：整環的結構 本章深入探討瞭具有特殊性質的整環： 1. 主理想整環 (PID)：其中每個理想都是主理想（由單個元素生成）。 2. 唯一因子域 (UFD)：其中每個非零、非單位元素都可以唯一地分解為不可約元素的乘積（類似於整數的唯一素因數分解）。 我們將證明 $F[x]$ 是一個 PID，進而也是一個 UFD。同時，我們也會討論 $mathbb{Z}$ 作為一個 PID 的地位。 第十五章：數域與擴域（選講） 本章作為對前述結構的延伸，簡要介紹如何從一個基礎域 $F$ 構造齣包含更豐富元素的擴域 $E$。我們將引入代數元和超越元，並簡要討論有限域的存在性與結構，為讀者未來深入學習伽羅瓦理論奠定初步概念基礎。 結論 本書通過對群、環、域這三大支柱的係統學習，為讀者構建瞭現代代數的完整認知框架。掌握這些結構不僅是數學進階學習的必要條件，也是理解科學世界中對稱性、結構分解和抽象運算的強大思維工具。 --- 讀者對象： 具備微積分基礎的數學專業本科生、物理和計算機科學中需要深入理解代數背景的研究人員與學生。 本書特色： 強調概念的幾何或算術直觀意義，並輔以詳盡的證明和經典的例子。 ---

評分☆☆☆☆☆

說實話，看到“幺半群、作用和範疇”這個書名，我的第一反應是有點退縮的。這些詞匯聽起來就充滿瞭專業性和抽象性，讓我擔心自己是否能夠理解。然而，隨著我觀察這本書擺放的位置，它似乎被放在一個集閤瞭許多關於理論計算機科學和數學基礎的區域。這讓我産生瞭一些聯想：也許這本書並非僅僅是純粹的數學理論探討，而是將這些數學概念應用於某個特定領域，比如形式語言、類型論，或者是更偏嚮邏輯學和計算理論的交叉學科。我推測，它可能在用一種嚴謹而又富有啓發性的方式，闡述某些計算模型或者軟件設計的底層原理。我希望它能用相對易懂的語言，解釋這些核心概念，並展示它們在實際應用中的威力，哪怕隻是理論上的應用。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名《幺半群、作用和範疇》讓我感到一種奇特的吸引力。它不像那些常見的數學科普讀物那樣，直接用“趣味數學”或者“數學傢的故事”來吸引讀者，而是直接拋齣瞭幾個聽起來相當專業的術語。我猜想，這或許是一本麵嚮那些對數學有一定基礎，並且對更深層次的抽象結構感興趣的讀者的書籍。我希望它能夠深入淺齣地講解這些概念，或許會從最基本的定義入手，逐步構建起一個越來越復雜的數學體係。我期待它能夠幫助我理解這些概念的內在邏輯和相互聯係，而不是僅僅停留在錶麵。如果它能提供一些有趣的思考題或者挑戰，那就更好瞭，這樣我可以在閱讀之餘，還能動動腦筋，加深理解。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，我第一時間被它的書名吸引。 “幺半群、作用和範疇”——這些詞語組閤在一起，就如同一個精心設計的謎語，讓我立刻想要去探尋其中的奧秘。它讓我聯想到那些隱藏在錶麵現象之下的深刻規律，以及數學傢們如何通過抽象化的手段來捕捉和描述這些規律。我預測這本書可能涉及到的內容會比較硬核，但同時也充滿瞭智慧的閃光。我期望它能夠幫助我理解數學世界中那些看似離散的概念是如何被統一在一個更宏大的框架之下的。這本書或許會挑戰我已有的認知，迫使我跳齣舒適區，去擁抱那些更抽象、更具普適性的數學思想。我期待它能成為我探索數學深層結構的“指路明燈”。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就吸引瞭我。簡約的配色，搭配上“幺半群、作用和範疇”這樣既抽象又富有數學韻味的標題，立刻勾起瞭我的好奇心。我一直對數學的抽象概念著迷，尤其是那些能夠連接不同數學分支的理論。雖然我還沒有深入閱讀，但光是這個名字，就讓我聯想到數學中那些優雅而強大的結構，比如群論、代數拓撲，甚至可能與更現代的計算機科學理論有所關聯。我期待這本書能夠帶領我探索數學世界的深層聯係，揭示看似毫不相乾的概念背後隱藏的統一性。也許它會用一種我從未想過的方式，將我熟悉的數學知識串聯起來，打開新的視野。我希望它能提供清晰的講解，即使是對於我這樣非專業人士來說，也能感受到其中的精妙之處。這種對未知數學領域的好奇，驅使我迫不及待地想要翻開它，去領略它所蘊含的智慧。

評分☆☆☆☆☆

我一直對數學中的“結構”和“關係”有著濃厚的興趣，尤其是那些能夠抽象地描述係統行為的理論。當我在書架上看到《幺半群、作用和範疇》時，我的第一反應是，這或許是一本能夠深入探討這些主題的著作。標題中的“幺半群”暗示著一種基礎的代數結構，而“作用”和“範疇”則進一步指嚮瞭更廣泛的數學框架。我猜測這本書可能會涉及一些離散數學、抽象代數，甚至函數式編程中的概念。我希望它能以一種循序漸進的方式，將這些相對獨立的數學概念有機地結閤起來，展示它們在解決實際問題中的應用，或者在構建更宏大數學理論中的作用。我期待它能提供一些具體的例子和圖示，幫助我理解那些高度抽象的定義和定理。如果這本書能夠幫助我建立起對這些數學工具的直觀認識，那將是非常寶貴的。